第8讲-高阶偏导数与极值
第8讲 高阶导数与二元函数极值讲授内容一、高阶偏导数由于),(y x f z =的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 仍然是自变量x 与y 的函数，如果它们关于x 与y 的偏导数也存在，则说函数f 具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：),(22y x f x z x xz xx =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂， ).,(22y x f y z y y z yy =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂ ),,(2y x f x z y y x zxy =⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂ ),(2y x f y z x x y z yx=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂例1 求函数xy z arctan=的所有二阶偏导数. 解：()22222222y x xyyx yx xz +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂， ().22222222y x xyy x x y yz +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂(),22222222y x y x yx yy y x z+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂∂ (),22222222y x y x y x x x x y z +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂注意：从上面例子看到， 关于x 和y 的不同顺序的两个二阶偏导数都相等（称为混合偏导数），但这个结论并不对任何函数都成立（见例2）.例2 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=.0 ,0,0 ,,22222222y x y x y x y x xy y x f解： 它的一阶偏导数为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++++-=,0 ,0,0 ,4,2222222222222y x y x yx y x y y x y x y y x f x ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+-=,0 ,0,0 ,4,2222222222222y x y x yx y x x y x y x x y x f y 进而求f 在（0，0）处的混合偏导数，得 ()()(),1lim0,0,0lim0,00-=∆∆-=∆-∆=→∆→∆yy yf y f f y x x y xy ()()()1lim0,00,lim0,00=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx xf x f f x y y x yx ．由此看到，这里的()y x f ,在原点处的两个二阶混合偏导数与求导顺序有关，那么，在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？定理17.7 若),(),(y x f y x f yx xy 和都在点),(00y x 连续，则()()0000,,y x f y x f yx xy = .这个定理的结论对n 元函数的混合偏导数也成立。
如三元函数),,(z y x f u =，若下述六个三阶混合偏导数),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f z y x f zyx yxz xzy zxy yzx xyz 在某一点都连续，则在这一点六个混合偏导数都相等.例3 1）设,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x x f z 求22x z ∂∂，.2y x z ∂∂∂ 2）设(),,y x xy f z -= 求22x z∂∂，.2y x z ∂∂∂ 解：这里z 是以x 和y 为自变量的复合函数，它也可以改写成如下形式：.,),,(yx v x u v u f z ===由复合函数求导公式有.1vf y uf xv v f xu u f xz ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂注意，这里vfu f∂∂∂∂,仍是以v u ,为中间变量y x ,为自变量的复合函数．所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂v f y u f x x1z22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=x v v f x u u v f y x v v u f x u u f 2222221,12222222v fy v u f y u f ∂∂+∂∂∂+∂∂= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂v f y u f y y x z12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=y v v f y u u v f y v f y y v v u f y u u f 222222211 .1222322vf yvf yx vu f y x ∂∂-∂∂-∂∂∂-=二、中值定理先介绍凸区域的概念．若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为凸区域．