(完整版)第二章.导数和微分答案解析
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
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首先，我将给出每章节的课后习题答案。
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最后，我将给出课后习题的详细解析。
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微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明：lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证：必要性由2题已证，下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=，则lim 0n n x →∞=，由lim 0n n x →∞=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0； (2) lim n →∞2!n =0. 证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=，2lim0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . （2）因为22222240!1231nn n n n<=<- ，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1＞0,x n +1=13()2n nx x +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…；(3) 设x n 单调递增，y n 单调递减，且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证：（1）由10x >及13()2n n nx x x =+知，有0n x >（1,2,n = ）即数列{}n x 有下界。
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
(完整版)第二章导数与微分(答案)
x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。
x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
第二章__导数与微分
t
t
瞬时速度
v(t0
)
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t) t
s(t0
)
2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
3
y
割线M0M的斜率为
tanφ y f (x0 x) f (x0 )
x
x
切线M0T的斜率为
o
k tanα lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
(0
h)] h
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
(x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
27
二、反函数的导数
定理 如果函数x φ(y)在某区间Iy内单调、可导 且φ(y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间Ix 内也可导 , 且有
f (x) 1 φ (x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(
x )
1
x
1 2
1
2
1 2x
.
(x1 )
(1)x11
1 x2
.
17
例8 求函数 f (x) ax(a 0,a 1)的导数. 解 (ax ) lim axh ax
h0 h ax lim ah 1
h0 h ax lna.
即 (ax ) ax lna. (ex ) ex .
18
例9 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
即 (sinx) cos x.
16
例7 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 (xn ) lim (x h)n xn
《高等数学》第2章导数与微分
2.2.2 反函数的求导法则
定理 如果函数x = f ( y )在区间I y内单调、可导且 f ′( y ) ≠ 0,
内可导, 且有 : 1 dy 1 ( x)] = [f 或 = . f ′( y ) dx dx dy
−1
则它的反函数 y = f −1 ( x)在区间I x = {x | x = f ( x), y ∈ I y } ′
0
引例2 求平面曲线切线的斜率. 导数的几何意义 引例 解析： 解析：
曲线C = f ( x)上一点M ( x0 , y0 ), 其中y0 = f ( x0 ).求曲线C 在点M处的切线斜率. , y ), MN的斜率为 在曲线C上另取一点N ( x 则割线MN的斜率为 : y = f (x ) ∆y f ( x) − f ( x0 ) k MN = tan ϕ = = y ∆x x − x0 N 则上 当点N沿曲线C趋向于点M即x → x0 , M 式极限即为切线斜率 : ∆y f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) α ϕ k = tan α = lim = lim . ∆x →0 ∆x → 0 o x ∆x ∆x
f −′( x0 ) = ∆x → 0 lim
−
+
在闭区间 [a , b ]上可导 .
若函数 f ( x )在开区间 (a , b )内可导 , 且 f +′(a )及 f −′(b )都存在 , 则 f ( x )
求导步骤
(1)
求增量 ∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)；
(2)
作比值
能力目标
通过导数与微分的学习，进一步培养学生 通过导数与微分的学习， 对比分析的思考能力. 对比分析的思考能力.
微分几何答案(第二章)
第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）,b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ+ycos ϑsin ϕ+zsin ϑ-a=0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
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第二章 导数与微分一 导数（一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）（1）0)(='C （2）21)1(x x-=' （3）xx 21)(='（4）x x sin )(cos -=' （5）a a a xx ln )(=' （6）1)(-='μμμx x（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。
解：xy 1'=，1)1('==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y =在)1,1(点处的切线方程。
