文科数学高考真题及答案
普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文 一、选择题：每小题5分,共60分 1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=, 则集合A B I 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）22、已知点(0,1),(3,2)A B , 向量(4,3)AC =--u u u r , 则向量BC =u u u r（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+, 则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长, 则称这3个数为一组勾股数, 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数, 则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）1205、已知椭圆E 的中心为坐标原点, 离心率为12, E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合, ,A B 是C 的准线与E 的两个交点, 则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）126、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题：“今有委米依垣内角, 下周八尺, 高五尺, 问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图, 米堆为一个圆锥的四分之一）, 米堆底部的弧长为8尺, 米堆的高为5尺, 问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺, 圆周率约为3, 估算出堆放的米约有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和, 若844S S =, 则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示, 则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 9、执行右面的程序框图, 如果输入的0.01t =, 则输出的n =（ ）（A ） 5 （B ）6 （C ）7 （D ）810、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ , 且()3f a =-, 则(6)f a -=（A ）74- （B ）54-（C ）34-（D ）14- 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体, 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示, 若该几何体的表面积为1620π+, 则r =( )（A ）1（B ）2（C ）4（D ）812、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称, 且(2)(4)1f f -+-=, 则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和, 若126n S =, 则n = .14.()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7, 则 a = . 15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．16.已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点, P 是C 左支上一点, ()0,66A , 当APF ∆周长最小时, 该三角形的面积为 ．三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边, 2sin 2sin sin B A C =.（I ）若a b =, 求cos ;B （II ）若90B =o , 且2,a = 求ABC ∆的面积.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形, G 为AC 与BD 交点, BE ABCD ⊥平面,（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=o , ,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63, 求该三棱锥的侧面积.19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费, 需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响, 对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =L 数据作了初步处理, 得到下面的散点图及一些统计量的值.（I ）根据散点图判断, y a bx =+与y c x =+, 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可, 不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据, 建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x, y 的关系为0.2z y x =- , 根据（II ）的结果回答下列问题：（i ）当年宣传费x =49时, 年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时, 年利润的预报值最大？20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M , N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）若12OM ON ⋅=u u u u r u u u r , 其中O 为坐标原点, 求MN .21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a ≥+. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是e O 直径, AC 是e O 切线, BC 交e O 与点E .（I ）若D 为AC 中点, 证明：DE 是e O 切线；（II ）若3OA CE = , 求ACB ∠的大小.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中, 直线1:2C x =-, 圆()()222:121C x y -+-=, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈, 设23,C C 的交点为,M N 求2C MN ∆ 的面积.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()12,0f x x x a a =+--> .（I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6, 求a 的取值范围.一、D A C C B B B （8）D （9）C （10）A （11）B （12）C二、填空题（13）6 （14）1 （15）4 （16） 三、 17、解：（I ）由题设及正弦定理可得2b =2ac.又a=b, 可得cosB=2222a c b ac +-=14……6分 （II ）由（I ）知2b =2ac. 因为B=o 90, 由勾股定理得222a c =b +.故22a c =2ac +, 的. 所以△ABC 的面积为1. ……12分18、解：（I ）因为四边形ABCD 为菱形, 所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD,所以AC ⊥BE,故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC,所以平面AEC ⊥平面BED. ……5分 （II ）设AB=x , 在菱形ABCD 中, 又∠ABC=o 120 , 可得, GB=GD=2x . 因为AE ⊥EC,所以在Rt △AEC 中, 可的.由BE ⊥平面ABCD,知△EBG 为直角三角形, 可得x .由已知得, 三棱锥E-ACD 的体积E ACD V -=13×12AC ·GD ·3x = 故x =2 ……9分从而可得.所以△EAC 的面积为3, △EAD 的面积与 △ECD 的面积均为.故三棱锥E-ACD 的侧面积为. ……12分19、解：（I ）由散点图可以判断, 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程式类型.（II）令w =, 先建立y 关于w 的线性回归方程式.由于28181()()108.8d=681.6()i i i i i w w y y w w ==--==-∑∑),56368 6.8100.6c y d w =-=-⨯=)), 所以y 关于w 的线性回归方程为y=100.668w +),因此y 关于x 的回归方程为y 100.6=+)（Ⅲ）（i ）由（II ）知, 当x =49时, 年销售量y的预报值y 100.6=+), 年利润z 的预报值 z=576.60.24966.32⨯-=) ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知, 年利润z 的预报值=-20.12x x ++).13.6=6.82=, 即x =46.24时, z )取得最大值. 故年宣传费为46.24千元时, 年利润的预报值最大. ……12分 21、解：（I ）()f x 的定义域为()()20,,2(0)x a f x e x x '+∞=-〉. 当a ≤0时, ()()0f x f x ''〉，没有零点；当0a 〉时, 因为2x e 单调递增, a x-单调递减, 所以()f x '在()0,+∞单调递增, 又()0f a '〉,当b 满足0＜b ＜4a 且b ＜14时, ()0f b '〈, 故当a ＜0时()f x '存在唯一零点.……6分 （II ）由（I ）, 可设()f x '在()0,+∞的唯一零点为0x , 当()00x x ∈，时, ()f x '＜0；当()0x x ∈+∞，时, ()f x '＞0. 故()f x 在()0+∞，单调递减, 在()0x +∞，单调递增, 所以0x x =时, ()f x 取得最小值, 最小值为()0f x . 由于02020x a e x -=, 所以()0002221212a f x ax a n a a n x a a=++≥+. 故当0a 〉时, ()221f x a a na ≥+. ……12分23、解：（I ）因为cos ,sin x y ρθρθ==, 所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-, 2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. ……5分 （II ）将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=, 解得12ρρ==.故12ρρ-=即MN =由于2C 的半径为1, 所以2C MN ∆的面积为12. ……10分24、解：（I ）当1a =时, ()1f x >化为12110x x +---＞.当1x ≤-时, 不等式化为40x -＞, 无解；当11x -＜＜时, 不等式化为320x -＞, 解得213x ＜＜；当1x ≥, 不等式化为-x +2＞0, 解得1≤x ＜2.所以()1f x >的解集为223x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭︱＜＜. ……5分（II ）由题设可得, ()12,1312,1,12,.x a xf x x a x a x a x a --⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++⎩＜＜所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个丁点分别为()()21,0,21,0,,13a A B a C a a -⎛⎫++ ⎪⎝⎭,△ABC 的面积为()2213a +. 由题设得()2213a +＞6, 故a ＞2.所以a 的取值范围为()2+∞，. ……10分20、解：（I ）由题设, 可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点,所以.解得k 所以k的取值范围为. ……5分（II ）设()1122,,(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程22(2)(3)1x y -+-=, 整理得 22(1)4(1)70k x k x +-++=. 所以1212224(1)7,11k x x x x k k++==++. 1212OM ON c x y y ⋅=+()()2121211k x x k x x =++++ ()24181k k k +=++. 由题设可得()24181k k k +=++=12, 解得k=1, 所以l 的方程是y=x+1. 故圆心C 在l 上,所以2MN =. ……12分。
2022年全国乙卷数学(文科)高考真题(答案)
文科数学参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1.A2. A3. D4. C5. C6. B7. B8. A9. A10. D11. D12. C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.2
14. ##0.3
15. 或 或 或 ；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22.（1）
（2）
[选修4—5：不等式选讲]
23.【小问1详解】
证明：因为 ， ， ，则 ， ， ，
所以 ，
即 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号．
【小问2详解】
证明：因为 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
当且仅当 时取等号．
过 作 ，垂足为 ，
在 中， ，解得 ，
所以 ，
所以
过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ，
所以 ,
所以 .
