二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数与函数凹凸性证明
二阶导数与函数凹凸性证明函数的凹凸性是微积分中的重要概念，与函数的二阶导数密切相关。
在本文中，我们将证明二阶导数与函数凹凸性之间的关系。
首先，我们先来定义函数的凹凸性。
设函数f(x)在区间I上有定义，对于任意的x1和x2属于I，以及0≤t≤1，若满足以下两个条件：1. f((1-t)x1+tx2)≤(1-t)f(x1)+tf(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凹函数；2. f((1-t)x1+tx2)≥(1-t)f(x1)+tf(x2)，则称函数f(x)在区间I上是凸函数。
接下来我们证明：若函数f(x)在区间I上具有二阶导数，则f(x)的凹凸性与其二阶导数的正负性之间有关。
我们分别证明凹函数和凸函数的情况。
证明一：凹函数的二阶导数推导假设函数f(x)在区间I上是凹函数且具有二阶导数，则有：f((1-t)x1+tx2) ≤ (1-t)f(x1)+tf(x2)对上式两边关于t求导，并且忽略关于t的函数：f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1) ≤ f'(x2)-f'(x1)由于(1-t)x1+tx2是x1和x2的线性组合，根据拉格朗日中值定理，存在c属于(x1, x2)，使得：f''(c)(x2-x1)=f'(x2)-f'(x1)将上式代入原不等式，得：f''(c)(x2-x1) ≤ f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1)由于x2-x1不等于0且为常数，所以可以除以(x2-x1)，并且令d=(1-t)x1+tx2，得：f''(c)≤f''(d)这意味着函数f(x)的二阶导数在区间I上是非递减的，即二阶导数的正负性与函数凹凸性之间存在关联。
证明二：凸函数的二阶导数推导假设函数f(x)在区间I上是凸函数且具有二阶导数，则有：f((1-t)x1+tx2) ≥ (1-t)f(x1)+tf(x2)对上式两边关于t求导，并且忽略关于t的函数：f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1) ≥ f'(x2)-f'(x1)由于(1-t)x1+tx2是x1和x2的线性组合，根据拉格朗日中值定理，存在c属于(x1, x2)，使得：f''(c)(x2-x1)=f'(x2)-f'(x1)将上式代入原不等式，得：f''(c)(x2-x1) ≥ f''((1-t)x1+tx2)(x2-x1)由于x2-x1不等于0且为常数，所以可以除以(x2-x1)，并且令d=(1-t)x1+tx2，得：f''(c)≥f''(d)这意味着函数f(x)的二阶导数在区间I上是非递增的，即二阶导数的正负性与函数凹凸性之间存在关联。
函数二阶导数的几何意义
函数二阶导数的几何意义函数的二阶导数的几何意义是一个非常重要的概念，在微积分和几何学中具有广泛的应用。
二阶导数描述了函数曲线的曲率以及变化率的变化率。
在本文中，我将详细介绍二阶导数的几何意义，包括曲率和曲线形状的描述，以及凹凸性和拐点的判断。
一、曲率和曲线形状的描述曲率是曲线弯曲程度的衡量，可以用来描述曲线在其中一点上的弯曲程度。
对于一个函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以描述函数曲线在x点上的曲率。
考虑一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
它的一阶导数是f'(x) = 2ax + b，二阶导数是f''(x) = 2a。
从二阶导数的值可以看出，曲线的曲率只取决于常数a。
当a>0时，二阶导数为正，曲线向上开口，即为一个凸曲线；当a<0时，二阶导数为负，曲线向下开口，即为一个凹曲线。
这说明曲线的凸凹性与二阶导数的正负有关。
对于一般的函数f(x)，它的二阶导数f''(x)可以被解释为曲线在x点上的局部弯曲程度。
如果二阶导数为正，表示曲线在该点凸起，即向上弯曲；如果二阶导数为负，表示曲线在该点凹陷，即向下弯曲。
二阶导数的绝对值越大，表示曲线的弯曲程度越大。
此外，二阶导数的符号还可以表示曲线的拐点。
二、凹凸性与拐点的判断对于函数f(x)，如果它在区间I上的二阶导数f''(x)恒大于0，那么函数f(x)在区间I上是凸函数；如果它的二阶导数f''(x)恒小于0，那么函数f(x)在区间I上是凹函数。
凸函数和凹函数在数学和经济学中具有重要的应用。
在最优化问题中，凸函数是一类重要的函数形式，可以用来描述最小化问题的约束条件和目标函数。
在经济学中，凸函数可以用来描述效用函数、生产函数和成本函数等。
拐点是指曲线在该点突然改变弯曲方向的位置。
对于函数f(x)，它的二阶导数f''(x)为0的点就是可能的拐点。
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。
下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。
一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。
几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。
凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。
如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。
函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。
在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。
二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。
在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。
因此，拐点也被称为凹凸性变化点。
拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。