这就是说对任意两点D y x P y x P ∈),(),,(222111和一切),10(≤≤λλ，恒有.))(),((121121D y y y x x x P ∈-+-+λλ定理17.8（中值定理） 设二元函数f 在凸开域2R D ⊂上连续，在D 的所有点内都可微，则对D 内任意两点,int ),(),,(D k b h a Q b a P ∈++，存在某),10(<<θθ，使得.),(),(),(),(k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f y x θθθθ+++++=-++证：令 ).,()(tk b th a f t ++=Φ它是定义在[]1,0上的一元函数，由定理中的条件知()t Φ在[]1,0上连续，在()1,0内可微．于是根据一元函数中值定理，存在)10(<<θθ使得 ).(')0()1(θΦ=Φ-Φ 由复合函数的求导法则.),(),()('k k b h a f h k b h a f y x θθθθθ+++++=Φ定理17.9（泰勒定理） 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有直到1+n 阶的连续偏导数，则对)(0P U 内任一点),(00k y h x ++，存在相应的)1,0(∈θ，使得 +∂∂+∂∂+=++),()(),(),(000000y x f ykx h y x f k y h x f ++∂∂+∂∂ ),()(!21002y x f ykx h+∂∂+∂∂),()(!100y x f ykxh n n()).,()(!11001k y h x f ykxh n n θθ++∂∂+∂∂++ 称为二元函数f 在点0P 的n 阶泰勒公式，其中.),(),()(00000im i im im mi i mmkh y x f yx Cy x f ykxh--=∂∂∂=∂∂+∂∂∑例４ 求yx y x f =),(在点(1,4)的泰勒公式（到二阶为止）. 解：由于,2,4,100===n y x ，因此有().0)4,1(,ln ),(.1)4,1(,ln ),(,12)4,1(,)1(),(,0)4,1(,ln ),(,4)4,1(,),(,1)4,1(,),(222221121===+==-=======----y yy xy y y xy x y x y yy x y x yf x xy x f f x yxxy x f f xy y y x f f x x y x f f yxy x f f x y x f将它们代入泰勒公式，即得().)4)(1()1(6)1(4122ρo y x x x x y+--+-+-+=三、极值问题定义 设函数f 在点()000,y x P 的某邻域)(0P U 内有定义．若对于任何点()()0,P U y x P ∈成立不等式()()，或)()()(00P f P f P f P f ≥≤则称函数f 在点0P 取得极大（或极小）值，点0P 称为f 的极大（或极小）值点．极大值、极小值统称极值．极大值点、极小值点统称极值点．由定义可见，若f 在点()00,y x 取得极值，则当固定0y y =时，一元函数()0,y x f 必定0x x =在取相同的极值上．同理，一元函数()y x f ,0在0y y =也取相同的极值．于是得到二元函数取极值的必要条件如下： 定理17.10（极值必要条件） 若函数f 在点()000,y x P 存在偏导数，且在0P 取得极值，则有 ()().0,,0,0000==y x f y x f y x反之，若函数f 在点0P 满足()()0,,0,0000==y x f y x f y x ，则称点0P 为f 的稳定点．定理17.10指出：若f 存在偏导数，则其极值点必是稳定点。
但稳定点并不都是极值点，如例函数xy y x h =),(，原点为为其稳定点，但它在原点并不取得极值．与一元函数的情形相同，函数在偏导数不存在的点上也有可能取得极值。
例如22),(y x y x f +=在原点没有偏导数，但0)0,0(=f 是f 的极小值．定理17.11（极值充分条件） 设二元函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内具有二阶连续导数，且0P 是f 的稳定点. 则有(ⅰ)当()()0)(,0020>->P f f f P f xy yy xx xx 时，f 在点0P 取得极小值；(ⅱ)当()()0)(,0020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时，f 在点0P 取得极大值；(ⅲ)当()0)(02<-P f f f xy yy xx 时，f 在点0P 不能取得极值；(ⅳ)当()0)(02=-P f f f xy yy xx 时，不能肯定f 在点0P 是否取得极值．例5 求61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值．解： 由方程组 ⎩⎨⎧=+==-=01010,062y f x f yx 得f 的稳定点()1,30-P ，由于()()()().20)(,10,0,202000=-===P f f f P f P f P f xy yy xx yy xy xx 因此f 在点0P 取得极小值.8)1,3(-=-f 又因f 处处存在偏导数，故)1,3(-为f 的惟一极值点．例6 讨论xy x y x f +=2),(是否存在极值．解：由方程组0,02===+=x f y x f y x ，得稳定点为原点)0,0(．因,012<-=-xy yy xx f f f ，故原点不是f 的极值点。
又因f 处处可微，所以f 没有极值点。
《偏导数与高阶导数》PPT课件
fz(x,y,z) lz i 0f m (x ,y ,z z z ) f(x ,y ,z )
第二节 偏导数与高阶偏导数
注意！
全导数
dy f(x) dx
dy f(x)dx
偏导数的符号
z , x
z y
是一个整体记号,
不能像一元函数那样将z , z 看成是
x y
z 与 x, y的商.
2.偏导数的计算
实质上是
df(x,y0) dx
xx0
2.偏导数的计算
2.偏导数的计算
多元函数的偏导数的计算方法, 没有任何技术性的新东西.
