(完整版)第二章导数与微分(答案)
(完整版)第二章.导数和微分答案解析
第二章 导数与微分一 导数（一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求（ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。
（ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。
Ⅱ 基本题型（ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分）（1）0)(='C （2）21)1(x x-=' （3）xx 21)(='（4）x x sin )(cos -=' （5）a a a xx ln )(=' （6）1)(-='μμμx x（ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。
解：xy 1'=，1)1('==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y =在)1,1(点处的切线方程。
解：43x y =，41'43-=x y ，43)1('==k y切线方程为1)1(43+-=x y ，即4143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示4．填空题（每题4分）（1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化速度为 )('t T（2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )('t N Ⅲ 疑难题型（ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性（1）（7分）|sin |x y =解：在0=x 处连续但不可导（2）（7分）⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin x x x x y 解：0)0(lim 0==→f y xxx x x x x ∆=∆-∆∆→∆→∆1sinlim 01sinlim00不存在， 所以)(x f 在0=x 处连续但不可导6．（8分）已知：⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,)(2x x x x x f ，求).(),0(),0(),0(x f f f f ''''-+解：)0(-'f =10lim )0()0(lim 00-=--=-+--→→xx x f x f x x ='+)0(f 00lim )0()0(lim 200=-=-+++→→xx x f x f x x ，不存在)0('f ∴ ∴⎩⎨⎧<->=0,10,2'x x x x f ）（（ⅱ）用导数定义解决的有关抽象函数的题型（自学）7．（7分）设1)0(,0)0(='=f f ，求xx f x f x )3()2(lim 0--→．解：x x f x f x )3()2(lim 0--→=xf x f f x f x )0()3()0()2(lim 0+---→=x f x f x )0()2(lim 0-→+xf x f x )0()3(lim 0+--→=)0(2f 5)0(3=+f8．（7分）对任取的y x ,，总有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 在0=x 处可导， 求证：)(x f 在),(+∞-∞上处处可导。
高等数学微积分教材答案
高等数学微积分教材答案第一章：导数与微分1.1 导数的定义1.1.1 极限的概念1.1.2 函数的极限1.1.3 导数的定义及计算方法1.2 导数的基本性质1.2.1 可导性与连续性的关系1.2.2 导数的四则运算法则1.2.3 导数的链式法则1.3 高阶导数与隐函数微分1.3.1 高阶导数的定义1.3.2 隐函数的导数计算方法1.4 微分的定义与微分公式1.4.1 微分的定义1.4.2 微分的性质1.4.3 微分公式第二章：微分学的应用2.1 函数的单调性与极值2.1.1 函数单调性的判定2.1.2 函数的极值与最值2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的凹凸性定义2.2.2 函数的拐点2.3 泰勒公式与函数的近似计算 2.3.1 泰勒公式的定义2.3.2 泰勒公式的应用2.4 最值问题与优化问题2.4.1 最值问题的分析方法2.4.2 优化问题的数学建模第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.1.1 原函数的定义与性质3.1.2 不定积分的定义3.2 积分基本公式3.2.1 基本积分公式3.2.2 积分的线性性质3.3 第一类换元积分法3.3.1 第一类换元积分法的基本思想 3.3.2 第一类换元积分法的具体步骤3.4 分部积分法与第二类换元积分法 3.4.1 分部积分法的定义与应用3.4.2 第二类换元积分法的基本原理第四章：定积分与定积分的应用4.1 定积分的定义与性质4.1.1 定积分的几何意义4.1.2 定积分的性质4.2 定积分的计算方法4.2.1 定积分的基本计算方法4.2.2 定积分的换元法4.3 定积分的应用4.3.1 曲线与曲面的长度4.3.2 曲线与曲面的面积4.3.3 物理应用中的定积分4.4 微积分基本定理与不定积分的计算方法 4.4.1 微积分基本定理4.4.2 不定积分的计算方法第五章：数项级数5.1 数项级数的概念与性质5.1.1 数项级数的定义5.1.2 数项级数的性质5.2 收敛级数的判别法5.2.1 正项级数的判别法5.2.2 任意项级数的判别法5.3 幂级数与函数展开5.3.1 幂级数的收敛半径5.3.2 幂级数的函数展开5.4 常数项级数的求和5.4.1 等比级数的求和5.4.2 绝对收敛级数的求和第六章：级数的应用6.1 函数展开与泰勒级数6.1.1 函数展开与泰勒级数的概念6.1.2 泰勒级数的求法6.2 常微分方程与级数解6.2.1 常微分方程的基本概念6.2.2 幂级数解的构造6.3 分析几何中的级数应用6.3.1 曲线与曲面的参数方程6.3.2 空间曲线与曲面的求交问题6.4 物理学中的级数应用6.4.1 物理学中的振动问题6.4.2 物理学中的波动问题总结高等数学微积分教材涵盖了导数与微分、微分学的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、数项级数和级数的应用等内容。
导数与微分习题及答案
第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( )A ．()x f ，()x g 都必须可导B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( ) A ．211x +- B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题详解-第二章 导数与微分【圣才出品】
第二章 导数与微分2.2 课后习题详解习题2-1 导数概念1．设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0，t]上转过角度θ，从而转角θ是t的函数：θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t 0的角速度？解：物体在时间间隔上的平均角速度在时刻t 0的角速度2．当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却．若物体的温度T 与时间t 的函数关系为T ＝T(t)，应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度？解：物体在时间间隔上平均冷却速度[,]t t t +∆在时刻t 的冷却速度3．设某工厂生产x件产品的成本为函数C(x)称为成本函数，成本函数C(x)的导数在经济学中称为边际成本．试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．即生产第101件产品的成本为79.9元，与（1）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本的实际意义是近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本．4．设f(x)＝10x2，试按定义求．解：5．证明证：6．下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：以下两题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：7．设则f(x)在x＝1处的（ ）．A．左、右导数都存在B．左导数存在，右导数不存在C．左导数不存在，右导数存在D．左、右导数都不存在【答案】B【解析】 故该函数左导数存在，右导数不存在．8．设f(x)可导，，则f(0)＝0是F(x)在x＝0处可导的（ ）．A．充分必要条件B ．充分条件但非必要条件C ．必要条件但非充分条件D ．既非充分条件又非必要条件【答案】A 【解析】 当f(0)＝0时，，反之当时，f(0)＝0，为充分必要条件．9．求下列函数的导数：10．已知物体的运动规律为s ＝t 3m ，求这物体在t ＝2s 时的速度．解：11．如果f(x)为偶函数，且f ＇(0)存在，证明f ＇(0)＝0．证：f(x)为偶函数，得．因为所以f ＇(0)＝0．。
第二章 导数与微分课后答案
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第二章导数与微分内容概要名称主要内容导数的定义00 0()() ()limxf x x f x f xx∆→+∆-'=∆00 0()() ()limhf x h f xf xh→+-'=()()()limx xf x f xf xx x→-'=-函数的求导法则(1)导数的四则运算法则错误！未找到引用源。
