人教版高中数学2019-2020 高三二轮复习：选修二 2-3 第一章 排列与组合复习课(网课)(共16张PPT)
千百 十 个
0 2 4
做一做
5.由1，2，3，4，5五个数字组成无重复数字的三位
数中，个位数比十位数小的有_____个？
6.有甲乙丙三项任务，甲须2人承担，乙丙各须1人承 担，从10人中选派4人承担这3项任务，不同的选法有 ______种？ 7.信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号， 现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示 不同的信号的种数是______。
间接思考单记它．
特殊元素和位置，
首先就要考虑它．
“大于”“小于”排列题，
从高到低若干类．
“含”与“不含”属一类，
直接间接方法明．
“在”与“不在”“邻”“非邻”，
错位排列逆思
法．
重复排列乘法算，
穿插捆绑排列法．
分堆均分有区别，
后面除以全排列．
隔板原理方法巧，
组合问题不可少．
排列组会综合题，
先组后排加乘算．
整体减去部分差，
学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，
有多少种排法？
A77
A33
二、组数问题
特殊优先法 间接法
用0，1，2，3，4, 5这五个数，组成没有重复数字 的四位数，其中偶奇 被 奇 比数数数52整3共共位4除有1有（大的多多从的数少少左数共个个往有有？？右多多）少少只个个排？？奇
数字的数共有多少个？
C
2 8
引申：（09年浙江卷）甲乙丙3人站在共有7级的台阶
上，若每级台阶最多站2人，同一台阶上的人不区分站
的位置，则不同的站法有多少种？
10
9
8
3 2 1
排队与组合诗一首
排列组合两大法，
日常生活用处大．
美丽图案巧组合，
中文英文排列法．
顺序有关属排列，
顺序无关组合法．
分类分步细分辨，
加法乘法计算它．
B
8.如图，从A到B只能沿着线 走，有___种不同的走法？
此图共有____个矩形？
A
例1 有4个不同的小球，4个不同的盒子，把小球全
部放入盒内。 （1)共有多少种放法？ （2）任一盒子都不空，有多少种放法？ （3）恰有一个盒不放球，有多少种放法？ （4）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？ （5）恰有2个盒不放球，有多少种放法？
节目单中，那么不同的插法的种数是多少？
新
新
42
一、排队问题
多排问题单排法
3.七人排成两排，第一排3人，第二排4人，则有多少 种不同的排法？
A73 A44 7! A77
变：排成三排：一排2人，一排3人，一排2人又如何？
A72 A53 A22 7! A77
一、排队问题
定序问题用除法
4.有4名男生，3名女生，3名女生高矮互不等，将7名
不同的分法？
至少一个
变式1：6本相同的书，分给3人，每人至少1本，有
几种不同的分法？
变式2：学校里有10个三好学生的名额，分给3个班
级，每班至少1个，有几种不同的分法？
变式3：10个相同的小球放入编号为1，2，3的盒子
里，每个盒子所放的小球数不小于编号数，有几种不 同的放法？
变式4：方程x+y+z=12的非负整数解的个数为_____.