19.（1） ；
（2）
（3）
20.（1）
（2）
21.（1）
（2）
【小问1详解】
解：设椭圆E的方程为 ，过 ，
则 ，解得 ， ，
所以椭圆E的方程为： .
【小问2详解】
，所以 ，
①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ，
可得 ， ，代入AB方程 ，可得
，由 得到 .求得HN方程：
2023年高考数学(全国甲卷)文科数学(含答案及详细解析)
2023年高考数学真题试卷(全国甲卷)文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．（）A．B．1C．D．3．已知向量，则（）A．B．C．D．4．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A．B．C．D．5．记为等差数列的前项和．若，则（）A．25B．22C．20D．156．执行下边的程序框图，则输出的（）A．21B．34C．55D．897．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（）A．1B．2C．4D．58．曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A．B．C．D．10．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（）A．1B．C．2D．311．已知函数．记，则（）A．B．C．D．12．函数的图象由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．记为等比数列的前项和．若，则的公比为．14．若为偶函数，则．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．16．在正方体中，为的中点，若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．记的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．18．如图，在三棱柱中，平面．（1）证明：平面平面；（2）设，求四棱锥的高．19．一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5（1）计算试验组的样本平均数；（2）（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表对照组试验组（ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：，0.1000.0500.0102.7063.841 6.63520．已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围．21．已知直线与抛物线交于两点，．（1）求；（2）设为的焦点，为上两点，且，求面积的最小值．22．已知点，直线（为参数），为的倾斜角，与轴正半轴、轴正半轴分别交于，且．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程．23．已知．（1）求不等式的解集；（2）若曲线与轴所围成的图形的面积为2，求．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】，故选：A【分析】先计算补集，再求并集即得答案.2．【答案】C【解析】【解答】，故选：C【分析】利用复数乘法运算计算由得出答案。
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(甲卷)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁U M＝（ ）A．{2，3，5}B．{1，3，4}C．{1，2，4，5}D．{2，3，4，5}【答案】A【解答】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，所以∁U M＝{2，3，5}，则N∪∁U M＝{2，3，5}．故选：A．2．（5分）＝（ ）A．﹣1B．1C．1﹣i D．1+i【答案】C【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．3．（5分）已知向量＝（3，1），＝（2，2），则cos〈+，﹣〉＝（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：根据题意，向量＝（3，1），＝（2，2），则+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），则有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）•（﹣）＝2，故cos〈+，﹣〉＝＝．故选：B．4．（5分）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解答】解：某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基本事件总数n ＝＝6，这2名学生来自不同年级包含的基本事件个数m ＝＝4，则这2名学生来自不同年级的概率为P ＝＝＝．故选：D ．5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝45，则S 5＝（ ）A ．25B ．22C ．20D ．15【答案】C【解答】解：等差数列{a n }中，a 2+a 6＝2a 4＝10，所以a 4＝5，a 4a 8＝5a 8＝45，故a 8＝9，则d ＝＝1，a 1＝a 4﹣3d ＝5﹣3＝2，则S 5＝5a 1+＝10+10＝20．故选：C ．6．（5分）执行下边的程序框图，则输出的B ＝（ ）A．21B．34C．55D．89【答案】B【解答】解：模拟执行程序框图，如下：n＝3，A＝1，B＝2，k＝1，k≤3，A＝1+2＝3，B＝3+2＝5，k＝2，k≤3，A＝3+5＝8，B＝8+5＝13，k＝3，k≤3，A＝8+13＝21，B＝21+13＝34，k＝4，k＞3，输出B＝34．故选：B．A．1B．2C．4D．5【答案】B【解答】解：根据题意，点P在椭圆上，满足•＝0，可得∠F1PF2＝，又由椭圆C：+y2＝1，其中c2＝5﹣1＝4，可得|PF1|•|PF2|＝2，故选：B．8．（5分）曲线y＝在点（1，）处的切线方程为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x+D．y＝x+【答案】C【解答】解：因为y＝，y′＝＝，故函数在点（1，）处的切线斜率k＝，切线方程为y﹣＝（x﹣1），即y＝．故选：C．9．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，C的一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，则|AB|＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，可得c＝a，所以b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x，一条渐近线与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于A，B两点，圆的圆心（2，3），半径为1，圆的圆心到直线y＝2x的距离为：＝，所以|AB|＝2＝．故选：D．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为（ ）A．1B．C．2D．3【答案】A【解答】解：如图，PA＝PB＝2，AB＝BC＝2，取AB的中点D，连接PD，CD，可得AB⊥PD，AB⊥CD，又PD∩CD＝D，PD、CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD，在△PAB与△ABC中，求得PD＝CD＝，在△PCD中，由PD＝CD＝，PC＝，得PD2+CD2＝PC2，则PD⊥CD，∴，∴×AB＝．故选：A．11．（5分）已知函数f（x）＝．记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【答案】A【解答】解：令g（x）＝﹣（x﹣1）2，则g（x）的开口向下，对称轴为x＝1，∵，而＝，∴，∴，∴由一元二次函数的性质可知g（）＜g（），∵，而，∴，∴，综合可得，又y＝e x为增函数，∴a＜c＜b，即b＞c＞a．故选：A．12．（5分）函数y＝f（x）的图象由y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：y＝cos（2x+）的图象向左平移个单位长度得到f（x）＝cos （2x+）＝﹣sin2x，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：y＝f（x）的图象与直线y＝x﹣的交点个数为：3．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2024全国高考真题 全国甲卷 文科数学+答案
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题第 21 题为必
考题，每个考题考生必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
15. 已知等比数列{ }的前项和为 ，且2 = 3+1 − 3.
