2.2.3向量数乘运算及其几何意义(高中数学人教A版必修四)
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
解： BD = CD - CB = 2e1 - e2 - e1 + 3e2 = e1 - 4e2 若A，B，D三点共线，则 AB与BD共线， 设 AB = λBD ，即 2e1 + ke2 = λe1 - 4λe2
[证明]： ∵ BD ＝ BC ＋ CD ＝(2a＋8b)＋3(a－b)＝5a＋5b，
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
AB ＝a＋b，
1 ∴ AB ＝ BD ，∴ AB ∥ BD ， 5
小结:
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
首 页
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 上 页 2. 证明 三点共线: AB=λBC 下 且有公共点Ｂ 页 3. 证明 两直线平行: 小
结 结 束
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
直线AB∥直线CD
AB与CD不在同一直线上
试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。
你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ 解：作图如右 依图猜想:A、B、C三点共线
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a
b C b b B
∵
AB=OB-OA =a+2b-(a+b)=b
A b O
a
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
向量的数乘定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。
它的长度和方向规定如下：
(1) 长度 |λa|=|λ|· |a|
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(2) 方向
当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当 λ=0 或 a = 0 时, λa = 0 几何意义：将 a 的长度扩大（或缩小） |λ|倍，改变 a （或不改变）a 的方向，就得到了λ
D M C AC=_____________; MA=_____________;
A
B
MB=_____________;
定理应用 摇身一变
例2：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。
如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系 如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。 变式2： 变式1：
∴
AC=2AB
∴
又 AB与AC有公共点A，
A、B、C三点共线.
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。
首 页 上 页
提示：设AB = a
BC = b
D
C
1 1 则MN= … = a + b 3 6 下 页 1 MC= … = a+ b 小 结 2
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
所以始终有一个实数λ，使b=λa。
自主探究
向量共线定理: 向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一 一个实数λ，使得 b=λa.即：
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b // a a 0
b a
(1)a为什么要是非零向量， 若a 0,上述定理成立吗 ? (2)b可 是 0 ？ 以 吗
N
-a
M
-a
Q
-a
P
(a) (a) (a)
=3(-a) =-3a
3 探究: 向量 3a 、(a)与 a 在方向与长度上有什么变化？
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a ； 3 的长度是 a (2)向量 (a的方向与 a 的方向相反, 向量(a) 3 ) 的3倍,即 3a 3 a .
观察总结
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a≠0)，并比较。
a
3(2a)
结论: 3(2a)=6
a
6a
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(2) 已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。
b
2(a b)
a
ab
2a 2b
2b
2a
结论: 2a+2b=2(a+b)
知识回顾
1.向量加法三角形法则: 首 尾 相 连 首 尾 接 2.向量加法平行四边形法则:
b a a
b
O.
o.
a+b A B
a
A
b
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a+b
C
起 点 相 同 B 连 对 角
3.向量减法法则:
o.
a-b A
B 共起点，连终点，
方向指向被减数
向量数乘问题的实际背景
在物理中：位移与速度的关系：S=vt， 力与加速度的关系：F=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量， 时间、质量都是数量
实践出真知
运算律: 设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：
①λ(μa)= (λμ) a ②(λ+μ) a= λa+μa
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结合律
第一分配律 第二分配律
③λ(a+b)= λa+λb 特别地， （-λ）a=-(λa)= λ(-a)
λ(a-b)= λa-λb
牛刀小试
解： ∵ AB+BC=AC
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E C A B D
又 AE=AD+DE =3 AB+3 BC
=3( AB+ BC )
=3 AC
∴
AC与AE 共线
∴
又 AC与AE有公共点A，
A、C、E三点共线.
向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。 结论：
能力提升
已知任意两非零向量a、b，
计算：(口答) (1) (-3)×4 a (2) 3( a+b) –2( a-b)-a (3) (2a+3b-c) –(3a-2b+c )
解: (1) 原式 = -12a
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(2) 原式 = (3-2-1)a+(3+2)b = 5b (3) 原式 = (2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c = -a+5b-2c
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a
练习引入
已 非 向 a， 出 a a a和 a) (a) (a)。 知 零 量 作 (a O首 页 上源自页 下 页 小 结 结 束aA
-a
aB
a C
OC OA OB OC
a a a =3a
PN PQ QM MN
6.设e1，是两个不共线的向量，而e1 4e2和 e2
存在实数 , 使得2e1 ke2 (e1 4e2 )
即2e1 ke2 e1 4 e2
2 k 8 k 4
结 束
N A M B
5、设 e1 ,e2 是两个不共线的向量， AB = 2e1 + ke2 ,CB = e1 + 3e2 ,CD = 2e1 - e2
，若A,B,C三点共线，求k的值。
又 AB 、 BD 有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
5.求已知向量a(a 0)的单位向量.