方法: 求偏导数时,只要将 n 个自变量 中的某一个看成变量, 其余的 n－1个
自变量均视为常数, 然后按一元函数 的求导方法进展计算即可 .
2.偏导数的计算
例1 求函数 zxy(x0) 的偏导数.
z f(x x ,y ) f(x ,y )
l i m
x x 0
x
可以看出: 定义 z 时, 变量 y 是不变的, 实际上, x
是对函数 f(x, y), 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元
函数导数的定义进展的：
x z(x 0 ,y 0 ) lx i 0fm (x 0 x , y 0 x ) f(x 0 ,y 0 )
解 将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.
z yxy1.
x
(xa)axa1
将 x 看成常数时, 是对指数函数求导.
z xylnx. (ax)axln a y
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
2.偏导数的计算
例2 求函数 zex2y2的偏导数.
解
z x
ex2y2(x2y2)x 2xex2y2.
微积分教学课件第8章多元函数微积分学第5节高阶偏导数
偏导数,求 2z . xy
解
z x
y
f1
2x
f2
,
2z xy f1 y( x f11 2 y f12 ) 2x ( x f21 2 y f22 )
f1 xy f11 2( x2 y2 ) f12 4 xy f22 .
9
例7
设 x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 视 z 为 x, y 的二元函数z z(x, y) ,方程两边
y2 z2 x2
x2 ( x2 y2 z 2 )2 ( x2 y2 z2 )2 ,
5
2u x 2
y2 z2 x2 ( x2 y2 z2 )2
,
利用函数的对称性，可知
2u x2 z2 y2 y2 ( x2 y2 z2 )2 ,
2u z 2
x2 y2 z2 ( x2 y2 z2 )2
6x2
y
9 y2
1.
2
例2 设 u eax cos by ，求二阶偏导数.
解 u aeax cosby , u beax sinby ;
x
y
2u x 2
a 2eax
cos
by
,
2u y 2
b2eax
cos by
,
2u abeax sinby , 2u abeax sinby .
xy
yx
一般地,若 2z 与 2z 是连续函数,则必相等. xy yx
以后如无特别说明,均假定如此.
3
例3 证明函数 u ( x ay) ( x ay) 满足方程
a2
2u x 2
2u y 2
,
其中, 二阶可微.
《高阶偏导数》课件
如何计算高阶偏导数？
1
一阶偏导数
对每个变量分别求偏导数，得到一阶偏导数。
2ห้องสมุดไป่ตู้
二阶偏导数
对一阶偏导数再次求偏导数，得到二阶偏导数。
3
高阶偏导数
重复以上步骤，求取更高阶的偏导数。
高阶偏导数的应用
泰勒公式
高阶偏导数在泰勒公式中起到了 重要的作用。
极值与拐点
高阶偏导数可以帮助判断函数的 极值和拐点。
曲率半径
高阶偏导数的应用场 景
高阶偏导数在数学和物理等领 域有广泛的应用。
高阶偏导数与曲率半径的计算密 切相关。
案例分析
计算高阶偏导数的例子
以具体函数为例，演示如何计算高阶偏导数。
应用高阶偏导数分析问题的例子
通过实际问题，展示高阶偏导数在应用中的价 值。
总结
高阶偏导数的意义
高阶偏导数描述函数在某点处 的局部行为。
高阶偏导数的计算方 法
通过对一阶偏导数再次求导， 可以计算得到高阶偏导数。
《高阶偏导数》PPT课件
本课件介绍了高阶偏导数的概念、计算方法和应用场景，让你轻松掌握高阶 偏导数的知识。
什么是高阶偏导数？
高阶偏导数是指在多元函数中，对同一个变量求导多次得到的导数。 它的含义是描述函数在某点处各个方向的变化率，反映了函数的曲线在该点的局部形态。 高阶偏导数可以用符号表示，如f''(x)表示二阶偏导数。
高等数学(微积分)课件--§8.5高阶偏导数
例：求二元函数z=x2y(4-x-y)在直线x+y=6，x轴 和y轴所围成闭区域D上的最大值与最小值。 y 解： 先求函数在D内的驻点，
x
f(4,2)=-64为最小值
12
例题与讲解产量分别为x、y单 位,利润函数为：L=64-2x2+4xy-4y2+32y-14，求 最大利润。 Lx 64 4 x 4 y 0 解：由极值的必要条件 L 32 8 y 4 x 0
2
则f(x,y)在点(x0,y0)处取得极值的条件如下：
（1） B AC 0 时具有极值, 当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; （2） B 2 AC 0 时没有极值;
2
（3） B AC 0 不能确定,还需另作讨论。
6
多元函数求极值的一般步骤
第一步：解方程组 f x' ( x, y) 0,
14
x y 的最大值和最小值。 例：求 z 2 2 x y 1
例题与讲解*
( x 2 y 2 1) 2 x( x y ) ' 由 zx 解： 0, 2 2 2 ( x y 1)
( x 2 y 2 1) 2 y ( x y ) z 'y 0, 2 2 2 ( x y 1) 1 1 1 1 , ) 和( , ) , 因为 lim 得驻点 ( x