（1）求{ }的通项公式；
【12 题答案】2
【13 题答案】64
【14 题答案】(−2,1)
三、解答题：
（一）必考题：共 60 分．
【15 题答案】
−1
（1） = (5)
3ห้องสมุดไป่ตู้
3 5
3
（2） ( ) −
2 3
2
【16 题答案】
（1）证明见详解；
6√13
（2）
13
【17 题答案】
（1）见解析
（2）见解析
【18 题答案】
）
）
C.
D.
9. 已知
cos
= 3 ，则tan ( + 4 ) =（
cos − sin
A. 2√3 + 1
B. 2√3 − 1
）
C.
√3
2
D. 1 − √3
10. 设、是两个平面，、是两条直线，且 ∩ = .下列四个命题：
.
①若//，则//或//
②若 ⊥ ，则 ⊥ , ⊥
（2）求点到的距离.
17 已知函数() = ( − 1) − + 1．
（1）求() 单调区间；
（2）若 ≤ 2时，证明：当 > 1时， f ( x ) e
18. 设椭圆:
的的
2
2
2
2023年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)
2023年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）A ．1B ．2D ．5B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．UA ．24B ．26C ．28（2023•乙卷）|2+i 2+2i 3|=（ ）【答案】A【分析】直接利用集合的补集和并集运算求出结果．【解答】解：由于∁U N={2，4，8}，所以M ∪∁U N={0，2，4，6，8}．故选：A ．（2023•乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）【答案】D【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体．如图所示：【答案】C【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．（江南博哥）【解答】解：由于|2+i 2+2i 3|=|1-2i|=√12+(−2)2=√5．故选：C ．（2023•乙卷）设全集U={0，1，2，4，6，8}，集合M={0，4，6}，N={0，1，6}，则M ∪∁U N=（ ）A．π10B．π5D．2π5 A．-2B．-1C．1故该几何体的表面积为：4+6+5+5+2+2+2+4=30．故选：D．（2023•乙卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,若acosB-bcosA=c,且C=π5，则∠B=（ ）【答案】C【分析】利用正弦定理以及两角和差的三角公式进行转化求解即可．【解答】解：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC，得sin（A-B）=sinC=sin（A+B），即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，即2sinBcosA=0，得sinBcosA=0，在△ABC中，sinB≠0，∴cosA=0，即A=π2，则B=π-A-C=π−π2−π5=3π10．故选：C．（2023•乙卷）已知f（x）=xexeax−1是偶函数，则a=（ ）【答案】D【分析】根据偶函数的性质，运算即可得解．【解答】解：∵f（x）=xexeax−1的定义域为{x|x≠0}，又f（x）为偶函数，∴f（-x）=f（x），A．5C．25D．5 A．18B．16D．12∴−xe−xe−ax−1=xexeax−1，∴xeax−xeax−1=xexeax−1，∴ax-x=x,∴a=2．故选：D．（2023•乙卷）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC•ED=（ ）→→√√【答案】B【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解．【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以EB•EA=-1，EB⊥AD，EA⊥BC，BC•AD=2×2=4，则EC•ED=（EB+BC）•（EA+AD）=EB•EA+EB•AD+EA•BC+BC•AD=-1+0+0+4=3．故选：B．→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2023•乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{（x,y）|1≤x2+y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为（ ）【答案】C【分析】作出图形，根据几何概型的概率公式，即可求解．【解答】解：如图，PQ为第一象限与第三象限的角平分线，根据题意可得构成A的区域为圆环，而直线OA的倾斜角不大于π4的点A构成的区域为图中阴影部分，∴所求概率为28=14．故选：C．（2023•乙卷）函数f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）A．（-∞，-2）C．（-4，-1）D．（-3，0）B．23C．12D．13【答案】B【分析】求函数的导数，f（x）存在3个零点，等价为f′（x）=0有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，求函数的极值，建立不等式关系即可．【解答】解：f′（x）=3x2+a,若函数f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则f′（x）=3x2+a=0，有两个不同的根，且极大值大于0极小值小于0，即判别式Δ=0-12a＞0，得a＜0，由f′（x）＞0得x＞−a3或x＜-−a3，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0得-−a3＜x＜−a3，此时f（x）单调递减，即当x=-−a3时，函数f（x）取得极大值，当x=−a3时，f（x）取得极小值，则f（-−a3）＞0，f（−a3）＜0，即-−a3（-a3+a）+2＞0，且−a3（-a3+a）+2＜0，即-−a3×2a3+2＞0，①，且−a3×2a3+2＜0，②，则①恒成立，由−a3×2a3+2＜0，2＜-−a3×2a3，平方得4＜- a3×4a29，即a3＜-27，则a＜-3，综上a＜-3，即实数a的取值范围是（-∞，-3）．故选：B．√√√√√√√√√√√√√√（2023•乙卷）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ）【答案】A【分析】利用古典概型、排列组合等知识直接求解．【解答】解：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，甲、乙两位参赛同学构成的基本事件总数n=6×6=36，其中甲、乙两位参赛同学抽到不同主题包含的基本事件个数m=A26=30，A．-32B．-12C．12A．1+322B．4D．7则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为P=mn=3036=56．故选：A．（2023•乙卷）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）在区间（π6，2π3）单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数y=f（x）的图像的两条对称轴，则f（-5π12）=（ ）√【答案】D【分析】先根据题意建立方程求出参数，再计算，即可得解．【解答】解：根据题意可知T2=2π3−π6=π2，∴T=π，取ω＞0，∴ω=2πT=2，又根据“五点法“可得2×π6+φ=−π2+2kπ，k∈Z，∴φ=−5π6+2kπ，k∈Z，∴f（x）=sin（2x−5π6+2kπ）=sin（2x-5π6），∴f（-5π12）=sin（−5π6-5π6）=sin（-5π3）=sinπ3=32．故选：D．√（2023•乙卷）已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是（ ）√【答案】C【分析】根据题意，设z=x-y,分析x2+y2-4x-2y-4=0和x-y-z=0，结合直线与圆的位置关系可得有|2−1−z|1+1≤3，解可得z的取值范围，即可得答案．√【解答】解：根据题意，x2+y2-4x-2y-4=0，即（x-2）2+（y-1）2=9，其几何意义是以（2，1）为圆心，半径为3的圆，设z=x-y,变形可得x-y-z=0，其几何意义为直线x-y-z=0，直线y=x-z与圆（x-2）2+（y-1）2=9有公共点，则有|2−1−z|1+1≤3，解可得1-32≤z≤1+32，故x-y的最大值为1+32．故选：C．√√√√A．（1，1）B．（-1，2）C．