2e1 ke2共线，求实数k的值. 解： 向量e1 4e2和2e1 ke2共线
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分析:由
1 所以 AN 3NC , 得4 AN 3 AC （a b）AM a b, 3 , 2 3 1 1 1 MN (a b) (a b) a b 4 2 4 4
[例 3] 设两非零向量 a 和 b 不共线，如果 AB ＝a＋b，CD ＝ 3(a－b)， BC ＝2a＋8b.求证：A、B、D 三点共线．
结论： （1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。
（2）对于任意的向量 a,b 以及任意实数 λ, μ1, μ2 恒有 λ(μ1a±μ2b)= λμ a±λμ b 1 2
自主探究
对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：
1、如果 b=λa , 那么，向量a与b是否共线？ 2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa ？ 对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得 b=λa , 那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。 若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长 度的μ(μ>0)倍，即有|b|=μ|a|,且 当a与b同方向时，有b=μa; 当a与b反方向时，有b=-μa，
定理应用
例1：如图，点C在线段AB上，且AC=5，BC=2,
A
C
B
则有
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
（1）AC=______AB;
（2）BC=______AC.
CA=_____AB
变式：如图: ABCD的两条对角线交于点M, 且 AB a, AD b , 你能用 a ， 表示: b
1 A. ( a b) 3
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
探究一： 探究一：向量的数乘运算及其几何意义
O
A
B
C
OC
uur u OP =
P
N
M
O
-
2
O
A
B
C
P
N
M
O
2 3
- 2：如图，设点M为△ABC的重心， ABC的重心， 的重心 BC的中点 的中点， D为BC的中点，那么向量 BD 与 BC ， 分别有什么关系？ A D与 DM 分别有什么关系？
A
1 BD BC 2
M B D C
A D 3DM
探究二: 探究二:向量的数乘运算性质
(3 2)
2
2
思考6 若存在实数λ 思考6：若存在实数λ，使 A B l BC ， 三点的位置关系如何？ 则A、B、C三点的位置关系如何？ A B l BC A、B 、C 共线
3.向量的数乘运算律，不是规定， 3.向量的数乘运算律，不是规定，而是 向量的数乘运算律 可以证明的结论. 可以证明的结论.向量共线定理是平面 几何中证明三点共线，直线平行， 几何中证明三点共线，直线平行，线段 数量关系的理论依据. 数量关系的理论依据.
作业： 作业： P90练习 练习： P90练习：3，4，5，6.
高中新课程数学必修④ 高中新课程数学必修④
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
mzgang888@
问题提出
1.如何求作两个非零向量的和向量、 1.如何求作两个非零向量的和向量、差 如何求作两个非零向量的和向量 向量？ 向量？
2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 2.相同的几个数相加可以转化为数乘运 3=5×3=15.那么相 算，如3＋3＋3＋3＋3=5×3=15.那么相 等的几个向量相加是否也能转化为数乘 运算呢？这需要从理论上进行探究. 运算呢？这需要从理论上进行探究.
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义
λ>0 时，与a方向相同 λ<0 时，与a方向相反 ；
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.3
2．向量数乘的运算律 (1)λ(μa)＝ (λμ)a . (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa . (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb .
本 课 时 栏 目 开 关
果 a(a≠0)与 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使 b＝λa. 判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问 题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组) 求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在． 例如，已知 e1，e2 是不共线的向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－ 8e2，则 a 与 b 是否共线？
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.3
答
①λ(μa)＝(λμ)a(λ，μ∈R)
如果 λ＝0 或 μ＝0 或 a＝0，则①式显然成立； 如果 λ≠0，μ≠0，a≠0，则由向量数乘的定义有
本 |λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|， 课 时 栏 |(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|， 目 开 故|λ(μa)|＝|(λμ)a|. 关
证明 → → 若 A、B、C 三点共线，则存在 λ∈R，使AC＝λAB.
→ → → → ∴OC－OA＝λ(OB－OA)， → → → ∴OC＝(1－λ)OA＋λOB.
2.2.3
2.2.3
【学习要求】
向量数乘运算及其几何意义
本 1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义． 课 时 栏 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向 目 量运算． 开 关
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(二)课件 新人教a版必修4
E C A B D
讲授新课
定理的应用 1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题
AB BC ( BC 0) A、B、C三点共线.
