《高等数学》高阶导数
高等数学理工类课件-高阶导数
用莱布尼兹公式求 n 阶导数
令பைடு நூலகம்
得
由
得
即
由
得
内容小结
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法
—— 利用已知的高阶导数公式
(4) 利用莱布尼兹公式
高阶导数的求法
如,
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
解:
解:
2. (填空题) (1) 设
则
提示:
各项均含因子 ( x – 2 )
设
求
其中 f 二阶可导.
备用题
规定 0 ! = 1
思考:
例7. 设
求
例8. 设
求
解:
一般地 ,
类似可证:
例9 . 设
解:
3.间接法 ——利用已知的高阶导数公式
常用的已知函数高阶导数公式：
例10 . 设
求
解:
例11 . 设
求
解:
例12.
求
解: 设
则
代入莱布尼兹公式 , 得
4.利用莱布尼兹公式
例13. 设
求
解:
(2) 已知
任意阶可导, 且
时
提示:
则当
3. 试从
导出
解：
同样可求
(见 P103 题4 )
作业 P103 1 (9) , (12) ; 3(2) ; 4 (2) ; 10 (2) , 11(2)
解:
二、高阶导数的求法
第三节
一、高阶导数的概念
高阶导数
第二章
一、高阶导数的概念
速度
即
加速度
即
引例：变速直线运动
高等数学隐函数求导高阶导数
一、隐函数求导简介d e f 变量 y 对变量x 的函数关系通过一个方程来给出()0,=y x F决定了一个关于x 的函数()x f y =，我们称它为由上述方程确定的隐函数。
例1： 122=+y x 0,11≥≤≤-y x ⇒21x y -= 11≤≤-x122=+y x 0,11≤≤≤-y x ⇒21x y --= 11≤≤-x例2： 12222=+by a x ⇒22x a a b y -±=()a x a ≤≤- 求导1、 求方程122=+y x 所确定隐函数的()x f y =导数.解 对方程进行微分022=+ydy xdx于是 ()yx dx dy x f -==' 可以利用21x y -=来验证2、 求方程0=--xy e e yx 所确定的隐函数()x f y =的导数. 解 对方程两端进行微分0=---xdy ydx dy e dx e y x于是 ()xe y e dx dy xf y x +-==' 二、高阶导数()x f 在区间I 上可导，则()x f '仍然是定义在I 上的函数，如果()x f '也在I 上可导，则称其导函数()()''x f 为()x f 的二阶导数，记为)(x f ''，表示方法还有,,22dx y d y ''22dx f d . 类似可以定义函数()x f y =的三阶、四阶以至n 阶导数.三阶导数皆为)(x f '''，四阶导数记为()()x f 4，n 阶导数记为()()x fn 或者分别记为()()n y y y ,,4'''，或者n n dx y d dx y d dx y d ,,4433，即()()()()()'=-x f x f n n 1或者⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11n n n n dx y d dx d dx y d 例 设a x y =，求()n y解 1-='a ax y ，()()211---='=''a a x a a ax y …………()()()n a n x n a a a y -+--=11 m a =（整数），那么m n >时()0=n y例 设bx e y =求()n y解 bx be y ='，bx e b y 2='',, ()bx n n e b y =.例 设()x y +=1ln 求 ()n y解 x y +='11，()()21)1(11--+-='+=''x x y ,, ()()()()()()()()n n n n x n x n y +--=-+---=--1!1111211例 设x y sin =，求()n y .解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=='2sin cos πx x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=''22sin sin πx x y ,, ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πn x y n Leibniz 公式()()[]()()()()()∑=-=n j j n j j n n x g x f C x g x f 0 条件是()()x g x f ,都有n 阶导数例 设x x y sin 2=，求()1998y解 ()()()()()()()xx x x x x x x x x y sin 3990006cos 3996sin sin 3990006sin 3996sin 219961997199821998++-=++=。
高等数学-§2.3 高阶导数
n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解 将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x
2
2x x2
2x x
2
2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学 第2章 导数与微分
x
n
k
k n
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学 第2章 导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1
(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x
y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2
高等数学2导数与微分3.