（1，3）（2023•乙卷）设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）【答案】D【分析】设AB中点为（x0，y0），利用点差法求得中点弦斜率，列不等式组求解即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为（x0，y0），V Y Y YY Y Y WY Y Y Y YY Xx12−y129=1①x22−y229=1②，①-②得k AB=y2−y1x2−x1=9×x1+x2y1+y2=9×x0y0，即-3＜9×x0y0＜3⇒−13<x0y0<13，即y0x0>3或y0x0<−3，故A、B、C错误，D正确．故选：D．（2023•乙卷）已知点A（1，5）在抛物线C：y2=2px上，则A到C的准线的距离为94．√【答案】94．【分析】根据已知条件，先求出p,再结合抛物线的定义，即可求解．【解答】解：点A（1，5）在抛物线C：y2=2px上，则5=2p,解得p=52，由抛物线的定义可知，A到C的准线的距离为x A+p2=1+54=94．故答案为：94．√（2023•乙卷）若θ∈（0，π2），tanθ=13，则sinθ-cosθ=-105．√【答案】-105．√【分析】根据三角函数的坐标定义，利用坐标法进行求解即可．【解答】解：∵θ∈（0，π2），tanθ=13=yx，∴令x=3，y=1，设θ终边上一点的坐标P （3，1），则r=|OP|=32+12=10，则sinθ-cosθ=110−310=-210=-105．故答案为：-105．√√√√√√√（2023•乙卷）若x,y 满足约束条件VY Y YW Y Y Y X x −3y ≤−1x +2y ≤93x +y ≥7，则z=2x-y 的最大值为 8．【答案】8．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=2x,由截距的几何意义可得．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示：由z=2x-y 可得y=2x-z,则-z 表示直线y=2x-z 在y 轴上的截距，截距越小，z 越大，结合图形可知，当y=2x-z 经过点A 时，Z 最大，由V W X x −3y =−1x +2y =9可得y=2，x=5，即A （5，2），此时z 取得最大值8．故答案为：8．（2023•乙卷）已知点S ，A ，B ，C 均在半径为2的球面上，△ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA=2．【答案】2．【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球及球的性质能求出结果．【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r,则2r=ABsin ∠ACB =332=23，解得r=3，设三棱锥S-ABC 的外接球球心为O ，连接OA ，OO 1，√√√则OA=2，OO1=12SA，∵OA2=OO12+O1A2，∴4=3+14SA2，解得SA=2．故答案为：2．（2023•乙卷）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为x i，y i（i=1，2，…10）．试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率x i545533551522575544541568596548伸缩率y i536527543530560533522550576536记z i=x i-y i（i=1，2，⋯，10），记z1，z2，⋯，z10的样本平均数为z，样本方差为s2．（1）求z，s2；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高．（如果z≥2 s210，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）√【答案】（1）z=11，s2=61．（2）z≥2s 210，有显著提高．√【分析】（1）根据表中数据，计算z i=x i-y i（i=1，2，…，10），求平均数z和方差s2．（2）根据z和2s 210，比较大小即可得出结论．√【解答】解：（1）根据表中数据，计算z i=x i-y i（i=1，2，…，10），填表如下：试验序号i 12345678910伸缩率x i 545533551522575544541568596548伸缩率y i 536527543530560533522550576536z i =x i -y i968-8151119182012计算平均数为z =11010i =1z i =110×（9+6+8-8+15+11+19+18+20+12）=11，方差为s 2=11010i =1(z i −z )2=110×[（-2）2+（-5）2+（-3）2+（-19）2+42+02+82+72+92+12]=61．（2）由（1）知，z =11，2s 210=26.1＜2 6.25=5，所以z ≥2s 210，认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．√√√√（2023•乙卷）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2=11，S 10=40．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{|a n |}的前n 项和T n ．【答案】（1）a n =-2n+15（n ∈N •）．（2）当1≤n≤7时，T n =-n 2+14n ，当n≥8时，T n =n 2-14n+98．【分析】（1）建立方程组求出首项和公差即可．（2）求出|a n |的表达式，讨论n 的取值，然后进行求解即可．【解答】解：（1）在等差数列中，∵a 2=11，S 10=40．∴V Y Y Y W Y Y Y X a 1+d =1110a 1+10×92d =40，即V Y Y Y W Y Y Y X a 1+d =11a 1+92d =4，得a 1=13，d=-2，则a n =13-2（n-1）=-2n+15（n ∈N •）．（2）|a n |=|-2n+15|=V W X −2n +15，1≤n ≤72n −15，n ≥8，即1≤n≤7时，|a n |=a n ，当n≥8时，|a n |=-a n ，当1≤n≤7时，数列{|a n |}的前n 项和T n =a 1+⋯+a n =13n+n (n −1)2×(−2)=-n 2+14n,当n≥8时，数列{|a n |}的前n 项和T n =a 1+⋯+a 7-⋯-a n =-S n +2（a 1+⋯+a 7）=-[13n+n (n −1)2×(−2)]+2×13+12×7=n 2-14n+98．（2023•乙卷）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ⊥BC ，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP ，AP ，BC 的中点分别为D ，E ，O ，点F 在AC 上，BF ⊥AO ．（1）求证：EF ∥平面ADO ；（2）若∠POF=120°，求三棱锥P-ABC的体积．√√【答案】（1）证明见解析；（2）263．√【分析】（1）作FH ⊥AB ，垂足为H ，设AH=x,利用Rt △AHF ∽Rt △ABC 得出HF ，利用Rt △BHF ∽Rt △OBA 列方程求出x=1，判断H 是AB 的中点，利用中位线定理得出EF ∥PC ，DO ∥PC ，证明EF ∥DO ，得出EF ∥平面ADO ；（2）过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，求出BO ，PO ，计算PM ，再求△ABC 的面积和三棱锥P-ABC的体积．【解答】 （1）证明：在Rt △ABC 中，作FH ⊥AB ，垂足为H ，设AH=x,则HB=2-x,因为FH ∥CB ，所以Rt △AHF ∽Rt △ABC ，所以AH AB =HF BC ，即x 2=HF22，解得HF=2x,又因为∠BFH=∠FBO ，所以∠AOB=∠FBH ，且∠BHF=∠OBA=90°，所以Rt △BHF ∽Rt △OBA ，所以HF BH =AB BO ，即2x 2−x =22，解得x=1，即AH=1，所以H 是AB 的中点，F 是AC 的中点，又因为E 是PA 的中点，所以EF ∥PC ，同理，DO ∥PC ，所以EF ∥DO ，又因为EF ⊄平面ADO ，DO ⊂平面ADO ，所以EF ∥平面ADO ；（2）解：过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为PB=PC ，O 是BC 中点，所以PO ⊥BC ，在Rt △PBO 中，PB=6，BO=12BC=2，所以PO =PB 2−OB 2=6−2=2，因为AB ⊥BC ，OF ∥AB ，所以OF ⊥BC ，又PO∩OF=O ，PO ，OF ⊂平面POF ，所以BC ⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC ⊥PM ，又BC∩FM=O ，BC ，FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥P-ABC 的高为PM ，因为∠POF=120°，所以∠POM=60°，所以PM =POsin 60°=2×32=3，√√√√√√√√√√△ABC的面积为S△ABC=12×AB×BC=12×2×22=22，所以三棱锥P-ABC的体积为V三棱锥P-ABC=13×22×3=26 3．√√√√√（2023•乙卷）已知函数f（x）=（1x+a）ln（1+x）．