例2有6本不同的书，按下列要求有几种不同的分法：
（1）摆在3层书架上，每层2本； （2）分给甲、乙、丙，每人2本； （3）分成3堆，每堆2本； （4）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本； （5）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3 本； （6）分成3堆，有2堆各1本，另一堆4本。
例3 有6本不同的书分给3人，每“人相挡至同少板元1法本素”，有几种
乙甲 甲
丙丁 乙
A55 A22 A22 C51 A55 A22
一、排队问题
不相邻问题插空法
2.要排一张有5个歌唱节目和4个小品节目的演出节目
单，要求任何两个小品节目不能相邻，问有多少种
不同的排法？ 品
品
品
品
歌
歌
歌
歌
歌
A55 A64
A55 A44
练：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演
前又增加了两1，2，3，……，10的10个球放入标号 为1，2，3，……，10的10个盒子中，每个盒内放一 个球，恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一 致的放入方法有_____C_13_0__2__种
(2)同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来, 然后 每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的 分配方式有__9___种？
（3）编号为1、2、3、4、5的五个球放入编号 为1、2、3、4、5的五个盒子里，至多有2个对 号入座的情形有_1_0_9________种
三、盒球问题
隔板法
把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子 （1)共有多少种放法？
（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？
（3）恰有2个盒不放球，有多少种放法？ 引申1：把 64 个相同的小球全部放入 3 个不同的盒子，
每盒至少放一球，有几种不同的方法？
C
2 3
引申2：方程x+y+z=6有几组正非整负数整解数？解？
引申3：学校里有20个三好学生的名额，分给4个班级， 每班至少1个，有几种不同的分法？
四、台阶问题
递推数列法
楼梯一共有10级台阶，上楼可以一步一级，也可以一步 两级，若要求8步走完这楼梯，则不同的走法有多少种？
选修2-3
忆知识
两 个 原 理
排 列 与 组 合
内容 应用
排 列 排列数公式 （有序）
组合 （无序）
组合数公式 组合数性质
计数问题
排队
地位
组数 盒球 台阶 二项式定理 概率与统计
一、排队问题
相邻问题捆绑法
1.7名同学排成一排,其中甲、乙两人必须相邻的不同 排法有多少种？
甲乙
A66 A22
甲乙丙
A55 A33
高中数学复习选修2-3 第一章章末总结 阶段复习课(一)
3. 的定义解释
是从Cmnn个 不Cnn同m元素中取出m个元素拼成一组，在从n个不同
元素中取出m个元素的同时，n个元素中剩余的n-m个元素就自
然C形mn 成了一组，所以 与 是相对应的，所以两数相等.
Cmn
Cnm n
【辨析】
1.组合与组合数的区别
组合与组合数是两个不同的概念,一个组合是由不同元素合成的一组数,组合
【辨析】
1.排列的概念 排列问题是针对不同元素的排列,若问题中允许元素重复,则不是排列问题. 2.排列与排列数的区别 排列与排列数是两个不同的概念,一个排列是按一定顺序排列的一列数,排列 数是所有不同排列的个数,是一个数.
三、组合 1.组合与组合数
概念
组合,组合数
一般地,从n个不同元素中取出m个元素合成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合, 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数.
各类方案之间是互斥的、 各步之间是关联的、相
并列的、独立的
互依存的
二、排列 1.排列与排列数
排列,排列数
排列 概念
一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不
排列数 同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个
③④字a与C母knbaa的n,b次k是b数k一之种和“是符n号. ”，它可以是数、式及其他值.
⑤通项公式是对(a+b)n这个标准形式而言的，如(a-b)n的展 开式的通项公式是
Tk1 1 k Cnkankbk .
Ckn (n N*,k 0,1,2,,n)
(2)二项式定理的特征 ①二项展开式有n+1项，比二项式的次数大1. ②二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念. ③要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题.
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第1章 计数原理-章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①分类加法计数原理②分步乘法计数原理③排列④排列数公式⑤组合数公式⑥组合数⑦二项展开式的通项⑧对称性⑨增减性两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进而分析求解.(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读.(1)若他从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法？(2)若带外语、数学、物理参考书各一本，有多少种不同的带法？(3)若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？【精彩点拨】解决两个原理的应用问题，首先应明确所需完成的事情是什么，再分析每一种做法使这件事是否完成，从而区分加法原理和乘法原理.【规范解答】(1)完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12(种).(2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60(种).(3)选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法；同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法；选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47(种).应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：(1)要做什么事；(2)如何去做这件事；(3)怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.[再练一题]1.如图1-1为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电.图1-1【解析】先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；第二类，经过支路②有1种方法；第三类，经过支路③有2×2＝4(种)方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.【答案】8排列、组合的应用排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.(1)某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？【精彩点拨】按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般.【规范解答】(1)因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案A48种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A38种方法，所以共有3A38种方法；③若乙参加而甲不参加同理也有3A38种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A28种，共有7A28种方法.所以共有不同的派遣方法总数为A48＋3A38＋3A38＋7A28＝4 088种.