分治法补充_多项式乘积的分治算法
分治算法课程思政
分治算法课程思政分治算法是一种常见的算法设计方法，它将一个大问题分解成若干个小问题，然后逐个解决这些小问题，最后将结果合并得到原问题的解。
这种算法思想在计算机科学中有着广泛的应用，不仅可以解决各种复杂的问题，还可以优化算法的时间复杂度。
在分治算法中，首先需要将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
这种划分要求子问题的规模要比原问题小且相互独立。
然后，对每个子问题进行递归求解，直到子问题的规模足够小，可以直接求解为止。
最后，将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法的基本步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题；2. 解决：递归地求解每个子问题；3. 合并：将子问题的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法的关键在于如何将原问题划分成子问题。
一般来说，划分子问题的方法有很多种，可以根据具体问题的特点选择合适的划分方式。
常见的划分方法有二分法、多项式拆分法、均匀划分法等。
分治算法的优势在于能够将原问题分解成多个规模较小的子问题，从而降低问题的复杂度。
通过递归地求解子问题，可以大大提高算法的效率。
此外，分治算法还具有天然的并行性，可以通过并行计算进一步提高算法的速度。
分治算法在实际应用中有着广泛的应用。
比如在排序算法中，快速排序和归并排序都是基于分治算法的思想。
在图像处理中，分治算法可以用来实现图像的分割和合并。
在并行计算中，分治算法可以用来解决任务的划分和合并问题。
然而，分治算法也存在一些限制和不足之处。
首先，分治算法要求子问题的规模要比原问题小且相互独立，这在某些问题中并不容易实现。
其次，分治算法在解决一些问题时可能会产生重复计算，导致算法效率降低。
此外，分治算法的实现需要额外的空间来存储子问题的解，这在一些资源受限的环境下可能会成为问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点来选择合适的算法设计方法。
分治算法作为一种常见的算法思想，在解决一些复杂的问题时具有明显的优势。
通过将原问题分解成若干个规模较小的子问题，并递归地求解这些子问题，最后将结果合并得到原问题的解。
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用
分治算法是一种重要的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题，下面将介绍一些典型的应用。
1. 排序算法。
分治算法在排序算法中有着重要的应用。
其中最著名的就是归并排序和快速排序。
在归并排序中，算法将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后合并这两个有序的子数组。
而在快速排序中，算法选择一个基准值，将数组分成两个子数组，分别小于和大于基准值，然后递归地对这两个子数组进行排序。
2. 搜索算法。
分治算法也可以用于搜索问题，例如二分搜索算法。
在这种算法中，将搜索区间分成两个子区间，然后递归地在其中一个子区间中进行搜索，直到找到目标元素或者子区间为空。
3. 求解最大子数组问题。
最大子数组问题是一个经典的动态规划问题，也可以用分治算法来解决。
算法将数组分成两个子数组，分别求解左右子数组的最大子数组，然后再考虑跨越中点的最大子数组，最后将这三种情况的最大值作为整个数组的最大子数组。
4. 矩阵乘法。
分治算法也可以用于矩阵乘法。
在矩阵乘法中，算法将两个矩阵分成四个子矩阵，然后递归地进行矩阵乘法，最后将四个子矩阵的结果合并成一个矩阵。
总的来说，分治算法是一种非常重要的算法设计策略，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
通过将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，我们可以高效地解决许多复杂的问题。
分治法补充_多项式乘积的分治算法
例4.11：设多项式 p(x) = 1+ x - x2 + 2x3 q(x) = 1- x + 2x2 – 3x3 用分治法计算这两个多项式的乘积。
多项式乘积的分治算法实例
解：n=4,n/2=2,划分多项式得： p(x) = (1+ x) +(-1 + 2x)x2 q(x) = (1- x) +(2 – 3x)x2
多项式乘积分治算法描述：