《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。
=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。
dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。
通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。
d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。
dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。
解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。
解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。
高等数学微积分第3章 第5节 高阶导数
(n)
( x0 )
y
(n) x x0
d y n dx
n
x x0
d f n dx
n
x x0
(4)求法
2至5阶,反复求导.
n阶导数,先求几阶再总结规律.
例1 设 y e sin x , 试证 y 2 y 2 y 0.
x
(e x sin x ) (e x ) sin x (sin x )e x 证 y
d2y x 1 t 例6 设 y cos t ,求 2 . dx sin t dy sint 解 2t 2t dx
2
d y d sin t d sin t dt ( ) ( ) 2 dx dx 2t dt 2t dx
2
cos t 2t 2 sint 1 2 4t 2t sint t cos t . 3 4t
y ( 1)( 2)( 3)(2 x 3)4 23
y
(n )
( 1) n !(2 x 3)
n
( n 1)
2
n
例4 求 y cos x 的n阶导数. 解 y sin x cos(x ) 2 y sin(x ) ( x ) cos( x 2 ) 2 2 2 y sin(x 2 ) ( x 2 ) 2 2
x x
2e cos x
x
代入得
y 2 y 2 y 0.
例2 求 y x (n为正整数)的n阶导数.
n
解
nx n1 y
y n( n 1) x
n 2
y n( n 1)( n 2) x
高等数学高阶导数
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、几个常用函数的高阶导数 三、高阶导数的运算法则 四、隐函数的二阶导数 五、由参数方程确定的函数的二阶导数
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度 加速度 即 即 v s
a ( s)
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
y (n) a n e ax
特别有: (e x ) ( n ) e x
f (n ) (0) 存在的最高 例6 设 f ( x) 3x x x , 求使
3 2
2 3 4x , x 0 f (x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 f (0) lim 0 12 x 2 , x x 0 f (x) 2 4 x3 0 6x , (0) lim f 0 x x 0 6x2 0 又 f (0) lim 24x , x x 0 f (x) 12x , 12 x 2 0 f (0) lim x x 0 但是 f (0) 12 , f (0) 24 , f (0) 不存在 .
若 为自然数 , y xn则 n
y
( n)
( x ) n! ,
n ( n)
y ( n 1) ( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后, 分析结果的 规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 1 例2 设 y , 求y ( n) . xa n (1) n! ( n) 1 1 y . 解 ( x a) , n1 xa ( x a) 例3 设 y ln(1 x ), 求y (n) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2 2! 3! (4) y y 3 (1 x ) (1 x ) 4 (n) n 1 ( n 1)! y ( 1) ( n 1, 0! 1) n (1 x )
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式
高等数学二高阶偏导数及泰勒公式一、高阶偏导数对于函数f(x,y)的一阶偏导数来说，我们可以通过对x或y求导得到，分别记作∂f/∂x和∂f/∂y。
同样，我们可以对一阶偏导数再进行求导，得到二阶偏导数，记作∂^2f/∂x^2、∂^2f/∂x∂y和∂^2f/∂y^2，其中∂^2f/∂x^2表示先对x求导，再对x求导的结果，∂^2f/∂x∂y表示先对x求导，再对y 求导的结果。
类似地，我们可以继续进行求导的过程，得到高阶偏导数，如三阶偏导数、四阶偏导数等。
对于常用的高阶偏导数，我们可以通过迭代的方式求得。
例如，对于三阶偏导数∂^3f/∂x^3，我们可以先对x求一阶导数，再对x求一阶导数，再对x求一阶导数，即∂^3f/∂x^3=(∂/∂x)^3f(x)。
同样，我们也可以得到一些特殊的高阶偏导数，如混合偏导数∂^3f/∂x^2∂y，表示先对x求两阶导数，再对y求一阶导数。
高阶偏导数在数学物理学、工程数学等领域中有广泛的应用。
通过求取高阶偏导数，我们可以获得函数在其中一点的更精确的变化率信息，进而可以研究函数的特性、求解极值问题等。
二、泰勒公式泰勒公式是一种用多项式逼近函数的方法，通过将函数在其中一点的函数值和各阶导数的值带入多项式中得到。
泰勒公式主要有两种形式，即拉格朗日余项和佩亚诺余项。
1.拉格朗日余项形式设函数f(x)具有n+1阶导数，且在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，则对于该区间上的任意点x，存在一点ξ(x)在a和x之间，使得f(x)可以用泰勒公式表示为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+R_n(x)其中R_n(x)为拉格朗日余项，具体形式为R_n(x)=f^(n+1)(ξ(x))(x-a)^(n+1)/(n+1)!，其中f^(n+1)(ξ(x))为函数f(x)在点ξ(x)处的(n+1)阶导数。
高等数学第二章高阶导数
高阶导数的定义 几个基本初等函数的n阶导数 莱布尼茨(Leibniz)公式 小结 思考题 作业
1
第二章 导数与微分
一、高阶导数的定义 高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是 速度v对时间t的变化率
y
x2
1 3x
2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)
(1)n
n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作
2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
500
x
已知 dx 100m min , x 500 m, 求 d .