如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。
在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。
凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。
在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
二阶导数的应用曲线的凹凸性与拐点之袁州冬雪创作讲授方针与要求通过学习，使学生掌握操纵二阶导数的符号断定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描画函数图形打好基础，同时，懂得拐点的定义和意义.讲授重点与难点讲授重点：操纵函数的二阶导数断定曲线的凹凸性与拐点.讲授难点：懂得拐点的定义和意义.讲授方法与建议证明曲线凹凸性断定定理时，除了操纵“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果操纵“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生贯通不到思想，摸不着头脑.在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性其实不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关.讲授过程设计1. 问题提出与定义函数的单调性对于描画函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还不克不及准确描画出函数的图形.比方，如果在区间上，，则我们知道在区间上单调增，但作图（拜见图1）的时候，我们不克不及断定它增加的方式（是弧，还是弧），即不克不及断定曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于掌控函数的性态、作图等是很有需要的！在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，无妨取作割线，我们总会发现不管两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式.来描绘同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式来描绘.由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：凹凸性定义设在区间I上持续，如果对I上任意两点，，恒有则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧.如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点.2. 凹凸性断定定理的引入曲线凹凸性的定义自然能辨别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来讲断定起来也不容易.因此，我们就想可否用其它方法来断定曲线的凹凸性.函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜测凹凸性是否和有关？颠末分析，并操纵泰勒公式，可证实我们的猜测是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了断定曲线凹凸性的定理.在上持续, 在内具有二阶持续导数,那末：（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；（2）若在内<0，则在上的图形是凸的.3. 辨别凹凸性和拐点举例例1. 断定曲线y x3的凹凸性.解y3x 2,y6x.由y0, 得x0因为当x<0时,y<0, 所以曲线在(,0]内为凸的;因为当x>0时,y>0, 所以曲线在[0,)内为凹的.例2. 求曲线y2x 33x 22x14的拐点.解y6x 26x12,.令y0, 得因为当时,y0;当时,y0,所以点(,??是曲线的拐点例??求函数的凹凸区间和拐点．解：函数的定义域为，，且，令，得．列表：（）0+0－0+有拐点有拐点由表可知，当时，曲线有拐点和，表中暗示曲线是凹的，⌒暗示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.4. 确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步调:(1)确定函数y f(x)的定义域;(2)求出在二阶导数f`(x);(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)断定或列表断定, 确定出曲线凹凸区间和拐点;注: 根据详细情况（1）（3）步有时省略.5 学生黑板操练操练 1.断定下列曲线的凹凸性及拐点.（1），（2），（3）.6.小结1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形停止直观说明，使导数符号与曲线形态特征相连系，加深对辨别法的懂得.作业 P75:1,2,3。
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
曲线的凹凸性与拐点
曲线上的
七、作业
知识回顾 Knowledge Review
若函数上连续在内具有一二阶导数则1若果在内有2若果在内有拐点三拐点拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
yoxFra bibliotekox
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
那么称 f (x)在 I上的图形是凹的。
二、曲线凹凸的判定
观察：
y
y
o
x
凹：切线的的斜率递增 f (x) 递增，即 f (x) 0
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则
（1）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的.
