ery二元函数极限求法
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法二元函数的极限求法是高等数学中的重要内容，它是研究二元函数在某一点处的极限值的方法。
在这篇文章中，我们将介绍二元函数的极限求法的基本概念、方法和应用。
一、二元函数的极限概念二元函数是指有两个自变量的函数，通常表示为f(x,y)。
在二元函数中，我们可以考虑它在某一点(x0,y0)处的极限值。
如果当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的值趋近于一个确定的常数L，那么我们就称L 为f(x,y)在点(x0,y0)处的极限值，记作：lim f(x,y) = L(x,y)->(x0,y0)其中，(x,y)->(x0,y0)表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，f(x,y)的极限值存在。
二元函数的极限求法有以下几种方法：1. 二重极限法二重极限法是指先对其中一个自变量求极限，再对另一个自变量求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以先对x求极限，再对y求极限，即：lim lim f(x,y) = lim lim f(x,y) = Ly->y0 x->x0 x->x0 y->y02. 极坐标法极坐标法是指将二元函数表示为极坐标形式，然后对极角和极径分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为极坐标形式(r,θ)，即：x = rcosθy = rsinθ然后对r和θ分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(rcosθ,rsinθ) = L(x,y)->(x0,y0) r->0 θ->θ03. 直角坐标法直角坐标法是指将二元函数表示为直角坐标形式，然后对x和y分别求极限的方法。
具体来说，如果f(x,y)在点(x0,y0)处的极限存在，那么我们可以将(x,y)表示为直角坐标形式(x0+h,y0+k)，即：x = x0 + hy = y0 + k然后对h和k分别求极限，即：lim f(x,y) = lim f(x0+h,y0+k) = L(x,y)->(x0,y0) h->0 k->0三、二元函数的极限应用二元函数的极限应用广泛，例如在微积分、物理学、工程学等领域中都有重要的应用。
二元函数求极限的积分换元法技巧总结
二元函数求极限的积分换元法技巧总结在数学中，求解函数的极限是非常重要的一个问题。
而对于二元函数的极限，可以通过积分换元法来进行求解。
积分换元法是一种常用的计算积分的方法，通过引入一个新的变量替代原来的变量，可以简化被积函数，使得积分计算更加便捷。
本文将总结二元函数求极限的积分换元法技巧。
一、二元函数求极限的基本概念在开始介绍积分换元法技巧之前，我们先回顾一下二元函数求极限的基本概念。
对于一个二元函数f(x, y)，当(x, y)趋于某一点(x0, y0)时，如果无论沿着任意方向接近(x0, y0)，函数f(x, y)都趋于某一确定的极限L，则称函数f(x, y)在点(x0, y0)处有极限，记为lim(f(x, y))=(x,y)→(x0, y0) L。
二、积分换元法的基本原理积分换元法的基本原理是通过引入一个新的变量来替代原来的变量，从而改变被积函数的形式，使得积分计算更加便捷。
具体而言，对于二元函数f(x, y)，我们可以将变量x和y分别表示为x=g(u,v)和y=h(u,v)，其中g和h是逆函数。
这样，通过变换后的积分，我们可以利用一元函数的积分性质来求解原始的二元函数极限。
三、积分换元法的技巧总结1. 首先，我们需要选取适当的变量替换，这取决于被积函数的复杂程度。
一般来说，我们可以选取与被积函数形式相似的新变量，或者尝试将函数进行分解，并对其中的一部分进行替换。
2. 接下来，我们需要确定变量替换后的边界条件。
根据变量替换前后的关系，我们可以得到新的边界条件，这对后续的积分计算非常重要。
3. 在进行变量替换后，我们可以利用一元函数的积分性质进行计算。
根据具体情况，我们可以选择使用定积分、不定积分、换元法等方法来求解。