（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；（2）若函数f（x）在（0，+∞）单调递增，求a的取值范围．【答案】（1）（ln2）x+y-ln2=0；（2）[12，+∞)．【分析】（1）根据已知条件，先对f（x）求导，再结合导数的几何意义，即可求解；（2）先对f（x）求导，推得(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1≥0，构造函数g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）（x＞0），通过多次利用求导，研究函数的单调性，并对a分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）当a=-1时，则f（x）=（1x-1）ln（1+x），求导可得，f'（x）=−1x2ln(1+x)+(1x−1)•1x+1，当x=1时，f（1）=0，当x=-1时，f'（1）=-ln2，故曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为：y-0=-ln2（x-1），即（ln2）x+y-ln2=0；（2）f（x）=（1x+a）ln（1+x），则f'（x）=(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1(x>−1)，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，则(−1x2)ln(x+1)+(1x+a)•1x+1≥0，化简整理可得，-（x+1）ln（x+1）+x+ax2≥0，令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）（x＞0），求导可得，g'（x）=2ax-ln（x+1），当a≤0时，则2ax≤0，ln（x+1）＞0，故g'（x）＜0，即g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，g（x）＜g（0）=0，不符合题意，令m（x）=g'（x）=2ax-ln（x+1），则m'（x）=2a-1x+1，当a ≥12，即2a≥1时，1x +1<1，m'（x ）＞0，故m （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，即g'（x ）在区间（0，+∞）上单调递增，所以g'（x ）＞g'（0）=0，g （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，g （x ）＞g （0）=0，符合题意，当0＜a ＜12时，令m'（x ）=2a −1x +1=0，解得x=12a−1，当x ∈(0，12a −1)时，m'（x ）＜0，m （x ）在区间（0，12a−1）上单调递减，即g'（x ）单调递减，g'（0）=0，当x ∈(0，12a−1)时，g'（x ）＜g'（0）=0，g （x ）单调递减，∵g （0）=0，∴当x ∈(0，12a−1)时，g （x ）＜g （0）=0，不符合题意，综上所述，a 的取值范围为[12，+∞)．（2023•乙卷）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为53，点A （-2，0）在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点（-2，3）的直线交C 于点P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与y 轴的交点分别为M ，N ，证明：线段MN 的中点为定点．√【答案】（1）椭圆C 的方程为y 29+x 24=1；（2）MN 的中点为定点（0，3），证明过程见解析．【分析】（1）由题意列关于a,b,c 的方程组，求得a,b,c 的值，可得椭圆C 的方程；（2）设PQ ：y-3=k （x+2），即y=kx+2k+3，k ＜0，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x 1+x 2与x 1x 2的值，写出直线AP 、AQ 的方程，求得M 与N 的坐标，再由中点坐标公式即可证明MN 的中点为定点．【解答】解：（1）由题意，V Y Y Y Y Y Y W Y Y Y Y Y Y X c a =53b =2a 2=b 2+c2，解得V Y Y Y Y W Y Y Y Y X a =3b =2c =5．∴椭圆C 的方程为y 29+x 24=1；证明：（2）如图，√√要使过点（-2，3）的直线交C 于点P ，Q 两点，则PQ 的斜率存在且小于0，设PQ ：y-3=k （x+2），即y=kx+2k+3，k ＜0，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立V Y Y Y W Y Y Y X y =kx +2k +3y 29+x 24=1，得（4k 2+9）x 2+8k （2k+3）x+16k （k+3）=0．Δ=[8k （2k+3）]2-4（4k 2+9）•16k （k+3）=-1728k ＞0．x 1+x 2=−8k (2k +3)4k 2+9，x 1x 2=16k (k +3)4k 2+9，直线AP ：y=y 1x 1+2(x +2)，取x=0，得M （0，2y 1x 1+2）；直线AQ ：y =y 2x 2+2(x +2)，取x=0，得N （0，2y 2x 2+2）．∴2y 1x 1+2+2y 2x 2+2=2y 1(x 2+2)+2y 2(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2(kx 1+2k +3)(x 2+2)(kx 2+2k +3)(x 1+2)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=22kx 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+4(2k +3)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=22k •16k (k +3)4k 2+9+(4k +3)•−8k (2k +3)4k 2+9+4(2k +3)16k (k +3)4k 2+9+2•−8k (2k +3)4k 2+9+4=232k 3+96k 2−64k 3−96k 2−48k 2−72k +32k 3+72k +48k 2+10816k 2+48k −32k 2−48k +16k 2+36=2×10836=6．∴MN 的中点为（0，3），为定点．（2023•乙卷）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（π4≤θ≤π2），曲线C 2：V W X x =2cosαy =2sinα（α为参数，π2＜α＜π）．（1）写出C 1的直角坐标方程；（2）若直线y=x+m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、求m 的取值范围．【答案】（1）x 2+（y-1）2=1，（x ∈[0，1]，y ∈[1，2]）；（2）(−∞，0)∪(22，+∞)．√【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程和直角坐标坐标方程之间进行转换；（2）利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求出实数m 的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sinθ（π4≤θ≤π2），根据V Y Y Y Y W Y Y Y Y X x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，因为π4≤θ≤π2，π2≤2θ≤π，x=ρcosθ=2sinθcosθ=sin2θ∈[0，1]，y=ρsinθ=2sin 2θ=1-cos2θ∈[1，2]，所以C 1的直角坐标方程为x 2+（y-1）2=1，x ∈[0，1]，y ∈[1，2]；（2）由于曲线C 1的方程为x 2+（y-1）2=1，（0≤x≤1，1≤y≤2），曲线C 2：V W X x =2cosαy =2sinα（α为参数，π2＜α＜π），转换为直角坐标方程为x 2+y 2=4，（-2＜x ＜0，0＜y ＜2）；如图所示：由于y=x 与圆C 1相交于点（1，1），即m=0，当m ＜0时，直线y=x+m 与曲线C 1没有公共点；当曲线C 2与直线y=x+m 相切时，圆心C 2（0，0）到直线y=x+m 的距离d=|m |2=2，解得m=22（负值舍去），由于直线y=x+m 与曲线C 2没有公共点，所以m >22，故直线y=x+m 既与C 1没有公共点，也与C 2没有公共点、实数m 的取值范围为(−∞，0)∪(22，+∞)．√√√√（2023•乙卷）已知f （x ）=2|x|+|x-2|．（1）求不等式f （x ）≤6-x 的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组V W X f (x )≤y x +y −6≤0所确定的平面区域的面积．【答案】（1）不等式的解集为[-2，2]．（2）8．【分析】（1）根据绝对值的意义，表示成分段函数，然后解不等式即可．（2）作出不等式组对应的平面区域，求出交点坐标，根据三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（1）当x≥2时，f （x ）=2x+x-2=3x-2，当0＜x ＜2时，f （x ）=2x-x+2=x+2，当x≤0时，f （x ）=-2x-x+2=-3x+2，则当x≥2时，由f （x ）≤6-x 得3x-2≤6-x,得4x≤8，即x≤2，此时x=2．当0＜x ＜2时，由f （x ）≤6-x 得x+2≤6-x,得2x ＜4，即x ＜2，此时0＜x ＜2．当x≤0时，由f （x ）≤6-x 得-3x+2≤6-x,得2x≥-4，即x≥-2，此时-2≤x≤0．综上-2≤x≤2，即不等式的解集为[-2，2]．（2）不等式组V W X f (x )≤y x +y −6≤0等价为V W X y ≥2|x |+|x −2|x +y −6≤0，作出不等式组对应的平面区域如图：则B （0，2），D （0，6），由V W X x +y −6=0y =x +2，得V W Xx =2y =4，即C （2，4），由V W X x +y −6=0y =−3x +2，得V W X x =−2y =8，即A （-2，8），则阴影部分的面积S=S △ABD +S △BCD =12×（6-2）×2+12×（6-2）×2=4+4=8．。