.[()()]()()u x v x u x v x--'''+=+错误！未找到引用源。
.[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x'''⋅=+错误！未找到引用源。
.2()()()()()[](()0)()()u x u x v x u x v xv xv x v x''-'=≠(2)复合函数的求导法则(链式法则)dy dy dudx du dx=⋅隐函数的导数(1)求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量x求导,凡遇到含有因变量y的项时,把y当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx (2)对数求导法:对幂指函数()()v xy u x=,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x求导,最后解出所求导数反函数的导数反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即1()()f xyϕ'=',其中()x yϕ=为()y f x=的反函数高阶导数(1)直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导(2)间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数(3)莱布尼茨公式()()nn k n k knkuv C u v-==∑课后习题全解习题2-1★ 1. 用定义求函数3y x =在1x =处的导数.知识点：函数在某点处导数的定义思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解：3323(1)133()()y x x x x ∆=+∆-=∆+∆+∆ 2210033()|lim lim(33())3x x x yx x xyy x x x =∆→∆→∆=+∆+∆∆∆'==+∆+∆=∆ ★ 2. 已知物体的运动规律2()st m =,求该物体在2()t s =时的速度.知识点：导数的定义思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导解: 2222000(2)(2)(2)24|lim lim lim 4t t t t s t s t t tv t t t=∆→∆→∆→+∆-+∆-∆+∆====∆∆∆ 3. 设0()f x '存在，试利用导数的定义求下列极限：知识点：导数的定义思路：利用导数的定义式)()()(lim0000x f hx f h x f h '=-+→求极限★(1)000()()lim x f x x f x x∆→-∆-∆解：0000000()()()()lim lim ()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆--∆-'∆∆＝－＝－－★(2)000()()lim h f x h f x h h→+--解：00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h→→+--+-+--= 000000000()()()()lim lim ()()2()h h f x h f x f x h f x f x f x f x h h→→+---'''=+=+=- ★★ (3)000()()lim2x f x x f x x x∆→+∆--∆∆2解：00000000()()()()()(2)lim lim22x x f x x f x x f x x f x f x f x x x x ∆→∆→+∆--∆+∆-+--∆∆∆2＝000000000()()(2)()113lim lim ()()()2222x x f x x f x f x x f x f x f x f x x x ∆→∆→+∆--∆-'''+∆-∆＝＝+＝ ★★ 4.设()f x 在2x =处连续，且2()lim 22x f x x →=-，求(2)f '.知识点:导数和连续的定义思路: 关键求出(2)f ,再利用导数的定义 解: ()f x 在2x =处连续2(2)lim ()x f f x →∴=又22222()()()lim ()lim(2)lim(2)lim 0lim 0222x x x x x f x f x f x f x x x x x x →→→→→=-⋅=-⋅=⋅=---22(2)0()(2)()(2)limlim 222x x f f x f f x f x x →→∴=-'∴===-- ★ 5.给定抛物线22y x x =-+,求过点(1,2)的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率解:21y x '=- ∴切线的斜率1|2111x k y ='==-=∴切线的方程为21(1)y x -=-,即1y x =+法线方程为2(1)(1)y x -=--,即3y x =-+★ 6.求曲线x y e =在点(01)，处的切线方程和法线方程.知识点：导数的几何意义思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: xy e '= ∴切线的斜率00|1x k y e ='===∴切线的方程为11(0)y x -=-,即1y x =+ 法线方程为11(0)1y x -=--,即1y x =-+★ 7.函数21,01()31,1x x f x x x ⎧+≤<=⎨-≤⎩在点1x =处是否可导?为什么?知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别解：11()(1)312(1)lim lim 311x x f x f x f x x +++→→---'===-- 211()(1)12(1)lim lim 211x x f x f x f x x ---→→-+-'===--(1)(1)f f +-''≠ ()f x ∴在1x =处不可导.★ 8.用导数的定义求,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩在0x =处的导数.知识点：函数在某点可导的充要条件思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: 00()(0)ln(1)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x +++→→-+-'===--00()(0)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x ---→→--'===--(0)(0)f f +-''= (0)(0)(0)f f f+-'''∴===★★ 9.设sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,求()f x '.知识点：分段函数的导数思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==当0x >时，()1f x x ''== 当0x=时，00()(0)(0)lim lim 10x x f x f xf x x+++→→-'===- _00()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f xf x x--→→-'===-(0)1cos ,0()1,0f x x f x x '∴=<⎧'∴=⎨≥⎩ ★★ 10.试讨论函数21sin ,00,0x x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处的连续性与可导性. 知识点：函数在某点连续与可导的定义思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断解: 201lim ()lim sin0(0)x x f x x f x→→=== ()y f x ∴=在0x =处连续.20001()s i n 01l i m l i m l i m [()s i n ]0x x x x y x x x xx∆→∆→∆→∆-∆∆==∆=∆∆∆ 21s i n y x x∴=在0x =处可导.★★ 11.设()x ϕ在x a =处连续, 22()()()f x x a x ϕ=-,求()f a '.知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:()x ϕ在x a =处连续22lim ()()()()()()0()lim lim lim()()2()x ax a x a x a x a f x f a x a x f a x a x a a x a x aϕϕϕϕϕ→→→→∴=---'∴===+=--★★ 12.设不恒为零的奇函数()f x 在0x =处可导,试说明0x =为函数()f x x的何种间断点.知识点：导数以及间断点的定义思路：利用导数的定义求极限解:()f x 为奇函数 (0)(0)(0)f f f ∴=-=- (0)0f ∴= 又()f x 在0x =处可导 '0()(0)l i m (0)0x f x f f x →-∴=-即0()lim (0)x f x f x→'=∴()f x x在0x =处有极限. 0x ∴=为函数()f x x的可去间断点. ★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度T 与时间t 的函数关系为()T T t =,应怎样确定该物体在时刻t 的冷却速度?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的是函数的变化率,在t 时刻的冷却速度即为函数()T T t =对时间t 的导数 解:t 时刻该物体的温度为()T T t =,则t t +∆时刻物体的温度为()T T t t =+∆,∴物体在t 时刻的冷却速度0()()()lim()t T t t T t dTv t T t t dt∆→+∆-'===∆.★★★ 14.