讲授新课
2. 证明三点共线的问题
a 、b, 例 3. 如图, 已知任意两个非零向量 试作OA a b, OB a 2b, OC a 3b. 你能判断A、B、C三点之间的位置关系 吗？为什么？
讲授新课
定理的应用
1. 有关向量共线问题
讲授新课
1. 有关向量共线问题
例 1. 已知向量a 、b满足
a 3b a b 1 （3a 2b） , 5 2 5 求证：向量a 和 b共线.
讲授新课
1. 有关向量共线问题
例 2. 已知AD 3 AB ，DE 3 BC ，
试判断AC与 AE是否共线？
复习回顾
2. 实数与向量的积的运算律： 设a , b 为任意向量， 、为任意 实数，则有： (1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b
向量b 与非零向量a共线,当且仅当 有唯一一个实数 ，使得b a .
练习. 教材P.90练习第6题.
课堂小结
1. 有关向量共线问题 2. 证明三点共线问题 3. 证明两直线平行的问题
课后作业
1. 阅读教材P.87-P.90； 2.《学案》P.60双基训练.
课后思考
1. 如图, 在任意四边形 ABCD中, E、F 分别是AD、BC的中点. 求证：AB DC 2 EF .
2.2.3向量数乘运算 及其几何意义
复习回顾
1. 实数与向量的积的定义：
人教A版高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义教学课件
进行比较。
a
3(2a)和
6a(
a为非零向量)，并
问题二：求作向量 (2 3)a和 2a 3a，并进行比较。
a
问题三：已知向量 a、b，求作向量 2(a b) 和
2a 2b ，并进行比较。
a
b
实根数据与定向义量，积求的作运向算量律 3(2a )和
6a
(
a为非零向
量)，并进行比较。
a
和 MD 吗？
D
C
解：在 ABCD中，
AC AB AD a b
M
b
DB AB AD a b
A
a
B
MA 1 AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
Байду номын сангаас22
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
2
2
22
MC 1 AC 1 a 1 b
2
22
的长度和方向规定如下：
（1）大小： a a
相同
相反
实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数 与向量不能相加、相减.
思考：你能说明向量数乘的几何意义吗？
a
数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或反
方向放大或缩短 倍.
思考：类比数的乘法运算律，你能说出向量数乘的 运算律吗？
问题一：求作向量
结合律: λ(μa)=(λμ)a 分配律: (λ+μ)a =λa +μa 分配律: λ(a + b)=λa +λb
特别地
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.
(3) 4a
例1 计算（牛刀小试）
（1）
（2） 3(a+b)-2(a b) a （3） (2a+3b-c) (3a-2b c)
人教版高中数学必修4A版 向量数乘运算及其几何意义 课件
，
a a
A
O
a
B
a
C
3a 3a
3a与a方向相同 |3a|=3|a|
a
N M
a
Q
a
P
-3a与a方向相反 |-3a|=3|a|
a : 数乘向量定义
规定：实数与向量
a的乘积是一个向量，记作 a
，
它的长度和方向规定如下：
（1）| a || || a |;
a 0
a
的方向相同；
a 的方向相反。 特别地，当 0 时或 a 0 ， 0a 0 或 0 0.