2023年高考文科数学(全国乙卷)及答案
２０２３年高考文科数学试卷（全国乙卷）一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1B.2C.D.52.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B.26C.28D.304.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π5.已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （）A.2- B.1- C.1 D.26.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C. D.57.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点A ，则直线OA 的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18B.16C.14D.128.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.1310.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.32B.12-C.12D.3211.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A.3212+B.4C.1+D.712.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1 B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是3，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin 42ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围．【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-（1）求不等式()6x f x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x yx y ⎧≤⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积．２０２３年高考文科数学试卷（全国乙卷）答案一、选择题【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D【11题答案】【答案】C【12题答案】【答案】D二、填空题【13题答案】【答案】94【14题答案】【答案】5-【15题答案】【答案】8【16题答案】【答案】2三、解答题【17题答案】【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【18题答案】【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3【20题答案】【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【21题答案】【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【选修4-4】（10分）【22题答案】【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞【选修4-5】（10分）【23题答案】【答案】（1）[2,2]-；（2）6.。
高考全国甲卷：《文科数学》2022年考试真题与答案解析
高考精品文档高考全国甲卷文科数学·2022年考试真题与答案解析同卷地区贵州省、四川省、云南省西藏自治区、广西自治区高考全国甲卷：《文科数学》2022年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A.{}0,1,2 B.{2,1,0}-- C.{0,1} D.{1,2} 答案：A2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 答案：B3.若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ） A.B.C.D.答案：D4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A.8B.12C.16D.20 答案：B5.将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y轴对称，则ω的最小值是（ ）A.16B.14C.13D.12 答案：C6.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A.15B.13C.25D.23答案：C7.函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A.B.C.D.答案：A8.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A.1-B.12-C.12 D.1 答案：B9.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成的角均为30°，则（ ） A.2AB AD =B.AB 与平面11AB C D 所成的角为30°C.1AC CB =D.1B D 与平面11BB C C 所成的角为45︒ 答案：D10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ）B.答案：C11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点。
2023年全国乙卷文科高考数学试题+答案解析
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷∙文科)数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2+i 2+2i 3 =()A.1B.2C.5D.5【答案】C【解析】∵2+i 2+2i 3=2-2i -1=1-2i ，∴|2+i 2+2i 3|=1-2i =12+(-2)2=5，选C 。
2.设全集U ={0,1,2,4,6,8},集合M ={0,4,6},N ={0,1,6},则M ⋃C U N =()A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8}C.{1,2,4,6,8}D.U【答案】A【解析】∵N ={2,4,8},∴M ⋃C U N ={0,2,4,6,8}，选A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为()A.24B.26C.28D.30【答案】D【解析】如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2, AA 1=3,点H ,I ,J ,K 为所在棱上靠近点B 1，C 1，D 1，A 1的三等分点，O ,L ,M ,N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1去掉长方体ONIC 1-LMHB 1之后所得的几何体，该几何体表面积为：2×(2×2)+4×(2×3)-2×(1×1)=30，选D 。
4.在△BC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acosB -bcosA =c,且C =π5，则∠B =()A.π10B.π5C.3π10D.2π5【答案】C【解析】∵sinAcosB -sinBcosA =sinC,即sinAcosB -sinBcosA =sin (A +B )=sinAcosBsinBcosA,∴sinBcosA =0,∵B ∈(0，π)，∴sinB >0,∴cosA =0,A =π2，∴B =π-A -C =3π10，选C 。