设函数()f x 在其定义域上可导,若()f x 是偶函数,证明()f x '是奇函数;若()f x 是奇函数,则()f x '是偶函数(即求导改变奇偶性).知识点：导数的定义思路：利用导数的定义求导数解:若()f x 为偶函数时, ()()f x f x -=000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆---∆-'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝-－()f x '∴为奇函数.若()f x 为奇函数时, ()()f x f x -=-000()()()()()limlim()()lim ()x x x f x x f x f x x f x f x x xf x x f x f x x∆→∆→-∆→-+∆----∆+'∴-=∆∆-∆-'=-∆＝＝()f x '∴ 为偶函数. 习题2-2★ 1. 计算下列函数的导数：知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)35y x x =+;解: 5(35)(3)(5)32y x x x x x''''=+=+=+(2)2533x x y x e =-+;解: 22(533)(5)(3)(3)103ln 33xxxxxxy x e x e x e '''''=-+=-+=-+(3)2tan sec 1y x x =+-;解: 2(2tan sec 1)(2tan )(sec )(1)2sec sec tan y x x x x x x x '''''=+-=+-=+(4)sin cos y x x =⋅;解: 22(sin cos )(sin )cos sin (cos )cos sin cos 2y x x x x x x x x x ''''=⋅=+=-=(5)3ln y x x =;解: 3332321(ln )()ln (ln )3ln (3ln 1)y x x x x x x x x x x x x''''==+=+=+(6)cos x y e x =;解: (cos )()cos (cos )cos sin xxxxxy e x e x e x e x e x ''''==+=-(7)ln xy x=; 解:2221ln (ln )ln 1ln x xx x x x xx y x x x-''--'=== (8)(1)(2)(3)y x x x =---;解:(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)y x x x x x x x x x ''''=---+---+---(2)(3)(1)(3)(1)(2)x x x x x x =--+--+--(9)1sin 1cos t st+=+;解:22(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )cos (1cos )(1sin )(sin )(1cos )(1cos )t t t t t t t t s t t ''++-+++-+-'==++ 21sin cos (1cos )t tt ++=+(10)3sin x x y x x a e =+;解：333(sin )()()sin (sin )()()x xxxxxy x x a e x x x x a e a e '''''''=+=+++21331sin cos ln 3x x x x x x x x a e a a e -=+++(11)2log ln 2y x x =+;解:22221(log )(ln 2)log (log )0log ln 2y x x x x x x x '''''=+=++=+(12)225341x x y x -+=-.解:222222(534)(1)(534)(1)'(1)x x x x x x y x ''-+---+-=-2222222(103)(1)(534)(2)3(61)(1)(1)x x x x x x x x x ----+-+==--★ 2.计算下列函数在指定点处的导数:知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数(1)3333x y x =+-,求(0)y ';解:32233()()33(3)x y x x x '''=+=+-- 1(0)3y '∴=(2)2(31)x y e x x =-+,求(0)y '.解:222(31)(31)(23)(2)x x x x y e x x e x x e x e x x ''⎡⎤=-+=-++-=--⎣⎦20(0)(2)1(112)2x x y e x x ='∴=--=--=-★ 3.求曲线22sin y x x =+上横坐标为0x =的点处的切线方程与法线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率解:2cos 2y x x '=+ ∴在0x =的点处切线的斜率0|2cos0202x k y ='==+=又当0x=时,0y = ∴在0x =的点处切线方程为2y x =，法线方程为12y x =-★ 4.写出曲线1y x x=-与x 轴交点处的切线方程.知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率 解:211()1y x xx ''=-=+当0y =时，即10x x-= 解得1x =或1- ∴曲线与x 轴的交点为(1,0),(1,0)-∴点(1,0)处的切线的斜率为11|2x k y ='== ∴切线方程为2(1)y x =-，即22y x =- ∴点(1,0)-处的切线的斜率为21|2x k y =-'== ∴切线方程为2(1)y x =+，即22y x =+★ 5.求下列函数的导数:知识点：基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则 思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)cos(43)y x =-;解:[]cos(43)(43)sin(43)(3)3sin(43)y x x x x '''=-⋅-=---=-(2)23xy e -=;解:2223323()(3)6x x xy ee x xe ---'''==⋅-=-(3)22y a x =-;解:22222222()1(2)22a x x y x a xa xa x'-'==-=----(4)2tan()y x =;解:22222sec ()()2sec ()y x x x x ''=⋅=(5)arctan()x y e =;解:22()'1()1x xx xe e y e e '==++(6)arcsin(12)y x =-;解:22(12)11(12)x y x x x'-'==----(7)1arccosy x=;解:222211()111||11()1x x y x x x x''=-==--- (8)ln(sec tan )y x x =+;解:211(sec tan )(sec tan sec )sec sec tan sec tan y x x x x x x x x x x''=+=+=++(9)ln(csc cot )y x x =-.解:211(csc cot )(csc cot csc )csc csc cot csc cot y x x x x x x x x x x''=-=⋅-+=--★ 6.求下列函数的导数:知识点：导数的四则运算法则和复合函数的求导法则思路：利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求导数(1)22(23)15y x x =++;解:222222(1645)(23)15(23)(15)15x x y x x x x x+'''=++++⋅+=+(2)ln ln y x x =+;解:1(ln )11()22ln 2ln x y x x x x x x '''=⋅+=+(3)1ln1x y x+=-;解:211(1)(1)111122()111(1)(1)x x x x x xxy x x xx x x⋅-+⋅+-+-''=⋅=⋅=+-+--⋅(4)ln tan2x y =; 解:21111(tan )sec csc 222sin tan tan 22x x y x x x x ''=⋅=⋅⋅== (5)ln ln y x =;解:11(ln )ln ln y x x x x''=⋅=(6)21arcsin y x x x =-+;解:22222221211(1)1211211x y x x x x x x xxx-''=-+⋅-+=-+⋅+=----(7)2(arcsin )2xy =;解:222arcsin 122arcsin(arcsin )2arcsin ()22221(2)4xx x x x y x x'''=⋅=⋅⋅=--(8)21ln y x =+;解:22222(1ln )2ln (ln )2ln (1)ln 21ln 21ln 21ln 1ln x x x x x x y xxxx x''+'====++++(9)arctanxy e =解:arctan arctan arctan arctan 22()11(arctan )11()22(1)x xxxx e y ex ee x x x x x '''=⋅=⋅=⋅⋅=+++(10)tan 210x x y =;解:tan 2tan 2210ln10(tan 2)10ln10[tan 2sec 2(2)]x xx x y x x x x x x '''=⋅⋅=+⋅ tan 2210ln10(tan 22sec 2)x xx x x =+(11)44ln 1xx e y e =+;解:44411[ln ln(1)]2ln(1)22x x x y e e x e =-+=-+ 4444411(1)2[2ln(1)]222211x x xx xe e y x e e e '+''∴=-+=-⋅=-++ (12)21sin xy e-=.解:222111sin sin sin 2111111(sin )(2sin )(sin )(2sin )(cos )()xxx y ee e x x x x x x---''''=⋅-=⋅-⋅=⋅-⋅⋅21sin 212sin xe x x-=★★ 7.