圆锥曲线中的计算方法与技巧
圆锥曲线解题技巧归纳
圆锥曲线解题技巧归纳圆锥曲线是数学中的重要主题之一、它涉及到许多重要的概念和技巧，可以用于解决各种问题。
本文将归纳总结圆锥曲线解题的一些常用技巧，帮助读者更好地理解和应用这一主题。
1.判别式法：对于给定的二次方程，可以根据判别式的符号来判断它表示的曲线类型。
当判别式大于零时，曲线是一个椭圆；当判别式小于零时，曲线是一个双曲线；当判别式等于零时，曲线是一个抛物线。
2.参数方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用参数方程来表示。
通过选取合适的参数，可以将曲线表示为一系列点的集合。
这种方法可以简化问题，使得求解过程更加直观和方便。
3.极坐标方程法：对于给定的圆锥曲线，可以使用极坐标方程来表示。
通过将直角坐标系转换为极坐标系，可以更好地描述和分析曲线的特性。
这种方法在求解对称性等问题时非常有用。
4.曲线拟合法：对于给定的一组数据点，可以使用曲线拟合的方法来找到一个最适合的圆锥曲线。
通过将数据点与曲线进行比较，可以得出曲线的参数和特性。
这种方法在实际应用中非常常见，例如地图估算、经济预测等领域。
5.曲线平移法：对于给定的圆锥曲线，可以通过平移坐标系来使其简化。
通过选取合适的平移距离，可以将曲线的对称轴对准到坐标原点，从而更方便地进行分析和求解。
6.曲线旋转法：对于给定的圆锥曲线，可以通过旋转坐标系来改变其方向和形状。
通过选取合适的旋转角度，可以使曲线变得更简单和易于处理。
这种方法在求解对称性、求交点等问题时非常有用。
7.曲线对称性法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其对称性来简化问题。
根据曲线的对称轴、对称中心等特性，可以快速得到曲线的一些重要参数和结论。
8.曲线的几何性质法：对于给定的圆锥曲线，可以通过研究其几何性质来解决问题。
例如，对于椭圆可以利用焦点、半长轴、半短轴等参数来求解问题；对于双曲线可以利用渐近线、渐近点等参数来求解问题。
9.曲线的微积分法：对于给定的圆锥曲线，可以通过微积分的方法来求解其一些重要特性。
圆锥曲线解题技巧归纳(9篇)
圆锥曲线解题技巧归纳（9篇）化为一元二次方程，利用判别式求最值篇一如果能把圆锥曲线的最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程，利用，解得要求未知量的范围，然后确定其最值。
例3：直线，椭圆C：。
求以椭圆C的焦点F1、F2为焦点，且与直线l有公共点M的椭圆中长轴最短的。
分析：因为直线l与所求椭圆有公共点，可以由方程组得到一个一元二次方程，再利用判别式确定所求椭圆长轴的`最小值。
解：椭圆C的焦点。
说明：直线l与椭圆有公共点，可得方程组，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，由一元二次方程有实根的条件得，构造参变量的不等式，确定的最小值，这种解法思路清晰、自然。
圆锥曲线的八大解题方法：篇二1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法圆锥曲线的解题方法：篇三一、求圆锥曲线方程（1）轨迹法：设点建立方程，化简证明求得。
例题：动点P（x，y）到定点A（3，0）的距离比它到定直线x=—5的距离少2。
求动点P的轨迹方程。
解析：依题意可知，{C}，由题设知{C}，{C}{C}。
（2）定义法：根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。
上述例题同样可以由定义法求出曲线方程：作直线x=—3，则点P到定点A与到定直线x=—3的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，以x=—3为准线的抛物线。
（3）待定系数法：通过题设条件构造关系式，待定参数即可。
例1：已知点（—2，3）与抛物线{C}的焦点的距离是5，则P=_____。
解析：抛物线{C}的焦点为{C}，由两点间距离公式解得P=4。
例2：设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同，离心率为{C}，则椭圆的方程为_____。