高考数学(文科)试题及答案
高考数学（文）试题及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝Z ，集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{0，1，3}，则(∁U M )∩N ＝（A ）{－1} （B ）{3} （C ）{0，1} （D ）{－1，3} 2．下列命题中的假命题是（A ）∀x ＞0且x ≠1，都有x ＋1x＞2（B ）∀a ∈R ，直线ax ＋y －a ＝0恒过定点（1，0）（C ）∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)x m 2－4m ＋3是幂函数 （D ）∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数3．在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝（A ）－4 （B ）－6 （C ）－8 （D ）－104．函数y ＝12－x＋lg x 的定义域是（A ）（0，2] （B ）（0，2） （C ）（1，2） （D ）[1，2）5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3，x ＞1。
则函数y ＝f (x )－log 2x 的零点的个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）16．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）127．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则f (0)＝（A ）－12（B ）－1 （C ）－32（D ）－ 38．设O 为△ABC 所在平面内一点．若实数x 、y 、z 满足x →OA ＋y →OB ＋z →OC ＝0（x 2＋y 2＋z 2≠0），则“xyz ＝0”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9．已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0（A ，B 不全为0），两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），若(Ax 1＋By 1＋C )( Ax 2＋By 2＋C )＞0，且|Ax 1＋By 1＋C |＜|Ax 2＋By 2＋C |，则直线l （A ）与直线P 1P 2不相交 （B ）与线段P 2P 1的延长线相交 （C ）与线段P 1P 2的延长线相交 （D ）与线段P 1P 2相交10．已知圆M ：x 2＋y 2－8x －6y ＝0，过圆M 内定点P （1，2）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为（A ）2015 （B ）16 6 （C ）515 （D ）40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分． 11．若复数z 满足(2－i)z ＝1＋i （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点的坐标为 ． 12．设F 1、F 2是双曲线x 216－y 220＝1的两焦点，点P 在双曲线上．若点P 到焦点F 1的距离等于9，则点P 到焦点F 2的距离等于 ．13．已知某程序框图如图所示，若分别输入的x 的值为0，1，2，执行该程序后，输出的y 的值分别为a ，b ，c ，则a ＋b ＋c ＝ ．14．为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s 1、s 2、s 3，则它们的大小关系为 ．（用“＞”连接）15．若不等式x 2－kx ＋k －1＞0对x ∈（1，2）恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 16．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．17．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c －a ）是（b －c ）和（b －a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知B ＝60°，cos(B ＋C )＝－1114．（Ⅰ）求cos C 的值；（Ⅱ）若a ＝5，求△ABC 的面积． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点．已知PD ＝2，CD ＝4，AD ＝3．（Ⅰ）若∠ADE ＝π6，求证：CE ⊥平面PDE ；（Ⅱ）当点A 到平面PDE 的距离为2217时，求三棱锥A -PDE的侧面积． 20．（本小题满分13分）某校为了解学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9，4.2]，（4.2，4.5]，…，（5.1，5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：（Ⅰ）求频率分布表中未知量n ，x ，y ，z 的值；（Ⅱ）从样本中视力在（3.9，4.2]和（5.1，5.4]的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率． 21．（本小题满分14分）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax ．（Ⅰ）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（Ⅱ）已知x 1＝e （e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23． 22．（本小题满分14分）已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为23，半焦距为c （c ＞0），且a －c ＝1．经过椭圆的左焦点F ，斜率为k 1（k 1≠0）的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）当k 1＝1时，求S △AOB 的值； （Ⅲ）设R （1，0），延长AR ，BR 分别与椭圆交于C ，D 两点，直线CD 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值．参考答案一、选择题：每小题5分，满分50分．1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．A 7．B 8．C 9．B 10．D 二、填空题：每小题5分，满分35分．11．（15，35） 12．17 13．6 14．s 1＞s 2＞s 3 15．（－∞，2]16．433 17．5－12三、解答题：本大题共5小题，共65分．18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）在△ABC 中，由cos(B ＋C )＝－1114，得sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝1－(－1114)2＝5314，∴cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C ) cos B ＋sin(B ＋C ) sin B＝－1114×12＋5314×32＝17．…………………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ），得sin C ＝1－cos 2C ＝1－(17)2＝437，sin A ＝sin(B ＋C )＝5314．在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得5 5314＝c 437，∴ c ＝8， 故△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝103．…………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在Rt △DAE 中，AD ＝3，∠ADE ＝π6，∴AE ＝AD ·tan ∠ADE ＝3·33＝1． 又AB ＝CD ＝4，∴BE ＝3．在Rt △EBC 中，BC ＝AD ＝3，∴tan ∠CEB ＝BC BE ＝33，∴∠CEB ＝π6．又∠AED ＝π3，∴∠DEC ＝π2，即CE ⊥DE ．∵PD ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥CE ．∴CE ⊥平面PDE ．……………………………………………………………（6分） （Ⅱ）∵PD ⊥底面ABCD ，PD ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面ABCD ．