一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
一阶偏导和二阶偏导公式
一阶偏导和二阶偏导公式一阶偏导和二阶偏导是微积分中的重要概念，用于描述多变量函数的变化率和曲率。
在实际问题中，一阶偏导和二阶偏导经常被用来求解最优化问题、描述曲线和曲面的性质等。
本文将介绍一阶偏导和二阶偏导的概念及其计算方法，并通过实例加深理解。
一、一阶偏导的概念与计算方法1.概念对于多变量函数，我们可以将其中的一个变量视为常数，而对其他变量求导，这就是偏导数的概念。
一阶偏导数描述了函数在某一点沿着某个坐标轴方向的变化率。
2.计算方法假设有一个二元函数f(x, y)，要计算其关于x的偏导数，可以将y 视为常数，然后对x求导。
偏导数的计算方法与普通的导数计算类似，只需将其他变量视为常数。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们要计算其关于x的偏导数。
将y视为常数，对x求导，得到f对x的偏导数为：∂f/∂x = 2x。
二、二阶偏导的概念与计算方法1.概念二阶偏导数是对一阶偏导数再求导，描述了函数在某一点的曲率和变化率的变化率。
2.计算方法对于二元函数f(x, y)，我们可以先计算一阶偏导数，再对一阶偏导数进行求导，得到二阶偏导数。
二阶偏导数的计算方法与一阶偏导数类似。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，我们已经计算了其关于x的一阶偏导数为∂f/∂x = 2x。
再对一阶偏导数∂f/∂x进行求导，得到二阶偏导数∂^2f/∂x^2 = 2。
三、一阶偏导和二阶偏导的应用实例1.最优化问题一阶偏导和二阶偏导在最优化问题中有广泛应用。
通过求解一阶偏导和二阶偏导，可以得到函数的驻点、极值点和拐点等信息，从而帮助我们找到函数的最优解。
例如，对于函数f(x) = x^2 - 2x + 1，我们可以通过求解f的一阶偏导数和二阶偏导数来确定函数的极值点。
首先求解一阶偏导数：f'(x) = 2x - 2，然后求解二阶偏导数：f''(x) = 2。
当二阶偏导数大于0时，函数的极值点为最小值点；当二阶偏导数小于0时，函数的极值点为最大值点。
高数大一偏导数知识点
高数大一偏导数知识点在高数学习中，偏导数是一个重要的数学概念，它在多元函数的微积分中起着重要的作用。
以下是关于大一偏导数的一些基础知识点。
一、偏导数的定义偏导数是多元函数对于其中一个自变量的导数，在计算偏导数时，其他自变量视为常数。
对于一个具有n个自变量的函数f(x₁,x₂,…,xn)，其中x₁,x₂,…,xn分别表示不同的自变量，函数f对于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
二、一阶偏导数的计算1. 对于只有一个自变量的函数，其一阶偏导数就是常规的导数。
例如，对于函数f(x) = x²，其一阶偏导数为∂f/∂x = 2x。
2. 对于多元函数，计算一阶偏导数时需将其他自变量视为常数，分别对每个自变量求偏导数。
例如，对于函数f(x,y) = x² + y³，其关于x的一阶偏导数为∂f/∂x = 2x，关于y的一阶偏导数为∂f/∂y =3y²。
三、高阶偏导数的计算1. 高阶偏导数表示在求导过程中，对于同一自变量连续求导的次数。
例如，对于函数f(x) = x⁴，其二阶偏导数为∂²f/∂x² = 12x²。
2. 高阶偏导数的计算与一阶偏导数类似，将其他自变量视为常数，对每个自变量进行多次求导。
例如，对于函数f(x,y) = x²+ y³，其关于x的二阶偏导数为∂²f/∂x² = 2，关于y的二阶偏导数为∂²f/∂y² = 6y。
四、偏导数的几何意义在几何上，偏导数表示函数曲面在某一点上的切线斜率。
对于一个二元函数f(x,y)，偏导数∂f/∂x表示曲面在该点沿x轴方向的切线斜率，偏导数∂f/∂y表示曲面在该点沿y轴方向的切线斜率。
五、偏导数的应用偏导数在实际问题中有广泛的应用，例如在最优化问题、经济学、物理学等领域。
偏导数可以帮助我们确定函数极值点、判断函数的变化趋势等。
六、常见函数的偏导数1. 对于多项式函数，求导时可以按照常规的导数法则进行，将其他自变量视为常数进行求导。
9-2偏导数
(与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如 三 元函 数 u = f ( x , y , z ) 的 偏导 数为
这两个二阶混合偏导数相等． 这两个二阶混合偏导数相等． 相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广． 此定理可以推广． 推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意 思考
∂ 2z ∂ 2z 此时 有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？ 混合偏导数都相等吗？
(不一定 不一定) 不一定
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？
偏导数
偏 导 数
一、偏导数
二、偏导数几何意义
及与连续的关系 三、高阶偏导数 四、小结、思考题
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数 z f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
_______;
2.
z xy z e ( x y ), 则 x
z y
________.
2 2x csc , y y
2x 2x 2 csc y y
e xy ( xy x 2 1)
e ( xy y 1)
xy 2
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x
的偏导数，记为
zx z f ， ， x0 x x0 x x x y y y y
0 0
2 3
f x 0,1 , f x 1, 0 , f y 0, 2 , f y 2, 0 .
