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数学分析16.2二元函数的极限

第十六章多元函数的极限与连续2二元函数的极限一、二元函数的极限定义1：设f 为定义在D ⊂R 2上的二元函数，P 0为D 的一个聚点，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(P)-A|<ε，则称f 在D 上当P →P 0时以A 为极限，记作：DP P P 0lim ∈→f(P)=A. 当明确P ∈D 时，也简写为0P P lim →f(P)=A.当P ,P 0分别以坐标(x,y), (x 0,y 0)表示时，也常写为)y ,x ()y ,x (00lim→f(P)=A.例1：依定义验证：)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.证：函数f(x,y)= x 2+xy+y 2定义R 2上. |x 2+xy+y 2-7|=|(x 2-4)+xy-2+(y 2-1)|=|(x+2)(x-2)+(x-2)y+2(y-1)+(y+1)(y-1)|=|(x-2)(x+y+2)+(y-1)(y+3)| ≤|x-2||x+y+2|+|y-1||y+3|.方法一：在点P 0(2,1)的δ方邻域中，U ⁰(P 0;δ)内所有点组成的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<δ, 0<|y-1|<δ}. ∴当点P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|x 2+xy+y 2-7|≤|x-2|(|x-2|+|y-1|+5)+|y-1|(|y-1|+4)<δ(3δ+9)=3δ2+9δ. ∴∀ε>0，只要取δ=612ε189++->0，当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有|x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.方法二：先取δ=1，则U ⁰(P 0;1)内的点集为：{(x,y)|0<|x-2|<1, 0<|y-1|<1}.于是有|y+3|≤|y-1|+4<5，|x+y+2|≤|x-2|+|y-1|+5<7. ∴|x 2+xy+y 2-7|≤7|x-2|+5|y-1|<7(|x-2|+|y-1|). ∴∀ε>0，只要取δ=min{1,14ε}，则当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，就有 |x 2+xy+y 2-7|<ε，即)1,2()y ,x (lim →(x 2+xy+y 2)=7.例2：设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0,0()y ,x (0)0,0()y ,x (y x y x xy 2222，，，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 证：函数f(x,y)定义R 2上.方法一：在方邻域U ⁰(O;δ)内的点集为{(x,y)|0<|x|<δ, 0<|y|<δ}.又2222y x y x xy +-=|xy|2222yx y x +-≤|xy|2xy y x 22-=2y x 22-≤2|y ||x |22+，∴∀ε>0，只要取δ=ε，则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有2222yx y x xy +-<δ2=ε，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0. 方法二：对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵2222yx y x xy +-=41r 2|sin4φ|≤41r 2，∴∀ε>0，只要取δ=2ε，则当0<r=22y x +<δ时，不管φ取什么值，都有|f(x,y)-0|<ε， ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.定理16.5：DP P P 0lim ∈→f(P)=A 的充要条件是：对于D 的任一子集E ，只要P 0是E 的聚点，就有EP P P 0lim ∈→f(P)=A.证：[必要性]若DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，E ⊂D 以P 0为聚点，则∀ε>0，∃δ>0，当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，有|f(P)-A|<ε，从而当P ∈U ⁰(P 0;δ)∩E 时，仍有 |f(P)-A|<ε，∴EP P P 0lim ∈→f(P)=A.[充分性]若DP P P 0lim ∈→f(P)≡/ A ，则存在ε0>0，使得对任意的n ，存在P n ∈U ⁰(P 0;n1)∩D 满足|f(P n )-A|≥ε0. 令E={P n |n=1,2,…}，则E ⊂D 以P 0为聚点，对数列{f(P n )}有EP P P 0lim ∈→f(P)=∞→n lim f(P n )≠A. 反之则有当EP P P 0lim ∈→f(P)=A ，有DP P P 0lim ∈→f(P)=A.推论1：设E 1⊂D ，P 0是E 1的聚点，若10E P P P lim ∈→f(P)不存在，则DP P P 0lim ∈→f(P)也不存在.推论2：设E 1,E 2⊂D ，P 0是它们的聚点，若存在极限10E P P P lim ∈→f(P)=A 1, 20E P P P lim ∈→f(P)=A 2, 但A 1≠A 2, 则DP P P 0lim ∈→f(P)不存在.推论3：极限DP P P 0lim ∈→f(P)存在的充要条件是：对于D 中任一满足条件P n ≠P 0, 且∞→n lim P n =P 0的点列{P n }，它所对应的数列{f(P n )}都收敛.证：[必要性]由定理16.5可知DP P P 0lim ∈→f(P)=A ，即∞→n lim f(P n )=A ，得证！