dt
dt
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
依次类推 , 可得
y(n) n!an
思考: 设 y x ( 为任意常数), 问
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 设 y eax , 求 y(n).
解: y aeax , y a2 eax , y a3eax , ,
y(n) aneax
特别有: (ex )(n) e x
例3. 设
( rad/ min )
d t 2 500
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 m／min 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ?
提示: tan 500
x
对 t 求导
sec2
d
dt
500 求二阶导数 .
x (t)
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d (dy) dx dx
d (dy) d t dx
dx dt
(t)(t) (t)(t)
2 (t)
(t )
(t
)
(t) (t 3 (t )
)
(t
)
yx xy x 3
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P100：1（7）（9）（11），3，10，11双 P108：1单，3（3）（4），4双，6，7（2）， 8（4），11，12
第三节
第二章
高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、高阶导数的概念
引例：变速直线运动 速度
即 v s
加速度
即
a (s)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导,则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
求
y 1 1 x
y
1 (1 x)2
解:
y 1 , 1 x
y
(1
1 x)2
,
y
(1)2
1 2 (1 x)3
,
,
y(n)
(1)n1
(n 1)!
(1 x)n
规定 0 ! = 1
思考:
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 设
求
解:
y
cos x
sin(
x
2
)
y
cos( x
2
)
sin(x
2
2
)
sin(x
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设曲线
由方程
确定 , 求
以及过x=0处的切线和法线方程。
解: 方程两边对 x 求导, 得
ey y y x y 0
①
再求导, 得
e y y2 (e y x) y 2 y 0
②
当 x 0 时, y 1, 故由 ① 得
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意 : 已知
?
例4. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
例5.
求
d2 dx
y
2
.
解:
dy 1; dx t
d2 y d x2
1 t2
t
(1) y 1 x 1 x
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3 1 x
y(n)
(1
n! x)n1
,
n3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3)
y
x2
1 3x
2
y(n)
(1)n n!
( x
1 2)n1
(x
1
1)
n1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
视线的仰角增加率是多少?
解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,
则 tan h
500
h
两边对 t 求导
500
sec2 d 1 d h
d t 500 dt
sec2 1 tan2
已知 d h 140m min , h = 500m 时, tan 1 ,sec2 2 ,
d t d 1 1 140
推导 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
1 a
x
(n)
(1)n
(a
n! x)n1
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 如何求下列函数的 n 阶导数?
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 .
例如, 两边取对数
ln y x ln a a[ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b
又如, y (x 1)(x 2)
(x 3)(x 4)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
相关变化率
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.设
求
解: y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 y 2 1a2 3 2a3x n(n 1)an xn2
再代入 ② 得
y(0) 1
e
y(0)
1 e2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
两边对 x 求导
1 y
y cos x ln x
sin x x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
若上述参数方程中
2
2
)
y
cos( x
2
2
)
sin(x
3
2
)
一般地 ,
(sin
x)(n)
sin( x
n
2
)
类似可证:
(cos
x)(n)
cos( x
n
2
)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶导数的运算法则
设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数) n(n 1) 2!
n(n 1)(n k 1) k!
莱布尼兹(Leibniz) 公式
1 t3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
相关变化率问题解法:
称为相关变化率
找出相关变量的关系式
对 t 求导
得相关变化率之间的关系式
求出未知的相关变化率
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140 m min , 当气球高度为 500 m 时, 观察员