void PolyMulti (int p[],int ps, int q[], int qs,
int r[],int rs,int n) { 定义r1,r2,r3,r4为数组，大小为2*n-1。元素初始为0。 if(n==2) 直接计算r[rs],r[rs+1],r[rs+2]; else{ k = n/2; PolyMulti(p,0,q,0,r,rs,k); //r0 =p0*q0 PolyMulti(p,k,q,k,r1,n+rs,k); //r1 = p1*q1 PolyAdd(p,0,p,k,r3,0,k); //r3 = p0+p1 PolyAdd(q,0,q,k,r4,0,k); //r4 = q0+q1 PolyMulti(r3,0,r4,0,r2,k+rs,k); //r2 = r3*r4
r2数组： r1数组： r2结果：
-1
9
-11 -2 7 -6
1
2
-5
多项式乘积的分治算法实现
r0(x) = r0(x) + r2(x)(计算r0(x) + r2(x)xk）
r0 从k开始，r2从k开始，长度为2k-1的对应元素相加
r0数组： 1 r2数组： r0结果： 1
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
分治算法举例范文
分治算法举例范文分治算法是一种很重要的算法思想，它将一个大的问题划分成较小的子问题，然后分别求解这些子问题，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
下面我将详细介绍分治算法的几个经典例子。
1. 快速排序（Quick Sort）快速排序是一种经典的使用分治算法的排序算法。
它首先选择一个基准元素，然后将数组划分成两个子数组：小于基准元素的和大于基准元素的。
然后对这两个子数组分别递归地进行快速排序，最后将两个子数组合并起来即可得到有序的数组。
快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 归并排序（Merge Sort）归并排序也是一种利用分治思想的排序算法。
它将待排序的数组划分成两个子数组，然后分别对这两个子数组进行归并排序，最后将两个有序的子数组合并成一个有序的数组。
归并排序的时间复杂度也是O(nlogn)。
3. 汉诺塔问题（Tower of Hanoi）汉诺塔问题是数学领域中一个经典的问题，也可以通过分治算法来解决。
问题的规模是将n个圆盘从一个柱子移动到另一个柱子上，移动时需要遵守以下规则：每次只能移动一个盘子，移动过程中不能将较大的盘子放在较小的盘子上。
可以将问题划分成三个子问题：将前n-1个盘子从起始柱子移动到中间柱子上，将最后一个盘子从起始柱子移动到目标柱子上，最后将前n-1个盘子从中间柱子移动到目标柱子上。
这样就可以递归地求解子问题，最后合并起来得到原问题的解。
4. 最大子数组和问题（Maximum Subarray）最大子数组和问题是求解给定数组中连续子数组的最大和的问题。
可以使用分治算法来解决这个问题。
首先将数组划分成两个子数组，然后分别求解这两个子数组中的最大子数组和。
接下来，需要考虑跨越中点的情况，即包含中点的子数组的最大和。
最后，将这三种情况中的最大值作为最终的结果。
最大子数组和问题的时间复杂度为O(nlogn)。
5. 矩阵乘法（Matrix Multiplication）矩阵乘法也可以通过分治算法来实现。
乘法的算法问题回答
乘法的算法乘法是数学中最基本的运算之一，它是指将两个或多个数相乘得到一个积的过程。
在日常生活中，乘法经常被用于计算购物时的总价、计算面积和体积等。
在计算机科学领域中，乘法也是非常重要的基本运算之一。
乘法有很多种不同的算法，下面将介绍其中一些常见的算法。
1.竖式乘法竖式乘法是最基本的乘法算法之一。
它通过将两个数按位相乘，然后将结果相加得到最终结果。
例如，要计算23×56，可以按照以下步骤进行：23×56---138 （3×6）+690 （2×6+3×5）---1288这种方法简单易懂，但对于大型数字来说可能会比较繁琐。
2.分治法分治法是一种递归思想的应用，在计算机科学中非常常见。
在分治法中，问题被划分为更小的子问题，并且每个子问题都可以独立地解决。
在乘法中，可以使用分治策略将大型数字划分为更小的数字，并递归地计算它们的积。
例如，在计算23×56时，可以将23划分为2和3，将56划分为5和6，然后递归地计算以下四个子问题的积：2×5、2×6、3×5和3×6。
最终结果是这些积的和。
这种方法可以显著减少计算量，并且在处理大型数字时非常有用。
3.拉斯维加斯算法拉斯维加斯算法是一种随机化算法，它使用随机数来生成乘积。