解：43x y =，41'43-=x y ，43)1('==k y切线方程为1)1(43+-=x y ，即4143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示4．填空题（每题4分）（1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化速度为 )('t T（2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )('t N Ⅲ 疑难题型（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性（1）（7分）|sin |x y =解：在0=x 处连续但不可导（2）（7分）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x x x y 解：0)0(lim 0==→f y xxx x x x x ∆=∆-∆∆→∆→∆1sinlim 01sinlim00不存在， 所以)(x f 在0=x 处连续但不可导6．（8分）已知：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，求).(),0(),0(),0(x f f f f ''''-+解：)0(-'f =10lim )0()0(lim 00-=--=-+--→→xx x f x f x x ='+)0(f 00lim )0()0(lim 200=-=-+++→→xx x f x f x x ，不存在)0('f ∴ ∴⎩⎨⎧<->=0,10,2'x x x x f ）（（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7．（7分）设1)0(,0)0(='=f f ，求xx f x f x )3()2(lim 0--→．解：x x f x f x )3()2(lim 0--→=xf x f f x f x )0()3()0()2(lim 0+---→=x f x f x )0()2(lim 0-→+xf x f x )0()3(lim 0+--→=)0(2f 5)0(3=+f8．（7分）对任取的y x ,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 在0=x 处可导， 求证：)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。
解：)()()(y f x f y x f +=+Θ，取0==y x 0)0(=∴f x)x (f )x (f )x (f lim x )x (f )x x (f lim)x (f x x '∆-∆+=∆-∆+=→∆→∆00Θ )0()0()(lim'0f xf x f x =∆-∆=→∆ 即)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。
（二） 初等函数求导（见A §2.2, §2.3）；（B §2.2） Ⅰ 内容要求（ⅰ）记忆基本导数表，掌握四则求导法则及复合求导法则，了解反函数求导法则。
（ⅱ）了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶及二阶导数的求法，自学求函数n 阶导数的一般表达式。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）初等函数一阶及二阶导数的计算题型 9. 求下列函数的一阶导数（每题4分）（1）22x y x ⋅=， x x y x x⋅+⋅=+12'22ln 2（2）x e y x cos 3= )sin (cos 3'x x e y x-=（3）x x y ln = xx xx x x x x y 2ln 22ln '-=-=， （4）xx y arccos arcsin = 22222')(arccos 1arccos arcsin )(arccos 1arcsin 11.arccos x x x x x x xx x y -+=-+-=22)(arccos 12x x -=π（5）22x y = 2ln 222ln 21'22⋅=⋅=+x x y x x（6）x ey x6cos 2-= )6sin 126(cos 212'x x e y x+-=-（7）11arctan-+=x x y 11)1()1()1()11(11222'+-=-+--⋅-++=x x x x x x y （8）)ln(22a x x y ++=，222222'1)1(1ax ax x ax x y +=++++=10. 求下列函数在给定点处的函数值（每题6分） （1）θθθρcos 21sin +=，求4πθθρ=d d解：θθθθθρsin 21cos sin -+=d d θθθsin 21cos +=4πθθρ=d d )2(824282ππ+=+=（2）x x y +=，求).1(y ' 解：xx x x xx xy ++=++=4122211'，823)1('=y （3）|sin |11|sin |11x x y -++=，求).3(πy '解：)2,0(π∈x Θ，x xx y 2sec 2sin 11sin 11=-++=∴x x y tan sec 42'=，3163tan3sec4)3(2'==πππy（4）)tan ln(sec x x y +=，求).6(πy '解：x x x x xx y sec )sec tan (sec tan sec 12'=++=3326sec)6('==ππy 11. 求下列函数的二阶导数（每题7分） （1）x xy ln 1+=12'--+-=x x y ，23"2---=x x y （2）x y tan = x y 2'sec =，x x y tan sec 22"=（3）x e y x 2= 222'2x e xe y x x -=，322")244(x x x e y x +-=（4）)ln(22a x y += 22'2a x x y +=，222222)a x ()x a (y "+-= （5）x x y +-=11ln111111212'-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--=x x x y 22")1(2--=x xy（6）)ln(22a x x y -+=，22'1ax y -=，2322")(a x x y --=Ⅲ 提高题型（ⅰ）有关抽象函数的求导问题12．（7分）设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求：[].)()(22x g x f dxd +解：[]22''22.)()(gf g g f f x g x f dxd +⋅+⋅=+13．（7分）设)(x f 二阶可导，设)(cos )(sin 22x f x f y +=，求).(),(x y x y ''' 解：)(cos 2sin )(sin 2sin )(2'2'x xf x xf x y -='=)](cos )(sin [2sin 2'2'x f x f x -[][])(cos )(sin 2sin )(cos )(sin 2cos 2)(2"2"22'2'x f x f x x f x f x x y ++-=''14．（7分）试从y dy dx '=1导出：.)(322y y dy x d '''-= 解：3'"'2'"'''22)(1.)()1()1()(y y y y y dxdy y y dy d dy dx dy d dy x d x -=-==== （ⅱ）有关n 阶导数的计算题型（自学）15. 求下列函数n 阶导数的一般表达式（每题7分） （1）ax y +=1 1)()(!)1(--+-=n n n a x n y （2）3212--=x x y =)(n y [])1()1()1()3(!)1(41+-+-+---n n n x x n)1131(41)(+--=x x x y ，[]22')1)(1()3)(1(41)(--+----=x x x y='')(x y []33)1)(2)(1()3)(2)(1(41--+------x x=)("'x y []44)1()3()3)(2)(1(41--+-----x x（3）)1ln(x y += n n n x n y --+--=)1()!1()1(1)(（4）)2cos 1(21sin 2x x y -== )22cos(21)(πn x y n n +-=- （5）xxe y = x n e n x y)()(+=（二） 隐函数、参数方程所确定函数的求导问题及相关变化率问题（A 见§2.4）；（B 见§2.3） Ⅰ 内容要求（ⅰ）掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数，并学会计算简单的二阶导数。
（ⅱ）学会对数求导法。
*（ⅲ）学会解决一些简单实际问题中的相关变化率问题。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）涉及隐函数和参数方程所确定函数的一阶导数问题 16. 求由下列方程所确定的隐函数)(x y y =的导数dxdy： （1）（7分）0333=-+axy y x解：0)(333''22=+-+xy y a y y x ，axy x ay ax y x ay y --=--=2222'3333 （2）（7分）yxe y -=1解：''y xe e y yy--=，21'-=+-=y e xee y y yy 17．（7分）求曲线323232a yx =+在点)42,42(a a 处的切线方程及法线方程。