[充分性]设{P n }为D 中各项不同于P 0但收敛于P 0的点列，记∞→n lim f(P n )=A. 对任一D 中的点列{Q n }，Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，作D 中的点列C n =⎩⎨⎧=-=k2n Q 1k 2n P k k ，，，则C n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，从而，∞→n lim f(C n )存在，∴∞→n lim f(P n )=∞→k lim f(C 2k-1)=∞→k lim f(C 2k )=∞→n lim f(Q n )=A. 若DP P P 0lim ∈→f(P)≠A ，则由定理16.5的充分性证明可知：必存在D 中的一个点列{Q n }, Q n ≠P 0 (n=1,2,…)且收敛于P 0，使得∞→n lim f(Q n )≠A ，矛盾！∴DP P P 0lim ∈→f(P)=A 存在.例3：讨论f(x,y)=22yx x y+当(x,y)→(0,0)时是否存在极限. 解法一：当动点(x,y)沿着直线y=mx 趋近于(0,0)时， ∵f(x,y)=f(x,mx)=2m1m +，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=2m 1m+. 显然，当m 不同时，对应的极限值不同. ∴所讨论的极限不存在. 解法二：假设极限存在为A ，∵f(x,y)定义在R 2-(0,0)上，又在{(x,y)|y=x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=21，∴A=21. 又在{(x,y)|y=2x, (x,y)≠(0,0)}上，f(x,y)=22y x x y +=52≠A. 矛盾！ ∴所讨论的极限不存在.例4：二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧+∞<<-∞<<其余部分，，0x ,x y 012，讨论当(x,y)→(0,0)时是否存在极限.解：函数定义在R 2上，记E={(x,y)|0<y<x 2,-∞<x<+∞}, 显然动点(x,y)在E 上沿着任何曲线趋于原点时,f(x,y)趋于0，而在E c 上沿着任何曲线趋于原点时，f(x,y)趋于1. ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.定义2：设D 为二元函数f 的定义域，P 0(x 0,y 0)为D 的一个聚点. 若对任何正数M ，总存在P 0的一个δ邻域，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，都有f(P)>M 则称f 在D 上当P →P 0时，存在非正常极限+∞，记作：)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=+∞或 0PP lim →f(P)=+∞.若f(P)<-M ，则0P P lim →f(P)=-∞；若|f(P)|<M ，则0P P lim →f(P)=∞.例5：设f(x,y)=22y32x 1+，证明：)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=+∞. 解：函数定义在R 2-(0,0)上，在聚点O(0,0)的任一δ方邻域U ⁰(O;δ)内， {(x,y)|0<|x|<δ,0<|y|<δ}，∴22y 32x 1+>25δ1，即对任意M>0，只要取δ<5M 1, 则当P(x,y)∈U ⁰(O;δ)，就有22y 32x 1+>25δ1>M ，即 )0,0()y ,x (lim→f(x,y)=+∞.二、累次极限概念：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限； x 与y 依一定的先后顺序相续趋于x 0与y 0时f 的极限称为累次极限.定义3：设f(x,y),(x,y)∈D ，D 在x 轴、y 轴上的投影分别为X,Y ，即 X={x|(x,y)∈D}, Y={y|(x,y)∈D}，x 0与y 0分别是X,Y 的聚点. 若对每一个y ∈Y(y ≠y 0)，存在极限0x x lim →f(x,y)，它一定与y 有关，故记作φ(y)=0x x lim →f(x,y)，若又存在极限L=0y y lim →φ(y)，则称极限L 为f(x,y)先对x(→x 0)，后对y(→y 0)的累次极限，记作L=0xx y y lim lim →→f(x,y).类似地可定义先对y 后对x 的累次极限K=0yy x x lim lim →→f(x,y).注：f 两个自变量x,y 同时以任何方式趋于x 0,y 0的极限称为重极限.例6：证明f(x,y)=22y x x y+关于原点的两个累次极限都存在且相等. 证：(例3中已证(x,y)→(0,0)时,f 的重极限不存在.) 当y ≠0时，0x lim →f(x,y)=220x yx x ylim+→=0；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0；当x ≠0时，0y lim →f(x,y)=220y y x x ylim+→=0；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y 0x lim lim →→f(x,y)=0，得证！例7：讨论f(x,y)=yx y x y -x 22+++关于原点的重极限和两个累次极限.解：在不同的直线y=mx 上，)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0x lim →f(x,mx)=m1m-1+，显然 f(x,y)关于原点的重极限的取值与m 有关，∴不存在.0x lim →f(x,y)=y x y x y -x lim220x +++→=y-1；∴0x 0y lim lim →→f(x,y)=0y lim →(y-1)=-1. 0y lim →f(x,y)=yx y x y -x lim220y +++→=x+1；∴0y 0x lim lim →→f(x,y)=0y lim →(x+1)=1.例8：讨论f(x,y)=xsin y 1+y sin x1关于原点的重极限和两个累次极限. 