解析：抛物线{C}的焦点坐标为（2，0），所以椭圆焦半径为2，故离心率{C}得m=4，而{C}，所以椭圆方程为{C}。
一、化为二次函数，求二次函数的最值依据条件求出用一个参数表示的二次函数解析式，而自变量都有一定的变化范围，然后用配方法求出限制条件下函数的最值，就可得到问题的解。
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解
圆锥曲线解题技巧利用参数方程求解解题技巧利用参数方程求解圆锥曲线圆锥曲线是数学中重要的曲线类型之一，在几何学和物理学等领域中有广泛的应用。
解决圆锥曲线的问题时，常常需要利用参数方程来求解。
参数方程可以将曲线上的点的坐标表示为参数的函数形式，进而简化问题的求解过程。
下面将介绍一些常见的圆锥曲线问题，并讲解利用参数方程进行解答的技巧。
1. 圆锥曲线的参数方程表示圆锥曲线的参数方程表示为：x = x(t)y = y(t)其中，x(t)和y(t)分别是x轴和y轴上的坐标，t是参数。
通过参数方程，我们可以得到曲线上各点的坐标，从而对其性质和特点进行研究。
2. 求圆锥曲线上的特定点利用参数方程，我们可以求解圆锥曲线上的特定点坐标。
以椭圆为例，其参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
通过选取合适的参数t，我们可以计算出椭圆上的各个点的坐标。
3. 求圆锥曲线的切线和法线参数方程还可以用来求解圆锥曲线上某一点的切线和法线。
对于曲线上任意一点P（x0，y0），其切线的斜率由参数方程导数dy/dx决定：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)通过求解dy/dx的值，并代入点P的坐标，可以得到切线的斜率。
进一步地，我们可以利用切线斜率和点P的坐标，得到切线的方程。
法线是与切线垂直的线段，其斜率是切线斜率的倒数的负数。
再利用点P的坐标，我们可以求解法线的方程。
4. 求圆锥曲线的弧长和曲率通过参数方程，我们还可以求解圆锥曲线上两点间的弧长。
弧长的计算公式为：L = ∫sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt其中，dx/dt和dy/dt分别是参数方程x(t)和y(t)的导数。
通过计算弧长，我们可以获得曲线上两点之间的路径长度。
曲率是指圆锥曲线在某一点处的弯曲程度。
其计算公式为：k = |(dy/dt * d^2x/dt^2 - dx/dt * d^2y/dt^2) / ((dx/dt)^2 +(dy/dt)^2)^(3/2)|通过计算曲率，我们可以了解曲线在某一点处的弯曲情况，并作进一步的分析和研究。
圆锥曲线速算技巧
圆锥曲线速算技巧圆锥曲线是数学中的重要内容，涉及定义法、焦点法、参数法、勾股定理法、相似法、极坐标法、代数法、几何法等多种速算技巧。
本文将详细介绍这些技巧的应用原理和推导过程，并给出具体实例，帮助读者更好地理解和掌握。
1. 定义法定义法是圆锥曲线速算的基本方法之一，根据圆锥曲线的定义，可以直接计算出曲线的方程和性质。
例如，对于椭圆，其定义为到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a>0）的点的轨迹。
根据这个定义，我们可以直接计算出椭圆的标准方程和性质。
具体实例：已知椭圆的两焦点分别为F1(-2,0)和F2(2,0)，求该椭圆的标准方程。
解：根据椭圆的定义，设该椭圆上任意一点P(x,y)，则|PF1| + |PF2| = 2a。
又因为两焦点距离为4，所以2a = 4，即a = 2。
从而得到椭圆的方程为：x^2/4 + y^2/2 = 1。
2. 焦点法焦点法是利用圆锥曲线的焦点性质进行计算的速算方法。
对于椭圆和双曲线，它们的焦点到曲线上任意一点的距离之差等于定值。
利用这个性质，我们可以快速求解曲线的方程和性质。
具体实例：已知双曲线的焦点坐标为F1(-5,0)和F2(5,0)，且双曲线上任意一点到两焦点的距离之差等于4，求该双曲线的标准方程。
解：设该双曲线上任意一点P(x,y)，根据双曲线的焦点性质，有||PF1| - |PF2|| = 4。
又因为两焦点距离为10，所以得到方程：|x + 5| - |x - 5| = 4。
解得x=3或x=7，从而得到双曲线的标准方程为：x^2/9 - y^2/4 = 1或x^2/49 - y^2/16 = 1。