解： f
x y 2 x, f x 0,1 1, f x 1, 0 2;
f x 3 y2 , y
f y 0, 2 12,
f y 2, 0 2
三、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z f x ( x, y ) , x
z f y ( x, y ) y
则称它们是z = f ( x , y ) 若这两个偏导数仍存在偏导数， 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 2 2 z z z z f x y ( x, y ) ( ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
偏导数的概念
f ( x x, y ) f ( x, y ) lim , ( x, y ) D x 0 x
存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数
z=f(x,y)对x的偏导函数，记作
z f , , f x ( x, y )或z x ( x, y ). x x
类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域D内对自变
求导.
若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，只需 先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点(x0,y0)处的函 数值，即 f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )，这样就得到了函数
z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.也可以先将y=y0代入
z f ( x, y ), y y0 .
上式表示y=y0平面上的一条 曲线z=f(x,y0).根据导数的几
何意义可知：fx(x0,y0)就是这
条曲线在点M0(x0,y0,z0)处的
切线关于x轴的斜率.
同样，fy(x0,y0)是这条曲线z=f(x,y)与平面x=x0的交 线
z f ( x, y ), x x0
f xy ( x, y, z ) 2 y, f xyz ( x, y, z ) 0, f xyz (1,1,1) 0.
1 例9 证明函数 u t
u 证 t 2
x2 3 1 2 4t t e
3 1 2 t
x2 e 4t
u 2u 满足方程 2. t x
f(x0,y0).
同样还可以举出函数在(x0,y0)点连续，而在该点 的偏导数不存在的例子. 例如，二元函数 f ( x, y ) x 2 y 2 ，在点(0,0)处 是连续的，但在(0,0)点偏导数不存在. 事实上，f ( x, y ) x 2 y 2 是初等函数，(0,0)点是 定义区域内的一点，故f(x,y)在点(0,0)点是连续的. 固定y=0，让x→0，考察在(0,0)点处对x的偏导 数.此时 f ( x,0) x 2 0 | x |，已知函数|x|在x=0处是 不可导的，即f(x,y)在点(0,0)处对x的偏导数不存在， 同样可证f(x,y)在(0,0)点对y偏导数也不存在.
高数大一偏导数知识点归纳
高数大一偏导数知识点归纳一、导数的定义和计算方法在高等数学中，偏导数是一个非常重要的概念。
它描述了一个函数在某一点上的变化率，即函数沿特定方向的斜率。
下面将对偏导数的定义和计算方法进行总结。
1.1 导数的定义偏导数的定义是：对于具有多个自变量的函数，当其中的一个自变量发生微小变化时，其他自变量保持不变，函数值相应地发生变化。
偏导数用来表示函数在这一自变量上的变化率。
1.2 偏导数的计算方法偏导数的计算方法与普通的导数计算方法类似，只需将其他自变量看作常数。
对于一个具有两个自变量的函数f(x, y)，其偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
具体计算时，可以使用以下方法来计算偏导数：- 对于一个单变量函数，求导即可得到偏导数。
- 对于一个多变量函数，可以将其他自变量看作常数，并对每个自变量求导。
二、偏导数的性质和应用2.1 偏导数的性质偏导数具有以下性质：- 线性性质：偏导数满足线性运算法则，即和、差的偏导数等于偏导数之和、差的和。
- 交换性：对于函数f(x, y)，其关于x和y的偏导数可以互相交换次序。
- 高阶偏导数：偏导数可以进行多次求导，得到高阶偏导数。
2.2 偏导数的应用- 偏导数可以用于求函数的最大值、最小值等极值问题。
- 在物理学、工程学等领域中，偏导数可以表示变量之间的相互关系和影响。
- 偏导数还可以用于微分方程的求解和函数的泰勒展开等数学问题。
三、常见的偏导数公式3.1 二阶偏导数二阶偏导数是指对一个函数的偏导数再次求导。
在计算二阶偏导数时，需要注意求导的次序，常见的二阶偏导数公式有：- 混合偏导数：对于函数f(x, y)，其混合偏导数可以通过先对一个自变量求偏导数，再对另一个自变量求一次偏导数得到。
- 拉普拉斯算子：表示对函数f(x, y)的二阶混合偏导数之和。
3.2 高阶偏导数在实际问题中，有时需要对一个函数进行多次求导，得到高阶偏导数。
高阶偏导数的计算需要依次对各个变量求导，按照求导的顺序，可以得到各个阶数的偏导数。
偏导数知识点公式总结
偏导数知识点公式总结一、偏导数的概念1.1 偏导数的定义偏导数是多元函数对其中一个自变量的导数。
对于一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ 表示在$x_i$方向上的变化率。
偏导数的定义可以表示为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \to 0} \frac{f(x_1, x_2, ..., x_i + \Delta x_i, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{\Delta x_i}$$1.2 偏导数的图示解释偏导数可以通过函数曲面的切线来解释。
对于函数 $z = f(x, y)$，在点$(x_0, y_0, z_0)$处的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$可以理解为曲面在$x$方向的斜率，即曲面在$x$方向上的变化率。
同样地，$\frac{\partial f}{\partial y}$表示曲面在$y$方向上的变化率。
这样的解释有助于我们更直观地理解偏导数的含义。
二、偏导数的性质2.1 对称性对于二元函数 $f(x, y)$，它的偏导数满足对称性，即$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$。
这一性质表明，在计算混合偏导数时，可以不必考虑自变量的顺序。
2.2 连续性在函数的定义域内，若偏导数存在且连续，则函数规定可微。
这一性质是偏导数与函数连续性的关系，对于函数的导数性质有着重要的影响。
2.3 性质总结：和与积对于函数 $u = u(x, y)$ 和 $v = v(x, y)$，它们的偏导数具有和与积的运算法则。
-多元函数的偏导数
偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
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不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y轴的斜率.