设()f x 为可导函数,求dydx: 知识点：复合函数的导数思路：利用链式法则求复合函数的导数(1)3()y f x =;解:3323()()3()y f x x x f x ''''=⋅=(2)22(sin )(cos )y f x f x =+;解:222222(sin )(sin )(cos )(cos )sin 2[(sin )(cos )]y f x x f x x x f x f x '''''''=⋅+⋅=⋅- (3)1(arcsin )y f x=.解:2211111(arcsin )(arcsin )(arcsin )()11y f f x x xxx ''''=⋅=⋅⋅-- 211(arcsin )||1f x x x '=-⋅-★★ 8.设(1)x f x xe --=,且()f x 可导,求()f x '.知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数 解:令1x t -=,则1x t =-(1)1()(1)(1)t t f t t e t e ---∴=-=- 1()(1)x f x x e -∴=- 1111()[(1)](1)(1)()x x x x f x x e x e x e xe ----''''∴=-=-+-=-★★ 9.设()f u 为可导函数，且5(3)f x x +=，求(3),()f x f x ''+.知识点：复合函数的导数思路：)3(+'x f 表示对)3(+x 的导数，)(x f '表示对x 的导数，注意求导的变量 解: 由5(3)f x x +=有 5(3)[(3)3]f x x +=+-44(3)5[(3)3]15f x x x '∴+=+-⋅=令3x t +=,则3x t =- 5()(3)f t t ∴=- 5()(3)f x x ∴=- 54(3)()5f x x x ''∴+==★★ 10.已知1()1xf x x=+，求()f x '. 知识点：抽象函数的导数思路：利用换元法求函数表达式，然后求导数解:令1t x =,则1x t= 11()111t f t t t∴==++ 1()1f x x ∴=+ 211()()1(1)f x x x ''∴==-++ ★★ 11.已知2()()fx x a ϕ=,且1()()ln f x f x a'=,证明()2()x x ϕϕ'=.知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数 解:22()2()()ln [()]2ln ()()f x fx x aa f x a a f x f x ϕ'''=⋅⋅=⋅⋅由1()()ln f x f x a '=，得1()()ln f x f x a'⋅= 2()()22()f x x a x ϕϕ'∴== ★★ 12.设()f x 在(,)-∞+∞内可导,且22()(1)(1)F x f x f x =-+-,证明:(1)(1)F F ''=-知识点: 复合函数的导数思路: 利用链式法则求导解:由22()(1)(1)F x f x f x =-+-,有22()(1)2(1)(2)F x f x x f x x '''=-⋅+-⋅- (1)2(0)2(0)0F f f '''∴=-=(1)2(0)2(0)0F f f '''-=-+= (1)(1)F F ''∴=-★ 13.求下列函数的导数:知识点：复合函数的导数 思路：利用链式法则求导数(1)()y ch shx =;解:()()()y sh shx shx sh shx chx ''=⋅=⋅(2)chx y shx e =⋅;解:2()()()chxchx chx chx chx y shx eshx e shx chx e shx e shx e chx sh x '''=⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=+(3)(ln )y th x =;解:2211(ln )ln (ln )y x ch x x ch x ''=⋅=⋅ (4)32y sh x ch x =+;解:223()2()32y sh x shx chx chx sh x chx chx shx '''=⋅+⋅=⋅+⋅(5)2()x y arch e =;解:2224411[()]()211xx x x x y arch e e e e e '''==⋅=⋅--(6)2(1)y arsh x =+.解:22212(1)1(1)1(1)x y x x x ''=⋅+=++++习题2-3★ 1.求下列函数的二阶导数:知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导(1)5342y x x x =++;解:425122y x x '=++ 32024y x x ''=+(2)32x y e -=;解:3232(32)3x x y ex e --''=⋅-= 32323(32)9x x y e x e --'''=⋅-=(3)sin y x x =;解:sin (sin )sin cos y x x x x x x x '''=+=+(sin )cos (cos )2cos sin y x x x x x x x x '''''=++=-(4)sin t y e t -=;解:()sin (sin )(cos sin )ttty e t e t e t t ---'''=+=-()(cos sin )(cos sin )2cos t t t y e t t e t t e t ---''''=-+-=-(5)21y x =-;解:222(1)211x x y xx'-'==---2222222231(1)1(1)11(1)(1)x x x x x x x x y x x x ''-------''=-=-=----(6)2ln(1)y x =-;解:222(1)211x xy x x '-'==--- 2222222(2)(1)2(1)2(1)(1)(1)x x x x x y x x ''---+''=-=---(7)tan y x =;解:2sec y x '= 22sec (sec )2sec tan y x x x x '''=⋅=(8)211y x =+; 解:22222(1)2(1)(1)x xy x x '-+'==-++2222222242423(2)(1)2[(1)]2(1)22(1)262(1)(1)(1)x x x x x x x x x y x x x ''+-⋅++-⋅+⋅-''=-=-=+++(9)2xy xe=.解:2222222()()(12)x x x x x y x ex e e xe x e x ''''=+=+=+222222222()(12)(12)2(12)42(32)x x x x x y e x e x xe x e x xe x ''''=+++=++⋅=+★ 2.设10()(31)f x x =+,求(0)f '''.知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:99()10(31)(31)30(31)f x x x x ''=+⋅+=+88()309(31)(31)810(31)f x x x x '''=⨯++=+77()8108(31)(31)19440(31)f x x x x ''''=⨯++=+ (0)19440f '''∴= ★ 3.已知物体的运动规律为sin s A t ω=(,A ω是常数),求物体运动的加速度,并验证:2220d s s dtω+=. 知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:cos s A t ωω'= 2sin s A t ωω''=222sin d s a A t dt ωω∴==- 22222sin sin 0d s s A t A t dtωωωωω∴+=-+=★ 4.验证函数12x x y C e C e λλ-=+(12,,C C λ是常数)满足关系式: 20y y λ''-=知识点：高阶导数思路：利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次求导 解:12xx y C eC e λλλλ-'=- 2212x x y C e C e λλλλ-''=+2221212()()0x x x x y y C e C e C e C e λλλλλλλ--''∴-=+-+=★★ 5.设()g x '连续,且2()()()f x x a g x =-,求()f a ''.知识点: 导数的定义思路: 因为()g x ''不一定存在,不能直接求二阶导数,要利用导数的定义求解:2()2()()()()f x x a g x x a g x ''=-+- ()0f a '∴=又()g x ' 连续,但()g x '不一定存在 lim ()()x ag x g a →''∴=()()()()limlim lim[2()()()]2()x ax a x a f x f a f x f a g x x a g x g a x ax a →→→'''-'''∴===+-=-- ★★ 6.若()f x ''存在,求下列函数的二阶导数22:d ydx.知识点: 高阶导数,复合函数的求导法则 思路: 利用链式法则求导 (1)3();y f x =解:32()3y f x x ''=⋅ 32323436()3()36()9()y xf x x f x x xf x x f x ''''''''∴=+⋅=+ (2)ln[()]y f x =.解:()()f x y f x ''= 22()()[()][()]f x f x f x y f x '''⋅-''∴= ★★★ 7.已知2,0()ln(1),0ax bx c x f x x x ⎧++<=⎨+≥⎩在0x =处有二阶导数,试确定参数,,a b c 的值.