初中数学规律探究题汇总(含解析)
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
含答案 中考数学复习专题六 规律探索题
专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二 图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六 规律探索题类型一 数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个 【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年 【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二 图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875， 即点B 21的纵坐标为3875.。
七年级数学下册 专题训练：平面直角坐标系中点的规律探究(精选30题)(解析版)
七年级下册数学《第七章平面直角坐标系》专题：平面直角坐标系中点的规律探究一、选择题(共10题)1．（2022秋•定远县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），点A第1次向上跳动1个单位至点A1（﹣1，1），紧接着第2次向右跳动2个单位至点A2（1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…依此规律跳动下去，点A第2022次跳动至点A2022的坐标是（）A．（505，1009）B．（﹣506，1010）C．（﹣506，1011）D．（506，1011）【分析】设第n次跳动至点A n，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律“A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2022＝505×4+2即可得出点A2022的坐标．【解答】解：设第n次跳动至点A n，观察，发现：A（﹣1，0），A1（﹣1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（﹣2，2），A5（﹣2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（﹣3，4），A9（﹣3，5），…，∴A4n（﹣n﹣1，2n），A4n+1（﹣n﹣1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）．∵2022＝505×4+2，∴A2022（506，1011）．故选：D．【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点A n坐标的变化找出变化规律是解题的关键．2．（2022秋•古田县期中）在平面直角坐标系中，设一质点M自P0（1，0）处向上运动1个单位至P1（1，1），然后向左运动2个单位至P2处，再向下运动3个单位至P3处，再向右运动4个单位至P4处，再向上运动5个单位至P5处，…如此继续运动下去．设P n（x n，y n），n＝1，2，3…，则x1+x2+…+x2017的值为（）A．2016B．2017C．﹣2016D．2015【分析】根据给定的平移规律，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，进一步可得x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，再根据2017÷4＝504...1，进一步计算即可．【解答】解：根据题意，可得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝﹣1，x4＝3，∴x1+x2+x3+x4＝1+（﹣1）+（﹣1）+3＝2，同理可得x5+x6+x7+x8＝3+（﹣3）+（﹣3）+5＝2，∵2017÷4＝504...1，∴x2017＝2×504+1＝1009，∴x1+x2+…+x2017＝504×2+1009＝2017，故选：B．【点评】本题考查了坐标与平移，找出点坐标之间的规律是解题的关键．3．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（）A．（2022，0）B．（2023，0）C．（2023，2）D．（2023，﹣2）【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，继而求得答案．【解答】解：观察图形可知，点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，2023÷4＝505……3，所以点A2023坐标是（2023，2）．故选：C．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．4．（2021春•浉河区期末）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2021次跳动至点A2021的坐标是（）A．（﹣1009，1009）B．（﹣1010，1010）C．（﹣1011，1011）D．（﹣1012，1012）【分析】根据点的坐标、坐标的平移寻找规律即可求解．【解答】解：因为A1（﹣1，1），A2（2，1），A3（﹣2，2），A4（3，2），A5（﹣3，3），A6（4，3），A7（﹣4，4），A8（5，4），…A2n﹣1（﹣n，n），A2n（n+1，n）（n为正整数），所以2n﹣1＝2021，n＝1011，所以A2020（﹣1011，1011），故选：C．【点评】本题考查了点的坐标、坐标的平移，解决本题的关键是寻找点的变化规律．5．（2021秋•九江期末）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙都从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2022次相遇点的坐标是（）A．（2，0）B．（﹣1，1）C．（﹣2，0）D．（﹣1，﹣1）【分析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．【解答】解：由已知，矩形周长为12，∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒，则两个物体每次相遇时间间隔为121+2=4秒，则两个物体相遇点依次为（﹣1，1）、（﹣1，﹣1）、（2，0），∵2022＝3×673…3，∴第2022次两个物体相遇位置为（2，0），故选：A．【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律．6．（2022春•启东市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标是（1，1）．若记点A坐标为（a1，a2），则一个点从点A出发沿图中路线依次经过B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8）…，每个点的横纵坐标都是整数，按此规律一直运动下去，则a2020+a2021+a2022的值为（）A．2021B．2022C．