4. 最后，我们需要将新变量的解进行反向的变量替换，得到最终的极限结果。
四、实例分析为了更好地理解积分换元法的技巧，我们来看一个具体的例子。
考虑求解二元函数f(x, y) = x^2 + y^2的极限。
二元函数的极限求法
二元函数的极限求法1. 函数的定义在数学中，一个二元函数（或称作双变量函数）是一个接受两个自变量并返回一个因变量的函数。
通常用符号f(x,y)表示，其中x和y是自变量，f是函数。
二元函数可以表示在二维平面上的一个曲面，其中每个点(x,y)都有一个对应的函数值f(x,y)。
2. 二元函数的用途二元函数广泛应用于各个领域的数学模型和实际问题中。
它们可以用来描述和研究许多重要的关系，比如：•自然科学中的物理学、地理学和天文学中的物理量之间的相互关系；•经济学和金融学中的供求关系、市场定价和收益模型；•工程学中的流体动力学、电路理论和控制系统分析；•计算机图形学中的曲面建模和渲染。
对于这些领域的问题，我们常常需要研究二元函数在特定点或者特定方向上的行为，而二元函数的极限就是研究函数在某一点附近的性质的重要工具。
3. 二元函数的极限定义给定一个二元函数f(x,y)和一个点(a,b)，我们可以研究函数在点(a,b)附近的行为。
二元函数f(x,y)在点(a,b)处的极限，通常表示为：f(x,y)lim(x,y)→(a,b)这个极限表示当自变量(x,y)的取值逐渐接近(a,b)时，函数值f(x,y)的变化趋势。
如果这个极限存在，并且对于任意给定的正数ϵ，存在正数δ，使得当(x,y)与(a,b)的距离小于δ时，函数值f(x,y)与极限值的差的绝对值小于ϵ，我们就说函数f(x,y)在点(a,b)处收敛于极限值。
4. 二元函数的极限求法为了确定一个二元函数在某个点处的极限，我们可以使用不同的方法。
以下是常用的几种方法：4.1. 代数法则对于大多数具有代数性质的函数，我们可以直接使用代数法则来求解其极限。
这些代数法则包括加法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则和根函数法则等。
可以通过这些法则将给定函数表示为已知函数和极限的组合，从而计算出极限值。
4.2. 极坐标法对于某些二元函数，使用极坐标法求解极限可能更方便。
在极坐标系下，由于(x,y)变为(r,θ)，函数的极限计算可以简化为仅考虑r趋于0的情况。
二元函数求极限的等价无穷小替换
二元函数求极限的等价无穷小替换在微积分中，求函数极限是一个重要的概念和技巧。
当我们面对二元函数的极限时，我们常常需要采用等价无穷小替换的方法来简化问题，使其更易于处理。
本文将介绍什么是二元函数的极限，以及如何使用等价无穷小替换来求解。
一、二元函数的极限二元函数是指形式为 f(x, y) 的函数，它含有两个自变量 x 和 y。
我们通常关注的是当(x, y)趋近于某一点时，函数的极限值。
如果(x, y)的取值在一个特定的邻域范围内，我们可以用极限来描述函数在该点的特性。
二元函数的极限可以用如下符号来表示：lim f(x, y) = L(x,y)->(a,b)其中，L是函数在点(a, b)处的极限值，(x, y)→(a, b)表示自变量(x, y)趋近于(a, b)这一点。
二、等价无穷小替换的原理等价无穷小替换是一种求解极限的常用方法。
它利用了无穷小的性质，将复杂的极限问题转化为简化的形式。
等价无穷小替换的基本思想是，当函数趋近于某一点时，我们可以用与之等价的无穷小来近似表示函数的变化。
在求解二元函数的极限时，我们常常将(x, y)的变化替换为无穷小Δx和Δy，并利用等价无穷小替代这两个无穷小量，从而简化计算过程。
三、二元函数极限的等价无穷小替换法在使用等价无穷小替换法时，我们需要根据具体的函数形式和求解的极限情况来选择适当的等价无穷小替代。
以下是常用的等价无穷小替换法：1. 若函数中包含二元函数的和、差或积的形式，我们可以将其转化为对应的无穷小的和、差或积：f(x, y) = g(x, y) ± h(x, y)当(x, y)趋近于(a, b)时，可以用等价无穷小g(x, y) ± h(x, y)来近似表示。
2. 若函数中包含二元函数的乘方形式，我们可以利用等价无穷小的乘方公式进行替代：f(x, y) = [g(x, y)]^n当(x, y)趋近于(a, b)时，可以用等价无穷小[g(x, y)]^n来近似表示。
(整理)二元函数极限的求法.