知识点：可导与连续的定义，以及可导与连续的关系思路：由已知条件得方程组，联立方程组求解解: ()f x 在0x =处有二阶导数 ()f x ∴在0x =处连续，且()f x '在0x =处连续从而有0lim ()(0)x f x f -→=，即2lim ()0x ax bx c -→++= 0c ∴= 又 ()f x 在0x =处可导 (0)(0)f f +-''∴=而0()(0)ln(1)(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+'===-2_00()(0)(0)lim lim 0x x f x f ax bxf b x x--→→-+'===-1b ∴=，且(0)(0)1f f +-''==21,01(),011,0ax x f x x x x +<⎧⎪⎪'∴=>⎨+⎪=⎪⎩ 又()f x 在0x =处二阶可导 (0)(0)f f +-''''∴=而 0011()(0)1(0)lim lim 1x x f x f x f x x+++→→-''-+''===- 00()(0)(21)1(0)lim lim 2x x f x f ax f a x x---→→''-+-''===21a ∴=-，即12a =-8.求下列函数所指定阶的导数:知识点：高阶导数思路: 利用已知的高阶导数公式和莱布尼茨公式求高阶导数★ (1)cos ,x y e x =求(4)y ;解:(4)4(sin )6(cos )4sin (cos )x x x x ye e x e x e x x =+-+-++-★★ (2)ln y x x =,求()n y ;解:()()(1)(ln )(ln )n n n yx x n x -=+121(1)!(2)!(1)(1)n n n n n n x n x x-----=-+⋅- ★★ (3)2132y x x =-+,求()n y ; 解:21113221y x x x x ==--+-- ()()()1111!!()()(1)(1)21(2)(1)n n n n nn n n n y x x x x ++∴=-=-------★★ (4)44sin cos y x x =+,求()n y .解:44222222131sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 2cos 4244y x x x x x x x x =+=+-=-=+ ()()11(cos 4)4cos(4)42n n n y x x n π-∴==+⋅ ★★★ 9.作变量代换ln x t =,简化方程2220xd y dy ye dx dx-+=. 知识点: 高阶导数思路: 利用链式法则求导解: 1dy dy dx dy dt dx dt t dx =⋅= dy dy t dt dt ∴=又22222211111()()()d y d dy d dy dy d dy dy d y dx dt dt dt dt t dx t dx t dt dx t dx t dx dt ===-+=-+⋅ 22211dy d yt dt t dx =-+ 22222d y d y dy t t dx dt dt ∴=+代入方程得22220d y t yt dt += 即 220d y y dt+= 习题2-41.求下列方程所确定的隐函数y 的导数dy dx :知识点: 隐函数的导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx★(1)x y xy e +=;解:方程两边同时对x 求导,得 (1)x yy xy e y +''+=+解得x yx yy e y e x++-'=-★ (28)2sin()0xy y π-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2cos()20y xy y yy ππ''+-⋅=解得22cos()yy y y xππ'=-★ (3)350xy e y x +-=;解:方程两边同时对x 求导,得 2()350xye y xy y y ''⋅++-=解得253xyxy ye y xe y -'=+★ (4)1y y xe =+;解:方程两边同时对x 求导,得 yyy e xe y ''=+解得1yye y xe '=-★ (5)22arctanln yx y x=+.解:方程两边同时对x 求导,得22222222221x yy y x yx y x y x y x'+'-+=++ 即y xy x yy ''-+=+ 解得x y y x y +'=-2.求下列方程所确定的隐函数y 的导数22d ydx :知识点: 隐函数的导数,高阶导数思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dydx,再对一阶导数利用导数四则运算法则和复合函数求导法则求导★★ (1)222222b x a y a b +=解:方程两边同时对x 求导,得 22220b x a yy '+= 解得2'2b xy a y=-22222222242222322323b y xy b a y b x b a b b y a y a a y a a y a y'-+''∴=-⋅=-⋅=-⋅=- ★★ (2)sinln()y x y =+;解: 方程两边同时对x 求导,得 1cos (1)y y y x y ''⋅=++ 解得1()cos 1y x y y '=+- ''2''23(1)cos ()(sin )()cos ()sin [()cos 1][()cos 1]y y x y y y x y y x y yy x y y x y y +++-⋅+-+∴=-=-+-+- ★★ (3)tan()y x y =+.解: 方程两边同时对x 求导,得 2sec ()(1)y x y y ''=++解得222sec ()11sec ()1sec ()1x y y x y x y -+'==--+-+-221cot ()csc ()x y x y =--+=-+ 232csc ()cot ()x y x y =-++3.用对数求导法则求下列函数的导数:知识点: 对数求导法思路: 在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量x 求导,最后解出所求导数★ (1)2tan (1)x y x =+;解:等式两边同时取对数,得 2ln tan ln(1)y x x =+等式两边同时对x 求导,得22212sec ln(1)tan 1x y x x x y x '=++⋅+2tan 2222tan (1)[sec ln(1)]1xx xy xx x x '∴=++++★★ (2)533322x x y x --=+解: 等式两边同时取对数,得111ln ln(3)ln(32)ln(2)532y x x x =-+--+等式两边同时对x 求导,得11(3)1(32)1(2)5333222x x x y y x x x '''--+'=⋅+⋅-⋅--+ 53332111[]5(3)322(2)2x x y x x x x --'∴=+---++ ★★ (3)452(3)(1)x x y x +-=+解:等式两边同时取对数,得1ln ln(2)4ln(3)5ln(1)2y x x x =++--+等式两边同时对x 求导,得111452231y y x x x '=⋅--+-+ 452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +-'∴=--++-+★ 4.设函数()y y x =由方程1y y xe -=确定,求(0)y ',并求曲线上其横坐标0x =处点的切线方程与法线方程.知识点:隐函数导数和导数的几何意义思路: 方程两边同时对自变量x 求导,凡遇到含有因变量y 的项时,把y 当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出dy dx解: 方程两边同时对x 求导,得 0yyy e xe y ''--= 解得 1yye y xe '=-当0x =时,1y = ∴在0x =处切线的斜率(0)k y e '==0x ∴=处的切线方程为1y ex -=,即1y ex =+法线方程为11y x e -=-,即11y x e=-+★★ 5.求曲线2ln(1)arctan x t y t ⎧=+⎨=⎩在1t =对应点处的切线方程和法线方程.知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导解:22111221dy t t dx t t +==+ 11|2t dy dx =∴= 当1t=时,ln 2,4x y π==∴ 在1t =对应点处的切线方程为1(ln 2)42y x π-=-, 即11ln 2224y x π=-+ 法线方程为2(ln 2)4y x π-=--, 即22ln 24y x π=-++6.求下列参数方程所确定的函数的导数dydx:知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求导★ (1) 23x at y bt⎧=⎨=⎩; 解:23322t t y dy bt bt dx x at a '==='★ (2) sin cos t tx e t y e t⎧=⎨=⎩; 解:cos sin cos sin sin cos sin cos t t t t t t y dy e t e t t t dx x e t e t t t '--==='++★ (3) 22cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩. 解:2sin cos 12cos sin t t y dy t t dx x t t'===-'- 7.求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx: 知识点: 参数方程表示的函数的导数思路: 利用参数方程表示的函数的求导公式求一阶导数,再将t 看作中间变量利用复合函数求导法则求二阶导数,★★ (1) 32ttx e y e -⎧=⎨=⎩;解: 22233t t t t t y dy e e dx x e '===-'-22223222414()()()33339t t t tt d y d d dt e e e e dx dx dt dx e -=-=-=-⋅-= ★★ (2) 231x t y t t⎧=-⎨=-⎩;解:22131322t t y dy t t dx x t t'--===-'-22222223131362131()()22424d y d t d t d t t t d x d x t d t t d x t t t----+∴=-=-=-⋅=-- ★★ (3) 2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩.