基本初等函数Ⅱ(三角函数)

（1）任意角的概念、弧度制

①了解任意角的概念。

②了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2）三角函数

①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 ②能利用单位圆中的三角函数线推导出

απαπ

±±，2

的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan cos sin ===，，的图像，了解三角函数的周期性。

③理解正弦函数、余弦函数在区间[02]π，

的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等），理解正切函数在区间（2

2π

π，-

）的单调性。 ④理解同角三角函数的基本关系式：x x

x

x x tan cos sin 1cos sin 2

2

==+，. ⑤了解函数sin()y A x ωφ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωφ=+的图像，了解参数A 、

ω、ϕ对函数图象变化的影响。

⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。

III.真题再现：

（2015年全国新课标卷I 理、文科8） 函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，

则()f x 的单调递减区间为 (A)（）,k (B)（）,k

(C)（

）,k

(D)（

）,k

【答案】D 【解析】

试题分析：由五点作图知，1

+42

53+42πωϕπ

ωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所

以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜3

24

k +，

k Z ∈，故单调减区间为（1

24

k -，324k +），k Z ∈，故选D.

考点：三角函数图像与性质

（2015年全国新课标卷II 理科、文17）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求

sin sin B

C

∠∠；

(Ⅱ)若1AD =，2

2

DC =，求BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)

1

2

；(Ⅱ)1．

(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以2BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得

2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．

考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．

（2014年全国新课标卷I(河南、河北、山西)理科6）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为

解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===，又()11

22

f x OP OM MP ⋅=，所以()1

sin cos sin 22

f x x x x ==

，故选B.

（2014年全国新课标卷I 文科2）若0tan >α，则( C )

A .0sin >α B. 0cos >α C. 02sin >α D. 02cos >α 解析：由0cos sin tan >=

α

α

α，得0cos sin 22sin >=ααα.

（2014年全国新课标卷I 文科7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③

)62cos(π

+

=x y ,④)4

2tan(π

-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③

解析：cos |2|cos 2y x x ==，最小正周期为ππ

==2

2T ；由|cos |x y =图像可知其最小正周期为π；)62cos(π+=x y 的最小正周期为ππ==

22T ；)4

2tan(π

-=x y 最小正周期为2

π

=

T ，选A 。

（2013年全国新课标卷I 文科9）函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（C ）

答案：C

解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ． 当x ∈π0,2

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

时，f (x )＞0，排除A.

当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2

x ＋cos x ＋1. 令f ′(x )＝0，得2π3x =.故极值点为2

π3

x =，可排除D ，故选C.

（2013年全国新课标卷II 理科15）设θ 为第二象限角，若tan(θ + π

4 ) = 12 ，则sin θ +

cos θ = . 答案：-

10

5

解：由θ 为第二象限角及tan(θ + π4 ) = 12 > 0⇒θ + π4 为第三象限角，在θ + π

4 的终边上取一

点P (-2, -1)，易得sin(θ + π4 ) = - 55 ⇒ sin θ + cos θ = 2

sin(θ + π

4 ) = - 105

（2013年全国新课标卷II 文科16）函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2

π

个

单位后，与函数sin(2)3

y x π

=+的图象重合，则ϕ=_________。

【答案】

56

π

【解析】函数cos(2)y x ϕ=+，向右平移

2

π

个单位，得到sin(2)3

y x π

=+

，即

sin(2)3y x π=+向左平移2π个单位得到函数cos(2)y x ϕ=+，sin(2)3

y x π

=+向左平移

2

π

个单位，得

sin[2()]sin(2)233y x x ππππ=++=++sin(2)cos(2)323x x πππ

=-+=++ 5cos(2)6x π=+，即56

π

ϕ=。

（2012年全国新课标卷理科9）已知0ω>，函数()sin()4f x x π

ω=+在(,)2

π

π上单调递

减。则ω的取值范围是（ ）

()A 15[,]24 ()B 13[,]24

()C 1

(0,]2 ()D (0,2]

【解析】选A

592()[,]444x πππ

ωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D

351()[,]444

x πππ

ωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C

另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,

]424422x ππππππ

ωωπω+∈++⊂ 得：315

,2424224πππππωπωω+≥+≤

⇔≤≤

（2012年全国新课标卷文科9）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =

4

π

和x =54π是函数