解：∵|xsin y 1+ysin x 1|≤|x|+|y|，∴∀ε>0，总存在δ=2ε，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有|xsin y 1+ysin x1|<2δ=ε，∴重极限存在等于0. 又对任何y ≠0，当x →0时，仅第二项不存在极限，同理对任何x ≠0，当y →0时，仅第一项不存在极限， ∴两个累次极限都不存在.定理16.6：若f(x,y)在点(x 0,y 0)存在重极限与累次极限0yy x x lim lim →→f(x,y)，则它们必相等. 证：设)y ,x ()y ,x (00lim→f(x,y)=A ，则∀ε>0，使得当P(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，有0y y lim →f(x,y)=φ(x)，即有 |f(x,y)-φ(x)|<2ε，∴|f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|<ε，又 |f(x,y)-A|+|f(x,y)-φ(x)|≥ |f(x,y)-A+φ(x)-f(x,y)|=|φ(x)-A|， ∴对任一满足0<|x-x 0|<δ的x ，|φ(x)-A|<ε，即0x x lim →φ(x)=A ，∴0y y x x lim lim →→f(x,y)=)y ,x ()y ,x (0lim →f(x,y).推论1：若两个累次极限和重极限都存在，则三者相等.推论2：若两个累次极限都存在但不相等，则重极限必不存在.习题1、试求下列极限：(1)2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→；(2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→；(3)1y x 1y x lim 2222)0,0()y ,x (-+++→； (4)44)0,0()y ,x (yx 1x y lim++→；(5)y 2x 1lim )2,1()y ,x (-→；(6)22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→； (7)2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→. 解：(1)当(x,y)≠(0,0)时，∵2222yx y x +≤2xy →0, (x,y)→(0,0)，∴2222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0. (2)2222)0,0()y ,x (y x y x 1lim +++→=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→1y x 1lim 22)0,0()y ,x (=+∞. (3)1y x 1y x lim2222)0,0()y ,x (-+++→=222222)0,0()y ,x (yx )1y x 1)(y (x lim+++++→=()1y x 1lim 22)0,0()y ,x (+++→=2. (4)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则(x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0. 又当(x,y)∈U ⁰(0;1)时，0<r<1，∴44y x 1x y ++≥222)y (x |x y |1+-≥22222)y 2(x )y x (2++-=422r r -2>42r 1→+∞ (r →0)； ∴44)0,0()y ,x (yx 1x y lim ++→=+∞. (5)∵y 2x 1-=2)-y (1)-2(x 1-≥2-y 1-x 21+→∞, (x,y)→(1,2)，∴y2x 1lim)2,1()y ,x (-→=∞. (6)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∵22yx 1sin)y x (++=2r 1sin )φsin φ(cos r +=2r 1sin )φsin φ(cos r +≤2r →0. ∴22)0,0()y ,x (y x 1sin )y x (lim ++→=0. (7)对函数自变量作极坐标变换得x=rcos φ, y=rsin φ，则 (x,y)→(0,0)等价于对任何φ都有r →0.∴2222)0,0()y ,x (yx )y x sin(lim ++→=220r r r sin lim →=1.2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限：(1)f(x,y)=222y x y +；(2)f(x,y)=y 1sin x 1sin )y x (+；(3)f(x,y)=22222y)x (y x y x -+； (4)f(x,y)=y x y x 233++；(5)f(x,y)=x 1sin y ；(6)f(x,y)=3322yx y x +；(7)f(x,y)=sinxy e -e y x .解：(1)∵2220y 0x y x y lim lim +→→=0x lim →0=0；2220x 0y yx y lim lim +→→=0y lim →1=1；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(2)当x ≠0时，y1sin x 1sin )y x (lim 0y +→不存在；当y ≠0时，y1sin x1sin )y x (lim 0x +→也不存在；又y1sinx 1sin )y x (+≤|x|+|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(3)222220y 0x y)x (y x y x lim lim -+→→=0x lim →0=0；222220x 0y y)x (y x y x lim lim -+→→=0y lim →0=0；又f(x,x)=1,(x ≠0)，f(x,0)=0, (x ≠0)，∵0x lim →f(x,x)≠0x lim →f(x,0)；∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(4)y x y x lim lim 2330y 0x ++→→=0x lim →x=0；yx y x lim lim 2330x 0y ++→→=0y lim →y 2=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x 2(x 2-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x 2(x 2-1))=)1-x (x x )1-x (x x lim 22232630x ++→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→3220x )1-x (x x 1lim =∞≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在.(5)x1sin y lim lim 0y 0x →→=0x lim →0=0；当y ≠0时，x1sin y lim 0x →不存在；∴函数在点(0,0)累次极限x1sin y lim lim 0x 0y →→不存在.又x1siny ≤|y|→0, (x,y)→(0,0)，∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)=0.(6)∵33220y 0x y x y x lim lim +→→=0x lim →0=0；33220x 0y yx y x lim lim +→→=0y lim →0=0；现让动点(x,y)沿曲线y=x(x-1)向点(0,0)移动，则有0x lim →f(x,x(x-1))=333240x )1-x (x x )1-x (x lim +→=320x )1-x (1)1-x (x lim +→=1≠0； ∴)0,0()y ,x (lim →f(x,y)不存在. (7)∵sinx y e -e lim y x 0y →=∞；sinx y e -e lim yx 0x →=∞； ∴sinx y e -e lim lim y x 0y 0x →→和sinx ye -e lim lim yx 0x 0y →→都不存在. 令动点(x,y)沿x 轴正向趋于(0,0)时，可知)0,0()y ,x (lim →f(x,y)也不存在.3、证明：若)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，且y 在b 的某邻域内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，则ax b y lim lim →→f(x,y)=A.证：由)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∀ε>0，∃δ1>0，当0<|x-a|<δ1, 0<|y-b|<δ1, 且(x,y)≠(a,b)时，有|f(x,y)-A|<2ε. 又由y 在b 的某邻域δ2内存在a x lim →f(x,y)=φ(y)，即|f(x,y)-φ(y)|<2ε. 令δ=min{δ1, δ2}，当0<|y-b|<δ时，令x →a ，就有|φ(y)-A|=|φ(y)-f(x,y)+f(x,y)-A|≤|φ(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-A|<ε, 即by lim →φ(y)=ax b y lim lim →→f(x,y)=A.4、试应用ε-δ定义证明222)0,0()y ,x (y x y x lim +→=0.证：∵当(x,y)≠(0,0)时，222yx y x +≤2xy y x 2=2x; ∴∀ε>0，∃δ=2ε>0，使得当(x,y)∈U ⁰(O;δ)时，就有222y x y x +<2δ=ε，∴222)0,0()y ,x (yx yx lim +→=0.5、叙述并证明：二元函数极限的惟一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理.解：(1)二元函数极限的惟一性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)存在，则它只有一个极限. 证明如下：设A, B 都是二元函数f(x,y)在点P 0(a,b)处的极限，则∀ε>0，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<2ε;|f(x,y)-B|<2ε， ∴|A-B|=|A-f(x,y)+f(x,y)-B|≤|f(x,y)-A|+|f(x,y)-B|<ε；又由ε的任意性知A=B ，得证！(2)二元函数极限的局部有界性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，则存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使f(x,y)在U ⁰(P 0;δ)∩D 上有界. 证明如下： ∵)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A ，∴对ε=1，∃δ>0，使得当(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D 时，就有|f(x,y)-A|<ε=1，即A-1<f(x,y)-A<A+1，得证!(3)二元函数极限的局部保号性定理：若极限)b ,a ()y ,x (lim →f(x,y)=A>0(或<0)，则对任意正数r(0<r<|A|), 存在P 0(a,b)的某邻域U ⁰(P 0;δ)，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，恒有f(x,y)>r>0(或f(x,y)<-r<0). 证明如下：设A>0，取ε=A-r>0，则∃δ>0，使得对一切(x,y)∈U ⁰(P 0;δ)∩D ，有 |f(x,y)-A|<ε=A-r ，即f(x,y)>A-(A-r)=r>0，得证! 