如图，过A 作AF ⊥DE 于F ，∴AF ⊥平面PDE ，∴AF 就是点A 到平面PDE 的距离，即AF ＝2217．在Rt △DAE 中，由AD ·AE ＝AF ·DE ，得 3AE ＝2217·3＋AE 2，解得AE ＝2．∴S △APD ＝12PD ·AD ＝12×2×3＝62，S △ADE ＝12AD ·AE ＝12×3×2＝3，∵BA ⊥AD ，BA ⊥PD ，∴BA ⊥平面P AD ，∵P A ⊂平面P AD ，∴BA ⊥P A ．在Rt △P AE 中，AE ＝2，P A ＝PD 2＋AD 2＝2＋3＝5，∴S △APE ＝12P A ·AE ＝12×5×2＝5．∴三棱锥A -PDE 的侧面积S 侧＝62＋3＋5．…………………………（12分） 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由频率分布表可知，样本容量为n ，由2n＝0.04，得n ＝50．∴x ＝2550＝0.5，y ＝50－3－6－25－2＝14，z ＝y n ＝1450＝0.28．……………（6分）（Ⅱ）记样本中视力在（3.9，4.2]的3人为a ，b ，c ，在（5.1，5.4]的2人为d ，e ． 由题意，从5人中随机抽取两人，所有可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{a ，e }，{b ，c }，{b ，d }，{b ，e }，{c ，d }，{c ，e }，{d ，e }，共10种． 设事件A 表示“两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A 包含的可能的结果有：{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{d ，e }，共4种．∴P (A )＝410＝25．故两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为25．…………………………（13分）21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）．求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x．①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值； ②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a．当x ∈（0，1a ）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数；当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数．∴当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1．综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a ），递减区间为（1a ，＋∞），极大值为－ln a －1．…（8分）（Ⅱ）∵x 1＝e 是函数f (x )的零点，∴f (e )＝0，即12－a e ＝0，解得a ＝12e ＝e2e ．∴f (x )＝ln x －12ex ．∵f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－e 22＜0，∴f (e 23)f (e 25)＜0．由（Ⅰ）知，函数f (x )在（2e ，＋∞）上单调递减， ∴函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，因此x 2＞e 23．………………………………………………………………（14分）22．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝23，a －c ＝1。
2024年全国甲卷高考文科数学试卷(真题+答案)
2024年高考全国甲卷数学（文）一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,92．设z =，则z z ⋅=（）A ．-i B ．1C ．-1D ．23．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．295．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A ．4B ．3C ．2D7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B．2C ．12D．8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B．C．D ．9．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．1B．1-C．2D．1-10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32BCD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．14．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.16．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求点M 到ABF 的距离.17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．18．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．19．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（文）参考答案一、单选题1．集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}3,4D ．{}1,2,93．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A ．5B ．12C ．2-D ．72-由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=，即4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．29A ．14B ．13C ．12D ．236．已知双曲线22:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）7．曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A ．16B ．2C ．12D ．【答案】A【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.8．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．9．已知cos sin ααα=-tan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．1-CD ．1-是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A ．32B CD二、填空题12．函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是．13．已知1a >，8log log 42a a -=-，则=a ．【答案】6414．曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．【答案】()2,1-【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【解析】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.答案为：()2,1-三、解答题15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的通项公式.4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明：//BM 平面CDE ；17．已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．(1)求()f x 的单调区间；(2)若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e xf x -<恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析18．设椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+中，以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．222=+-+≥+-+=++-≥⨯= 22()()()()(1)326 a b a b a b a b a b a b。