(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A7＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A4＝24种方法.根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种.②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A6＝720种方法.×□×□×□×□×□×□×第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A47＝7×6×5×4＝840种.根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种.③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A12种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有A1212A1010＝A212＝132种排法.解排列、组合应用题的解题策略1.特殊元素优先安排的策略.2.合理分类和准确分步的策略.3.排列、组合混合问题先选后排的策略.4.正难则反、等价转化的策略.5.相邻问题捆绑处理的策略.6.不相邻问题插空处理的策略.7.定序问题除序处理的策略.8.分排问题直排处理的策略.9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.10.构造模型的策略.简单记成：合理分类，准确分步；特殊优先，一般在后；先取后排，间接排除；集团捆绑，间隔插空；抽象问题，构造模型；均分除序，定序除序.[再练一题]2.(1)一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A.40B.74C.84D.200 (2)(2016·山西质检)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A.60种B.48种C.30种D.24种【解析】 (1)分三类：第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个； 第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得C 35C 34＋C 45C 24＋C 5C 14＝74.(2)由题意知，不同的座次有A 2A 4＝48种，故选B. 【答案】 (1)B (2)B二项式定理问题的处理方法和技巧对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.(1)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式中1x3的系数是84，则实数a ＝( )A.2B.54 C.1D.24(2)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n (n ∈N ＋)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________.【导学号：62980030】(3)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0的值为________. 【精彩点拨】 (1)、(2)利用二项式定理的通项求待定项； (3)通过赋值法求系数和.【规范解答】 (1)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 展开式的通项是T r ＋1＝C r n x n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3r ＝C r n x n －4r ，r ＝0,1,2，…，n ， 由于(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x3n 的展开式中没有常数项，所以C r n x n －4r ，x C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋1和x 2C r n x n －4r ＝C r n x n －4r ＋2都不是常数，则n －4r ≠0，n －4r ＋1≠0，n －4r ＋2≠0，又因为2≤n ≤8，所以n ≠2,3,4,6,7,8，故取n ＝5.(3)令x ＝1，得a 6＋a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝26＝64.令x ＝－1，得a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)6＝4 096. 两式相加，得2(a 6＋a 4＋a 2＋a 0)＝4 160， 所以a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝2 080. 【答案】 (1)C (2)5 (3)2 0801.解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式.2.解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法.[再练一题]3.(1)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210(2)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( ) A.0 B.1 C.11D.12【解析】 (1)因为f (m ，n )＝C m 6C n 4， 所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.(2)512 016＋a ＝(13×4－1)2 016＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 016＋a 能被13整除.【答案】 (1)C (2)D排列、组合中的分组与分配问题n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.【精彩点拨】这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.【规范解答】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有C16种选法，再从余下的5本中选2本有C25种选法，最后余下3本全选有C3种选法.故共有C16C25C3＝60(种).(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)问基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C3A3＝360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三步，则应是C26C24C2种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C2种分法中还有(AB，EF，CD)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A3种情况，而这A3种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15(种).(4)有序均匀分组问题.在第(3)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A3＝C26C24C2＝90(种).(5)无序部分均匀分组问题.共有C46C12C11A22＝15(种).(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)问基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A3＝90(种).(7)直接分配问题.甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C4种方法.共有C16C15C4＝30(种).均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.[再练一题]4.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？【解】取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：1 144,2 233,1 234.所取卡片是1 144的共有A4种排法.