函数极限的定义证明
函数极限的定义
例 函数
x2 1
f (x)
x 1
x 1.
0
x 1
则有 lim f x 2, x1
注2: 函数f x在点x0的极限的定义说明了如何去证明 函数 f x在点 x0的极限为 A的方法：对于 0,考虑
f (x) A ,
经过不等式的变形，得到关系
f (x) A M x x0 ,
第三节 函数极限的定义
一、函数在有限点处的极限
在上节中，我们讨论了数列的极限. 而我们又知道数 列是一种特殊的函数——定义在正整数集上的函数. 那 么一般函数的极限又应该如何定义呢？这一节我们将全 面引入函数极限的定义.
引例 设函数
f (x) x2 1 x 1, x 1. x 1
尽管函数在点 x 1处没有定义，
x0 1 e1/ x
所以极限
1 lim x0 1 e1/ x
不存在.
二、函数在无穷远处的极限
定义 设函数 f x 在 x M 时有定义， A为常数.
①若 0，X 0，当 x X 时，使得 f (x) A ,
则 A 称为函数 f x在 x 时的极限，记为 lim f (x) A 或 f (x) Ax .
所以, 0 , 取 ，当 0 x 2 时，可使
2
f (x) A 2x 15 2 x 2 ,
故
lim(2x 1) 5.
x2
⑵因 f (x) A sin x 0 sin x
欲使 sin x , 即 sin x , 所以 0,不妨取 0 1, 此时令 arcsin , 则当 0 x 时，有
使得 f (x) A ,
那么 A称作 f x 在 x0处的右极限，记为
lim
x x0
数学中函数极限的证明定义
函数极限要注意哪些事情呢?函数极限的证明是怎样的呢?下面就是给大家的函数极限的证明内容，希望大家喜欢。
以时和为例引入.
介绍符号:的意义分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
由考虑时的极限引入.
5.迫敛性:
6.四则运算性质:(只证“+”和“”)
(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
(注意前四个极限中极限就是函数值)
这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.
定义函数极限的“”定义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由=
为使需有为使需有于是,倘限制,就有
例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:
Th类似有:例10证明:极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有
=§2函数极限的性质(3学时)
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：
例1(利用极限和)
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4[利用公式]
例5例6例7
关于函数极限如何证明
关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。
函数极限的定理
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
此定理的证明类似于数列极限中的相应定 理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原 则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
1) lim g( x) b xa
2) x U (a),有u g( x) U (b) 3) lim f (u) A
ub
则 lim f (g( x)) a xa
证 由lim f (u) A知 0, 0 ub
使当0 | u b | 时,有| f (u) A |
2
x : 0 x a 2
f (x) c
(2)
2
令 min1, 2 ,当 0 x a 时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f (x) | | f (x) c | .
由 的任意性，推得 b = c. 这就证明了极限是惟
| f (x)| | b | 1.
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界.
注：
(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一
比较；
(2) 有界函数不一定存在极限；
(3) lim 1 1, 但 1 在 ( 0, 2 ) 上并不是有界的 . 这
x1 x
x
说明定理中 “局部” 这两个字是关键性
xa
xa
0,x : 0 x a
有 f ( x) g( x) (或 f ( x) g( x) ),则 b c(或 c b).
微积分(6)函数极限的概念
5.自变量 x 从有限值 x0 的左侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的左侧趋于 x0 ，记作 x x0 ； 6.自变量 x 从有限值 x0 的右侧无限地接近于 x0 ， 或者说自变量 x 从有限值 x0 的右侧趋于 x0 ，记作 x x0 。
f ( x) A 来表示，其中 是事先任意给定的一个正数。由于函数值 f ( x) 无限
地接近于 A 是在 x 这一过程中实现的，于是，对于任意给定的正数 ，只 要求充分接近于 的 x 所对应的函数值 f ( x) 满足不等式 f ( x) A 。与数列 中的 n 类似，充分接近于 的 x 可“翻译”为 x X ，其中 X 是某个充分 大的正数。显然， X 刻画了 x 接近 的程度。
x x
lim f ( x) A 0 ， X 0 ，当 x X 时，有 f ( x) A 。
x
类似地，我们也可以写出函数极限 lim f ( x) A 的否定形式：
x
lim f ( x) A 0 0 ， X 0 ， x0 X 时，使得 f ( x0 ) A 0 。
y f ( x) 的图像位于这两条直线之间；
5
（3）函数极限 lim f ( x) A 的的几何意义：不论给定的正数 有多小，作两
x
条直线 y A 与 y A ， 总可以找到某个正数 X ， 使得当 x X 或 x X 时， 函数 y f ( x) 的图像位于这两条直线之间（如图） 。
根据上述三个定义，注意到 x X x X 或 x X ，我们即可得到以下 结论： 定理： 函数 f ( x) 当 x 时极限存在的充分必要条件是函数 f ( x) 当 x 时以及当 x 时极限都存在，并且相等，即
函数的极限
2( x 2 − 1) 2( x − 1)( x + 1) = f ( x) = x −1 x −1
2.自变量趋于有限值时函数的极限
问题: 问题 : 函数 y = f ( x ) 在 x → x 0 的 过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于 无限趋近于确定值 趋近于确定值 A.