1011D．1012【分析】观察已知点的坐标可得，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，进而可得结果．【解答】解：由直角坐标系可知A（1，1），B（2，﹣1），C（3，2），D（4，﹣2），……，即a1＝1，a2＝1，a3＝2，a4＝﹣1，a5＝3，a6＝2，a7＝4，a8＝﹣2，……，所有数列奇数个都是从1开始逐渐递增的，且都等于所在的个数加上1再除以2，则a2021＝1011，偶数列等于所在的个数除以4，能够整除的，结果的相反数就是所求出的数，不能整除的，等于结果的整数部分加1，且符号为正，∴a2021＝﹣505，2023÷4＝505……3，∴a2022＝506，故a2020+a2021+a2022＝1012，故选：D．【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，探索数字与字母规律是解题关键．7．（2022•浉河区校级开学）如图，在平面直角坐标系中，A1（2，0），B1（0，1），A1B1的中点为C1；A2（0，3），B2（﹣2，0），A2B2的中点为C2；A3（﹣4，0），B3（0，﹣3），A3B3的中点为C3；A4（0，﹣5），B4（4，0），A4B4的中点为C4；…；按此做法进行下去，则点C2022的坐标为（）A．（﹣1012，−20232）B．（﹣1011，20232）C．（﹣1011，−20232）D．（﹣1012，−20212）【分析】根据题意得点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，可求得点C2022在第二象限，从而可求得该题结果．【解答】解：由题意可得，点∁n的位置按4次一周期的规律循环出现，∵2022÷4＝505……2，∴点C2022在第二象限，∵位于第二象限内的点C2的坐标为（﹣1，32），点C6的坐标为（﹣3，72），点C10的坐标为（﹣5，112），……∴点∁n的坐标为（−2，r12），∴当n＝2022时，−2=−20222=−1011，r12=2022+12=20232，∴点C2022的坐标为（﹣1011，20232），故选：B．【点评】此题考查了点的坐标方面规律性问题的解决能力，关键是能根据题意确定出该点的出现规律．8．（2022春•冷水滩区校级期中）如图，已知A1（1，2）A2（2，2）A3（3，0）A4（4，﹣2）A5（5，﹣2）A6（6，0）……，按这样的规律，则点A2021的坐标为（）A．（2021，2）B．（2020，2）C．（2021，﹣2）D．2020，﹣2）【分析】观察发现，每6个点形成一个循环，再根据点A6的坐标及2021÷6所得的整数及余数，可计算出点A2021的横坐标，再根据余数对比第一组的相应位置的数可得其纵坐标．【解答】解：观察发现，每6个点形成一个循环，∵A6（6，0），∴OA6＝6，∵2021÷6＝336…5，∴点A2021的位于第337个循环组的第5个，∴点A2021的横坐标为6×336+5＝2021，其纵坐标为：﹣2，∴点A2021的坐标为（2021，﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了平面直角坐标系中的点的规律问题，发现题中的规律并正确计算出点A2021所处的循环组是解题的关键．9．（2022春•宣化区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2021，﹣1）C．（2022，1）D．（2022，0）【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点A2015的坐标．【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为：12×2×1=，∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度，∴点P1秒走12个半圆，当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2022÷4=505余2，∴P的坐标是（2022，0），故选：D．【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…根据这个规律探索可得，第100个点的坐标（）A．（14，0）B．（14，﹣1）C．（14，1）D．（14，2）【分析】观察图形可知，横坐标相等的点的个数与横坐标相同，根据求和公式求出第100个点的横坐标以及在这一横坐标中的所有点中的序数，再根据横坐标是奇数时从上向下排列，横坐标是偶数时从下向上排列，然后解答即可．【解答】解：由图可知，横坐标是1的点共有1个，横坐标是2的点共有2个，横坐标是3的点共有3个，横坐标是4的点共有4个，…，横坐标是n的点共有n个，1+2+3+…+n=or1)2，当n＝13时，13×(13+1)2=91，当n＝14时，14×(14+1)2=105，所以，第100个点的横坐标是14，∵100﹣91＝9，∴第100个点是横坐标为14的点中的第9个点，∵第142=7个点的纵坐标是0，∴第9个点的纵坐标是2，∴第100个点的坐标是（14，2）．故选：D．【点评】本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．二、填空题（共10题）11．（2022春•东洲区期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（﹣1，1），第2次接着运动到点（﹣2，0），第3次接着运动到点（﹣3，2），…，按这样的运动规律，经过第2022次运动后，动点P的坐标是．A．（2022，0）B．（﹣2022，0）C．（﹣2022，1）D．（﹣2022，2）【分析】观察图形可知：每4次运动为一个循环，并且每一个循环向左运动4个单位，用2022÷4可判断出第2022次运动时，点P在第几个循环第几次运动中，进一步即可计算出坐标．【解答】解：动点P的运动规律可以看作每运动四次为一个循环，每个循环向左运动4个单位，∵2022÷4＝505……2，∴第2022次运动时，点P在第506次循环的第2次运动上，∴横坐标为﹣（505×4+2）＝﹣2022，纵坐标为0，∴此时P（﹣2022，0）．故答案为：（﹣2022，0）．【点评】本题考查规律型：点坐标，解答时注意探究点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．12．（2022秋•肃州区校级期末）如图，已知A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），…则点A2022的坐标是．【分析】根据题意可以发现规律：A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n ﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），根据规律求解即可．【解答】解：根据题意可以发现规律：A1（1，0），A2（1，﹣1），A3（﹣1，﹣1），A4（﹣1，1），A5（2，1），A6（2，﹣2），A7（﹣2，﹣2），A8（﹣2，2），…，∴A4n（﹣n，n），A4n+1（n+1，n），A4n+2（n+1，﹣n﹣1），A4n+3（﹣n﹣1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴点A2022的坐标为（506，﹣506），故答案为：（506，﹣506）．