(完整word版)高数辅导之专题十：高阶导数
专题十
基础知识
关于高阶导数，有：
（1）几个常见的高阶导数公式
)2sin()(sin )(π?+=n x x n ，)2
cos()(cos )(π
?+=n x x n 1)(!)1()1(+-=n n
n x n x ，1)1(!)1()(ln ++-=n n
n x
n x )1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-，)(0)()(n k x k n >= （2）分段函数在分段点处的二阶导数
（3）莱布尼兹公式：设函数u ，v 皆n 阶可导，则
)()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----ΛΛ
)()(0k k n n k k n v u C
-=∑=
（实际上就是二项式定理）
（4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及）
例题
1. 设?????=≠=0
,10,sin )(x x x x x f ，求)0(f ''。 解：x f x f f x )0()(lim
)0(0-='→
x x x x 1sin lim 0-=→
20sin lim x x x x -=→
x x x 21cos lim 0-=→ x
x x 221lim 20-=→
0=
故
?????=≠-='0
,00,sin cos )(2x x x x x x x f 于是
x f x f f x )0()(lim
)0(0'-'=''→
x x x x x x 0sin cos lim 20--=→
30sin cos lim x x x x x -=→
203cos sin cos lim x x x x x x --=→
203sin lim x x x x -=→ 3
1-= 2. 已知x x f 2cos )(=，求)0()2(n f
。 解：由)22cos(2)()(π
?+=n x x f n n 知 n n n n n f 4)1()2
20cos(2)0(2)2(?-=?+=π 3. 已知2
31)(2+-=x x x f ，求)3()(n f 。 解：1121)2)(1()2()1(2
31)(2---=-----=+-=x x x x x x x x x f 由公式1)(!)1()1(+-=n n
n x
n x 知 )()()1
121()(n n x x x f ---= )()()11()21(n n x x ---= 1
1)1(!)1()2(!)1(++-----=n n n n x n x n ])1(1)2(1[
!)1(11++----=n n n
x x n 故
])13(1)23(1[
!)1()3(11)(++----=n n n n n f )21
1(!)1(1+--=n n n
4. 已知)1ln()(x x x f +=，则当1>n 时求)0()(n f 。
解：令x u =，)1ln(x v +=，则)()()(x v x u x f =，由莱布尼兹公式，有
)()())
()(()()()(0)()(x v x u C x v x u x f k k n n k k n n n -=∑==
121)1()!2()1(1)1()!1()
1(---+--??++--?=n n n n x n n x n x 故
121
)()01()!2()1(1)01()!1()1(0)0(---+--??++--?=n n n n n n n n f )!2()1(2--=-n n n
)!2()1(--=n n n
5. 设n m n n
x dx
d x P )1()(-=，其中m ，n 为正整数，求)1(P 。 解：由)1)(1(112-++++-=-m m x x x x x Λ知
n m n n m x x x x x )1()1()1(12-++++-=-Λ
)()(x v x u ?=
其中n x x u )1()(-=，n
n x x x x v )1()(2++++=Λ。由莱布尼兹公式知 )()()(x v x u dx d x P n
n
= )()()()(0x v x u C k k n n k k n -=∑=
而!)1()1()(n u n n -=，0)1()(=-k n u ，n k ≤≤1，n m v =)1(，故
!)1()1()1()1()1()1()()()(0n m v u v u C
P n n n k k n n k k n -===-=∑
6. 设16cos )23()(2
2x x x x f n π+-=，求)2()(n f 。 解：16cos )1()2(16cos )23()(2
2
2x x x x x x x f n n n ππ--=+-=
令n x u )2(-=，16cos
)1(2x x v n π-=，则)()()(x v x u x f =，由莱布尼兹公式，有
)()())()(()()()(0)()(x v x u C x v x u x f
k k n n k k n n n -=∑== 而!)2()(n u n =，0)2()(=-k n u ，n k ≤≤1，4
cos )2(π=v ，故 !2
24cos
!)2()2()2()2()2()()()(0)(n n v u v u C f n k k n n k k n n ====-=∑π 注：例题4、5、6有共通之处，要求)()(q f n ，首先将)(x f 因式分解为两项)(x u 和)(x v 相乘，应用莱布尼兹公式，且其中一项)(x u 必须为关于)(q x -的多项式（为了使)(x u 的零阶直至n 阶导数只有少数几项在q x =处的值不为零）。
7. 设x x y arcsin 11
2-=，求)0()(n y 。 解：x x x
x x y arcsin 21211111222?-?-?---=' 2221)1(arcsin 11x
x x x x --?+-= )arcsin 11(1122x x x x ?-+-=
)1(112
xy x +-=
故 01)1(2
=--'-xy y x
继续求导一次得
02)1(2='--'-''-y x y y x y x
亦即
03)1(2=-'-''-y y x y x
继续求导一次得
0332)1(2='-'-''-''-'''-y y y x y x y x
亦即
045)1(2='-''-'''-y y x y x
归纳知
0)1()12()1()2(2)1()(2=-------n n n y n xy n y x
将0=x 带入上式，有
)0()1()0()2(2)(--=n n y n y
由0)0(=y ，1)0(='y ，0)0(=''y 知
0)0()2(=n y
)0()2()0()12(2)12(-+=n n y n y
)0()22()2()32(22--=n y
n n
Λ=
)0(2)22()2(222y n n '-=Λ
2)!(4n n =
附专题八习题6的解答