（2）若果在(a, b)内有 f (x) 0， 那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
4）判断二阶导数在上述点左右两侧的符号，确定曲 线的凹凸区间和拐点。
五、应用举例
例判断函数 f (x) 2x3 3x2 36x 25的凹凸区间与拐点.
六、小结
1.凹凸的定义：曲线与弦的位置关系 点和弦上点的位置关系 2.凹凸的判定：二阶导数的符号；
函数的凹凸性与拐点的判定
函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。
凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。
凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。
本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。
我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。
2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。
若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。
二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。
我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。
1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。
如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。
2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。
- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。
- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。
三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。
1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。
函数的凹凸性与拐点
函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。
本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。
一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。
凹凸性可以从图像上观察得出。
对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。
相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。
函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。
在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。
此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。
二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。
具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。
拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。
在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。
拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。
当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。
拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。
在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。
综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。
通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。
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二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点
教学目标与要求
通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。
教学重点与难点
教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。
教学难点：理解拐点的定义和意义。
教学方法与建议
证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。
在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。
教学过程设计
1. 问题提出与定义
函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还
不能准确描绘出函数的图形。
比如，如果在区间上，，
则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时
候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即
不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性
态、作图等是很有必要的！
在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取
作割线，我们总会发现不论两点的位置，割线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式
来描述。
同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式
来描述。
由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义：
凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I 上任意两点，，恒有
则称在I上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有
则称在I上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。
如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。
2. 凹凸性判定定理的引入
y
O y f x
=()
x
y
O
y f x
=()
曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。
因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。
函数的单调性能由的符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和有关
经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到了判断曲线凹凸性的定理。
定理设在上连续, 在内具有二阶连续导数,那么：
（1）若在内>0，则在上的图形是凹的；
（2）若在内<0，则在上的图形是凸的。
3. 判别凹凸性和拐点举例
例1判断曲线y x3的凹凸性
解 y 3x
2
y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y
<0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0
)内为凹的
例2 求曲线y 2x 3
3x
2
2x 14的拐点
解 y
6x
2
6x 12
)
2
1
(12612+=+=''x x y 令y 0 得2
1-
=x
因为当2
1
-<x 时 y
0 当2
1
->x 时 y
所以点(2
1-
2
1
20)是曲线的拐点
例3 求函数1433
4
+-=x x y 的凹凸区间和拐点． 解：函数的定义域为),(+∞-∞，
且3
2
1212y x x '=-，22362436()3
y x x x x ''=-=-， 令0=''y ，得3
2,021==x x ． 列表：
x （0,∞-） 0 2(0,)3
3
2 2
(,)3
+∞ y ''
+
0 －
0 +
y
⋃ 有拐点
⋂ 有拐点
⋃
由表可知，当32,021=
=x x 时，曲线有拐点(0,1)A 和211
(,)327
B ，表中⋃表示曲线是凹的，⌒表示曲线是凸的．函数的图像如图（3）所示.
4. 确定曲线y f (x )的凹凸区间和拐点的步骤
(1)确定函数y f (x )的定义域 (2)求出在二阶导数f`
(x )
(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点 (4)判断或列表判断 确定出曲线凹凸区间和拐点
注 根据具体情况（1）（3）步有时省略 5 学生黑板练习
练习 1.判定下列曲线的凹凸性及拐点.
（1）2
4x x y -=，（2）162
3
-+-=x x x y ，（3）3
2
x y =。
6.小结
1 在讲授函数单调性时要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
2 对于函数凹凸性、拐点，要注意借助几何图形进行直观说明，使导数符号与曲线形态特征相结合，加深对判别法的理解。
作业 P75:1,2,3。