【点评】本题主要考查规律性：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．13．（2021秋•同安区期末）如图，点A（0，1），点A1（2，0），点A2（3，2），点A3（5，1）…，按照这样的规律下去，点A2021的坐标为．【分析】观察图形得到奇数点的规律为，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），由2021是奇数，且2021＝2n﹣1，则可求A2n﹣1（3032，1010）．【解答】解：观察图形可得，A1（2，0），A3（5，1），A5（8，2），…，A2n﹣1（3n﹣1，n﹣1），A2（3，2），A4（6，3），A6（9，4），…，A2n（3n，n+1），∵2021是奇数，且2021＝2n﹣1，∴n＝1011，（3032，1010），∴A2n﹣1故答案为（3032，1010）．【点评】本题考查点的坐标规律；熟练掌握平面内点的坐标，能够根据图形的变化得到点的坐标规律是解题的关键．14．（2022•嘉峪关一模）如图，平面直角坐标系xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（0，1）运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），……按这样的运动规律，动点P第2022次运动到的点的坐标是．【分析】根据图形分析点P的运动规律：第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次为一个循环，即可得到答案．【解答】解：∵第1次运动到点（1，0），第二次运动到点（2，﹣2），第3次运动到点（3，0），…，∴第n次运动到的点的横坐标为n，纵坐标每四次一个循环，从第一次运动到的纵坐标开始，分别为0、﹣2、0、1、…，∵2022÷4＝505⋯2，∴动点P第2022次运动到的点的坐标是（2022，﹣2），故答案为：（2022，﹣2）．【点评】此题考查了图形坐标的规律，正确理解图形运动坐标变化规律，得到点P的坐标是解题的关键．15．（2022秋•涡阳县校级月考）如图，一动点在第一象限内及x轴，y轴上运动，第一分钟，它从原点运动到（1，0），第二分钟，从（1，0）运动到（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向来回运动，每分钟运动1个单位长度．第30分钟，动点所在的位置的坐标是．【分析】根据移动次数与点的坐标的所呈现的规律进行计算即可．【解答】解：根据移动的方向，距离所呈现的规律可得，当移动到点（1，0）时，对应的移动次数为1次，当移动到点（2，0）时，对应的移动次数为4+2×2＝8次，当移动到点（3，0）时，对应的移动次数为8+1＝9次，当移动到点（4，0）时，对应的移动次数为9+3×2+1+4×2＝24次，当移动到点（5，0）时，对应的移动次数为24+1＝25次，所以移动30次，所对应的点的坐标为（5，5），故答案为：（5，5）．【点评】本题考查点的坐标，发现移动次数与点的坐标所呈现的规律是正确解答的关键．16．（2022•绥化三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，点P1，P2，P3，…均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2），…，根据这个规律，点P2022的坐标为．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2022的在第三象限，且横纵坐标的绝对值＝2022÷4的商，纵坐标是2022÷4的商+1，再根据第三项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：∵2022÷4＝505…2，∴点P2022在第二象限，∵P6（﹣1，2），P10（﹣2，3），P14（﹣3，4），…，6÷4＝1…2，10÷4＝2…2，14÷2＝3..2，…，∴P2022（﹣505，506）．故答案为：（﹣505，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定点所在的大致位置，所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．17．（2022秋•杏花岭区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P1（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，⋯，A n，若点A1的坐标为（3，1），则点A2022的坐标为．【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2022除以4，根据商和余数的情况确定点A2022的坐标即可．【解答】解：∵A1的坐标为（3，1），∴A2（0，4），A3（﹣3，1），A4（0，﹣2），A5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2022÷4＝505余2，∴点A2022的坐标与A2的坐标相同，为（0，4）；故答案为：（0，4）．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．18．（2022春•长安区校级期中）如图1，弹性小球从点P（0，3）出发，沿图中所示方向运动，每当小球碰到长方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到长方形的边时，记为点P1，第2次碰到长方形的边时，记为点P2，…，第n次碰到长方形的边时，记为点P n，则点P3的坐标是；点P2022的坐标是．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，根据图形知点P3的坐标是（8，3），根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2022÷6＝337，当点P第2021次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，点P的坐标为（0，3），故答案为：（8，3），（0，3）．【点评】本题考查了矩形的性质、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．19．（2022春•五华区校级期中）如图，在直角坐标系中，长方形OABC的长为2，宽为1，将长方形OABC沿x轴翻转1次，点A落在A1处，翻转2次，点A落在A2处，翻转3次，点A落在A3处（点A3与点A2重合），翻转4次，点A落在A4处，以此类推…，若翻转2022次，点A落在A2022处，则A2022的坐标为．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：由题意A1（3，2），A2（A3）（5，0），A4（6，1），•••，发现4次一个循环，∵2022÷4＝505.....2，∴A2022的纵坐标与A2相同，横坐标＝505×6+5＝3035，∴A2022（3035，0），故答案为：（3035，0）．【点评】本题考查坐标与图形的变化﹣对称，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题．