6. 证明：方程212x x +=恰有三个实根。
解：令12)(2--=x x f x ，0)1()0(==f f ，1)4(-=f ，6)5(=f 。0)(=x f 的两个确定的根为01=x ，12=x ，对函数)(x f 在闭区间]5,4[上应用零点定理知至少存在一个)5,4(3∈x ，使得0)(3=x f 。故0)(=x f 亦即方程212x x +=至少有三个实根，下面说明方程2
12x x +=恰有三个实根。倘若不然，0)(=x f 存在四个或者四个以上的实根，取其中的四个根1x ，2x ，3x ，4x ，且不妨设4321x x x x <<<。)(x f 的一阶、二阶、三阶导数分别为 x x f x 22ln 2)(-='
2)2(ln 2)(2
-=''x x f
3
)2(ln 2)(x x f ='''
由罗尔定理知存在),(211x x ∈ξ，),(322x x ∈ξ，),(433x x ∈ξ，使得
0)()()(321='='='ξξξf f f )(321ξξξ<<
继续应用罗尔定理，存在),(211ξξη∈，),(322ξξη∈，使得
0)()(21=''=''ηηf f )(21ηη<
存在),(21ηηψ∈，使得
0)(='''ψf
而0)2(ln 2)(3>='''x x f ，R x ∈?，矛盾。故假设不成立，亦即方程212x x +=恰有三个实根。（附21x y +=与x
y 2=的图像）
（罗尔定理）如果函数)(x f 满足：
（1） 在闭区间],[b a 上连续
（2） 在开区间),(b a 内可导
（3） 在区间],[b a 的端点处函数值相等，及)()(b f a f =
则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得0)(='ξf 。
求导法则与求导公式
§2.2 求导法则与导数的基本公式 教学目标与要求 1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则 2. 理解反函数的导数并能应用； 3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数； 4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。 教学重点与难度 1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导； 2. 会求反函数的导数； 3. 会求复合函数的导数 前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数。 一、函数的和、差、积、商求导法则 1.函数的和、差求导法则 定理1 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =±在点x 处也可导，且 [()()]()()y u x v x u x v x ''''=±=± 同理可证：' ' ' [()()]()()u x v x u x v x -=- 即证。 注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即 12''' ' 12[()()()]()()()n n u x u x u x u x u x u x ±± ±=±±±， 即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。
例1 求函数4 cos ln 2 y x x x π =+++ 的导数 解 4 c o s l n 2y x x x π'??'=+++ ?? ? ()()()4 cos ln 2x x x π'??'''=+++ ??? 3 1 4s i n x x x =-+ 2.函数积的求导公式 定理2 函数()u x 与()v x 在点x 处可导，则函数()()y u x v x =在点x 也可导，且 ''''[()()]()()()()y u x v x u x v x u x v x ==+。 注意：1）特别地，当u c =（c 为常数）时， '''[()]()y cv x cv x ==， 即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得： ''''[()()]()()y au x bv x au x bv x =±=±。 2）函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即 ''' '12 1212 12 ()n n n n u u u u u u u u u u u u =+++。 例2 求下列函数的导数。 1）32 3254sin y x x x x =+-+； 解 ()()()()3 2 3254sin y x x x x '''''=+-+
高等数学公式导数基本公式
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
大一高数试题及答案.doc
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> 导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△ y=f(x 0+△x)-f(x )，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从 到的平均变化率。 注意： ①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。 ③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。 （2）平均变化率的几何意义 函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。 如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。 事实上，。 作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。 知识点二：导数的概念： 1．导数的定义： 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 注意： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在 处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x 0，y )及其附近一点Q(x +△x,y +△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ， 其倾斜角为当点Q(x 0+△x,y +△y)沿曲线无限接近于点P(x ，y )， 即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 教学合班 1：专业班合计人授课 合班 2：专业班合计人日期对象 合班 3：专业班合计人地点教学第二章导数与微分计划 内容 第一节导数的概念 2学时 （课题） 通过学习，学生能够： 1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数； 2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线； 3.