3. 参数法参数法是通过引入参数来描述圆锥曲线的坐标关系，从而简化计算过程的速算方法。
常用的参数包括角度、斜率、截距等。
圆锥曲线的运算技巧总结
圆锥曲线的运算技巧总结龚胜良1.已知椭圆上一点P 00(,)x y ,求过这点的直线l 与椭圆的另一个Q 11(,)x y .方法：将直线l 与椭圆联立得到一个一元二次方程,利用韦达定理求出1x ,再代入直线l ,从而得到1y .2.若过P 00(,)x y 且斜率为k 的直线l 与椭圆联立的相关表达式中.又有过该点且斜率为1k-的直线1l 与椭圆联立的表达式,只需将第一个表达式中的k 换为1k -即可.3.许多情况不宜将直线写成点斜式,这样代入曲线计算量会变大（当然做整体处理计算量也不见得很多,具体见2010年辽宁高考数学理),常常设直线l :y kx m =+,再将点代入直线.4.当过一点P 00(,)x y 引曲线C 的切线（切线有很多条）时,将切线设为一条与曲线相联立,从而得到了关于斜率k 高次方程,将k 解出,若为二次用韦达定理.5.在圆锥曲线中,遇到面积比、线段比时.面积比通过找同底或等高或同角,转化为线段比,线段比通过作梯形或三角形转化为横坐标或者纵坐标的绝对值比,这样问题变简单,计算量变小.6.要会灵活设直线.当斜率为k ,过点M (,0)m 设直线为1x y m k =+.注意用弦长公式时不要弄混.7.当求证:过定点,定值,关系式恒成立时，直接计算或证明计算量很大,那么我们就先讨论直线斜率不存在时,定值,定点,关系式怎么样.再讨论斜率为0时,定值,定点,关系式怎么样.如果情况是一致的,那就上述得到的情形来假设k 存在且不为0时也成立,接下来就证明该结论即可.8.设直线l 与曲线交于A ,B .1l 为A ,B 的垂直平分线且交曲线于C ,D .两点,l 的斜率为k ,11l k k=- 现设1l :代入曲线得到中点,中点在l 上,得到一元二次方程1∆>0,计算量变小很多（1l :x ky b =-+）9.判断直线与椭圆的位置关系时,利用点到直线的距离等于半径.10.许多学生记不下来双曲线的焦半径公式.遵循:左加右减,同负异正（左右指焦点,同异指焦点与曲线的支是否对应）12,F F 为左右焦点,1122(,),(,)P x y Q x y 为曲线的左右两支 11()PF a ex =-+ 21PF a ex =-12QF a ex =+ 22()QF a ex =--11.注重点差法在圆锥曲线中的应用12.相切0∆=有一交点,容易解出交点,也方便计算.13.12||||x x α-=,去掉绝对值得到两根之差12x x - 14.要充分利用向量（线段相等或成倍数关系）。
圆锥曲线问题中的几则运算简化技巧
+圆锥曲线问题中的几则运算简化技巧圆锥曲线的方程都是二次方程，因而解决与此相关的问题时，往往涉及到较为复杂的代数运算，特别是含参问题的运算，有时极为复杂．这时如何采用合理手段简化运算，成为能否顺利解决这类问题的关键．一、数形结合简化运算例1:已知椭圆的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点，点C在右准线上且BC//x轴，求证：直线AC经过线段EF的中点．证明：如图，设直线AC与x轴的交点为N，过A作AD⊥l，垂足为D，因为BC//x轴，所以BC⊥l，于是根据椭圆几何性质，得|BF|=e|BC|, |AF|=e|AD|.∵AD//FE//BC,∴,∴,所以N为EF中点，即直线AC过线段EF中点N．点评：本题的解法充分利用了图形的几何性质，即三角形相似及椭圆定义的几何表示，避免了复杂的代数运算．在圆锥曲线的许多问题中合理运用图形的几何性质，可以简化运算，如直线与圆的位置关系问题，一般借助圆的几何性质解决，其中(1)过弦的中点的直径垂直平分弦，(2)弦心距、半弦长、对应的半径构成直角三角形，(3)直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径等几何性质，都是在解题中经常用到的．或者利用代数表达式的特定几何意义，采用数形结合避免复杂代数运算，如，已知x, y满足x2+y2=1，求的取值范围．可以看作是点(x，y)与点(2，2)的连线的斜率．二、运用定义简化运算例2：已知某椭圆焦点是F l(-4，0)，F2(4，0)，过F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F l B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C| 成等差数列．