解: 22111221t t y dy t t t dx x t-'+==='+ 2222111()()22224d y d t d t dt t t dx dx dt dx t t ++===⋅= ★★ 8.落在平静水面上的石头,产生同心波纹,若最外一圈波半径的增大率总是6/2m ,问在2s 末扰动水面面积的增大率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:设最外一圈波半径为r ,则水面面积2s r π=∴扰动水面面积的增大率22ds rdr dr r dt dt dtππ== (*) 在2t s =时,6212r m =⨯=. 6/drm s dt=代入(*)式得22126144(/)dsm s dtππ=⨯⨯=★★ 9.一长为5米得梯子斜靠在墙上.如果梯子下端以0.5米/秒的速率滑离墙壁,试求梯子与墙的夹角为3π时,该夹角的增加率.知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导 解:设梯子下端离墙面的距离为L ,则0.5L t =设梯子与墙的夹角为α,则0.5sin 5510L t t α=== arcsin 10t α∴= 当3πα=时,535sin32L π==,即530.52t = 53t ∴=∴当3πα=时,夹角α的增加率为5321110|51()10t d dtt α===- ★★ 10.在中午十二点整甲船以6公里/小时的速率向东行驶,乙船在甲船之北16公里处,以8公里/小时的速率向南行驶,问下午一点整两船相距的速率为多少?知识点: 导数的定义思路: 导数反映的函数的变化率,列出函数求导解:在十二点后t 小时甲船行驶的路程6s t =甲(km),乙船行驶的路程为8s t =乙(km)当02t≤≤时,甲乙两船的距离2222(16)(168)3664(2)s t t t t =+-=+-甲乙∴当1t =时,甲乙两船相距的速率122256200| 2.823664(2)t ds tdt t t =-+==-+-甲乙km/h习题2-5★ 1.已知13-=x y ，在点2=x 处计算当x ∆分别为1，0.1，0.01时的y ∆及dy 之值.知识点：函数增量以及函数微分的定义思路：利用函数增量以及函数微风的定义计算即可解：8)2()2()2(3-∆+=-∆+=∆x f x f y dx dx f dy x 12)2(|2='==)1(当1=∆x 时，19833=-=∆y12112=⨯=dy(2) 当1.0=∆x 时，261.18)1.2(3=-=∆y 2.11.012=⨯=dy(3) 当01.0=∆x 时，120601.08)01.2(3=-=∆y 12.001.012=⨯=dy★ 2.将适当的函数填入下列括号内，使等式成立：知识点：微分形式的不变性思路：利用du u f dy )('=求函数微分(1)xdx d 5)(=解：xdx x d 2)(2= xdx c x d 5)25(2=+∴(2)xdx d ωsin )(=解：xdx x d ωωωsin )(cos -= x d xc xd ωωωs i n )c o s 1(=+-∴ (3)dx xd +=21)(解：dx x x d +=+21))2(ln( dx xc xd +=++∴21))2(ln( (4)dx e d x 2)(-=解：dx e ed x x222)(---= dx e c e d x x 22)21(--=+-∴(5)dx x d 1)(=解：dx xx d 21)(=dx xc xd 1)2(=+∴ (6)xdx d 2sec )(2=解：xdx x d 2sec 2)2(tan 2= x d xc xd 2se c )2t a n 21(2=+∴ 3.求下列函数的微分：知识点：基本初等函数的导数，导数的四则运算法则，复合函数的导数，以及微分的定义 思路：利用dx x f dy )('=求函数微分★ (1)x x y 2ln +=解：x x y 11+=' dx xx dy )11(+=∴★（2）x x y 2sin =解：x x x y 2cos 22sin +=' dx x x x dy )2cos 22(sin +=∴★ (3)22x y x e =解: 22222()()2(1)xx x y x ex e x x e '''=+=+ 22(1)x dy x x e dx ∴=+★ (4)3ln 1y x =-解:3233(1)32(1)1x x y x x '-'==--- 2332(1)x dy dx x ∴=-- ★ (5)2()x x y e e -=+解:222()()2()xxxxxx y e e e e ee ---'=+-=- 222()x x dy e e dx -∴=-★ (6)y x x=-解:()2124x x x y x xx x x'--'==--214x dy dx x x x-∴=-★ (7)221arctan1x y x -=+解:2224221()21111()1x x x y x x x -'+'==--+++ 421x dy dx x =-+ ★★ (8)21cos()x x x y a a arc a =+-解:2222(1)()ln arccos()1[]211x x xx xxxa a y a a a a a a'-'=++----2222ln ln ln cos()ln cos()11x x xx xx xxa a a a a a arc a a a arc a a a =--=---22ln cos()1x x xa a dy arc a dx a ∴=--★★ 4.求方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy .知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分, (2)()ln()()(ln())d y x d x y x y x y d x y -=--+--即2()ln()()dx dydy dx dx dy x y x y x y--=--+-⋅-化简得2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-★★ 5.求由方程22cos()xy x y =所确定的函数y 的微分.知识点: 微分的四则运算法则和微分形式的不变性 思路: 方程两边同时求微分,再解出dy解:方程两边同时求微分,得22(cos())()d xy d x y = 即sin()()2()xy dydx xdy xy dx xdy -+=+化简得222sin()sin()2xy y xy dy dx x xy x y +=-+★★ 6.当||x 较小时,证明下列近似公式:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+(1)sin x x ≈解:当||x 较小时,()(0)(0)f x f f x '≈+sin sin0cos0x x x ∴≈+⋅= 即sin x x ≈(2)1x e x ≈+ 解:00x e e e x ≈+ 即1xe x ≈+ (3)11n x x n+≈+解: 11111(10)(10)nnn x x n -+≈+++⋅ 即111n x x n+≈+⋅★★ 7.计算下列格式的近似值:知识点: 微分的应用思路: 当||x 较小时,00()()()f x f x f x x '≈+ (1)1001.002解: 令100(),f x x =则991001()100f x x -'=取01,0.002,x x =∆=得10011.002(1)(1)10.002 1.00002100f f x '≈+∆=+⨯= (2) 0cos29解:令()cos f x x =,则()sin f x x '=-取0306x π==,1180x π∆=-=-,得3cos 29cos(sin )()661802360ππππ≈+-⋅-=+(3) arcsin0.5002解:令()arcsin f x x =,则21()1f x x'=-取00.5,0.0002x x =∆=,得213arcsin 0.5002arcsin 0.50.0002675001(0.5)π≈+⨯=+-。
第二章__导数与微分
t
t
瞬时速度
v(t0
)
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t) t
s(t0
)
2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
3
y
割线M0M的斜率为
tanφ y f (x0 x) f (x0 )
x
x
切线M0T的斜率为
o
k tanα lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
(0
h)] h
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
(x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
27
二、反函数的导数
定理 如果函数x φ(y)在某区间Iy内单调、可导 且φ(y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间Ix 内也可导 , 且有
f (x) 1 φ (x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(
x )
1
x
1 2
1
2
1 2x
.
(x1 )
(1)x11
1 x2
.
17
例8 求函数 f (x) ax(a 0,a 1)的导数. 解 (ax ) lim axh ax
h0 h ax lim ah 1
h0 h ax lna.
即 (ax ) ax lna. (ex ) ex .
18
例9 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
即 (sinx) cos x.