所取卡片是2 233的共有A44种排法.所取卡片是1 234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44种.所以共有18A44＝432种.1. (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )A.10B.20C.30D.60【解析】法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个(x2＋x＋y)之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C23C13＝30.故选C.【答案】 C2.如图1-2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )图1-2A.24B.18C.12D.9【解析】从E到G需要分两步完成：先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条.如图，从E到F的最短路径有两类：先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6(条).所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×3＝18.【答案】 B3.有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________.【解析】先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字.法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法.故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.【答案】1和34. (2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________.(用数字填写答案) 【解析】 (2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝ C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r2.令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10. 【答案】 10。
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高中数学选修 2-3 知识点
第一章计数原理
1.1 分类加法计数与分步乘法计数
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同
的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不
同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第 1 步有 m 种不同的方法，
做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法。
分步
要做到“步骤完整”。
n 元集合 A={a1，a2?，an}的不同子集有 2
n 个。
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列(arrangement)。
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n
个不
同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号An
m表示。
排列数公式：
n 个元素的全排列数
规定：0!=1
1.2.2 组合
一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同
元素中取出 m 个元素的一个组合( bination)。
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个
不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号。
人教版高中数学选修2-3练习：第一章 章末复习课 Word版含解析
章末复习课整合·网络构建]警示·易错提醒]1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类，使分类后不重、不漏．2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”和“有序”区分开来．3．正确区分分堆问题和分配问题．4．二项式定理的通项公式T k＋1＝C a n－k b k是第(k＋1)项，而不是k n第k项，注意其指数规律．5．求二项式展开式中的特殊项(如：系数最大的项、二项式系数最大的项、常数项、含某未知数的次数最高的项、有理项……)时，要注意n与k的取值范围．6．注意区分“某项的系数”与“某项的二项式系数”，展开式中“二项式系数的和”与“各项系数的和”，“奇(偶)数项系数的和”与“奇(偶)次项系数的和”．专题一 两个计数原理的应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章知识的基础，高考中时有出现，一般是与排列、组合相结合进行考查，难度中等．例1] 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )高中数学A.144种 B．72种C．64种D．84种解析：法一 根据所用颜色的种数分类第一类：用4种颜色涂，方法有A＝4×3×2×1＝24(种)．4第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色，方法有C C12 A＝48(种)．1423第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色，方法有A＝12(种)．24根据加法原理，不同的涂色方法共有24＋48＋12＝84(种)．法二 根据“高”“学”是否为同色分类第一类：区域“高”与“学”同色，从4色中选1色，有C种14方法，其余区域“中”“数”各有3种方法，共有4×3×3＝36(种)．第二类：区域“高”与“学”不同色，区域“高”有4种方法，区域“学”有3种方法，区域“中”“数”各有2种方法，共有4×3×2×2＝48(种)．根据加法原理，方法共有36＋48＝84(种)．答案：D归纳升华应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成该事件，能完成便是分类，否则便是分步．对于有些较复杂问题可能既要分类又要分步，此时应注意层次清晰，不重不漏，在分步时，要注意上一步的方法确定后对下一步有无影响(即是否是独立的)．变式训练] 在∠AOB的OA边上取3个点，在OB边上取4个点(均除O点外)，连同O点共8个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )A．48 B．42C．36 D．32解析：分三类：第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB 边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有C C个；1324第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有C C个；2314第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有C C个．1314由分类加法计数原理，可作的三角形共有N＝C C＋C C＋C C132423141314＝42(个)．答案：B专题二 排列组合应用题排列组合应用题是高考的一个重点内容，常与实际问题相结合进行考查．要认真阅读题干，明确问题本质，利用排列组合的相关公式与方法解题．1．合理分类，准确分步．例2] 5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1，2，3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种(用数字作答)．解析：①只有1名老队员的排法有C C A＝36(种)．②有2名老12233队员的排法有C C C A＝12(种)．所以共有36＋12＝48(种)．213122答案：482．特殊优先，一般在后．