厦大随机过程4

每分钟扔一个硬币，定义样本空间为
H , T
将时间定义为 t1 , t2 ,... ，并在 上定义概率测度，则
X t1 , X t2 ,....
就是一个随机过程。如果将时点固定，其中的每一项都是一个随机变量；如果将每个时点的 状态确定，例如假设每次都出现 H ，那么
X H , t1 , X H , t2 ,....
随机过程的概念
我们已经知道，在一个样本空间 ，通过构建 域的方法，我们可以构建概率测度 空间，并在此空间上定义随机（实数）变量。这其实是建立了从样本空间到实数的一个一元 函数（映射） 。 在实际金融分析中，我们遇到的变量不仅具有随机性，还具有随时间而变化的性质，因 此需要用到随机过程的概念。

f xt1 , xt2 ,..., t1 , t2 ,...


F n xt1 , xt2 ,..., t1 , t2 ,... xt1 xt2 ...


如果能确定联合分布， 我们就完全掌握了随机过程的各种信息。 但很多时候我们是难以 观察和把握联合分布的，所以我们退而研究随机过程的矩的性质。
f x, t
为随机过程的一阶密度函数。
F x, t x
t E X t X t d X t dF X t
R
t2 Var X t X t t d X t t dF X t
E t E E t |
t 1
0
t j
E t t j E t t j | E
所以鞅差分序列都是白噪音。 但白噪音不一定是鞅差分序列。例如
t | E t j E
t j
0
如果一个随机过程的分布不随着时间的推移而变化， 我们称该随机过程是一个强平稳过 程。即
F xt1 , xt2 ,... xtn , t1, t2 ,..., tn F xt1 t , xt2 t ,... xtn t , t1 t, t2 t ,..., tn t

dS dt dz ln St ln St 1 t
随机过程的统计特征
因为固定在某个时点上，随机过程退化为一个普通的随机变量，所以我们有以下定义：
定义一个随机过程 X t 在任意时点的分布函数
F x, t
为随机过程的一阶分布函数。
Xt x
称一阶分布函数的偏导数
t at 1t 2 t ,t I.I.D. 0, 2
t ht vt
where ht 0 1 t21 vt is a white noise (IID) and v2 1. vt is independent of t 1.
现实生活中的股票价格和贴现债券价格是一个下鞅。 条件期望是一个鞅。
Es Et X T Es X T , s t T ln St ln St 1 t , Et 1 t 0
令
t X t X t 1
当 X t 是一个鞅过程时， t 被称为鞅差分序列。由条件期望的基本性质可得
几种常见的随机过程
白噪音（ ）
如果一个随机过程 t 满足
s 0, s, t T
0, s t Cov s, t 2 , s t
我们称 t 为一个白噪音过程。
显然白噪音过程属于弱平稳过程。 如果 s 恒等于一个非零常数，则我们很容易通过去均值将其转化为一个白噪音。 有些教材也将这样的随机过程称为白噪音。 白噪音的核心特征在于无条件自相关系数为零，即无自相关。
E X t | X s , t s
ln St ln St 1 t
期望值恒定 pt p0
（p ） p , E
i 1
2
t
i
t
0
方差无界 Var pt t
2 cov （pt ,pt s） E pt p0 pt s p0 t s 自相关 ts s t s t
2 2 R
以上概念都是时间 t 的函数。 以上统计特征只揭示了随机过程在某个固定时点上的信息。 很多时候我们需要知道在不 同时点上随机过程的分布是否具有某种联系。所以进一步引入以下概念。
F xt1 , xt2 ,..., t1, t2 ,...


X
t1
x1, X t2 x2 ,...
自相关系数很高，且强记忆性。
正弦波过程：
Baidu Nhomakorabea
X t a cos bt
和 为常数， 服从在 函数和自协方差函数。 上的均匀分布。试求 X t 的一阶密度函数、一阶期望、自相关
平稳性是指随着时间的变化， 随机过程的某些特征会保持不变的性质。 它是随机过程中 的重要概念。最常见的平稳性定义有强平稳过程和弱平稳过程。



如果一个随机过程的一阶矩和二阶矩都存在（不为无穷大） ，而且不随时间的推移而变 化，称该随机过程是一个弱平稳过程。即：
re s, t re s t , t t re t s , s, t T
s t , s, t T
由于
2 1/ 2 Et 1 t Et 1 vt Et 1 0 1 t 1 0 2 Vart 1 t 0 1 t 1
t 在 vt 生成的信息流下是一个鞅差分序列。
效率市场假说： 公平游戏意味着剔除合理的（系统）可预期收益（时间价值＋风险溢酬）之后，超 额收益应该是鞅差分序列， 以当前信息而言是不可预测的， 条件期望为零， 没有自相关。 投资者无法稳定地获得超额收益。检验方法如： ，价格时间序列上的检测 信息效率
的随机过程称为 过程。
鞅过程（
）
设 ,
,
是概率空间， T 是固定的正数，
t
,0 t T 是
的子 代数的域流。
考虑一个适应的随机过程 X t ,0 s t T ，且 E Xt 。 如果
E Xt |
s
Xs
则我们称 X t 是一个鞅。鞅没有上升或下降的趋势。 如果
如果 t 是一个白噪音，那么满足
t a0 0 t 1 t 1 ... q t q
的随机过程称为 过程。请自行验证 过程的弱平稳性和自相关性质。
如果 t 是一个白噪音，那么满足
t 0 1 t 1 2t 2 ... pt p t
假设 是随机试验的样本空间， T 是一个参数集 一般指时间 。如果对于每个 t T ， 都有随机变量 X , t R 与之对应，则称依赖于 t 的一族随机变量 X , t 为一个随机 过程，有时也简写为 X t 或者 X t 。