二元函数极限的求法数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明.2.二元函数极限的定义定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =.有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即}|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面.知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多元函数极限的定义.定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε,0>∃δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→.定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当0δ<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限。
二元函数极限的求法
二元函数极限的求法二元函数极限是数学中一个重要的概念，它研究二元函数在某个点处的极限值。
它不仅在函数中被广泛应用，而且在微积分学中也有重要的作用。
因此，了解二元函数极限的求法尤为重要。
一般而言，二元函数极限的求法一般是通过分析函数在某点附近的曲线行为来求解。
这种方法可以分为三种：一是按照函数在某点附近的导数来寻找极限值；二是利用函数在某点附近的凸性来求解；三是根据函数在该点处的异常情况来进行求解。
首先，如果二元函数在某点处有定义，那么该函数在该点处的极限值就是该点的函数值。
如果函数在该点处没有定义，但是函数的导数在该点处有定义，那么可以通过求导数的极限来计算函数的极限值，即：如果存在某个点，其导数的极限值存在并且为非零，那么函数在该点的极限值就是该点的函数值除以该点导数的极限值。
具体来说，如果用y=f（x）来表示一个函数，那么它在x=a处的极限值就是y=f （a）/[f（a）]，其中f（a）表示函数在x=a处的导数。
其次，如果在某点处函数的导数不存在，而且函数在该点处有定义，那么可以利用函数在该点处的凸性来求解极限值，即，如果函数在某点处不存在导数，而且该点是凸函数，则函数的极限值等于该点的函数值。
反之，如果函数在某点处不存在导数，但是该函数是凹函数，则该函数在该点处的极限值就是该点左右两处函数值的中点值。
最后，如果函数在某点处存在明显的异常情况，比如跳跃，则可以利用定义结合函数的连续性和连续导数的有界性，以及梯形定理等，来求解函数在该点处的极限值。
总之，二元函数极限的求解一般是根据函数在某点处的行为来确定的，有的时候可以利用函数的导数来求解，有的时候利用函数的凸凹性来求解，而有的时候则要利用函数的异常情况来解决。
因此，理解二元函数极限的求法就显得尤为重要。
二元函数极限证明
二元函数极限证明题目：二元函数极限的证明引言：在微积分中，函数极限是一个重要的概念。
在实际问题中，许多函数都是多元函数，即变量的个数大于一。
而二元函数是一种常见的多元函数形式，它包含两个自变量和一个因变量。
本文将对二元函数极限进行详细的讨论和证明。
一、二元函数极限的定义设函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，若对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点 P(x, y) 满足不等式 0 < \sqrt {(x-x_0 )^2 + (y-y_0 )^2} < δ时，有 |f(x,y)-A|<ε 成立，则称函数 f(x, y) 在点 P(x0, y0) 处的极限为 A，记作lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A二、二元函数极限的性质与一元函数极限类似，二元函数极限也具有以下性质：1. 二元函数极限的唯一性：若极限存在，则极限唯一；2. 夹逼准则：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且存在函数 h(x,y) 和 g(x,y)，满足h(x,y)≤f(x,y)≤g(x,y) 在点P(x0, y0) 的某邻域内成立，并且lim_(x,y)→(x0,y0)h(x,y)=lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=A，则必有lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A；3. 四则运算法则：若函数 f(x,y) 和 g(x,y) 分别在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=A、lim_(x,y)→(x0,y0) g(x,y)=B，则有lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)+g(x,y))=A+B,lim_(x,y)→(x0,y0) (f(x,y)-g(x,y))=A-B,lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)g(x,y)=AB 和lim_(x,y)→(x0,y0) f(x,y)/g(x,y)=A/B (B≠0)；4. 复合函数极限：若函数 f(x,y) 在点 P(x0, y0) 的某邻域内有定义，并且lim_(u,v)→(x0,y0) g(u,v)=P(x0, y0)，lim_(x,y)→(u,v)f(x,y)=L，则lim_(x,y)→(x0,y0) f(g(x,y))=L。
求二元函数极限的几种方法二元函数极限定理