同理可证A<0的情形.6、试写出下列类型极限的精确定义： (1)),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A ；(2)),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.解：(1)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数M ，使得当(x,y)∈D, 且x>M, y>M 时，恒有|f(x,y)-A|<ε，则称当(x,y)→(+∞,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=A.(2)设f 为D 上的函数，A 是一个确定的实数. 若对任给正数ε，总存在正数δ，使得当(x,y)∈D, 且0<|x|<δ, y>δ1时，恒有|f(x,y)-A|<ε，则称当(x,y)→(0,+∞)时，f(x,y)以A 为极限，记作：),0()y ,x (lim+∞→f(x,y)=A.7、试求下列极限：(1)4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→；(2)),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y)； (3)xsiny),()y ,x (xy 11lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→；(4)yx x )0,()y ,x (2x 11lim++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.解：(1)当x>0, y>0时，4422y x y x ++≤2222y2x y x +=222x 12y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴4422),()y ,x (y x y x lim +++∞+∞→=0.(2)当x,y 充分大时，e x >x 2, e y >y 2， ∴|(x 2+y 2)e -(x+y)|<2222yx y x +=22x 1y 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞)，∴),()y ,x (lim+∞+∞→(x 2+y 2)e -(x+y) =0.(3)xsiny),()y ,x (xy 11lim⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞+∞→=ysiny ),()y ,x (xy ),()y ,x (xy 11lim xy 11lim⋅+∞+∞→+∞+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =e ·1=e.(4)∵x)0,()y ,x (x 11lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→=e ，∴yx x )0,()y ,x (2x 11lim ++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=yx x )0,()y ,x (e lim++∞→= e.8、试作一函数f(x,y)使当x →+∞,y →+∞时， (1)两个累次极限存在而重极限不存在； (2)两个累次极限不存在而重极限存在； (3)重极限与累次极限都不存在；(4)重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.解：(1)函数f(x,y)=222yx x + ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0; +∞→+∞→x y lim lim f(x,y)=1；∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)不存在.(2)f(x,y)=x yyx +sinxsiny ，满足+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)和+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)都不存在.而|x y y x +sinxsiny|≤xy y x +=y1x 1+→0, (x,y)→(+∞,+∞). ∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.(3)函数f(x,y)=sinxsiny 满足当(x,y)→(+∞,+∞)时，三个极限都不存在. (4)函数f(x,y)=y1sinx 满足：+∞→+∞→y x lim lim f(x,y)=0；+∞→+∞→x y lim lim f(x,y)不存在；而∴),()y ,x (lim+∞+∞→f(x,y)=0.9、证明：定理16.5及其推论3. 证：见定理16.5及其推论3.10、设f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U ⁰(P 0)上有定义，且满足： (1)在U ⁰(P 0)上，对每个y ≠y 0, 存在极限0x x lim →f(x,y)=ψ(x)；(2)在U ⁰(P 0)上，关于x 一致地存在极限0y y lim →f(x,y)=φ(x).试证明：0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).证：由条件(1)知, ∀ε>0，∃δ>0，对每个y ≠y 0，只要(x,y)∈U ⁰(P 0,δ1)，就有|f(x,y)-ψ(x)|<3ε；由条件(2)知，对上面的ε，∵0<|y-y 0|<δ， ∴对所有x ，只要(x,y)∈U ⁰(P 0)，就有|f(x,y)-φ(x)|<3ε. ∴0x x y y lim lim →→f(x,y)存在，记为A ，则|0xx lim →f(x,y)-A|=|ψ(x)-A|<3ε，又|φ(x)-A|≤|f(x,y)-φ(x)|+|f(x,y)-ψ(x)|+|ψ(x)-A|<3ε+3ε+3ε=ε， ∴0x x lim →φ(x)=A ，即0y y x x lim lim →→f(x,y)=0xx y y lim lim →→f(x,y).。