16
例7 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 (xn ) lim (x h)n xn
导数与微分习题及答案
第二章导数与微分(A)1 .设函数y 二f x ，当自变量x 由x 0改变到x 0 * e x 时，相应函数的改变量 y =()A. f x 0 ： =x B . fx^_x C . f x 0 ： =x f x 0D . f x 0 x2. 设f(x )在 x 处可，则曲区弋ix °)= () A. - f x oB . f -X 。
C . f x oD . 2f x o3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的( )A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.设函数y = f u 是可导的，且u =x 2，则dy=()dxA. f x 2B . xf x 2C . 2xf x 2D . x 2f x 25. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a () A .左导数存在；B .右导数存在；C .左右导数都存在D .有定义6 . f(x)=x-2在点x=2处的导数是() A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y =2x 3 -5x 2 • 4x -5在点2,-1处切线斜率等于()A . 8B . 12C . -6D . 68. 设y=e f 卜且f(x 二阶可导，则y"=() A . e f (x ) B . e f *)f "(x ) C . e f (x )〔f "(x f "(x jD . e f (x X 【f *(x 9 + f*(x 》e axx < 09. 若f"〔b+sin2x, x，0在x=°处可导'则a，b的值应为()717118.210. 若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F X 二 f X g X , G X A f X — g X 在 x ° 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .恰有一个有导数D .至少一个有导数11. 函数fx 与g X 在X o 处都没有导数，则Fx 二fx^gx , G x i= f x -g x 在 X o 处（）A .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12. 已知F x 二f !g x 1,在x 二X 。
高等数学微课版教材答案
高等数学微课版教材答案在高等数学微课版教材中，学生们经常会遇到一些难题，需要及时找到正确的答案才能继续学习。
为了帮助学生更好地理解和应对高等数学微课，以下是一些常见的问题答案，供学生参考。
第一章：函数与极限1. 问题：计算lim(x->2)(x^2 - 4)/(x - 2)答案：由于(x^2 - 4)/(x - 2)的分子分母同时为零，可以将其化简为lim(x->2)(x - 2)，即结果为0。
2. 问题：求函数f(x) = (2^x - 1)/x在x趋近于0时的极限。
答案：通过利用“0/0型极限”的性质，可以将该极限转化为将(2^x - 1)除以x再求x趋近于0时的极限。
根据洛必达法则，可得到结果ln2。
3. 问题：判断函数f(x) = (x^2 - 4)/(x - 2)在x = 2处是否连续。
答案：由于lim(x->2)(x^2 - 4)/(x - 2)存在且有限，且f(2) = 0，并且lim(x->2)f(x) = f(2)，因此函数f(x)在x = 2处是连续的。
第二章：导数与微分1. 问题：求函数f(x) = sin(x)的导数。
答案：通过求导法则，可以得到f'(x) = cos(x)。
2. 问题：计算f(x) = x^2在点x = 2处的斜率。
答案：通过求导，得到函数f(x)的导数为f'(x) = 2x。
将x = 2带入导数表达式中，可以得到斜率为4。
3. 问题：求函数f(x) = e^x在点x = 0处的切线方程。
答案：首先求得f'(x) = e^x。
然后，将x = 0带入导数表达式中，得到斜率为1。
切线方程为y = f(0) + f'(0)(x - 0)，化简后即为y = x + 1。
第三章：定积分1. 问题：计算∫(0 to 2) 2x dx。
答案：根据定积分的定义，将2x代入f(x)，并计算积分，得到结果为4。
2. 问题：求函数f(x) = x^2在区间[1, 3]上的定积分。
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x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。
x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。
处可导，则（A）g x 都必须可导B . f x 必须可导C . g x 必须可导D .x 都不一定可导B.11 x2C.x21 X22x2x14.设f x在点a处为二阶可导, hh hC. 2f a15.设f x在a,b内连续，且X。
a,b，则在点X。
处（BA f xC .f x16.设f X 17.函数y18.设函数19.设函数的极限存在，且可导的极限不存在在点x a处可导，则B. f x的极限存在，但不一定可导D . f x的极限不一定存在n m ofa f a hhX 1导数不存在的点X 1 of x sin 2x ，贝U f —2 4y y X由方程xy e x e y0所确定，则y'0 —1 ___ o1lnx 在点P e,1处的切线方程y 1 x e 。
e(1)y si nx21.若 f xx t 2 2t ，则巴1/2 。
y ln 1 tdxt 022.若函数 y x e cosxsin x ，贝U dy -x2e cosx 。
23.若 f x 可导， y f f f x ，则yf f f x f f x fx24.曲线5y232x1 5在点 0, 11处的切线方程是y 1255 3o0处的连续性与可导性:讨论下列函数在 25.x x 0。
解: v lim sinxxsi n0 •- yf xf 0sin xf 0 lim ------- l im -0处连续x x又 0x 0x 0sinx 在 xlimf x f 0sin xf 0 lim -limx 0 x 0 x 0 xf 0 f 0，故 y sin x在xlim x 0 0处不可导。
sin x 1x.1 xsin , x 0,1解：T lim xsi nx 0 x，二函数在 x 0处连续 又limx1 xsinx- 0x xlim sin-不存在。
x 0 x在x 0处不可导。
20. 曲线y26.已知f sinx, x 0x, x 040 时，f Xcosx , x1,y ln』4xe 1 已知yIn eIn cosx, x 1, xln ee f可以求得f 0 114x In e存在'求..1 x 3 11 x 3y ln^xp x已知 2ln .1 x 3 3ln |x|2「1 13x _3X 2_2 J x 3x31 x 3「1x 3 7.x 1 x 7 xln xx 71 7xxln x1 exln x x x lnx77， 两边取自然对数可得:求dY xln 7解:27. 解:28. 解:29.解:30. 解: 31.解:32. 解:1x 5ln 1 x In y In | x 21 4ln 3 x两边对x求导得：1 2x24」3 x5」x4x5x 2x2 5 Fl33.设x2存在，求解: dx x22x,d2ydx2x2 4x22f x2。
(二)1 .设函数f 在点0可导, f 0 0，贝Ulimx CC.不存在3，则l x m0X oA. -3B. 6C. -9D. -123•若函数f x 则mHh-o3h4.设f x x22x1,2, 11则A .不连续B. 连续，但不可导C.连续，且有一阶导数有任意阶导数5.函数f x x1J2A .不连续B.连续不可导C.连续且仅有一阶导数D.连续且有二阶导数6 •要使函数.1sin ,x0,0处的导函数连续，则n应取何值？（ D ）7.设函数f x有连续的二阶导数，且2，则极限x叫等于（D ）-18.设f x 0的某领域内有定义,0，且当x 0时，f等价无穷小量,C. f 0不存在 D .不能断定 f 0的存在性9.设f x为奇函数，且 f X。