1 / 151.二元函数极限概念分析定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<,则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0lim ()P P P Df P A →∈=.上述极限又称为二重极限．２.二元函数极限的求法2.1 利用二元函数的连续性命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=．例１ 求2(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以122122lim (,)lim(2)12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=例2 求极限()()221,1,21limy x y x +→.解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即()()221,1,21limy x y x +→=31.2 / 152．2 利用恒等变形法将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求00x y →→解: 00x y →→00x y →→=0x y →→=001.4x y →→==-例4 ()()22220,0,321)31)(21(lim yx y x y x +-++→．解:原式()()())()(),0,02211lim231x y xy →=+()(22,0,0limx y →=+11022=+=．2.3 利用等价无穷小代换一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数．在二元函数中常见的等价无穷小((,)0)u x y→,有sin(,)(,)u x y u x y;2(,)1cos(,)2u x yu x y-;[]ln1(,)(,)u x y u x y+；tan(,)(,)u x y u x y;arcsin(,)(,)u x y u x y；arctan(,)(,)u x y u x y(,)1u x yn;(,)1(,)u x ye u x y-；同一元函数一样,等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用.例５求xy→→解: 当x→,0y→时，有0x y+→11()2x y+，所以1()2lim1.2xyxyx yx y→→→→+=+=这个例子也可以用恒等变形法计算,如:1.2xyxyxy→→→→→→===3 / 154 / 152.4 利用两个重要极限(,)0sin (,)lim 1(,)u x y u x y u x y →=，[]1(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广．例6 求极限 21lim(1)x x yx y axy+→∞→+．解: 先把已知极限化为22()11lim(1)lim (1)x x xy x y xy x yx x y ay a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，而 211limlim ,()(1)x x y a y a x y xy x y ay x→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,0xy xy →∞→,所以 1lim(1).xy x y ae xy →∞→+=故原式=2()11lim (1).x xy x y xy xy a axy e +→∞→⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=例７ 求 0sin()limx y axy x →→极限.解: 因为sin()sin().xy xy y x xy=，当0,x y a →→时，0xy →,所以 sin()1xy xy→,再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()limlim .lim .lim .x x y a xy y a y axy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1＝a ．这个例子也可以用等价无穷小代换计算,如: 当 0x →,y a →时，0xy → ,sin()xy xy ．5 / 15所以， 00sin()limlim lim .x x y a y a y axy xyy a x x →→→→→===２.5 利用无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量的结论例8 求0011)sin cos x y y x y →→解: 因为00)0x y y →→= 是无穷小量, 11sin cos 1x y ≤ 是有界量 ，故可知，0011)sin cos 0.x y y x y →→=例9 求 22232(3)(2)lim (3)(2)x y x y x y →→---+-解 原式=2232(3)(2)lim(3)(3)(2)x y x y x x y →→--⋅--+-因为 222222(3)(2)(3)(2)1(3)(2)22(3)(2)x y x y x y x y ---+-≤=-+-⎡⎤-+-⎣⎦ 是有界量，又 32lim(3)0x y x →→-= 是无穷小量，所以 ， 22232(3)(2)lim0(3)(2)x y x y x y →→--=-+- ． 虽然这个方法计算实际问题上不那么多用,但计算对无穷小量与有界量的乘积形式的极限的最简单方法之一 .２.６利用变量替换法通过变量替换可以将某些二元函数的极限转化为一元函数的极限来计算,6 / 15从而使二元函数的极限变得简单.但利用时一定要满足下面的定理。
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二元函数求极限的方法
作者：王海燕
作者单位：罗定职业技术学院,数理教研室,广东,罗定,527200
刊名：
考试周刊
英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN
年，卷(期)：2007(37)
1.齐春玲二元函数极限的存在性及求法[期刊论文]-河南农业2007(10)
2.杨雪宏.宋振新.段长存.YANG Xue-hong.SONG Zhen-xin.DUAN Chang-cun二重极限求法探析[期刊论文]-河北能源职业技术学院学报2002,2(3)
3.武淑琴二元函数极限的几种求法[期刊论文]-山西煤炭管理干部学院学报2004,17(2)
4.郭俊杰.GUO Jun-jie二元函数求极限的方法[期刊论文]-衡水学院学报2006,8(1)
5.曾庆健二元函数极限及其对应路径极限的一个充分必要条件[期刊论文]-甘肃科技纵横2004,33(4)
6.唐新华二元函数极限的求法和极限不存在的判断[期刊论文]-科技信息2009(18)
7.王海萍.WANG Hai-ping二元函数极限求法中一种误解的说明[期刊论文]-重庆文理学院学报（自然科学版）2007,26(1)
8.夏滨二元函数极限的求法与技巧探讨[期刊论文]-现代企业教育2008(22)
9.张瓛.ZHANG HUAN二元函数极限的存在性及求法[期刊论文]-散文选刊（理论版）2010(1)
10.冯英杰.李丽霞二元函数极限的求法[期刊论文]-高等数学研究2003,6(1)
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