在这种方法中，可以选择两个随机数，并将它们相乘得到一个估计值。
如果估计值与实际值非常接近，则可以认为结果是正确的。
否则，可以重新选择随机数并重复该过程。
这种方法具有高效性和可靠性，并且可以用于处理大型数字。
但是，由于它的随机性质，可能需要多次运行才能得到正确的结果。
4.卡拉茨巴乘法卡拉茨巴乘法是一种基于分治策略的高效乘法算法。
它通过将两个数字分解为更小的数字，并使用适当的运算来计算它们的积。
然后使用适当的运算将所有子问题组合起来得到最终结果。
例如，在计算23×56时，可以将23划分为2和3，将56划分为5和6。
分治法解决大整数乘法问题
分治法解决大整数乘法问题通常，在分析算法的计算复杂性时，都将加法和乘法运算当作基本运算来处理，即将执行一次加法或乘法运算所需的计算时间，当作一个仅取决于计算机硬件处理速度的常数。
这个假定仅在参加运算的整数能在计算机硬件对整数的表示范围内直接处理才是合理的。
然而，在某些情况下，要处理很大的整数，它无法在计算机硬件能直接表示的整数范围内进行处理。
若用浮点数来表示它，则只能近似的表示它的大小，计算结果中的有效数字也受到限制。
若要精确地表示大整数并在计算结果中要求精确地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大整数的算术运算。
设X和Y都是n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积Z。
可以用小学所学的方法来设计计算乘积XY的算法，但是这样做计算步骤太多，效率较低。
如果将每2个1位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要进行O(n^2)步运算才能算出乘积XY。
下面用分治法来设计更有效的大整数乘积算法。
将n位二进制数X和Y都分为两段，每段长n/2位（为简单起见，假设n是2的幂）。
则有：其中X1、Xo分别为X的高位和低位，Y1、Yo分别为Y 的高位和低位。
C2是它们的前半部分的积；Co是它们后半部分的积；C1是X、Y两部分的和的积减去C2与C0的积。
如果n/2也是偶数，我们可以利用相同的方法来计算C2、Co 的和C1。
因此我们就得到了一个计算n位数积的递归算法：在这种完美的形式下,当n变成1时,递归就停止了.或者当我们认为n已经够小了,小到可以直接对这样大小的数相乘时,递归就可以停止了.该算法会有多少次位乘呢?因为n位数的乘法需要对n/2位数做三次乘法运算,乘法次数M(n)的递推式将会是:当n>1时,M(n)=3M(n/2),M(1)=1当n=2^k时,我们可以用反向替换法对它求解:因为所以在最后一步中,我们利用了对数的一个特性:我们应当知道对于不是很大的数,该算法的运行时间很可能比经典算法长.有报告显示,从大于600位的整数开始,分治法的性能超越了笔算算法的性能.如果我们使用类似Java、C++和Smalltalk这样的面向对象语言，会发现这些语言专门为处理大整数提供了一些类。
整数相乘算法
整数相乘算法整数相乘算法是计算机科学中的一个重要问题，它涉及到了很多领域，比如高精度计算、密码学、图像处理等。
在本文中，我们将介绍几种常见的整数相乘算法，并对它们的时间复杂度和空间复杂度进行分析。
一、暴力枚举法暴力枚举法是最简单直接的一种整数相乘算法。
它的思路很简单：将两个整数的每一位都相乘，再将结果累加起来。
具体实现时，可以使用两个嵌套循环分别遍历两个整数的每一位，然后将它们相乘并累加到结果中。
这种算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为两个整数的位数之和。
二、分治法分治法是一种高效的整数相乘算法。
它的思路是将大问题划分成小问题，并递归地解决小问题。
具体实现时，可以将两个整数分别拆成高位和低位两部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2)= (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) * 10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log3)，其中n为两个整数的位数之和。
三、Karatsuba算法Karatsuba算法是一种优化版的分治法。
它的思路是将两个整数分别拆成三部分，然后用公式(a1 * 10^n + a2) * (b1 * 10^n + b2) = (a1 * b1) * 10^(2n) + ((a1 + a2) * (b1 + b2) - a1 * b1 - a2 * b2) *10^n + a2 * b2来计算它们的乘积。