yx
be ax
sin by
x
abe ax
sin by.
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D 内连续，那末在该
区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
例 10 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉斯
2x
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u x 2
x2
x
y2
x
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u y2
x2
y
y2
y
(x2 y2) y ( x2 y2 )2
2y
x2 y2 ( x2 y2 )2
.
于是，
2u x 2
2u y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
例7
设 r(x, y, z)
x2 y2 z2 。求
r x
,
r z
.
解
r x
2
2x x2 y2 z2
x x2 y2 z2
x r
.
y、z 看成常量
r z
2
2z x2 y2 z2
z x2 y2 z2
z r
.
x、y 看成常量
３、偏导数存在与连续的关系
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
y2
z y
x1 31 22 7.
y2
例 2 求 z x2sin2 y的偏导数．
解
z x
2
xsin 2
y;
z y
2
x
2
cos2
y
.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
例 3 设 z x y ( x 0, x 1)，求证
x
2z x 2
3z x 3
f xxx( x, y),
x
2z y2
3z y2x
f yyx ( x, y),
y
2z xy
3z xyy
f xyy ( x, y),
x
n1z y n1
nz y n1x
.
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例 8 设 z x3 y2 3 xy3 xy 1， 求 2z 、 2z 、 2z 、 2z 及 3z . x2 yx xy y2 x3
一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结
一、偏导数的定义及其计算法
定义
设函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻域内有
定义，当 y固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
函数对 x 的偏增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
x2 y2 | y|
y2 ( x2 y2 )3
| y| x2 y2
.
( y2 | y|)
z y
1
1
x2 x2 y2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z
不存在．
y x0
y0
例 5 已知理想气体的状态方程 pV RT （ R为常
f y(x,
y)
xy x2 y2
y
x ( x2 y2) 2 y xy ( x2 y2 )2
x( (x
x
2
2 y2) y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
y0
f (0, 0 y) y
f (0, 0)
lim
y0
00 y
0.
于是，
f
y
(
x,
y)
x(x2 y2) ( x2 y2 )2
lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z) .
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
求
f x
时， 只要把 x
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
如果 lim
x0
f
( x0 x, y0 ) x
f
( x0 , y0 )
存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
x yz xFra bibliotek1 ln x
z y
2z .
证
z x
yx y1,
z y
x y ln x,
x y
z x
1 ln x
z y
x y
yx y1
1 ln x
x
y ln x
xyxy
2z. 原结论成立．
例4
设 z arcsin
x ，求 z ， z .
x2 y2
x y
解
z x
1
1
x2 x2 y2
x x2 y2 x
u x
eax cosby
x
aeax cos by,
u
y
eax cosby
y
beax sin by;
2u
x 2
aeax
cos by
x
a2eax cos by,
2u
y2
beax sin by
y
b2eax cos by,
2u
xy
aeax cosby
y
abeax sin by,
2u
一元函数中在某点可导
连续。
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
例如，函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
0,
x2 y2 0, ,
x2 y2 0.
依定义知在(0, 0)处， f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在
连续.
4、偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
2z
xy
3x2y2 3y3 y
y
6x2 y 9 y2 1,
2z
yx
2 x3
y
9 xy 2
x
x
6x2 y 9 y2 1.
2z
y2
2x3 y 9xy2
x
y
2x3 18 xy;
3z
x 3
6 xy 2
x
6y2,
例 9 设u eax cos by ，求二阶偏导数.
解
数），求证： p V
V T
T p
1.
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V
RT p
V T
R p
;
T
pV R
T p
V R
;
p V