例3] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：①当C在第一或第六位时，排法有A＝120(种)；5②当C在第二或第五位时，排法有A A＝72(种)；243③当C在第三或第四位时，排法有A A＋A A＝48(种)．23233所以排法共有2×(120＋72＋48)＝480(种)．答案：4803．直接间接，灵活选择．例4] 10件产品中有2件合格品，8件优质品，从中任意取4件，至少有1件是合格品的抽法有________种．解析：法一 抽取的4件产品至少有1件合格品分为有1件合格品、2件合格品2种情况：有1件合格品的抽法有C C种；有2件1238合格品抽法有C C种．根据分类加法计数原理至少有1件合格品的228抽法共有C C＋C C＝140(种)．1238228法二 从10件产品中任意抽取4件，有C种抽法，其中没有410合格品的抽法有C种，因此至少有1件合格品的抽法有C－C＝4841048 210－70＝140(种)．答案：1404．元素相邻，捆绑为一．例5] 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2，3相邻的偶数有________个(用数字作答)．解析：数字2和3相邻的偶数有两种情况．第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有6个；第二种情况，当数字4在个位上时，且2，3必须相邻，此时满足要求的五位数有A A ＝12(个)，则一共有6＋12＝18(个)．23答案：185．元素相间，插空解决．例6] 一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有________种不同的坐法．解析：先让4人坐在4个位置上，有A 种排法，再让2个元素4(一个是两个空位作为一个整体，另一个是单独的空位)插入4个人形成的5个“空挡”之间，有A 种插法，所以所求的坐法数为A A ＝25425480.答案：4806．分组问题，消除顺序．例7] 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为________．解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有＝C A3(种)，把这两组人安排到6个班中的某2个班中去，有A 种方法，26故不同的安排种数为3A ＝90. 26答案：90归纳升华解排列组合应用题应遵循三大原则，掌握基本类型，突出转化思想．(1)三大原则是：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则．(2)基本类型主要包括：排列中的“在与不在”问题，组合中的“有与没有”问题、“相邻与不相邻”问题、“分组问题”等．(3)转化思想：就是把一些排列组合问题与基本类型相联系，从而把这些问题转化为基本类型，然后加以解决．专题三 二项式定理的应用二项式定理是历年高考中的必考内容，解决二项式定理问题，特别是涉及求二项展开式的通项的问题，关键在于抓住通项公式，还要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”．例8] (1)已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为(x 2－ix )n －，其中i 2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为( ) 314A ．第三项B ．第四项C ．第五项D ．第五项或第六项(2)设(3x －1)6＝a 6x 6＋a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝________．解析：(1)T 3＝－C x 2n －5，T 5＝C x 2n －10. 2n 4n 由－＝－，得n 2－5n －50＝0，解得n ＝10(舍去n ＝－5)， C C 314又T r ＋1＝C (－i)r x 20－r ， r 1052据此可知当r 分别取0，2，4，6，8，10时其系数为实数，且当r ＝4时，C ＝210为最大． 410(2)令x＝1，得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64；令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝4 096.两式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160，所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080.答案：(1)C (2)2 080归纳升华(1)区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正数．(2)切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．(3)求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．(4)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1等．(x－2x3)5变式训练] (1)展开式中的含x－3的项的系数为( )A．80 B．60C．40 D．－40(2)已知(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11，则a1＋a2＋…＋a11＝________．解析：(1)设展开式的第(r＋1)项为T r＋1＝C x5－r＝(－2)r Cr5(－2x3)r r5 x5－4r，令5－4r＝－3，得r＝2，所以，展开式中含x－3的项为T3＝(－2)2C x－3＝40x－3.25(2)令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－64.所以a1＋a2＋…＋a11＝－65.答案：(1)C (2)－65专题四 分类讨论思想分类讨论思想在解决排列组合问题时经常应用，此类问题一般情况繁多，因此要对各种不同的情况进行合理的分类与准确的分步，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏的现象发生．例4] 从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有________种．解析：根据选出的6种种子中所含甲、乙种子个数来分类：选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为C A A；选出的6种58155种子中，同时含有甲与乙的不同放法有C A A；选出的6种种子48254中，都不含甲与乙的不同放法有A.故不同的放法共有2C A A＋C A685815548 A＋A＝120 960(种)．25468答案：120 960归纳升华排列组合的综合问题一般比较复杂，分类方法也灵活多变．一般有以下一些分类方式：(1)根据元素分类，又包括根据特殊元素分类，根据元素特征分类，根据特殊元素的个数分类；(2)根据特殊位置分类；(3)根据图形分类，又包括根据图形的特征分类，根据图形的种类分类；(4)根据题设条件分类．变式训练] 由1，2，3，4，5，6六个数字可组成________个无重复且是6的倍数的五位数．解析：若一个整数是偶数且是3的倍数，则这个整数是6的倍数．据此本题分两类求解．第一类：由1，2，4，5，6作数码．首先从2，4，6中任选一个作为个位数字，有A种选法，然后其余四个数字在其他数位上全排13列，有A种选法，所以符合条件的五位数共有N1＝A A＝72(个)．4134第二类：由1，2，3，4，5作数码．依照第一类的方法，符合条件的五位数有N2＝A A＝48(个)．124综上，符合条件的五位数共有N＝N1＋N2＝120(个)．答案：120。
2019-2020数学人教A版选修2-2讲义：第一章导数及其应用1.3 1.3.3
【跟踪训练 3】 设函数 f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中 a>0.
(1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性；
(2)当 x∈[0,1]时，求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值．
解 (1)f(x)的定义域为 R，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.
－1－ 4＋3a
－1＋ 4＋3a
令 f′(x)＝0，得 x1＝
当 3 ≥2，即 a≥3 时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而 f(x)max＝f(0)＝0.
