高等数学：第四节 高阶导数
高等数学：第四节 高阶导数
(4) ( x )(n) ( 1)( n 1)xn
(5)
(ln
x)(n)
(1)n1
(n 1)! xn
( 1 )(n) x
(1)n
n! x n1
17
例11 设 y 1 , 求y(5) . x2 1
( 1 )(n) x
(1)n
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
3
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
( arctan b)
a
10
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
12
例8 设 y arctan x, 求y(n)(0).
解
y
1
1 x2
,
(1 x2 ) y 1, 由莱布尼兹公式,
（1 x2 ) y(n1) 2nxy(n) n(n 1) y(n1) 0,
令x 0, y(n1) (0) n(n 1) y(n1) , 递推关系！
高 阶 导 数
所以，直线运动的加速度就是位移函数S对时间t的二阶导数。
把函数 y f (x) 的导数 f (x) 叫做函数 y f (x) 的一阶导数。
类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导 数叫做四阶导数……一般地，若函数 y f (x) 的 n 1 阶导数仍 可导，则函数 y f (x) 的 n 1阶导数的导数叫做 y f (x) 的n阶 导数．函数 y f (x)的三阶、四阶、……n阶导数，分别记作
t
1 4
t3
1
3 4
t 2，初速度为
v0 v(0) 1 m/s
（2）物体的加速度 a(t) v(t) 3 t ，t 4 s 时的加速度为 2
a(4) 3 4 6 (m/s2 ) 2
例2 求下列函数的二阶导数：（1）y x10 3x5 2x3 5 7 ； （2）s et cos t ；（3）y x ln x
汽车刹车后的加速度为
a dv (19.2 1.2t2 ) 2.4t dt
当 t 3 s时汽车的速度为
v (19.2 1.2t2 ) t3 8.4 (m/s2 )
当 t 3 s 时汽车的加速度为
a 2.4t 7.2 (m/s2 ) t 3
例4 求指数函数 y ex 的n阶导数。
解
y ex ，y ex ，y ex ，y(4) ex ， ，
依此类推，得 即
y(n) ex (ex )(n) ex
例5 求正弦与余弦函数的n阶导数。
解
y sin x
y
cos
x
sin
x
π 2
y
cos
x
π 2
sin
x
π 2
π 2
sin
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
新高阶导数2-4讲解材料
1.直接法;
2.间接法.
思考题
设 g(x) 连续，且 f(x)(xa)2g(x)， 求 f(a) .
思考题解答
g(x)可导 f ( x ) 2 ( x a ) g ( x ) ( x a ) 2 g ( x ) g(x)不一定存在 故用定义求 f(a) f(a)lim f(x)f(a) f(a)0
3 3
, ,
x0 x0
f(0)xl im 02x3x00 f(0)xl i0m4x3x0 0
f (x) 162xx22,,
x0 x0
又
f(0)lim x 0
6
x x
2
0
f(0)lim x 0
12 x x
2
0
f
(x)
24x, 12x ,
x0 x0
但是 f (0)12 , f (0)24 ,f(0) 不存在 .
三. 高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vn(u n1)vn(n1)u(n2)v 2!
n(n1) (nk1)u(nk)v(k) u(vn) k!
n
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
则y12x22xy 41y32y2(y)2, 代y得 入 y'.
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
五、由参数方程确定的函数的二阶导数
若函数 xy ((tt))二阶可 , 且 导(t)0, 求
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
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贸
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高阶导数求法的通俗理解
高阶导数求法的通俗理解高阶导数是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
那么，什么是高阶导数呢？简单来说，高阶导数就是对函数的导数再求导数。
在微积分中，我们常常会遇到对函数进行求导的情况。
求导可以告诉我们函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜率。
但是有时候我们还想知道切线的变化率的变化率，即函数的曲率。
这就需要用到高阶导数。
以一个简单的例子来说明，假设我们有一个函数f(x)，我们对其求导得到f'(x)，再对f'(x)求导得到f''(x)，再对f''(x)求导得到f'''(x)，以此类推。
这样，我们就得到了f(x)的各阶导数。
高阶导数的概念在实际问题中有着广泛的应用。
比如，在物理学中，我们常常需要求解物体的加速度、速度和位移之间的关系。
这时，我们可以通过求解物体的运动方程，然后对其进行高阶导数求解，得到加速度、速度和位移之间的关系。
在工程学中，高阶导数也有着重要的应用。
比如，在电路设计中，我们常常需要求解电流和电压之间的关系。
这时，我们可以通过求解电路的电流方程，然后对其进行高阶导数求解，得到电流和电压之间的关系。
在经济学中，高阶导数也有着重要的应用。
比如，我们常常需要分析某种商品的需求曲线。
通过对需求曲线进行高阶导数求解，我们可以得到该商品的需求弹性，从而帮助我们做出更加准确的经济决策。
高阶导数是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
通过对函数的导数再求导数，我们可以得到函数的各阶导数，从而帮助我们解决实际问题。
高阶导数的应用涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域，具有广泛的实际意义。
因此，对于学习微积分的人来说，理解和应用高阶导数是非常重要的。
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数
=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +
⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+
2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得
((− ))
1
=
=
(
2
−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.