2，则f x c ( C )A. -2 C. 210.设函数 3 x 4，则f 0(B)B. 24C. 36 D .4811 .已知x 0时，f f 0是x的等价无穷小量, f 0 f 0 2hhA . -2B . -1 C .2 D .不存在12 .若f x 在x。
可导, 在x。
处（B ）A.必可导连续但不一定可导C. 一疋不可导不连续13 .若f u可导，且y sin f e x，则dy cos f e x dx o14 .设y x是由方程y sin y x (0 1，常数）所定义的函数，则sin y2y15 .若f x 在x a 处可导，则 limh 0f a nh f a mhh16.若为二阶可微函数Inx 2的y212 4x 22x 2x2 24x 4 x 2^2x 2 x17. 已知f x1 .2 -sin x , x0,18. 已知a si nt a cost t cost tsi nt则dx-1。
dyd 2x dy 2& 2。
3a19.1 15 5!16 2x 161 55!1----- 。
、6 x 20.x 2 arctg -x0,c X 1 2xarctg x 1,2x 1 x 2limf xx 00_,21 .已知f xx 2e 12x1,解：x 0时,x 2e 2x2x 3ex 2x 2e 4x2e x x 21 23xlim x 0 x x im 022xe x2x3x 22|i 2e xlinx 0x 2ex m 03x 2x 2 t= 2limt 0te2lim 2 t 0 12Xe222. 解: 23. 证:24. 证 证:X ag2a2XmaH maH x Xg 2a2Xag a 如果 f x 为偶函数， 且 f 0存在, 证明f 00。
••• f 0存在，••• f0 f 0 f0，而f 0.. f x f lim 0x tlim -----t f 0 r f t f 0 limx 0 x 0t 0tt 0t• •• f 0f 0，• • f 0 0。
设f x 对任意的实数论、x 2有f 捲x 2 f x 1 f x 2 ，且 f1，试f xx f xf x fx f xx limlimx , f x 0 f x f 0，可得 f 01。
从而f x limx 0xx 0 上..f x f 0 f x f 0f x lim x 0xx f x 。
25.已知 y xarctgx In 、1 x 2，求 y 。
解: y 1xarctgx — In 1xarctgxx 1 2x 1 x 221 x 2arctgx26.已知y arCSin f^ x 2，求八解: y2si nx 1 2 sin x2si nx 1 2 sin x2 sin x2cosx 2 sinx cos 2 si nx 1...2 cos 2x22 sin x3 / 3 2 2sinx2 sinx27.设 y a x 1 a 2x arccosa x ，求 dy 。
2x |a In a x . ---------- arccosa dx .1 a 2xcost cost tsintsin tcostd y dx 21tcost t 一X tcost tsint cost t sin t costsin t costsin ti -1 _ v3 1d 2y2 3 221 厂dx 2t -也-吋3。
32xe ，求 y 。
1解: In y —xIn |x|In | sin x | - In 11 e xx.11 1cosx x e yy 2 x si nx 21 e x一 xsinx ：1设 28. y 1 1,xsomx 1 ctgx21 e x29.设In cost sin t t costdx dx 2t -3解: dya x■Ja 2x arccosa xdxIn a2a 2x ln a----------- arccosa .1 a 2x1 a 2x Ldx2xa解:型览 dx x t t cost30.函数y y x 由方程arctg - In . x 1 2 y 2确定，求dy。
x dx解；两边对x 求导得：1 2yx 2y丄弩 2yy ，解得：y 7。
1 y x2 x yx yx(三)1. 可微的周期函数其导数(A ) A .一定仍是周期函数，且周期相同 B. 一定仍是周期函数，但周期不一定相同 C.一定不是周期函数 D .不一定是周期函数2. 若f x 为1,1内的可导奇函数，贝U f x ( B )A .必有 1,1内的奇函数 C .必为l,l 内的非奇非偶函数13. 设 f x x n sin (x 0)且 f 0B .必为l,l 内的偶函数D .可能为奇函数，也可能为偶函数 0,则f x 在x 0处(C )C .仅有一阶导数D .可能有二阶导数(A )A.高阶无穷小 B .等价无穷小 C .低价无穷小 D .不可比较6.函数y f x 在某点处有增量 x0.2，对应的函数增量的主部等于0.8,1A .令当lim f x limx n sin 丄 f 00时才可微x 0x 0xB .在任何条件下都可微C .当且仅当n 2时才可微1 D .因为sin-在x0处无定义，所以不可微x4.设 fx x a x ，而 a 处连续但不可导，则f x 在x a 处C )A .连续但不可导B .可能可导，也可能不可导 5.若f x 为可微分函数，当x0时，贝U 在点x 处的y dy 是关于x 的B. a 1，b 1 D. a 1， b 1内有定义，若当x ,时，恒有f x x 2，则x 0是f X 的（C ）atgx b 7. Iimx 0cln 1 2x1 cosx22，其中a 3c 20,则必有（D ) d(1A \ e )A . b 4dB . b 4dC . a 4cD . a4cln 1 x8 .设 limx 0ax 2 Xbx 2 2，则（ A )A . 4B . 0.16C . 4D . 1.610.设f X 在,内可导，且对任意X 1，X 2，当X 1X 2时，都有f X 1f X 2，则(D )A .对任意x ， f x 0B .对任意x ， f x 0C .函数f x 单调增加D .函数 f x 单调增加11.设f x 可导,F x f x 1sinx ，若使FX 在x 0处可导，则必有(A )A . f 0 0B . f 0 0C . f 0 f 0 0D . f 0 f 0C .左导数不存在，但右导数存在D .左、右导数都不存在12.设当x0时，e x ax 2 bx 1是比x 2高阶的无穷小，则（A)b b1 oa a2boa2br*a9.设 f x2 3 3x，2x ,x 1则f X 在点x 1处的(B ) X 1A .左、右导数都存在B .左导数存在，但右导数不存在 1A . a ， b 12 C . a —， b 12 13.设函数f x 在区间A •间断点B .连续而不可导点140时，e tgx e x 与x n 是同阶无穷小，则n 为（C ）15.函数f xx 2 x 2 x 3 x 不可导点的个数是（B ） A . 3 B . 2 C . 1 D . 016.已知函数yy x在任意点x 处的增量 y y x2 且当x 0时,1 x 2是x 的高阶无穷小， y 0，则 y 1 ( D)A . 2B .C . e 刁D . e 刁1 COS c------- ,x 0 17.设fx 、x 其中g x 是有界函数，则fx 在x 0处（D ）2x g x , x 0A .极限不存在B .极限存在，但不连续C .连续，但不可导D .可导1118.在区间 ， 内，方程x$ xp cosx 0（C ）20.若f x 是可导函数，且f x sin 2 sin x 1 ， f 04，则f x 的反21 .若f x 在x e 点处且有连续的一阶导数，且f e 2e 1，则d cos -J xlim f e 1 __ ox 0dx22.设f x x 331 1 g x ，其中g x 在点x 1处连续，且g 16，则f 11996 oC.可导的点，且f 0 0 D •可导的点，且f 014.设 xA .无实根B .有且仅有一个实根C .有且仅有两个实根D .有无穷多个实根19.In t dy t m '则贏1"，丄二时,nd y dx n1n1mm 1 m n 1 n 1!函数xy 当自变量取4时的导数值为1 sin2 sin 1a 123.设f x cos——x0, 1则当a的值为_>01时,x 1处连续，当a的值为>2 时, 1可导。