20．（2022春•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整数的点．其顺序按图中“→”方向依次排列：（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）→…根据这个规律，第87个点的坐标为，第2022个点的坐标为．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点的横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束．例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，......，右下角的点的横坐标为9时，共有92＝81个，9是奇数，以横坐标为9，纵坐标为0的点结束，故第87个点的坐标为（10，5），右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），∴第2020个点的坐标为（45，3）故答案为：（10，5），（45，3）．【点评】本题考查了点的坐标的规律变化，观察出点的个数按照平方数的规律变化是解题的关键．三、解答题（共10题）21．（2022秋•无为市月考）在平面直角坐标系中，一个动点A从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单位长度，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A4，A6，A12，A14．（2）按此规律移动，n为正整数，则点A4n的坐标为，点A4n+2的坐标为．（3）动点A从点A2022到点A2023的移动方向是．（填“向上”、“向右”或“向下”）【分析】（1）根据点的坐标变化即可填写各点的坐标；（2）根据（1）发现规律即可写出点A4n的坐标（n为正整数）；（3）根据（2）发现的规律，每四个点一个循环，进而可得蜗牛从点A2020到点A2021的移动方向．【解答】解：（1）根据点的坐标变化可知：各点的坐标为：A4（2，0），A6（3，1），A12（6，0），A14（7，1）；故答案为：（2，0），（3，1），（6，0），（7，1）；（2）根据（1）发现：点A4n的坐标（n为正整数）为（2n，0）；点A4n+2的坐标为（2n+1，1）；故答案为：（2n，0），（2n+1，1）；（3）因为每四个点一个循环，所以2023÷4＝505…3．所以从点A2022到点A2023的移动方向是向下．故答案为：向下．【点评】本题考查了规律型﹣点的坐标，解决本题的关键是根据点的坐标变化发现规律，总结规律，运用规律．22．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）…（1）填写下列各点的坐标：P9（、），P12（、），P15（、）（2）写出点P3n的坐标（n是正整数）；（3）点P60的坐标是（、）；（4）指出动点从点P210到点P211的移动方向．【分析】由题意可以知道，动点运动的速度是每次运动一个单位长度，（0，1）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）……通过观察找到有规律的特殊点，如P3、P6、P9、P12，发现其中规律是脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，明确这个规律即可解决以上所有问题．【解答】解：（1）由动点运动方向与长度可得P3（1，0），P6（2，0），可以发现脚标是3的倍数的点，依次排列在x轴上，且相距1个单位，即动点运动三次与横轴相交，故答案为P9（3，0），P12（4、0），P15（5、0）．（2）由（1）可归纳总结点P3n的坐标为P3n（n，0），（n是正整数）；（3）根据（2），∵60＝3×20，∴点P60的横坐标是20故点P60的坐标是（20、0）故答案为（20、0）．（4）∵210＝3×70，符合（2）中的规律∴点P210在x轴上，又由图象规律可以发现当动点在x轴上时，偶数点向上运动，奇数点向下运动，而点P210是在x轴上的偶数点所以动点从点P210到点P211的移动方向应该是向上．【点评】本题是一个阅读理解，猜想规律的题目，解答此题的关键是首先确定动点移动的数字与方向上的规律，然后再进一步按规律解决要求的点的位置．23．（2021秋•长丰县期末）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示．（1）请直接写出A5、A6、A7、A8的坐标；（2）根据规律，求出A2022的坐标．【分析】（1）看图观察即可直接写出答案；（2）根据正方形的性质找出部分A n点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n 为自然数）”，依此即可得出结论．【解答】解：（1）A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2）；（2）观察发现：A1（﹣1，﹣1），A2（﹣1，1），A3（1，1），A4（1，﹣1），A5（﹣2，﹣2），A6（﹣2，2），A7（2，2），A8（2，﹣2），A9（﹣3，﹣3），…，∴A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数），∵2022＝505×4+2，∴A2022（﹣506，506）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n+1（﹣n﹣1，﹣n﹣1），A4n+2（﹣n﹣1，n+1），A4n+3（n+1，n+1），A4n+4（n+1，﹣n﹣1）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标的变化找出变化规律是关键．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴移动，在第一秒时，它从原点移动到（0，1），然后按着下列左图中箭头所示方向移动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动1个单位．（1）该质点移动到（1，1）的时间为秒，移动到（2，2）的时间为秒，移动到（3，3）的时间为秒，…，移动到（n，n）的时间为秒．（2）该质点移动到（7，4）的时间为秒．【分析】（1）根据图形可得出质点移动到（1，1），（2，2），（3，3）的时间，根据规律可得出质点移动（n，n）的时间；（2）现有（1）的结论得出（7，7）的时间，再加上3即可得出移动到（7，4）的时间．【解答】解：（1）由图可知移动到（1，1）的时间为2秒，移动到（2，2）的时间为6秒，移动到（3，3）的时间为12秒，根据变化规律可得移动到（n，n）的时间为n（n+1），故答案为：2，6，12，n（n+1）；（2）由（1）可得移动到（7，7）的时间为7×8＝56，56+3＝59，∴移动到（7，4）的时间为59秒，故答案为59．【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，关键是要能找到质点移动到（n，n）的时间的规律．25．（2022•马鞍山一模）如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，A1的坐标为（2，2），A2的坐标为（5，2）．