【优质】二元函数极限证明-word范文 (23页)

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此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：’(1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在(2)两个二次极限存在而不相等(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在2函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)|证毕3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。

4f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x)显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在而当x->0,y->0时由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|)而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2所以|f|<=|x|+|y|所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了就我这个我就线了好久了5(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号:的意义,的直观意义.定义(和.)几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4验证例5验证例6验证证由=为使需有为使需有于是,倘限制,就有例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:th类似有:例10证明:极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有=§2函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

16-2二元函数的极限

二重极限的定义为定义在上的二元函数都有成立记作简记为表示时也可以写作上面二元函数极限的定义也称为极限的定义
§2 二元函数的极限
一、二元函数的极限二、累次极限
回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),
所谓 lim f (x) A, 表示
x x0
y
当 x 不论是从 x0的左边 A
还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A. 如图
极限
lim
P P0
f P 存在的充要条件是:
对于
D
PD
中任一满足条件
Pn
P0
且
lim
n
Pn
P 的点列
Pn,
它所对
应的函数列 f Pn 都收敛.
注: 推论1-3的证明可由定理16.5直接得到, 自证推论3.
3．二元函数的非正常极限
定义2 设 z f x, y, x, y D, P0 x0, y0 是 D 的一个
f P A.
D
PE
注: 该定理与一元函数极限的海涅归结原则(以及证明方法)类似.
推论1 设 E1 D,
P0
是
E1 的聚点,若
lim
PP0
f
P
A
不存在, 则 lim f P A 也不存在.
PE1
PP0
PD
P0
推论2 设 E1, E2 D, P0 是它们的聚点,
E1
若存在极限 lim f P A 和 lim f P B,
例3
设
f
x,
y
xy
x2
y2
,
0,
lim f x, y 0.
x, y0,0
x, y 0,0, x, y 0,0,

【精品】二元函数极限不存在的证明方法

二元函数极限不存在的证明方法摘要函数是数学中最基本内容，极限方法是研究函数最主要的方法之一，在数学中的学习中,函数是最基本的内容，在研究函数的方法中,最常见的方法就是极限方法，不仅如此，极限的理论是后续更加轻松的学习微积分的基础，在高等数学中，我们也经常用到极限的法子解决，只是没有明确的被提出来这个概念。

证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。

二元函数是一元函数的推广，也是学习多元函数的基础。

与一元函数的极限相比较，我们这个写到的二元函数极限就要复杂的多，数学思想方法是数学解题方法高度的凝炼。

每个学数学的学生以及老师都要接触数学思想方法的学习，对于师范数学专业学生，数学思想方法更是一门必修课，这对于以后在教学中是有启发意义的.二元，顾名思义就是自变量为２的函数，一元函数的自变量是１,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及到立体。

从后面的定义中，我们发现，它远远没有一元函数那样简单，涉及到聚点，路径的选取。

它研究的平面上动点逼近与一个确定的点时，所对应函数值的变化趋势。

在我们现实生活中,与工程计算中,计算利润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。

例如:我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。

为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.关键词：函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列AbstractFunction is the most basic mathematical content, ultimate method is to study the function of one of the most important ways, limit theory is the basis of calculus, limit method in higher mathematics is the focus, difficulties. Proof of function limit is difficult, in the learning of mathematics, we can meet a wide variety of functions. Is a unary function binary function of promotion, is the basis for learning functions of several variables. Although the limit of binary function is more complex than the limit of a function, but this mathematical ideas and methods are the essence of mathematical knowledge, is the important part two of it form the basis for mathematical knowledge is still based on the function of one variable limits. Seeking the limit of binary function is actually the limit of function of hospitals seeking this more complex method is extended to the binary function. II Yuan function of limit is high mathematics teaching in the is important of content, heavy difficulties, but in existing of textbook in the, on its calculation method no detailed and full of describeＤ． limit of thought in many field has widely of application, two Yuan function of limit and a Yuan function of limit meaning same, it research of is plane Shang moving points trend a a sentinel Shi, corresponding of function value of changes trenＤ． paper in with field limit concept of positive described and denied described of unified analysis defined,, good seeking two Yuan function limit method, Easy to understand description of binary relations and deep understanding of the concept of limit.Key words：limit; repeated limi does not exist; path; homogeneous functions;目录TOC \o "１—３" \h \z \u 引言５１二元函数极限的基本理论６１．１二元函数的极限６１．１．１二元函数在有限点的极限７１．１．２二元函数在无穷远点的极限８１．２二元函数极限的性质８２二元函数极限不存在证明方法１１２．１路径法１１２．２点列法１３２．３累次极限法１５２．４归结法１９２．５定义法２０２．６齐次法２２总结２６谢辞２７参考文献２８引言我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值（如加速度,速度,动能,位置等）.在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。

(整理)二元函数极限的求法.