具体实现时，可以将(a1+a2)*(b1+b2)-a1*b1-a2*b2递归地计算出来，然后再用这个结果计算乘积。
这种算法的时间复杂度为O(n^log23)，其中n为两个整数的位数之和。
四、FFT算法FFT（快速傅里叶变换）算法是一种高效的整数相乘算法。
它利用了傅里叶变换中的性质，将乘积转化成卷积，然后使用快速傅里叶变换来计算卷积。
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例4.11：设多项式 p(x) = 1+ x - x2 + 2x3 q(x) = 1- x + 2x2 – 3x3 用分治法计算这两个多项式的乘积。
多项式乘积的分治算法实例
解：n=4,n/2=2,划分多项式得： p(x) = (1+ x) +(-1 + 2x)x2 q(x) = (1- x) +(2 – 3x)x2
2n k 1 n n 1
ank bk x n ... (a1b0 a0b1 ) x a0b0
k 0
n
直接解：n=2，多项式只有两个系数，直接 乘 p( x)q( x) a0b0 (a0b1 a1b0 ) x a1b1 x 2
划分：当n>2，为降阶，将p(x)、q(x）分别划 分为两个多项式：
0
0
多项式乘积的分治算法实现
r0(x) = r0(x) + r1(x)(计算p(x)q(x)）
r0 从n开始，r1从n开始，长度为2k-1的对应元素相加
r0数组： 1 r1数组： r0结果： 1 计算结果
0
0
2
-5 -2 7 7 -6 -6
0
0
2
-7
多项式乘积的分治算法实现
根据上述数组变化，定义函数： void PolyAdd(int p[],int ps, int q[], int qs, int r[],int rs,int k) //r[rs+i] = p[ps+i] + q[qs + i] i=0,…,k-1
求逆序对个数
• 有一实数序列A[1]、A[2] 、A[3] 、……A[n-1] 、A[n]，若 i<j，并且A[i]>A[j]，则称A[i]与A[j]构成了一个逆序对，求 数列A中逆序对的个数。 • n≤10000。 • 例如，5 2 4 6 2 3 2 6，可以组成的逆序对有 （5 2），（5 4），（5 2），（5 3），（5 2）， （4 2），（4 3），（4 2）， （6 2），（6 3），（6 2）， （3 2） • 共：12个
• 由于B、C两个数组已经进行了排序，因此有效地统计B、
C两个数组之间的“逆序对”的个数。这一统计步骤可在
线性时间内完成的。 • 排序的过程可在递归求解子问题时完成，算法的时间复
杂度为O(nlogn)。
• 虽然对B、C两个序列当中的元素进行了排序，使得序列A 当中某一部分元素的顺序被打乱了，但由于求解过程是 递归定义的，在排序之前B、C两个序列各自其中的元素 之间的“逆序对”个数已经被统计过了，并且排不排序 对统计B、C两个数组之间的“逆序对”的个数不会产生 影响。所以排序过程对整个问题的求解的正确性是没有 任何影响的。
anb1xn1 an1b1xn ... a1b1x2 a1b0 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
anbn x2n ... a1bn xn1 a0bn xn
anbn x ...... an1k bk x
r0数组： 1
0
-1
多项式乘积的分治算法实现
计算r1：r1(x)=p1(x)q1(x)=(-1+2x)(2-3x)
p、q从k开始，长度为k的元素组成的多项式的乘积
r1在p(x)q(x)最低次为n，最高次2n-2。
r1数组：
-2
7
-6
多项式乘积的分治算法实现
计算r2：r2(x)=(p0(x)+p1(x))(q0(x)+q1(x))
多项式乘积分治算法描述：
void PolyMulti (int p[],int ps, int q[], int qs,
int r[],int rs,int n) { 定义r1,r2,r3,r4为数组，大小为2*n-1。元素初始为0。 if(n==2) 直接计算r[rs],r[rs+1],r[rs+2]; else{ k = n/2; PolyMulti(p,0,q,0,r,rs,k); //r0 =p0*q0 PolyMulti(p,k,q,k,r1,n+rs,k); //r1 = p1*q1 PolyAdd(p,0,p,k,r3,0,k); //r3 = p0+p1 PolyAdd(q,0,q,k,r4,0,k); //r4 = q0+q1 PolyMulti(r3,0,r4,0,r2,k+rs,k); //r2 = r3*r4