（1）A3的坐标为，A n的坐标为用含n的代数式表示；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形个，大正方形个．【分析】（1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：A1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果；（2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2020米包含多少这样的长度，进而便可求出结果．【解答】解：（1）∵A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2），∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A 1，A 2，A 3，…，A n 各点的横坐标依次大3，∴A 3（5+3，2），A n （2+3+3+⋅⋅⋅+3︸(K1)个3，2），即A 3（8，2），A n （3n ﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n ﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．【点评】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．26．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变成△OA 3B 3，已知A （1，5），A 1（2，5），A 2（4，5），A 3（8，5）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．（1）观察每次变换前后三角形有何变化，找出规律．按此规律将△OA 3B 3变成△OA 4B 4，则A 4的坐标是，B 4的坐标是．（2）若按第（1）题中找到的规律将△OAB 进行n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点的坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是，B n 的坐标是．【分析】（1）对于A 1，A 2，A n 坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是5，同理B 1，B 2，B n 也一样找规律．（2）根据第一问得出的A 4的坐标和B 4的坐标，再此基础上总结规律即可知A n 的坐标是（2n ，5），B n 的坐标是（2n +1，0）．【解答】解：（1）因为A（1，5），A1（2，5），A2（4，5），A3（8，5）…纵坐标不变为5，同时横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，5）；因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，同时横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；故答案为：（16，5），（32，0）；（2）由上题第一问规律可知A n的纵坐标总为5，横坐标为2n，B n的纵坐标总为0，横坐标为2n+1，∴A n的坐标是（2n，5），B n的坐标是（2n+1，0）．故答案为：（2n，5），（2n+1，0）．【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，x轴上所有点的纵坐标为0．27．小明在学习了平面直角坐标系后，突发奇想，画出了这样的图形（如图），他把图形与x轴正半轴的交点依次记作A1（1，0），A2（5，0），…A n，图形与y轴正半轴的交点依次记作B1（0，2），B2（0，6），…B n，图形与x轴负半轴的交点依次记作C1（﹣3，0），C2（﹣7，0），…∁n，图形与y轴负半轴的交点依次记作D1（0，﹣4），D2（0，﹣8），…D n，发现其中包含了一定的数学规律．请根据你发现的规律完成下列题目：（1）请分别写出下列点的坐标：A3，B3，C3，D3；（2）请分别写出下列点的坐标：A n，B n，∁n，D n；（3）请求出四边形A5B5C5D5的面积．【分析】（1）根据点的坐标规律解答即可；（2）根据点的坐标规律解答即可；（3）根据四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5计算即可．【解答】解：（1）A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．（2）A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．（3）∵A5（17，0），B5（0，18），C5（﹣19，0），D5（0，﹣20）．∴四边形A5B5C5D5的面积=△5B5+△5B5+△5B5+△5B5=12×17×18+12×18×19+12×19×20+12×20×17＝684．故答案为：A3（9，0），B3（0，10），C3（﹣11，0），D3（0，﹣12）．A n（4n﹣3，0），B n（0，4n﹣2），∁n（﹣4n+1，0），D n（0，﹣4n）．【点评】此题考查点的坐标，关键是根据图形得出点的坐标的规律进行分析．28．（2021春•自贡期末）综合与实践问题背景：（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB和CD中点P1、P2，然后写出它们的坐标，则P1，P2．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H的坐标．【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．【解答】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB和CD中点P1、P2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为(1+22，1+22)．故答案为：(1+22，1+22)．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，32）、（2，52）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，32）时，r12=1，r42=32解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，52）时，−1+2=2，2+2=52解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，3+2=0，1+2=3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．【点评】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．29．（2022•包河区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0）、点A2的坐标为（2，0）、点A3的坐标为（3，0）、…，过点A1、A2、A3、…分别作x轴垂线，交直线y＝x于点B1、B2、B3、…，△OA1B1覆盖的整点（横、纵坐标均为整数的点）的个数记为P1，面积的值记为S1；△OA2B2覆盖的整点的个数记为P2，面积的值记为S2；△OA3B3覆盖的整点的个数记为P3，面积的值记为S3；…（1）由题意可知：P1＝3、S1=12；P2＝6、S2＝2；P3＝10、S3=92；则P4＝、S4＝；（2）P7﹣S7＝；。