求AC中点的横坐标．解：由条件易得椭圆方程为，且B点坐标为，右准线为，离心率．根据椭圆定义有、. 由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得，由此得出x1+x2=8, 于是AC中点坐标.点评：这个题目的求解过程利用了椭圆的第二定义，大大简化了代数运算，合理运用圆锥曲线的定义可以简化运算．三、设而不求简化运算例3：已知椭圆C的焦点为和，长轴长为6，设直线y ＝x+2交椭圆C于A、B两点.求线段A、B中点的坐标．解：由条件易得椭圆方程为．设A、B两点坐标为(x1，y1)、(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，于是=1，且y0＝x0+2，将A、B两点坐标代入椭圆C的方程得两式相减，得，∴，∴·2y0=0.由y0=x0+2，得.点评：本题解法的本质是设出A、B两点坐标，但并不直接求解；而是作为中间过渡，即设而不求，巧妙地将复杂的运算简化，这种方法在解决与圆锥曲线的弦的中点有关的问题时非常奏效．四、应用韦达定理简化运算例4：设A、B为抛物线y2＝4px(p＞0)上原点外的两个动点，已知OA⊥OB，求证：直线AB过定点．解：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(x2，y2)．显然AB不平行于x轴，设AB不垂直于x轴，AB所在直线方程为y＝kx+b，代入y2＝4px，得k2x2+(2kb-4p)x+b2=0,∴.又y1=kx1+b,y2=kx2+b,∴.根据OA⊥OB，得,∴x1x2+y1y2＝0，于是有,解得b＝-4kp，所以直线AB方程为：y＝k(x-4p)．故直线AB过定点(4p，0)．当AB⊥x轴时，设A(pt2, 2pt)，B(pt2，-2pt)．由OA⊥OB，得pt2=2pt, t=2.∴AB同样经过定点(4p，0)．点评：这个题目的解法应用韦达定理巧妙处理了条件OA⊥OB，使得问题的运算量大大降低．运用韦达定理解决直线与圆锥曲线问题是解析几何常用的方法，它可以有效地避免复杂的二次方程的求解运算．五、合理设参简化运算例5：已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴．证明：直线AC经过原点．证明：根据抛物线方程，可设,则，由直线AB过焦点，易得, ,故A、O、C共线.点评：此题运用了抛物线的方程特点，用A、B两点带参数的坐标取代了普通直角坐标(x，y)，使运算大为简化．在解决圆锥曲线相关问题时，如果能够合理使用圆锥曲线的方程巧设有关点的坐标，可以简化运算．又如：已知x、y满足，求x+y的最值．如果令x=5cos,y=4sin，可使问题的解答化归为三角函数问题解决．六、合理转化简化运算例6：已知圆C：(x-1)2+(y-2)2＝25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4＝0(m ∈B)．证明：不论m为何值，直线l与圆C恒交于两点．解：将直线l的方程重新整理可得(2x+y-7)m+x+y-4＝0．令解得x＝3, y＝1．所以直线l恒过定点(3，1)．因为(3-1)2+(1-2)2＝5＜25，所以点(3，1)在圆内，故l与C恒有两个交点．点评：这是一个证明直线与圆有交点的问题，如果用判别式法或证明圆心到直线的距离小于圆的半径，都有一定的难度，但将证明转化为证明直线过圆内定点问题，简化了运算．象这样通过分析问题的内在特征，将问题合理转化，可使问题的解决变得特别简单．除了上述方法外，还可用参数方程等知识工具简化运算，这里不再赘述．总之，圆锥曲线问题采用合理手段简化运算，才能顺利解决问题，解题时应当注意留心体会并及时总结.。
2024圆锥曲线大题计算方法
2024圆锥曲线大题计算方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，其相关题目在各类考试中频繁出现，尤其是大题部分，对考生的计算能力提出了较高要求。
本文将针对2024年圆锥曲线大题的计算方法进行详细解析，帮助考生掌握解题技巧，提高解题效率。
一、圆锥曲线方程求解方法1.椭圆方程求解：对于椭圆题目，首先要根据题目条件列出椭圆的标准方程。
