高等数学第四节 高阶导数
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2 x y ( 0 ) 0 0; 22x ( 1 x)
2 2 ( 3 x 1 ) 2 . ( y 0 ) 0 23 x ( 1 x )
x 例4 求指数函数 y e 的 n 阶导数。
解：
x x x ( 4 ) x y' e , y" e , y''' e , y e ,
( n 1 )
即
( n 1 )! [ln( 1 x )] ( 1 ) . n ( 1 x )
( n )
返回
例7
( n ) 设 y x ( R ), 求 y .
1 x 解 y
1 2 y ( x ) ( 1 ) x
2 3 y ( ( 1 ) x ) ( 1 )( 2 ) x
( n ) n y ()
( n ) n( n ) ( n 1 ) 若 为自然数 n ,则 0 n ! , y ( x) y ( n ! ) .
d y d f ( x ) f ( x ), y, n 或n . dx dx
( n ) ( n )
n
n
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 返回
二、 高阶导数求法举例
例1
解
y ax b . 求 y" .
y' a , y" 0 .
sin t , 求 s" 。 例2 s
解
s' cos t , s" sin t .
• • • 一般地，函数 y f（ x ）的导数 y' f' (x)仍然
32.医用高等数学目录
第一章函数与极限
第一节函数
第二节极限
第三节函数的连续性
习题一
第二章导数与微分
第一节导数的概念
第二节函数的求导法则
第三节隐函数的导数
第四节高阶导数
第五节微分
习题二
第三章导数的应用
第一节微分中值定理
第二节洛必达法则
第三节函数的单调性与曲线的凹凸性第四节函数的极值与最值
第五节函数图形的描绘
习题三
第四章不定积分
第一节不定积分的概念与性质
第二节换元积分法
第三节分部积分法
第四节有理函数积分法
习题四
第五章定积分
第一节定积分的概念和性质
第二节微积分基本公式
第三节定积分的换元与分部积分法第四节定积分的应用
第五节广义积分
习题五
第六章常微分方程基础
第一节微分方程的基本概念
第二节一阶微分方程
第三节可降阶的微分方程
第四节二阶常系数齐次线性微分方程第五节微分方程在医学上的应用
习题六
第七章多元函数微积分
第一节极限与连续
第二节偏导数与全微分
第三节多元复合函数与隐函数的偏导数第四节多元函数的极值
第五节二重积分
习题七
第八章概率论基础
第一节随机事件与概率
第二节概率基本公式
第三节随机变量及其概率分布
第四节随机变量的数字特征
习题八
第九章线性代数初步
第一节行列式
第二节矩阵
第三节矩阵的初等变换
第四节矩阵的特征值与特征向量
习题九
参考答案
附录
附录1 不定积分表
附录2 泊松分布数值表。
高等数学：高阶导数的概念
高阶导数一、 高阶导数的概念定义1 如果函数)(x f 的导数)(x f '在点x 处可导, 即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim))((0存在, 则称))((''x f 为函数)(x f 在点x 处的二阶导数, 记为2222)(,),(dxx f d dx yd y x f 或'''' 类似地，二阶导数的导数称为)(x f 的三阶导数, 三阶导数的导数称为)(x f 的四阶导数，…，一般地, )(x f 的（1-n ）阶导数的导数称为)(x f 的n 阶导数，分别记为)(x f '''，)()4(x f，…，)()(x f n ；或y '''，)4(y，…，)(n y；33dx y d ，44dx y d ，…，n n dx y d ；33)(dx x f d ，44)(dx x f d ，…，nn dx x f d )(。
注:函数)(x f 具有n 阶导数，也常说成函数)(x f n 阶可导。
若函数)(x f 在点x 处具有n 阶导数，那么函数)(x f 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，)(x f 称为零阶导数，)(x f '称为)(x f 的一阶导数。
二、求高阶导数的方法由高阶导数的定义可以知道，求高阶导数就是多次接连地求导数，故仍可应用前面求一阶导数的方法。
【例1】求下列函数的n 阶导数：（1）nx y =，（n 为正整数）； （2）xy 1=； （3）x a y =，（0>a 且1≠a ）； （4）x y sin =。
解：（1）1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n xn n n y ，…，一般地，可得k n k x k n n n n y -+---=)1()2)(1()( （n k <<0）即 ⎪⎩⎪⎨⎧>=<<+---=-n k n k n n k x k n n n n x k n k n 0!0,)1()2)(1()()( （2）21)1()(---='='xx y ， 323!2)1()2)(1(---=--=''x xy ，434!3)1()3)(2)(1(---=---='''x x y ，545)4(!4)1()4)(3)(2)(1(---=----=x x y ，…，一般地，可得1)1()1()(!)1(!)1())](1([)3)(2)(1(++-+--=-=------=n nn n n n x n x n x n n y 即 1)(!)1()1(+-=n nn xn x（3）a a y xln ='，a a y x2ln =''，a a y x3ln ='''，a a yx 4)4(ln =…，一般地，可得a a yn x n ln )(=， 即 a a a n x n x ln )()(=当e a =时，有xn x e e =)()(（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+==2sin cos d d πx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22sin 2cos d d 22ππx x x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=23sin 22cos d d 33ππx x x y ，⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=24sin 23cos d d 44ππx x x y ，…， 一般地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin d d πn x x y n n ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin )(sin )(πn x x n类似地，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos )(cos )(πn x x n上例各题我们得到了几个常见函数的高阶导数公式，此外高阶导数也有运算法则，这里我们来看几个常用的法则。
