厦大随机过程5

n
t 的极限，因而具有后者的系列性质。
t
W t
初始值为零， 因此 W t W 0 W t ， 两者分布相同。 W t 和 W t W s 的分布，除了期望值等于 W s 外，其他性质相同。
W t 是 W n t 的极限：
，其对
P W

100
1 0.25 0.1 C 0.1555 2
13 25

25
用直方图可以将其表示出来。
很显然，分布接近正态分布，期望值为 ，方差为
。
固定 t 0 ，当 n 时，按比例缩小型随机游走 W 方差为 t 的正态分布。 证明： 期望值为 、方差为 t 的正态分布的矩母函数为：
n
t
nt 1 1 M nt M j n n j 1
W n t 的设定意味着对于每个时刻，都走了 n 步，每一步的升降幅度为
1 。 n
由于每一步仍是独立的， W
n
t 的增量为
1 1 M nt M ns n n
100
W n t W n s




j 1wenku.baidu.com
n


j 1
n

独立增量的性质意味着
n a
j 1
nt
a a a a a nt 1 n 1 n 1 n 1 n exp M e e e e 2 j 2 2 n j 1 2
x s 的函数，而不是 X t 的函数。在式 中，我们将哑变量 x s 用 X s 再代回。
二次变分性质（ ） 截至时刻 k ，对称随机游走的二次变分定义为
M , M k M j M j 1
j 1
k
2
k
尽管二次变分和方差都等于 k ，但这两者的计算是截然不同的。方差是关于所有路径， 以其概率为权重求平均，概率一旦不是 ，方差不一定会是 k ；而 M , M k 是沿单条路径
k
Mk
因此 M k 是一个鞅过程，而 M j 是其一步增量构成的时间序列，是一个鞅差分序列。 马尔可夫性质


E f Mt |
s
E f Mt Ms Ms | s E h M t M s , M s | s for h M t M s , M s f M t M s M s
f , f T nlim f t j 1 f t j
0 j 0
n 1
2
定义如上。
在通常的微积分学中，函数 f 多是具有连续导数，即 f t 处处有定义，从而可以运用 微分中值定理，计算出其二次变分为 ，因此，在通常的微积分中，不考虑二次变分。
0
t1
t2
t1
f ' t dt

T
tT 1
f ' t dt
f ' t dt
0
T
从离散的角度来看，对于 0, T 上的连续过程，我们在时间上取划分（不一定等分）
t0 , t1,
其中最大的步幅记为
tn ,0 t0 t1
tn T
max t j 1 t j
计算的，不涉及概率。我们只是在理论上能算得随机游走的方差，因为我们无法得知所有路 径的真实情况；然而我们可以沿着真实的路径算出二次变分。 在对称随机游走的这个特例中， 所有路径的二次变分都是 k 。 但并不意味着所有的随机 过程的二次变分对于所有路径都是一样的。
按比例缩小对称随机游走
W
其中 n 为正整数。
布朗运动是马尔可夫过程。 由于
s E f W t W s W s | s
根据独立性引理，一定有
g W s E f W t W s W s
使得
E f W t |
2 E W s W t E W s s
因此相应的协方差矩阵为
t1 t1 t t 1 2 t1 t2
因此，对于所有 0 t0 t2
t1 t2 tm
tm ，如果 W t1 ,W t2 ,...W tm 服从期望值为零、
W t w s
2
2
dW t
可以看出， W t 的条件密度中，与 性质的要义所在。
s 有关的信息仅为 W s 的取值。这就是马尔可夫
一阶变分是每一步变动的绝对幅度之和。连续过程的一阶变分 FVT f 表示为
FVT f f ' t dt
P 0 W 100 0.25 0.2 0.1555 P 0 W 0.25 0.2 0.1554