在求解过程中，注意运用以下方法：（1）画图、特值法：通过观察图形，选取特殊点或线，简化计算过程；（2）变换主元与换元法：在化简方程时，可适当变换主元或进行换元，降低计算难度；（3）整体消元法：在求解过程中，注意整体消元，避免繁琐的计算。
2.双曲线方程求解：与椭圆类似，双曲线的求解也要注意运用画图、特值法、变换主元与换元法以及整体消元法。
二、直线与圆锥曲线交点求解方法1.代入法：将直线方程代入圆锥曲线方程，求解交点坐标。
注意在代入过程中，尽量简化计算，避免繁琐的运算。
2.联立方程组法：将直线方程与圆锥曲线方程联立，构成方程组，求解交点坐标。
在求解过程中，注意运用消元法、代入法等简化计算。
三、中点问题求解方法1.定点定值问题：通过画图、特值法或高观点，找出题目中的定点或定值，从而简化计算。
2.调和线束的中点性质：在涉及中点问题时，可运用调和线束的中点性质，快速判断中点位置。
四、实例解析以2023-2024学年北京市朝阳区高三第一学期期末数学试卷第20题为例，题目要求求解椭圆方程，并判断点N是否为线段CM的中点。
1.椭圆方程求解：根据题目条件，列出椭圆的标准方程，并运用上述方法求解。
2.直线与椭圆交点求解：过点P(2, 1)的直线l与椭圆E交于不同的两点C、D，运用代入法或联立方程组法求解交点坐标。
3.中点判断：根据调和线束的中点性质，判断点N是否为线段CM的中点。
五、总结在解决圆锥曲线大题时，掌握以下方法有助于提高解题效率：1.熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；2.学会运用画图、特值法、变换主元与换元法、整体消元法等简化计算；3.熟悉中点问题的求解方法，特别是调和线束的中点性质；4.注重实际操作，多做题，积累解题经验。
圆锥曲线中的计算方法与技巧
专题一 圆锥曲线中の计算方法与技巧高考中，圆锥曲线解题の一般思路:第一步：联立直线与圆锥曲线の方程。
也就是说，把直线代入圆锥曲线。
一般情况下，我们会得到一个“一元二次方程”。
但要注意：特殊情况下，我们所得到の不是一个一元二次方程。
比如，当直线与双曲线の渐近线平行时，我们此时联立直线与圆锥曲线之后所得到の一元二次方程の二次项系数为零，此时它显然不会是一元二次方程，这一点在做题时要慎重考虑。
当得到了一元二次方程后，我们先算△，再由韦达定理（即根与系数关系）算出，，这里，12x x +12x x 12x x +12x x 一般为含参数の表达式。
第二步：列方程或不等式，求出上述表达式中の所有参数，从而得到问题の解决。
这里，通过列方程或不等式求出参数或参数范围の方法有以下几种： （i ） 交点，中点（与交点有关の，需要列出△の表达式；与中点有关の，需要列出の表达式）122x x+（ii ） 向量化为坐标表示法。
例如若题设条件告知直线与圆锥曲线の两个交点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设,,我们可得到关系式()11,A x y ()22,B x y 12120x x y y +=（iii ） 弦长公式法。
弦长公式2AB x =-（iv ）非对称式消元法。
一般地，对于这种非对称形式の式子，12(,)0f x x =我们统一考虑韦达定理及题给条件用代入消元法求解此类问题。
例如若题设条件有关于の表达式，则我们可利用代入消元法求解此122x x +类问题。
具体方法是：列出如下方程121212?(1)?(2)2?(3)x x x x x x +=⎧⎪=⎨⎪+=⎩（3）—（1）可得；代入（1）可得；再把得到の代入（2）即可求得2x 1x 12,x x 未知参数。
（这里の“？”表示含有未知参数の代数式）下面，我们以一个一般问题说明一下圆锥曲线中の计算技巧。
联立双曲线与直线の方程，得（＊）22221x y a b y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩第一个技巧：无论题给直线多么复杂，我们一定要把它写成の形式。
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专题一 圆锥曲线中の计算方法与技巧
高考中，圆锥曲线解题の一般思路:
第一步：联立直线与圆锥曲线の方程。
也就是说，把直线代入圆锥曲线。
一般情况下，我们会得到一个“一元二次方程”。