(完整版)七年级找规律经典题汇总带答案
……一、数字排列规律题1、观察下列各算式： 1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24… 按此规律 （1）试猜想：1+3+5+7+…+2005+2007的值 ？（2）推广： 1+3+5+7+9+…+（2n-1)+（2n+1)的和是多少 ？2、下面数列后两位应该填上什么数字呢？ 2 3 5 8 12 17 __ __3、请填出下面横线上的数字。
1 1 2 3 5 8 ____ 214、有一串数，它的排列规律是1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6、……聪明的你猜猜第100个（ ）二、几何图形变化规律题1、观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球 个．2、观察下列图形排列规律（其中△是三角形，□是正方形，○是圆），□○△□□○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形，则第2008个图形是 （填图形名称）.三、数、式计算规律题 1、已知下列等式：① 13＝12； ② 13＋23＝32； ③ 13＋23＋33＝62； ④ 13＋23＋33＋43＝102 ；由此规律知，第⑤个等式是 ． 2、观察下面的几个算式： 1+2+1=4， 1+2+3+2+1=9， 1+2+3+4+3+2+1=16， 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25，… 根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果： 1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=____.3、，，，，已知：24552455154415448338333223222222⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+ =+⨯=+b a aba b 则符合前面式子的规律，，若…21010 规律发现专题训练1．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律拼成若干个图案：第(4)个图案中有黑色地砖4块；那么第(n )个图案中有白色．．地砖 块。
中考数学专题训练：规律探索——数式规律(附参考答案)
中考数学专题训练：规律探索——数式规律（附参考答案）1．按一定规律排列的单项式：a，√2a2，√3a3，√4a4，√5a5，…，第n个单项式是( ) A．√n B．√n−1a n-1C．√n a n D．√n a n-12．在如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12……则第2 023次输出的结果为( )A．6 B．3C．622 021D．322 0223．将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是( )A．2 025 B．2 023C．2 021 D．2 0194．根据图中数字的规律，若第n个图中的q＝143，则p的值为( )A．100 B．121C．144 D．1695．按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是( ) A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．(n＋1)2a n6．根据图中数字的排列规律，在第⑦个图中，a－b－c的值是( )A．62 B．64C．－66 D．－1907．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是______________．8．根据图中数字的规律，则x＋y的值是_______．.例9．对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)＝3a＋1；若a为偶数，则f(a)＝a2＝5.若a1＝8，a2＝f(a1)，a3＝f(a2)，a4＝f(a3)，…，如f(15)＝3×15＋1＝46，f(10)＝102依此规律进行下去，得到一列数a1，a2，a3，a4，…，a n，…，(n为正整数)，a1＋a2＋a3＋…＋a2 022＝__________．参考答案1．C 2．A 3．B 4．B 5．A 6．A 7．(10，18) 8．593 9．4 725。
十道初中数学找规律的题型及解题思路
十道初中数学找规律的题型及解题思路这里有10道初中数学找规律的题目，涵盖了常见的数列、图形等多种类型，希望能帮助学生更好地掌握找规律的技巧：数列找规律1.等差数列：1.1, 4, 7, 10, ... 下一个数是多少？2.100, 97, 94, ... 第10个数是多少？2.等比数列：1.2, 4, 8, 16, ... 第8个数是多少？2.81, 27, 9, ... 第6个数是多少？3.混合数列：1.1, 4, 9, 16, 25, ... 下一个数是多少？（提示：考虑每个数的平方）2.2, 5, 10, 17, ... 下一个数是多少？（提示：观察相邻两数的差）4.周期数列：1.1, 2, 3, 1, 2, 3, ... 第20个数是多少？2.A, B, C, A, B, C, ... 第100个数是多少？图形找规律图形的变化：1.一组图形，每个图形由小方块组成，观察图形的变化规律，画出下一个图形。
图形的旋转：1.一个图形不断旋转，观察旋转的规律，画出旋转后的图形。
图形的翻转：1.一个图形不断翻转，观察翻转的规律，画出翻转后的图形。
数字与图形结合数字与图形对应：1.一组图形，每个图形对应一个数字，找出数字与图形之间的对应关系。
图形中的数字规律：1.一个图形中包含多个数字，找出数字之间的规律。
综合题型1.数字和图形的综合：1.一组图形和数字交替出现，找出数字和图形之间的关系。
解题技巧：•观察：仔细观察数列或图形的变化规律，找出其中的共同点和差异点。
•比较：比较相邻的数或图形，找出它们的递增、递减或其他变化关系。
•联想：将题目与以前学过的知识联系起来，寻找解题思路。
•归纳：根据观察和比较的结果，归纳出一般性的规律。
•验证：将得到的规律代入后面的数或图形中进行验证，确保规律的正确性。
注意事项：•找规律题的答案可能不唯一，只要找到一种合理的规律即可。
•遇到困难时，可以尝试从不同的角度去观察和分析。
中考数学规律探索题(整理全,含答案).doc