r2数组： r1数组： r2结果：
-1
9
-11 -2 7 -6
1
2
-5
多项式乘积的分治算法实现
r0(x) = r0(x) + r2(x)(计算r0(x) + r2(x)xk）
r0 从k开始，r2从k开始，长度为2k-1的对应元素相加
r0数组： 1 r2数组： r0结果： 1
0
-1 1 2 2 -5 -5
4
多项式乘积的分治算法实例
p( x)q( x) 1 x 2 (9 x 12x 2 1 x 2 2 7 x 6 x 2 ) x 2 (2 7 x 6 x 2 ) x 4 1 x 2 (1 2 x 5x 2 ) x 2 2 x 4 7 x 5 6 x 6 1 2x3 7 x 4 7 x5 6x6
改进后的分治算法乘积次数为三次。 改进分治算法时间复杂度：
T (2) O(1) n2 T (n) 3T (n / 2) O(n) n 2
用递推法解，有T(n)=O(nlog3)。
改进分治算法的时间复杂性O(nlog3)，优于直 接乘积的O(n2)，其原因在于降低了低阶多项式乘 积次数。 该思想也被用于后续的矩阵乘积和大整数乘 法分治算法中，它们都是通过降低低阶乘积次数 达到改进时间复杂性的目的。
多项式乘积的分治算法
问题描述：已知多项式
p ( x) a0 a1 x ... an x q ( x) b0 b1 x ... bn x
计算p(x)*q(x)。
n n
为均匀划分，以下均假设多项式的系数个数n=2k。
多项式乘积的直接计算
多项式乘积：乘法(n+1)2次，加法n(n+1)次。
p( x) p0 ( x) p1 ( x) x n / 2
q( x) q0 ( x) q1 ( x) x n / 2
求解、组合：
p( x)q( x) p0 ( x)q0 ( x) [ p1 ( x)q0 ( x) p0 ( x)q1 ( x)]x n / 2 p1 ( x)q1 ( x) x n
void PolyMinus(int p[],int ps, int q[], int qs, int k) //p[ps+i] = p[ps+i] – q[qs+i] i=0,…,k-1
多项式乘积的分治算法实现
void PolyMulti (int p[],int ps, int q[], int qs, int r[],int rs,int n) //p(x) = p[ps] + p[ps+1]x + …+ p[ps+k-1]xn-1 //q(x) = q[qs] +q[qs+1]x + … + q[qs+k-1]xn-1 //r(x) = p(x)q(x)xrs 计算多项式乘积c(x) = p(x)q(x)即调用： PolyMulti(p,0,q,0,c,0,n)，即
多项式加、减：加、减法(n+1)次。
为降低n次多项式乘积的时间复杂性，可将其转 换为低阶多项式的乘积，且尽量减少乘积次数， 增加多项式加减次数。
an x an1x xn bn1 xn1 ... b1 x b0
anb0 xn an1b0 xn1 ... a1b0 x a0b0
假设s(i,j,k)表示以k为分割点，第一个元素在i到k中，第 二个元素在k+1到j中形成的逆序对数。
f(i,j)=f(i,k)+f(k+1,j)+s(i,j,k)。
• 更小规模的f可以递归求解 • 如何来统计序列B和序列C之间的“逆序对”呢？
提示
• 在递归的求解B、C两个序列中的逆序对的个数以后，如 果对B、C两个序列当中的元素进行排序的话，要统计B、 C两个序列之间的“逆序对”是非常容易的. • 如图 • 排序前 • 排序后 在B数组当中，首先，B中的6，5，4都与C数组当中的3， 2，2都构成了“逆序对”，而2不会构成逆序对，因此B、 C两个数组之间构成的逆序对的个数为3+3+3=9。
求解、组合改进：
p( x)q( x) p0 ( x)q0 ( x) [ p1 ( x)q0 ( x) p0 ( x)q1 ( x)]x n / 2 p1 ( x)q1 ( x) x n
( p0 ( x) p1 ( x))(q0 ( x) q1 ( x)) p0 ( x)q0 ( x) p1 ( x)q0 ( x) p0 ( x)q1 ( x) p1 ( x)q1 ( x)
记：r0 ( x) p0 ( x)q0 ( x)
r1 ( x) p1 ( x) q1 ( x)
r2 ( x) ( p0 ( x) p1 ( x))(q0 ( x) q1 ( x))
p( x)q( x) r0 ( x) (r2 ( x) r0 ( x) r1 ( x)) x n / 2 r1 ( x) x n
多项式乘积的分治算法实现
r2(x)= r2(x) –r0(x)