但要注意：特殊情况下，我们所得到の不是一个一元二次方程。
比如，当直线与双曲线の渐近线平行时，我们此时联立直线与圆锥曲线之后所得到の一元二次方程の二次项系数为零，此时它显然不会是一元二次方程，这一点在做题时要慎重考虑。
当得到了一元二次方程后，我们先算△，再由韦达定理（即根与系数关系）算出12x x +，12x x ，这里12x x +，12
x x 一般为含参数の表达式。
第二步：列方程或不等式，求出上述表达式中の所有参数，从而得到问题の解决。
这里，通过列方程或不等式求出参数或参数范围の方法有以下几种： （i ） 交点，中点（与交点有关の，需要列出△の表达式；与中点有关の，
需要列出122
x x
+の表达式）
（ii ） 向量化为坐标表示法。
例如若题设条件告知直线与圆锥曲线の两个交
点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设
()11,A x y ,()22,B x y ,我们可得到关系式12120x x y y +=
（iii ）
弦长公式法。
弦长公式12AB x =-
（iv ）
非对称式12(,)0f x x =消元法。
一般地，对于这种非对称形式の式子，我们统一考虑韦达定理及题给条件用代入消元法求解此类问题。
例如若题设条件有关于122x x +の表达式，则我们可利用代入消元法求解此
类问题。
具体方法是：列出如下方程12121
2?(1)?(2)2?(3)
x x x x x x +=⎧⎪
=⎨⎪+=⎩
（3）—（1）可得2x ；代入（1）可得1x ；再把得到の12,x x 代入（2）即可求得未知参数。
（这里の“？”表示含有未知参数の代数式）
下面，我们以一个一般问题说明一下圆锥曲线中の计算技巧。
联立双曲线与直线の方程，得22
221x y a b y kx m ⎧-
=⎪⎨⎪=+⎩
（＊）
第一个技巧：无论题给直线多么复杂，我们一定要把它写成y kx m =+の形式。
例如，我们要把过定点（2,3）の直线3(2)y k x -=-写成(23)y kx k =--（这里の23k -在运算中千万不能展开）
由（＊）式，有22
22
()1x kx m a b
+-= 第二个技巧：上式中得多项式运算用口算。
口算展开之后五项只剩三项:二次项，
一次项，常数项。
22
2222212()(1)0k km m x x a b b b
⇒---+=
当
2
2
210k a b -≠时
，
2
2
2
2
2
2
2
2
214
(
)
4(
k m k m b a b b ∆=
-- 第三个技巧：把上式括号展开之后所得の四项里一定有一项能和第一项相消。
无论是椭圆还是双曲线，这个结果都是必然の。
22
222214()k m a b a b
=-+
由韦达定理，有2
2
122222222211km km
b b x x k k a b a b -+=-=--，2212222(1)1m b x x k a b
-+=- 第四个技巧：打死不通分。
该运算技巧在做题中居于核心地位。
（a ）若直线与圆锥曲线の两个交点A,B 与坐标原点O 具有关系O A ⊥OB,则有OAOB=0，通过设()11,A x y ,()22,B x y ,我们可得到关系式12120x x y y += 而2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ 于是由12120x x y y +=，有221212(1)()0k x x km x x m ++++=
22222
2222
2(1)(1)011m km b b k km m k k a b a b -+⇒+++=-- 22222
2222221(1)[(1)]()0m k m k k m b b a b
⇒+-+++-= 22
2
2210m m k b a
⇒---+=
由该式可见，若已知a,b,m,则可求得k;若已知a,b,k ，则可求得m.
进一步，有22
2
22(1)0m m k b a
++-=
事实上，21k +在求弦长时经常出现。
若已知a,b,则21k +可由m 表示。
(b)
求弦长12AB x =-=
12x x -=====这里，a 为一元二次方程の二次项系数2221k a b
-，22
222214()k m a b a b ∆=-+
于是12x x -=
=
故弦长AB =。