A. M=mnD.M=m(n+1)规律探索7选择题1. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 3—243, 36=729, 37=2187...解答下列问题：3 + 32 + 33 + 34...+32013的末位数字是( )A. 0B. 1C. 3D. 72. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27,29, 31),…，现用等式A M = (i, j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A7= (2, 3),则A 20I 3=() A. (45, 77) B. (45, 39) C. (32, 46) D. (32, 23)3. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是 ________ . 12 3 5 813a・2 358 13 21 34・4. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2“？，第(2)个图形的面积为8 cm 2,5. 如图，动点P 从(0, 3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()A 、(1, 4)B 、(5, 0)C 、(6, 4)D 、(8, 3) 6.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是7. 我们知道，一元二次方程x 2 =-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“”，使其满足第(3)个图形的面积为18 cm 2,……，第(10)个图形的面积为(B.M=n(m+1) C.M=mn+1i + Z 2 + Z 3 + 广 + ..严12 + /2013 的值为A. 0B. 1C. -1 D .•• • •• • •• • • •• •• • •图①图②图③（第8题图）A. 51 C.76 D. 81厂= -1（即方程X 2 =-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则 仍然成立，于是有z 1 = z, i 2= -1 , z 3 = i 2-i = (-1).1 = -i, i 4 = (z 2)2 = (-1)2 = 1.从而对任意正整数n,我们可得到 严”+1 = j4” j =(严)” j = i,同理可得严”+2 = _1,严”+3 = =1,那么,&下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③ 个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）填空题1. ________________________________________________________________________________ 观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第"个图形中所有的个数为 _________________________________ （用含"的代数式表（第11题）2. 如图，在直角坐标系中，已知点A （-3, 0）、B （0, 4）,对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△】、△?、△?、A 4...,则△2013的直角顶点的坐标为 ___________________ .3. 如图，正方形ABCD 的边长为1,顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形AiBiCiD”由顺次连接正方形AjBiCiDi 四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2...,以此类推，则第六个正方形A6B 6C 6D6周长是 ________ •B. 70& 1 图2 图3 D4. _________________________________________________________________________________________________ 直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 ________________ 个点.5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1, 5, 12, 22...为五边形数，则第6个五边形数是 __________将C1绕点山旋转180。
九年级数学中考规律探究题(附答案)
专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。
解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。
一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。
2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学规律探究题汇总通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n 个数可以表示为：a1+(n-1)b ，其中a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第n 位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b 。
例：4、10、16、22、28……，求第n 位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n 位数是：4+(n-1) 6＝6n －2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n 位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n 位的增幅；2、求出第1位到第第n 位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n 位数。
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17增幅为1、2、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是 10021- ，第n 个数是 n 12-。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。
序列号： 1，2，3， 4， 5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n 项是2n -1，第100项是2100—1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2)12(-n ），1，2，3，4，5．。
，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。
（三）看例题：A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3+1B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n2（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12-n 。