则对于 ( x 0 , y 0 ) 的某邻域内任意 ( x , y ) ( x 0 , y0 ) 都有 f ( x , y ) f ( x 0 , y 0 ) , 有 故当 y y 0 ， x x 0 时 ， f ( x , y0 ) f ( x0 , y0 ) ,
高阶偏导数(教案)
高阶偏导数韩桂玲教学目标： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会求二元函数的二阶偏导数3..理解二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学重点： 1.掌握二元函数的二阶偏导数及高阶偏导数的定义2.会恰当的用定义法和公式法求二元函数的二阶及高阶偏导数教学难点： 二阶连续混合偏导数相等的定理证明教学方法： 讲授法教学过程：引入：若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的一阶偏导数，对D y x ∈∀),(xy x f y x x f y x f x z x x ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把y 看作常数) yy x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆),(),(lim ),(0 (把x 看作常数) 1.二阶偏导数定义若二元函数),(y x f z =在区域D 存在x 与y 的（一阶）偏导数),(y x f xz x '=∂∂与),(y x f y z y '=∂∂则在D 内它们都是x 与y 的二元函数。
若它们关于x 与y 的偏导数存在，即),()(22y x f xz x z x xx ''=∂∂=∂∂∂∂x y x f y x x f x x x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把y 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f y x z x z y xy ''=∂∂∂=∂∂∂∂yy x f y y x f x x y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0 (把x 看作常数) 定义法表出 ),()(2y x f x y z y z x yx ''=∂∂∂=∂∂∂∂xy x f y x x f y y x ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把y 看作常数) 定义法表出 ),()(22y x f yz y z y yy ''=∂∂=∂∂∂∂y y x f y y x f y y y ∆'-∆+'=→∆),(),(lim 0(把x 看作常数) 定义法表出 则称它们是二元函数),(y x f z =的二阶偏导数，其中第二、三个二阶偏导数称为混合偏导数。
高阶偏导数
∂z . 的二阶偏导数及 2 ∂y∂x ∂z = 2ex+2y ∂y ∂2 z x+2y = 2e ∂x∂y
3
例12.1.11
f (x, y) =
x2 − y2 xy 2 , x2 + y2 ≠ 0 x + y2 0, x2 + y2 = 0
f x (x, y) =
x4 + 4x2 y2 − y4 y , x2 + y2 ≠ 0 (x2 + y2 )2
证: 记 ϕ ( x ) = f ( x , y0 + ∆y ) − f ( x , y0 ),
ψ ( y ) = f ( x0 + ∆x , y ) − f ( x0 , y ),
f ( x 0 + ∆ x , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 + ∆x , y 0 ) + f ( x 0 , y 0 ) I= . ∆ x∆ y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
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练习题： 练习题： 设
确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且 解: 求
方程
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练习题
一 、填空题: 填空题: 1 、设 z = ln tan
x ∂z ∂z ,则 = ________; = _________. ∂x y ∂y ∂z ∂z 2 、设 z = e xy ( x + y ), 则 = _______; = ________. ∂x ∂y y ∂u ∂u 3 、设 u = x z , 则 = __________; = __________; ∂x ∂y ∂u = ____________. ∂z ∂2z y ∂2z 4 、设 z = arctan , 则 2 = ________; 2 = _______; x ∂x ∂y ∂2z = ____________. ∂x∂y
高阶导数与高阶偏导数
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三阶导数的导数称为四阶导数,
f(4)(x), y(4),
d4y .
dx4
一 般 地 ,函 数 f(x)的 n1阶 导 数 的 导 数 称 为
函 数 f(x)的 n 阶 导 数 ,记 作
f(n)(x), y(n), d dx ny n或 dn dfx(nx).