二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.2.二元函数极限的定义定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多元函数极限的定义.定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε,0>∃δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当0δ<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限。

求二元函数极限的几种方法

精品资料欢迎下载1.二元函数极限概念分析定义 1 设函数f在D R2上有定义，P0是 D 的聚点， A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数，总存在某正数,使得 P U 0 (P0; ) D 时，都有f (P) A,则称 f 在 D 上当 P P0时，以 A 为极限，记 lim f (P) A .P P0P D上述极限又称为二重极限.2．二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续，则limf ( x, y) f ( x0 , y0 ) .( x, y) (x0 , y0 )例 1求 f ( x, y) x22xy 在点(1,2)的极限 .解：因为 f ( x, y)x22xy 在点(1,2)处连续，所以lim f ( x, y)x 1y 2lim( x22xy)x 1y 2122125.例 2求极限 lim1．2y 2x , y1,1 2x解：因函数在 1,1 点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即lim1= 1．x, y1, 1 2x2y 232.2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等.例 32 xy 4求 limxyx 0y2xy 4解： limxyx 0y(2xy 4)(2 xy 4) limxy(2 xy4)x 0 yxylim x 0xy(2 xy4)y 0lim1x 0 2xy4y1 .4例 4lim(1 2x 2 )(1 3y 2 ) 1．2x2 3 y2x, y0 ,0解：原式lim1 2 x 2 1 3 y 211 2 x 21 3 y2 1x, y 0,0 2x23 y21 2x21 3y21lim16x 2 y 2x, y0,01 2x 21 3 y21 2x23y21 2x21 3y211 0 1 ．222.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数. 在二元函数中常见的等价无穷小 (u( x, y)0) ，有 sin u(x, y)u(x, y) ； 1 cosu( x, y)u 2 ( x, y) ；2ln 1 u( x, y) u( x, y) ； tan u(x, y) u( x, y) ； arcsin u( x, y) u(x, y) ；arctan u( x, y) u( x, y) ； n 1 u(x, y)1u( x, y) ； e u( x, y ) 1 u( x, y) ；同一元函n数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用 .例 51 xy1求 limx yx 0y 0解：当 x0 ， y0 时，有 xy 0 .1 x y 11( x y) ，所以2lim1 x y 1x yx 0y 01(x y) lim 2x yx 0y1 . 2lim 1 x y 1x yx 0y 0lim1 x y 1( 1 x y 1)( 1x y 1)这个例子也可以用恒等变形法计算，如：x 0 y 0lim11 x y 1x 0y 01 .22.4 利用两个重要极限sin u( x, y)1lim 1， lim1 u( x, y) u( x, y ) e 它们分别是一元函数中两个重u (x , y) 0 u( x, y) u ( x, y)要极限的推广 .x 2例 6 求极限 lim(11) x y .xxyy a解：先把已知极限化为x 2x 22xy( x y )lim(11 ) xlim(1 1，而 limxlimy) xyy)(1 yaxyy axyy axy( xy axxxx当 x, ya 时 xy,1，所以 lim(1 1 )xy e.xyy axyxx 2lim (11)xy xy( x y)故原式 = x yaxy1e a .例 7 求 lim sin( xy) 极限 .x 0 xy a解：因为 sin( xy)y. sin( xy) ，当 x0, ya 时， xyxxysin( xy)1 ，再利用极限四则运算可得：xysin( xy)lim y.sin(xy)lim y. limsin( xy)a.·1= a .limxxyxyx 0x 0 y axy 0y ay a这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如：当 x 0 ， y a 时， xy 0 ， sin( xy) xy .1 1 , y ) y a x0 ，所以所以， lim sin( xy) lim xy lim y a.x x x 0 x 0 y ay a y a2.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例 8 求 lim( 3x y)sin 1cos 1y 0 xyx 0解:因为 lim( 3x y) 0 是无穷小量，x 0 y 0故可知， lim( 3 x y)sin 1 cos 10.x 0 x yy 0例 9 求 lim( x 3)2 ( y 2)(x 3) 2( y 2) 2x3y 2解原式 = lim(x 3)( y 2) 2 (x 3)(x3)2 ( y 2)x 3y 2 因为(x 3)( y 2)( x3)2 ( y2)23)2 ( y 2) 22 (x3)2 ( y 2)2(xlim( x 3) 0 是无穷小量，x 3y 2所以， lim ( x 3)2 ( y 2)0 .(x3)2 ( y 2) 2x 3 y2sin 1 cos 11 是有界量，x y1是有界量，又2虽然这个方法计算实际问题上不那么多用，但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .2.6 利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算，从而使二元函数的极限变得简单 . 但利用时一定要满足下面的定理。

求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理

1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解：因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ．虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。

二元函数极限不存在的证明方法

证明函数的极限难度是比较大的，在数学的学习中，我们可以碰到各种各样的函数。

二元函数是一元函数的义就是自变量为2的函数，一元函数的自变量是1,很明显，二元的要比一元复杂，再加上它是由平面涉及润，尺寸时，极限是非常基础的，所以工科学生也是必须懂的。