由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()
′ ()
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令x 0, y(n1) (0) n(n 1) y(n1) , 递推关系！
由y(0) 0, y(0) 1, y(0) 0及递推关系得：
y(2m)(0) 0 (m 1, 2, 3, ), y(2m1) (0) (1)m (2m)! (m 1, 2, 3, ).
13
例9 求由方程 xy y e 0所确定的隐函数y( x)
0;
f (0)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
x0
2.
5
例2 设 y x ( R), 求y(n) . 解 y x1
y (x1 ) ( 1)x2 y (( 1)x2 ) ( 1)( 2)x3
y(n) ( 1)( n 1)xn (n 1)
若 为自然数n,则
第四节 高阶导数
一、高阶导数的定义 二、高阶导数求导举例 三、小结、思考题、作业
1
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f (t),
则瞬时速度为
v
ds dt
或v
s'
,
加速度a是速度v对时间t的变化率
a dv d ( ds )或a (s' )' dt dt dt
2
定义 如果函数f ( x)的导数f ( x)在点x处可导,即
f (4) ( x),
y(4) ,
d4y .
dx 4
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数, 记作
f (n) ( x), y(n) , d n y 或 d n f ( x) .
dx n
dx n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地, f ( x)称为零阶导数; f ( x)称为一阶导数.
其中 p5( x) 为x的5次多项式, 故 y(6) 108 6!.
7
Байду номын сангаас
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例3 设 y e x , 求y(n) .
解 y e x , y e x , y e x , , (e x )(n) e x .
( f ( x)) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
存在,则称( f ( x))为函数f ( x)在点x处的二阶导数.
记作
f
( x),
y,
d2y dx 2
或
d
2 f (x) dx 2
.
3
二阶导数的导数称为三阶导数,
f ( x),
y,
d3y .
dx 3
三阶导数的导数称为四阶导数,
( arctan b)
a
10
2. 高阶导数的运算法则:
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v (n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
(3) (u v)(n) u(n)v nu( v n1) n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv (n) k!
4
二、 高阶导数求法举例
1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x, 求f (0), f (0).
解
y
1
1 x
2
y
( 1
1 x
2
)
2x (1 x 2 )2
y
(
(1
2x x2
)2
)
2(3x 2 1) (1 x 2 )3
f
(0)
(1
2x x2 )2
x0
y
y 0,
y 2 y 1 x
y(n) ( xn )(n) n!, y(n1) (n!) 0.
6
例 设y ( x 2)(2x 3)2(3x 4)3, 求y(6).
分析 此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出来. 解 因为
又是求6阶导数,
y x(2x)2(3x)3 p5( x) 108x6 p5( x)
eax (a sin bx b cos bx) eax a 2 b2 sin( bx ) ( arctan b)
a y a 2 b2 [aeax sin(bx ) beax cos(bx )]
a 2 b2 eax a 2 b2 sin(bx 2)
n
y(n) (a 2 b2 ) 2 e ax sin( bx n)
n
C u v k (nk ) (k ) n
k0
莱布尼兹公式
11
例7 设 y x2e2x , 求y(20) . 解 设u e2x , v x2 ,则由莱布尼兹公式知
y(20) (e ) 2 x (20) x 2 20(e 2 x )(19) ( x 2 ) 20(20 1) (e2x )(18) ( x 2 ) 0 2!
的二阶导数
d2y dx 2
.
解：方程 两边同时关于x求导得(注意y是x的函数)，
1 y x y y 0, （1）
y
y ,
1 x
y
y (1 x) y (1) (1 x)2
2y (1 x)2 .
法二： (1)两端同时关于x求导得: 注意y和y都是x的函数！
y 1 y x
y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 )
2
22
2
y
cos(
x
2
2
)
sin(
x
3
) 2
y(n) sin( x n ) 2
同理可得 (cos x)(n) cos( x n ) 2
9
例6 设 y eax sin bx (a, b为常数), 求y(n) . 解 y aeax sin bx beax cos bx
例4 设 y ln(1 x), 求y(n) .
解 y 1
1 x
y
(1
1 x
)
2
y
(1
2! x)3
y(4)
3! (1 x)4
y(n) (1)n1 (n 1)! (1 x)n
(n 1, 0! 1)
8
例5 设 y sin x, 求y(n) .
解 y cos x sin( x ) 2
2 e 20 2 x x 2 20 2 e 19 2 x 2 x 20 19 2 e 18 2 x 2 2!
220 e2x ( x2 20x 95)
12
例8 设 y arctan x, 求y(n)(0).
解
y
1
1 x2
,
(1 x2 ) y 1, 由莱布尼兹公式,
（1 x2 ) y(n1) 2nxy(n) n(n 1) y(n1) 0,