随机变量 X , t 是映射到实数轴的二元函数，自变量包括时间和状态。 如果固定在某个具体时点上，它退化为一个普通随机变量。 如果给定每个时点上的状态，它退化为时间的确定性函数，又称为样本路径。
E Xt |
s
Xs
则我们称 X t 是一个下鞅。鞅没有下降的趋势，但可能有上升的趋势。 如果
E Xt |
s
Xs
则我们称 X t 是一个上鞅。鞅没有上升的趋势，但可能有下降的趋势。
鞅过程的核心特征在于条件一阶矩（条件期望）为当前值。 鞅过程意味着公平游戏：对未来的最佳预测等于当前值。也就是说，当前信息集无 法提供任何有助于预测未来的信息，未来的变动是完全不可预测的。 鞅过程意味着无条件收益率有界，条件预期收益率为 。 在图上，鞅过程应呈现出非常不规则的轨迹，不应有任何的可监测到的趋势。 鞅过程与正态分布无必然联系。满足条件期望等于 的 过程同样是鞅。 从连续性上看，鞅又可以分为两种：连续鞅；右连续鞅（跳跃）。 无条件二阶矩（方差）有界的连续鞅被称为连续平方可积鞅（ ） 鞅过程是适应随机过程。鞅的概念总是与特定的信息集和特定的概率测度相联系。 信息集和测度改变，随机过程可能在鞅和非鞅之间变换。 将半鞅转化为鞅过程的方法有二： 分解：在一些一般条件下，任意的随机过程都可以分解为一个鞅 和一个上升 下降过程的的组合。去除第二部分，即可得到一个鞅。 转变概率测度， 使其在新的概率测度下转化为一个鞅。 只要对概率为 和概率 为 的事件测度相同，这个测度被称为原测度的 等价鞅测度 （ ），转换过程需要用到哥萨诺夫定理（ ）
二阶混合原点矩
re s, t E X s X t
称为自相关函数。
二阶混合中心矩
Cov s, t E X s s X t t re s, t s t
称为协方差函数。
自相关函数和协方差函数是两个时间参数 和 的二元函数。当 s t 时协方差就退化 为方差了。
就是该随机过程的一条样本路径。
记 St 为某只股票上市以来第 t 个交易日的收盘价， 由于股价受各种随机因素的影响， 因 此 St 也是一个随机过程。
记 ct 为上述股票的看涨期权在 t 时刻的价格，其到期时点为 T ，执行价格为 K 。对于
t T 的时点， ct St , t, T , K 也是一个随机变量，其取值取决于 St 的随机过程。 K 和 T 被
Cov s, t re s, t s t re t s 2
所以弱平稳过程的自协方差也不随时间变化而变化。 二阶矩只与时间的间隔有关，而与时点的绝对位置无关。 由于弱平稳过程中对一阶矩和二阶矩的大小有要求，而严平稳过程没有，所以这两种平 稳过程没有相互包含的关系。 但是满足一阶矩二阶矩有限这一性质的严平稳过程都是弱平稳 过程。
2 1/2 2 1/2 0 E t E v E v E t 0 1 t 1 t 1 t 1 0 Since E vi 0, E t t i 0, for i 0
X t xt | s X t xt | xs
则我们称 X t 是（基于这个域流和测度 的）一个马尔可夫过程。
马尔可夫性质又称作无记忆性或者叫无后效性， 是在预测未来分布的时候， 只取决 于当前的信息； 或者同时使用当前信息和历史信息时， 与仅仅使用当前信息的预测 结果是一样的。 也就是说在当前信息已知的情况下， 历史信息对预测未来分布没有 额外的作用。 马尔可夫性质也可以写为，如果 X t 为马尔可夫过程，则对于任一非负的波雷尔可 测函数 f ，存在另一个波雷尔可测函数 g ，使得
Rt 1 Et Rt 1 β'Ωt vt
如果 β 0 或 vt 存在序列相关，说明不是公平游戏，不是有效市场。
'
马尔可夫过程（
）
设 ,
,
是概率空间， T 是固定的正数，
t
,0 t T 是
的子 代数的域流。
考虑一个适应的随机过程 X t ,0 s t T 。 如果
称为 ct 的随机过程的参数。
根据时间参数和状态是否连续 可以对随机过程进行分类： （ ） 和 T 都是离散的。这是实际中最常出现的随机过程。 （ ） 连续， T 离散。 （ ） 离散， T 连续。 （ ） 和 T 都连续。以它为基础的金融学研究称为连续时间金融。在这种情况下我们可以 用许多方便的数学工具来处理随机过程，所以理论上大多采用此类模型。