理解可导与连续的关系。 具体目标如下： 教学 目的 知识目标：技能目标：素养目标： 教学重点难点教学资源 1.理解导数的概念；1．会用定义求函数在一点处 1 ．培养学生的数学思维 2.理解导数的几何意义；的导数；能力和解决问题的能 3.把握可导与连续的关系。2．会求曲线的切线。力； 2．培养学生严谨、求实 的作风。 重点：导数的定义。 难点：理解导数的几何意义。 教材、例子（幻灯片）、课件。 教学后记 对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处： 教学活动流程 教学步骤与内容教学目标教学方法时间 对前面的知 识进行复习 A. 复习内容与巩固，并简述 1．极限的定义为新知识和6mins 2.极限的计算方法新技能的学 习奠定必要 的基础。 板书 ( 或 PPT展 B. 板书课题，明确学习目标及主要学习内容示)课题简介 明确本次课的辅以2mins （略。详见教案首页）内容重点及目PPT展示 标 C.讲授新知 导数与微分是微积分的基本概念，要更好地理解导数 的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过 程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践 中都有非常广泛的应用。 一、瞬时速度、曲线的切线斜率 1.变速直线运动的瞬时速度 设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的 关系为 s s(t ) ，求质点在 t0时刻的瞬时速度． 分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t ，讲解20mins 那么质点在时刻 t0与时刻 t0t 间隔内的平均速度也就是 辅以 PPT展示 引入导数概念 质点在时刻 t0的瞬时速度为 v0v s(t0t ) s(t0 ) t 在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作 变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算 瞬时速度，首先在时刻 t0任给时间一个增量t ，考虑质点由 t0到 t0 Vt 这段时间的平均速度：v s(t0t )s(t0 ) t 《高等数学》（理工类） 1.设()y f x =的定义域为(0,1]，()1ln x x ?=-，则复合函数[()]y f x ?=的定义域为________；0ln 1,[1,)x x e ≤<∈ 2.已知0x +→时，arctan3x 与 cos ax x 是等价无穷小，则a =______；0arctan 33 lim 1,3x x a ax a →===； 3．函数6cos 2sin π+=x x y ，则=y d ________；21 (2cos 2sin 2)x x dx x -； 4．函数x xe y -=的拐点为____________；(2)0,2x y e x x -''=-==，2(2,2)e - 5．设函数?? ??? ≥ +<=2,2,sin )(ππx x a x x x f ，当a =____时，)(x f 在2 π =x 处连续；12π-； 6. 设()y y x =是由方程20y e xy +-=所确定的隐函数，则y '=__；y y e x -+ 7．函数x x e x f --= 111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,f f -+ ==1x =； 8 ．定积分 1 1 sin )x dx -? ＝________ ；22π=? 9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(B A M 则∠AMB = _______；3π； 10．已知(2,3,1)(1,2,3)a b ==r r ，则a b ?r r ＝_________。(751)-，， 二、计算题（每小题6分，共42 分） 1．求极限220ln(1)1 lim 2sin 2x x arc x →+=。 2．求极限3sin 0 sin lim x t x e dt x x →-?=3 2sin 03sin lim 61cos x x xe x →=- 3．设 2 sin ,x y e x =?求.dy dx 。2 (2sin cos )x dy e x x x dx =+ 一．选择题 1.若k x x f x x f x =?-?+→?)()(lim 000，则x x f x x f x ?-??+→?) ()2(lim 000等于( ) A.k 2 B.k C.k 2 1 D.以上都不是 2.若f （x ）=sinα－cosx ，则f ′(a )等于 ( ) A ．sinα B ．cosα C ．sinα+cosα D ．2sinα 3.f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′(?1)=4,则a 的值等于( ) A ． 319 B ． 316 C ．3 13 D ．3 10 4.函数y =x sin x 的导数为( ) A ．y ′=2x sin x +x cos x B ．y ′= x x 2sin +x cos x C ．y ′= x x sin +x cos x D ．y ′=x x sin －x cos x 5.函数y =x 2cos x 的导数为( ) A ．y ′=2x cos x －x 2sin x B ．y ′=2x cos x +x 2sin x C ．y ′=x 2cos x －2x sin x D ．y ′=x cos x －x 2sin x 6.函数y =2 2x a x +（a >0）的导数为0，那么x 等于（ ） A ．a B ．±a C ．－a D ．a 2 7. 函数y =x x sin 的导数为（ ） A ．y ′=2 sin cos x x x x + B ．y ′= 2 sin cos x x x x - C ．y ′=2cos sin x x x x - D ．y ′=2 cos sin x x x x + 8.函数y = 2 )13(1 -x 的导数是（ ） A ． 3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3 )13(6-x D ．