函数在点x=1处没有定义.
任给ε > 0,
2
x2 − 1 ∵ f ( x) − A = − 2= x −1 x −1
要使 f ( x ) − A < ε ,
只要取 δ = ε ,
x2 − 1 当0 < x − x 0 < δ时, 就有 − 2 < ε, x −1
x −1 ∴ lim = 2. x →1 x − 1
sin x 观察函数 当 x → +∞ 时的变化趋势. x
播放
问题: 问题: 函数 y = f ( x ) 在 x → ∞ 的过程中 , 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于 无限趋近于确定值 趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时 , f ( x ) = 无限接近于 0. x 问题: 如何用数学语言刻划函数“ 如何用数学语言刻划函数“无限接近” 无限接近”？
x从右侧无限趋近 x 0 , 记作x → x0 +
左极限
∀ε > 0, ∃δ > 0, 使当x 0 − δ < x < x 0时, 恒有 f ( x ) − A < ε. (left-hand limit)
f ( x0 ) = A.
极限的性质和极限存在性的证明方法
极限的性质和极限存在性的证明方法文章内容极限是微积分中非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一特定点的趋近情况。
通过研究函数的极限，我们可以揭示函数的特性和行为，从而在实际问题中应用这些性质。
本文将介绍极限的性质及其存在性的证明方法。
1. 极限的性质1.1 保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的两侧也有定义，并且函数在该点的左侧小于等于右侧。
证明：假设函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且为 L，即lim┬(x→a)f(x) = L。
设ε > 0，存在δ₁ > 0，当 0 < |x - a| < δ₁时，有 |f(x) - L| < ε。
因此，当 a - δ₁ < x < a 时，有f(x) < L + ε，而当 a < x < a + δ₁时，有 f(x) > L - ε。
因此函数在 a 点的两侧也有定义，并且左侧小于等于右侧。
1.2 唯一性：如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
证明：假设极限lim┬(x→a)f(x) 同时存在且等于 L₁和 L₂。
设ε > 0，存在δ > 0，当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由于极限存在性可知，我们可以找到某个 N₁，使得当n > N₁时，有 |x - a| < δ₁，从而 |f(x) - L₁| < ε。
同理，我们可以找到另一个 N₂，使得当 n > N₂时，有 |x - a| < δ₂，从而 |f(x) -L₂| < ε。
取 N = max(N₁, N₂)，即可得到当 n > N 时，有 |f(x) -L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由此可知，L₁ = L₂，即极限是唯一的。
函数极限的证明(精选多篇)
函数极限的证明(精选多篇)第一篇：函数极限的证明函数极限的证明(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。
教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。
教学重点：函数极限的性质及其计算。
教学难点：函数极限性质证明及其应用。
教学方法：讲练结合。
一、组织教学：我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性(不等式性质):th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:(只证“+”和“”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(于正无穷。
把max{a1,...am}记作a。
不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;那么存在n1,当x>n1,有a/mn2时，0ni时，0那么当x>n,有(a/m)第三篇：二元函数极限证明二元函数极限证明设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y 同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。
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习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
(3)42
4
lim 22-=+--→x x x ;
(4)21
241lim
3
2
1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1
|3|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ31
=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .
(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5
1
|2|<-x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ5
1
=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .
(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2
4
2x x , 只须ε<--|)2(|x .
证明 因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(2
42x x , 所以424
lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21
(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使
ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21
(|0x 时, 有
ε<-+-212413x x , 所以21241lim 32
1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2
121lim
3
3=+∞
→x x x ; (2)0sin lim
=+∞
→x
x
x .
证明 (1)分析
3
3
333
3||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使
ε<-
+21213
3x x , 只须ε<3|
|21
x , 即3
21
||ε
>
x .
证明 因为∀ε >0, ∃3
21
ε
=
X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x .
(2)分析 x
x
x x
x 1|sin |0sin ≤=
-, 要使
ε<-0sin x x
, 只须
ε<x
1, 即2
1
ε
>
x .
证明 因为∀ε>0, ∃2
1
ε=
X , 当x >X 时, 有
ε<-0sin x
x
, 所以0sin lim
=+∞→x x
x .
3. 当x →2时, y =x 2→
4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？
解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要
0002.05
001
.0|2|=<
-x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13
12
2→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?
解 要使
01.03
413
1222<+=
-+-x x x , 只397301
.04
||=->
x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.
6. 求,)(x x x f = x
x x |
|)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.
证明 因为
11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x
x f ,
11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x
x f ,
)(lim )(lim 0
x f x f x x +→→=-,
所以极限)(lim 0
x f x →存在.
因为
1lim ||lim )(lim 00
-=-==--
-→→→x x
x x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00
===++
+→→→x
x
x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0
x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0
x x ϕ→不存在.
7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞
→)(lim .
证明 因为A x f x =-∞
→)(lim , A x f x =+∞
→)(lim , 所以∀ε>0,
∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .
取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有
|f (x )-A |<ε .
因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有
|f (x )-A |<ε .
这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .
取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有
| f (x )-A |<ε ,
即f (x )→A (x →x 0).
9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .
证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.
这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.。