[ ] [ ] 2a
2a
2a
0，
，2
当 0< 3 <2，即 0<a<3 时，f(x)在 3 上单调递减，在 3 上单调递增，
从而 f(x)max＝Error! 综上所述，f(x)max＝Error!
[条件探究] 将本例(2)中区间[0,2]改为[－1,0]，结果如何？
【跟踪训练 2】 已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋A． (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间[－2,2]上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值． 解 (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9. 令 f′(x)<0，解得 x<－1，或 x>3， ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( ) (3)函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做 (1)设函数 f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则 f(x)________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数 y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． (3)已知函数 f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为 1，则 m＝________. 答案 (1)无 (2)15 (3)1
2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-3素养突破课件：1章末复习提升课
那么不同的分法一共有( )
A．A45种 C．54 种
B．45 种 D．C45种
解析：选 D．由于 4 张同样的参观券分给 5 个代表，每人最多分
一张，从 5 个代表中选 4 个即可满足，故有 C45种.
第二十六页，编辑于星期六：二十三点 五十一 分。
2.(2019·石家庄高二检测)从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿
第十二页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
2.从 5 名学生中选出 4 名分别参加 A，B，C，D 四科竞赛，其中 甲不能参加 C，D 两科竞赛，则不同的参赛方案种数为________. 解析：分为以下几步：(1)选人：先从 5 人中选出 4 人，分为两种 情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有 C34＝4(种)； 无甲参加时，选法有 C44＝1(种)．(2)安排科目：有甲参加时，先 排甲，再排其他人，排法有 A12A33＝12(种)；无甲参加时，排法有 A44＝24(种)．由分步乘法计数原理，不同的参赛方案种数为 4×12 ＋1×24＝72. 答案：72
第五页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子中 至少有一个球，若甲球必须放入 A 盒，则不同的放法种数是 ________. 解析：将甲球放入 A 盒后分两类，一类是除甲球外，A 盒还放其 他球，共 A44＝24(种)，另一类是 A 盒中只有甲球，则其他 4 个球 放入另外的三个盒中，有 C24·A33＝36(种)．故总的放法为 24＋36 ＝60(种). 答案：60
所以所求常数项为 C34(－2)3＋C48＝38.
第十九页，编辑于星期六：二十三点 五十一分。
二项式定理中的赋值问题
若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10. (1)求 a2； (2)求 a1＋a2＋…＋a10； (3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.
人教版高中数学选修2-3章末复习总结课件
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相
－m m 等，体现了组合数性质Cn ＝C n ； n
②增减性与最大值： n＋1 当k＜ 2 时，二项式系数Ck n逐渐增大； n＋1 当k＞ 2 时，二项式系数Ck n逐渐减小；
当 n 是偶数时， 展开式中间一项 T
n 2＋1
(2)排列数公式：①Am n ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)， 规定A0 n＝1. 当m＝n时，An (n－1)· (n－2)· …· 3· 2· 1. n＝n·
m ②An ＝
n！ ，其中An n＝n！，0！＝1. n－m！
[说明] 化简．
公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于
组合数公式：
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄 出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第 三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数 原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法． (2)典型的排列问题，共有A3 4＝24种寄信方法．
1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队， 共可组成( ) A．7队 B．8队 C．15队 D．63队 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． 答案： D
r r
n r b ＋…＋C n b ，其中各项的系数 C n n (r＝0,1,2，…，n)称为二项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n －r r 式系数，第r＋1项Cr a b 称为通项． n
[说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只 与项数有关，而后者还与a，b的取值有关． ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先 由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理] 排列(理)(基础)
；人教版高中数学选修 2-3知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习排 列【学习目标】1．理解排列的概念.2．能利用计数原理推导排列数公式．3．能利用排列数公式解决简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、排列的概念1. 排列的定义一般地，从 n 个不同的元素中取出 m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．要点诠释：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，再安排这 m 个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．要点二：排列数1.排列数的定义从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 A m 表示.n要点诠释：（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同的元素中，任取 m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）（2）排列数是指“从 n 个不同元素中取出 m （m≤n ）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．比如从 3 个元素 a 、b 、c 中每次取出 2 个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，每一种都是一个排列，共有 6 种，而数字 6 就是排列数，符号 A m 表示排列数，在此n题中 A 2 = 6 ．32．排列数公式A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) ，其中 n ，m ∈N +，且 m≤n ．要点诠释：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数。