－2)13(6 -x 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（方向导 数与梯度） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 方向导数与梯度： 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研： 凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才 .- I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10. ()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '=； 14.( )arccos x ' =； 15.()21 arctan 1x x '= +； 16.()2 1 arccot 1x x '=- +。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2 (0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。 ● 计算极限时常用的等价无穷小 0limsin x x x →: 0lim tan x x x →: ()2 01lim 1cos 2x x x →-: ()0lim 1x x e x →-: ()0limln 1x x x →+: 01 1x x n →-: ● 两个重要极限: 0sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? 基本积分公式： kdx kx C =+? 1 1x x dx C μμ μ+=++? 1ln dx x C x =+? 21 arctan 1dx x C x =++? arcsin x C =+? cos sin xdx x C =+? sin cos xdx x C =-+?； 2 21sec tan cos dx xdx x C x ==+??2 21csc cot sin dx xdx x C x ==-+?? sec tan sec x xdx x C =+? csc cot csc x x x C =-+? x x e dx e C =+? ln x x a a dx C a =+? shxdx chx C =+? chxdx shx C =+? *tan ln cos dx x C =-+? *cot ln sin xdx x C =-+? *sec ln sec tan xdx x x C =++? *csc ln csc cot xdx x x C =-+? *22 11arctan x dx C x a a a =++? *2211ln 2x a dx C x a a x a -=+-+? *arcsin x C a =+? *(ln x C =++? *ln x C =++? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = 高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π §2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数（不管它是简单函数,还是复杂函数）,总可用定义求其导数（只要极限存在）.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算（用定义求导）都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： x x x f cos sin )(1+= x x g 2sin )(1= x x x f cos sin )(2?= )sin()(2ax x g = x x x f a log cos )(3= x x g arcsin )(3= x c x f sin )(4= x x g arccos )(4= 一、导数的四则运算 问题1 设x x x f cos sin )(±=,求)('x f . 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,)'(cos )'(sin sin cos )('x x x x x f ±== .即 )'(cos )'(sin )'cos (sin x x x x ±=± 一般地,有如下和的导法则： 定理1（和的导数） 设)(x f ,)(x g 在x 点可导,则 )()(])()([x g x f x g x f '±'='± （求导是线性运算） 证明 令 )()()(x g x f x y += 。时当0)()()()()()()]()([)]()([→?'+'→?-?++ ?-?+=?+-?++?+=??x x g x f x x g x x g x x f x x f x x g x f x x g x x f x y 问题2 设x a x x f ?=sin )(,则a a x a x x f x x ln cos )'()'(sin )('??=?=对吗？ 大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分 1.导数的定义。对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。与物理学中定义米/秒是一个性质的。把函数f(x)的导数看做是关于x 的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。（以上的“x0”中的“0”都是x的下标，下同。） 导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。 2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。如图所示。绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。 3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。比如说求y=x2在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)2-a2)/Δx的极限。求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x2的导数的过程。 4.函数的可导性与连续性的关系。我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x) 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' = 专题十 基础知识 关于高阶导数，有： （1）几个常见的高阶导数公式 )2sin()(sin )(π?+=n x x n ，)2 cos()(cos )(π ?