例如:我们以吃穿住行费用为自变量,计算总消费这个因变量是。

为了幸福指数,怎么消费更合适就会想到多维函数.本文用通俗易懂的语言描述二元关系以及判断几种不存在的方法，让读者更深刻理解极限概念.关键词：函数极限；累次极限；不存在;路径;齐次函数;点列AbstractFunction is the most basic mathematical content, ultimate method is to study the function of one of the most important ways, limit theory is the basis of calculus, limit method in higher mathematics is the focus, difficulties. Proof of function limit is difficult, in the learning of mathematics, we can meet a wide variety of functions. Is a unary function binary function of promotion, is the basis for learning functions of several variables. Although the limit of binary function is more complex than the limit of a function, but this mathematical ideas and methodsare the essence of mathematical knowledge, is the important part two of it form the basis for mathematical knowledge is still based on the function of one variable limits. Seeking the limit of binary function is actually the limit of function of hospitals seeking this more complex method is extended to the binary function. II Yuan function of limit is high mathematics teaching in the is important of content, heavy difficulties, but in existing of textbook in the, on its calculation method no detailed and full of described. limit of thought in many field has widely of application, two Yuan function of limit and a Yuan function of limit meaning same, it research of is plane Shang moving points trend a a sentinel Shi, corresponding of function value of changes trend. paper in with field limit concept of positive described and denied described of unified analysis defined,, good seeking two Yuan function limit method, Easy to understand description of binary relations and deep understanding of the concept of limit.Key words: limit; repeated limi does not exist; path; homogeneous functions;目录TOC \o "1-3" \h \z \u 引言51 二元函数极限的基本理论61.1 二元函数的极限61.1.1 二元函数在有限点的极限71.2二元函数极限的性质82.1 路径法112.2 点列法132.3 累次极限法152.4 归结法192.5 定义法202.6 齐次法22总结26谢辞27参考文献28引言我们前面学习了一元函数的极限，但是不论在数学理论问题中还是现实生活中,更多的量的变化不止是由一个因素决定,而是由多个因素决定的,如研究质点运动需要用到三个空间变量和一个时间变量以及多个函数值(如加速度,速度,动能,位置等).在研究消费选择时,所讨论的效用函数是消费在吃和穿等的函数.我们讨论二元函数的极限不存在问题,因为不像一元函数那样有罗必塔法则可用来确定未知式。

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二元函数极限证明
二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。

此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。

我们必须注意有以下几种情形：'
两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等
两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在
2
函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a
根据定义:对任意£>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为£有任意性，故可取£ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕
3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。

2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。

f={/}*sin
显然有y->0 , f-〉*sin存在
当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当
x->0, y->0时
由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0
这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的
正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了
就我这个我就线了好久了
5
时函数的极限：
以时和为例引入.
介绍符号：的意义，的直观意义.
定义
几何意义介绍邻域其中为充分大的正数•然后用这些邻域语言介绍几何意义.
例1验证例2验证例3验证证……
时函数的极限：
由考虑时的极限引入.
定义函数极限的"”定义.
几何意义.
用定义验证函数极限的基本思路.
例4验证例5验证例6验证证由二为使需有为使需有于是,倘限制，就有
例7验证例8验证单侧极限：
1.定义：单侧极限的定义及记法.
几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.
例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系：
Th类似有:例10证明：极限不存在.
例11设函数在点的某邻域内单调•若存在，则有
二§2函数极限的性质
教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。

教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

教学重点：函数极限的性质及其计算。

教学难点：函数极限性质证明及其应用。

教学方法：讲练结合。

一、组织教学：
我们引进了六种极限：，•以下以极限为例讨论性质•均给出证明或简证.
二、讲授新课：
函数极限的性质：以下性质均以定理形式给出.
1.唯一性:
2.局部有界性：
3.局部保号性：
4.单调性：
Th4若和都存在,且存在点的空心邻域，使，都有证设二註:若在Th4的条件中，改“”为“”，未必就有以举例说明.
5.迫敛性：
6•四则运算性质：
利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
这些极限可作为公式用•在计算一些简单极限时，有五组基本极限作为公式用，我们将陆续证明这些公式.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质，把所求极限化为基本极限，代入基本极限的值, 即计算得所求极限.
例1
例2例3註:关于的有理分式当时的极限.
例4 ［利用公式］
例5例6例7。