再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12+n （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数）同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2，则求出第一百个数为4*1002=40000（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、基本步骤1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。
2、 如不相等，综合运用技巧（一）、（二）、（三）找规律3、 如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧（一）、（二）、（三）找出新数列的规律4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、练习题例1：一道初中数学找规律题0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······（1）第一组有什么规律？答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n 项是：位置数平方减1加2，得位置数平方加1即12+n 。
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n 项是：()122-⨯n （3）取每组的第7个数，求这三个数的和？答：用上述三组数的第n 项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=1942、观察下面两行数2，4，8，16，32，64， ．．．（1）5，7，11，19，35，67．．．（2）根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。
（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
）解：第一组可以看出是2n ，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n +3， 则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，…….，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4，5……，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002个中有1001个是黑色的。
4、2213-=8 2235-=16 2257-=24 ……用含有N 的代数式表示规律解：被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n 个项为2n-1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n-1+2,得2n+1，则用含有n 的代数式表示为：()()221212--+n n =8n 。
写出两个连续自然数的平方差为888的等式解：通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8X111,得出n=111，代入公式： （222+1）2-（222-1）2=888五、对于数表1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1.和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
(1)等差关系。
12，20，30，42，( 56 )127，112，97，82，( 67 )3，4，7，12，( 19 )，28(2)移动求和或差。
从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
1，2，3，5，( 8 )，13A.9B.11C.8D.7选C 。
1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=130，1，1，2，4，7，13，( 24)A.22B.23C.24D.25选C 。
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5，3，2，1，1，(0 )A.-3B.-2C.0D.2选C 。
前两项相减得到第三项。
2.乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
8，12，18，27，(40.5)后项与前项之比为1.5。
6，6，9，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3(2)移动求积或商关系。
从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
2，5，10，50，(500)100，50，2，25，(2/25)3，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以2 1，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 13.平方关系1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。
66，83，102，123，(146) ，看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加24.立方关系1，8，27，(81)，125 位置数的立方。
3，10，29，(83)，127 位置数的立方加 20，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加15.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案21 34 49 516 625 (736)分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n 项代数式为：21 n n2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 …….可知下一个为2/9，如果求第n 项代数式即：22+n ，分解后得：21+-n n6.、质数数列2，3，5，(7)，11 质数数列4，6，10，14，22，(26) 每项除以2得到质数数列20，22，25，30，37，(48) 后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种：(1)每两项为一组，如1，3，3，9，5，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为32，5，7，10，9，12，10，(13)每两项中后项减前项之差为31/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104 ) 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。