+=n x x n 1)(!)1()1(+-=n n n x n x ，1)1(!)1()(ln ++-=n n n x n x )1()!(!)()(n k x k n n x k n k n ≤≤-=-，)(0)()(n k x k n >= （2）分段函数在分段点处的二阶导数 （3）莱布尼兹公式：设函数u ，v 皆n 阶可导，则 )()1(1)()()1(1)()()(n n n n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u C v u uv +'++++'+=----ΛΛ )()(0k k n n k k n v u C -=∑= （实际上就是二项式定理） （4）隐函数及由参数方程确定的函数的二阶导数（不在本专题中涉及） 例题 1. 设?????=≠=0 ,10,sin )(x x x x x f ，求)0(f ''。 解：x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ x x x x 1sin lim 0-=→ 20sin lim x x x x -=→ x x x 21cos lim 0-=→ x x x 221lim 20-=→ 0= 故 ?????=≠-='0 ,00,sin cos )(2x x x x x x x f 于是 x f x f f x )0()(lim )0(0'-'=''→ x x x x x x 0sin cos lim 20--=→ 30sin cos lim x x x x x -=→ 203cos sin cos lim x x x x x x --=→ 203sin lim x x x x -=→ 3 1-= 2. 已知x x f 2cos )(=，求)0()2(n f 。 解：由)22cos(2)()(π ?+=n x x f n n 知 n n n n n f 4)1()2 20cos(2)0(2)2(?-=?+=π 3. 已知2 31)(2+-=x x x f ，求)3()(n f 。 解：1121)2)(1()2()1(2 31)(2---=-----=+-=x x x x x x x x x f 由公式1)(!)1()1(+-=n n n x n x 知 )()()1 121()(n n x x x f ---= )()()11()21(n n x x ---= 1 1)1(!)1()2(!)1(++-----=n n n n x n x n ])1(1)2(1[ !)1(11++----=n n n x x n 故 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23 - ），=b （ 16 - ）． ∵()12++= 'bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142 =++b a ，解之得6 1,32- =- =b a ２．函数()()1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 2112 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝－1时，求 函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1- 成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->.（Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ?∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区 间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3． 设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1 [,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得 12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数())0(2ln 2 >-+= a x a x x f (Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线与直线y ＝x ＋2垂直，求函数y ＝f (x )的单 调区间； (Ⅱ)若对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立，试求a 的取值范围； (Ⅲ)记g (x )＝f (x )＋x －b (b ∈R ).当a ＝1时，函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 求实数b 的取值范围． 6、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 四、基本求导法则与导数公式 １. 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数 处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数 在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知 I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '= ； 14.( )arccos x ' =-； 15.()2 1 arctan 1x x ' = +； 16. ()2 1 arc cot 1x x '=-+。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2(0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。 ● 计算极限时常用的等价无穷小 0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2 01lim 1cos 2 x x x →- ()0 lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+ 01 1x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() ()()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中：()()()()()11 01! n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。(完整word版)导数的概念、导数公式与应用
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