独立增量性质意味着 W t1 ,W t2 ,...W tm 服从联合正态分布，其关键参数为期望值 与协方差。显然各期望值均为零，对于任意两个时刻 0 s t ，W s 和 W t 的协方差为
根据独立性引理，存在一个函数 g ，
g x E h M t M s , x
使得
E h M t M s , M s |
因此随机游走过程为马尔可夫过程。
s
g Ms
假设随机变量向量 X s 和随机变量向量 X t 表示一个时间序列中相互独立的两个随机变 量向量。设 h 是 X s 和 X t 的函数。定义
协方差如上式的联合正态分布，则 W t 是一个布朗运动。
布朗运动是鞅。
E W t |
s E W t W s W s | s E W t W s W s W s
E f W t |
随机游走（
对称随机游走
）
假设连续抛掷一枚均匀的硬币。抛掷结果记为 122 ... ，设
M j
1, if j H 1, if j T
定义一个随机过程 M k , k 0,1,2,... ，其中
M0 0 M k M j , k 1, 2,...
t
是一个域流，
s t ,0 s t
对于
t
，布朗运动 W t 是一个适应的随机过程。
W u W t
t ,0 t u 且期望值为零，这意味着市场有效。
t 既可能只是布朗运动的信息，也可能包括其他信息。
布朗运动是按比例缩小型随机游走 W
f , f T nlim f t j 1 f t j
0 j 0 n 1
n 1
2
lim
n 0 j 0
f t t
* j 2 n 1 j 0
g xs E h x s , X t
其中， x s 为 X s 对应的哑变量向量（表示确定的取值） 。则
E h X s , X t |
其中，式
s
g Xs
是关键。它表明，在给定 X s 为 x s 的情况下， g 是对 X t 的积分，因此是
Var M k i M k
j k 1
Var M i
j
k i
总之，M k 具有独立同分布的增量，增量期望值为零，方差为时间长度。每单位时间的方 差为 。 鞅过程和鞅差分性质 对于任何整数 i 0 ，
E M k i |
k
E M k i M k M k |
2
每一步只有两个可能的随机过程总是可以绘成二叉树模型。 给定时刻 t ， W 例如， W
100 n
t 服从什么分布？
步，由于每一步或者取值 之间，共 ，或者取值 。
0.25 意味着走了
到
W 100 0.25 的可能取值范围从
应的概率也可计算出来，例如，
个取值，每个取值间隔为
其期望值为 ，方差为 t s 。
例如，假设 n 100 ，时刻 至时刻 ，走了 从第 步到第 步（共
步，W
0.70 W 100 0.20 表示
。
步）的增量，期望值为 ，方差为
W n t 仍具有（增量）独立同分布、鞅过程和马尔可夫性质，其二次变分为
nt 1 1 W 100 ,W 100 t M M j 1 t j n n j 1
j 1 k
可以看出， M k , k 0,1,2,... 的特点是增量独立、升降的绝对幅度相同、概率相等，被称 为对称随机游走。
独立同分布增量：
M k i M k
j k 1
M
k i
j
不相交的时间区间上 M k 的增量是独立同分布的。其期望值为 ，方差则为
s g W s
随机过程的转移密度就是条件密度。假设 W s w s ，显然 W t 服从期望值为
w s 、方差为 t s 的正态分布，也就是说，
E f W t |
s

1 f W t e 2
n
t 的分布收敛于期望值为
、
a exp aX exp ax f x dx e


1 2 a t 2
nt 为整数时， W
n
t 的矩母函数为
nt 1 nt a n a exp aW n t exp a M j exp M j
j 0,...,n 1
相应的一阶变分 FVT f 为
FVT f lim
可以证明，式 证明： 和式
n 0 j 0
f t f t
j 1 j
n 1
是一致的。
*
由于 f t 处处有定义，根据微分中值定理，在每个子区间 t j , t j 1 内存在一点 t j ，使 得
函数 W t t 0 。如果 不重叠时间段上的增量两两独立； 每个增量均服从期望值为零、方差等于时间长度的正态分布； 则 W t t 0 是一个布朗运动。
三大基本特征：连续； （增量）独立同分布； （增量）服从期望值为零、方差等于时间长 度的正态分布。


可以理解为不同的路径。 则是所有可能路径的集合。
nt
要证明分布的收敛，等价于证明当 n 时，
1 an 1 an nt ln e e 2 2
收敛于
1 2 at 2
运用两次 法则可以得证。
布朗运动（
（标准）布朗运动
）
设 ,
,
是概率空间。对于每个 ，假设存在依赖于 的，W 0 0 的连续
f t j 1 f t j t j 1 t j
因此式 可以写为
f t* j
FVT f lim
T
n 0 j 0
f t t
* j
n 1
j 1
tj
f ' t dt
0
Riemann积分
设 f t 是关于 0 t T 有定义的函数。截至时刻 T ， f 的二次变分为