2019秋新版高中数学人教A版选修2-3习题第一章计数原理 1.2.2 Word版含解析
1.2.2组合课时过关·能力提升基础巩固1.的值为()A.72解析:B.36C.30D.42=15+21=36.答案:B2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有()A.16种B.36种C.42种D.60种解析:若选择了2个城市,则有=36种投资方案;若选择了3个城市,则有=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.答案:D3.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()A.45种B.56种C.90种D.120种解析:用排除法,不同的选法种数为=45.答案:A4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为() A.210 B.126 C.70D.35解析:从7种中取出3种有=35种取法,比如选出a,b,c3种,再都改变位置有b,c,a和c,a,b两种改变方法,故不同的改变方法有2×35=70种.答案:C5.在某次数学测验中,学号i(i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f(i)∈{90,92,93,96,98},且满足f(1)<f(2)≤f(3)<f(4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为()A.9种B.5种C.23种D.15种答案:D6.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为.(用数字作答)解析:由已知分两类情况:(1)买5本2元的买法种数为(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为-=5可知,右边=()+()=故不同的买法种数为=266.答案:2667.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为.(用数字作答)解析:若不选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=72.若选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.答案:1808.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用数字作答)解析:第一步安排周六有种方法,第二步安排周日有种方法,故不同的安排方案共有=140种.答案:1409.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答)解析:分两种情况:第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有=234个,共有90+234=324个.答案:32410.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?解:先排甲、乙、丙以外的5人有种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有种排法,由分步乘法计数原理知,共有=21600种排法.11.(1)求证:+2--;(2)解:方程:3--(1)证明由组合数的性质-----=左边.右边=左边,所以原式成立.(2)解:原式可变形为3=5,--即----=5(x-4)(x-5),所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5.所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15.个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A盒,则不同的放法种数是()A.120B.72C.60D.36解析:将甲球放入A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有=36种放法.故总的放法有24+36=60种.答案:C2.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为()A.2B.3C.4D.5解析:设男生有x人,则女生有(6-x)人.依题意得=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.答案:A3.已知一组曲线y=ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.14解析:y'=ax2+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有组.故共有=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.答案:D4.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A B C D解析:甲、乙各能连成=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=故选D.答案:D5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.解析:从原点O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=答案:6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答)答案:28807.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答)解析:满足要求的点的取法可分为三类:第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4种取法.因此,满足题意的不同取法共有4+2+4=56种.答案:56★8.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.解:与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.解:(1)先选内科医生有种选法,再选外科医生有种选法,故选派方法的种数为=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为=246.(3)分两类:一是选1名主任有种方法;二是选2名主任有种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有种选法.故有选派方法的种数为=191.。
2019-2020年人教A版高中数学选修2-3：1.2排列与组合1.2.1排列课件 (共29张PPT)
[自主梳理] 1．排列的有关概念 (1)定义：一般地，从 n 个 不同 元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序 排成一列，叫作从 n 个 不同 元素中取出 m 个元素的一个排列． (2)相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素 完全相同 ，且元素的 排列顺序 也相同．
2．排列数与排列数公式
后面，则他可选的密码个数共有( )
A．A66
B．A68
C．A35＋A33
D．A35·A33
解析：分两步．第一步选 3 个数字安排在后三位，有 A35种方法，第二步把 3 个字母
安排在前三位，有 A33种方法，故共有 A35·A33个密码．
答案：D
探究三 “在”与“不在”的问题 [典例 3] 7 位同学站成一排． (1)若甲站在中间的位置，则共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？ (4)甲不能站排头、乙不能站排尾的排法共有多少种？ [解析] (1)先考虑甲站在中间，有 1 种排法，再在余下的 6 个位置排另外 6 位同学， 共 A66＝720 种排法． (2)先考虑甲、乙站在两端，有 A22种排法，再在余下的 5 个位置排另外 5 位同学，有 A55种排法，共 A22A55＝240 种排法．
1.2 排列与组合 1.2.1 排 列重点：排列的概念；排列数公
2.了解排列数的概念．
式；用排列知识解决简单的实
3.掌握排列数公式的推导方法．
际问题．
4.能用排列知识解决简单的实际问题. 难点：排列数公式的推导方法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要 表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法 主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子．