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
fy(x,y)x2x 3y2(x2 2x 3y y2 2)2,
湘潭大学数学与计算科学学院
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当 (x,y)(0,0)时 ,按定义可知：
fx(0 ,0 ) lx i0m f( x ,0 )x f(0 ,0 )lxi m00x 0,
fy(0,0) ly i0m f(0, y ) yf(0,0)
d2 y dxn
f (n) x.
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注 (1) d x n (d x )n ， d x n d (x n ) ， (dx)n表 示 微 分 的 幂 ， 简记为dxn；
d(xn)指 幂 的 微 分 ， 即 d(xn)n xn 1dx ； 而 d n x 是 x 的 n 阶 微 分 .
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观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数 图
图合 形偏
形
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例 3 设u eax cosby，求二阶偏导数.
偏导数与高阶偏导数.ppt
解
z 2x 3y ; x
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )存在，则称
x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处对 y
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
第八章多元函数微分学课件
四.多元函数的连续性
习题
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第一节 多元函数的基本概念
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0(x0, y0) 距离小于δ的点 P(x, y) 的全体 称为P0 的邻域，记为U (P0, )，即
U (P0, ) {P PP0 }
也就是
U (P0, ) {(x, y) (x x0 )2 ( y y0 )2 }
也称为因变量,数集
{z z f (x, y),(x, y)D}
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 u f (x1, x2, , xn ) .当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
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三、多元函数的极限
M 0Tx 对y轴的斜率.
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x
z y
2z yx
fyx (x,
y), y
z y
2z y2
fyy (x,
y)
其中第二、第三两个偏导数称为混合偏导数.同 样可得三阶、四阶、···以及n阶偏导数.二阶及 二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例题
定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏
,
x
x x0 y y0
,
zx
xx0 或fx (x0, y0 )
y y0
如果函数 z f (x, y) 在区域D内每一点(x,y)
处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是
x、y函数,它就称为函数 z f (x, y) 对自变量x
的偏导函数，记作
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高阶导数与高阶偏导数
03
高阶偏导数
高阶偏导数的定义
总结词
高阶偏导数是函数在某一点的各阶偏导数。
详细描述
高阶偏导数是指函数在某一点的各阶偏导数。对于一个多元函数，在某一点处的偏导数表示该函数在该点的切线 斜率。高阶偏导数则表示该切线的弯曲程度，即函数在该点的各阶偏导数。
二阶及以上的导数和偏导数可以描述 函数图像的凹凸性和拐点等几何特性。
偏导数表示函数图像上某一点处沿某 一方向的变化率。
02
高阶导数
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数在某一点的导数的导数，即函数在这一点连续可导的情况下，求导数的过程可以反复 进行，得到的极限值称为高阶导数。
表示方法
对于一元函数，高阶导数表示为f^(n)(x)，其中n表示求导的次数；对于多元函数，高阶偏导数表示为 ∂^n/∂x_1∂x_2...∂x_n。
高阶导数与高阶偏导数
目录
• 导数与偏导数的定义 • 高阶导数 • 高阶偏导数 • 导数与偏导数的应用 • 高阶导数与高阶偏导数的应用
01
导数与偏导数的定义
导数的定义
函数在某一点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。
导数是函数值随自变量变化的速 率，即函数在某一点的切线斜率。
导数公式：$f'(x) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$
高阶导数可以用于分析函数的局部形态和性质，如拐源自、 极值点、凹凸性等。详细描述
通过求取函数的高阶导数，可以判断函数的单调性、凹凸 性以及拐点，从而更深入地了解函数的形态和性质。
总结词