3b
B
2b
A
b
O
a
C
3b 2b
且有公共点Ａ
B
A
b
O
a
变式 如图：已知 AD =3 AB，DE =3BC ， E 试判断 AC与AE 是否共线． C
解：AE=AD+DE =3AB+3BC =3(AB+BC) ∴AE//AC
A
B D
小结:
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
②向量共线定理
b=λa
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
复习:
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则: 特点:同一起点,对角线
B
a
C
a b b
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则: 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
a b
-12 a 5b - a +5 b -2 c
思考 :
高中数学——必修四-向量数乘运算及其几何意义
课 堂 互 动 探 究
菜单
演示结束
新课标 ·数学 必修4
思 想 方 法 技 巧
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业新课标 ·数学 必修4教 Nhomakorabea学
思
教
想
法
方
分
法
析
技
巧
教
学
方
案
1.掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)
设 计
课标
2.掌握向量共线定理的应用．(难点)
当 堂 双
课
解读
基
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
菜单
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当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
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课 前 自 主 导 学
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课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
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当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
课 前 自 主 导 学
课 堂 互 动 探 究
标
主
导
学
课
课
堂
时
互
作
动
业
探
究
菜单
高中数学_向量的数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义一、教学目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.4.理解实数相乘与向量数乘的区别.二、教学重难点重点：向量的数乘运算的几何意义，熟练进行向量的线性运算。
难点：掌握并能运用向量共线的定理三、学案设计《2.2.3 向量数乘运算及其几何意义》学案班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿一、学习目标1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的线性运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.二、情景导入:已知非零向量a,作出a+a+a和（—a）+（—a）+（—a）。
你能说明它们的几何意义吗？三、学习过程：一）向量的数乘运算1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个＿＿＿＿，这种运算叫做向量的数乘，记作＿＿＿＿.2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相同；当＿＿＿＿时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝＿＿＿＿.典例1(1)若两个非零向量a 与a x 1)－(2方向相同，则x 的取值范围为________.(2)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3. 则AB →=______BC →，AC →=______CB →。
再练一题点C 在线段AB 上，且25=CB AC ,则AC →=______AB →，BC →=______AB →。
3.运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa )＝_________a ；(2)(λ＋μ) a＝__________________；(3)λ(a ±b)＝__________________.（4） (－λ) a＝__________________＝__________________4.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a ，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b )＝____________________________.典例2 计算（1）a 43-⨯）（ （2）ab a a --2-b 3）（）（+（3））（）（c b a a ++2-3-c -b 32（4）已知向量x a ，，b ，且)(---b a x x b a x +=-）（）（，则x＝________.再练一题化简：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)-()(2131b a b a2482二)共线向量 共线向量定理：向量a (a ≠0 )与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使__________.探究1 已知m ，n是不共线向量，n m a 43+=,n m b 86-=，判断a 与b 是否共线？探究2 已知是1e ,2e 共线向量，a =31e +42e ，b =61e -82e 则a 与b是否共线？探究3 设两非零向量1e 和2e 不共线，是否存在实数k ，使k 1e ＋2e 和1e ＋k 2e共线？典例3已知非零向量1e ，2e不共线.如果A B →＝1e ＋2e ，B C →＝2 1e ＋82e ，C D →＝3(1e －2e )，求证：A ，B ，D 三点共线.[再练一题]3.设两个非零向量1e ，2e 不共线，已知AB →＝21e ＋k 2e ，CB →＝1e ＋32e ，CD →＝21e －2e.问：是否存在实数k ，使得A ，B ，D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.四、课堂总结一）向量的数乘运算1、向量数乘的定义2、向量数乘的几何意义3、运算律4、向量的线性运算 二）共线向量定理 1、定理 2、应用 五、达标练习1、设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________.①a 与－λa 的方向相反； ②|－λa |≥|a |； ③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.2、化简⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b 432c b 21 --3a a3、在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC.四、教学过程情景导入：已知非零向量,作出++和（—）+（—）+（—）。
2.2.3向量数乘运算及其几何意义
如图， b 例1：如图，已知任意两个 非零向量 a，, 试作 OA = a + b, OB = a + 2b, OC = a + 3b, 你能判断 A, B, C三点之间的位置关系吗 ？为什么？ 为什么？
C 3b 2b b B A
a
b
AC = 2 AB
所以A， ， 三点共线 所以 ，B，C三点共线
λ > 1时，
0 < λ < 1时，
λ a是沿 a的方向放大了 λ 倍
λ a是沿 a的方向缩小了 λ 倍 λ < − 1时， λ a是沿 a的反方向放大了 | λ | 倍 − 1 < λ < 0时， λ a是沿 a的反方向缩小了 | λ | 倍
设a, b为任意向量，λ,µ为任意实数，则有： b为任意向量 λ,µ为任意实数，则有： 为任意向量， 为任意实数
例1 : 计算 (1) ( −3) × 4a ( 2) 3(a + b ) − 2(a − b ) − a ( 3) ( 2a + 3b − c ) − ( 3a − 2b + c )
b 例 2 : 若 3 m + 2 n = a , m − 3 n = b , 其中 a，是 已知向量， n 已知向量，求 m，
结论： 结论：若 OP = x OA + yOB , 且x + y = 1，则 P，A，B 三点共线， 三点共线，反之也成立 。
如图， 例 3：如图，点 O为三角形 ABC 的重心 2 A 求证： AO 求证： = AE 3
F O B E C D
AM 1 AN 1 如图， 例4：如图，在 ∆ ABC 中， = , = , BN 与 CM 交 AB 3 AC 4 b表示 AP . 于点 P ，且 AB = a , AC = b , 用向量 a，