常用高阶导数公式
常用高阶导数公式1. 常数函数的高阶导数：任何常数函数的高阶导数都是0。
例如，f(x) = c（c为常数），则 f'(x) = f''(x) = f'''(x) = = 0。
2. 幂函数的高阶导数：对于幂函数 f(x) = x^n，其n阶导数为f^n(x) = n! / (n k)! x^(n k)，其中k为导数的阶数，n!表示n的阶乘。
3. 指数函数的高阶导数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中a为常数，其n阶导数为 f^n(x) = a^x ln(a)^n。
4. 对数函数的高阶导数：对于对数函数 f(x) = ln(x)，其n阶导数为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / x^n。
5. 三角函数的高阶导数：对于三角函数 f(x) = sin(x) 或 f(x) = cos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n/2) sin(x +nπ/2) 或f^n(x) = (1)^(n/2) cos(x + nπ/2)。
这些常用的高阶导数公式可以帮助我们在求解函数的高阶导数时更加简便和快速。
在实际应用中，这些公式经常被用于求解物理、工程、经济等领域中的问题。
掌握这些高阶导数公式对于深入理解和应用微积分知识至关重要。
常用高阶导数公式6. 反三角函数的高阶导数：对于反三角函数 f(x) = arcsin(x)或 f(x) = arccos(x)，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / (1 x^2)^(n/2)。
7. 指数函数的复合函数的高阶导数：对于指数函数的复合函数f(x) = a^(g(x))，其中a为常数，g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为 f^n(x) = a^(g(x)) (ln(a))^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
8. 对数函数的复合函数的高阶导数：对于对数函数的复合函数f(x) = ln(g(x))，其中g(x)为可导函数，其n阶导数可以表示为f^n(x) = (1)^(n1) (n1)! / g(x)^n g'(x) g''(x) g^n(x)。
新高阶导数2-4讲解材料
1.直接法;
2.间接法.
思考题
设 g(x) 连续，且 f(x)(xa)2g(x)， 求 f(a) .
思考题解答
g(x)可导 f ( x ) 2 ( x a ) g ( x ) ( x a ) 2 g ( x ) g(x)不一定存在 故用定义求 f(a) f(a)lim f(x)f(a) f(a)0
3 3
, ,
x0 x0
f(0)xl im 02x3x00 f(0)xl i0m4x3x0 0
f (x) 162xx22,,
x0 x0
又
f(0)lim x 0
6
x x
2
0
f(0)lim x 0
12 x x
2
0
f
(x)
24x, 12x ,
x0 x0
但是 f (0)12 , f (0)24 ,f(0) 不存在 .
三. 高阶导数的运算法则
设函 u和 v具 数n阶 有导 ,则数
(1 )(u v )(n ) u (n ) v (n )
(2)(C)u (n) C(n u )
(3)(uv)(n) u(n)vn(u n1)vn(n1)u(n2)v 2!
n(n1) (nk1)u(nk)v(k) u(vn) k!
n
1 x 2 2 2 y x y 1 y 2 ( y ) 2 2 4 y 3 y 0
则y12x22xy 41y32y2(y)2, 代y得 入 y'.
代x 入 0 ,y 1 ,y
x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
五、由参数方程确定的函数的二阶导数
若函数 xy ((tt))二阶可 , 且 导(t)0, 求
高阶导数PPT
y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即 二阶导数，记作 函数 二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖 南 对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速 所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择 第二个模型. 第二个模型
湖 南 对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
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高教社2024高等数学第五版教学课件-2.4 高阶导数
=1−
1
2 2,
2
继续求导，可得
′ = −22 ∙ 2
= −4,
又( )()
= ( +
⋅ )，则
2
=
−4−1 sin[4
+
2
n − 1 ].
例5 计算y = 的阶导数
解 在求该函数的阶导数时，先求该函数的一阶导数
且(1 + )′ = 1，从而有：
[( 1 + )]() = (−1)−1 ⋅
(−1)!
.
(1+)
例6 已知 + + = 0，求 ″ .
解
方程两端对 求导，得 1 + ′ + ⋅ ′ = 0，
解得 ′ = −
1
.
1+
两端再对 求导，得
((− ))
1
=
=
(
2
−2 2 2
(1− )
1
−
(
(1− )2
≠ 2, ∈ ).
几个常见函数的 阶导数的通式：
① ( )() = ( ) ，特殊地( )() = ；
② ( )
()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
，特殊地( )()
= (−1)
−1
⋅
(−1)!
.
由于 = ( 1 + )是由 = ， = 1 + 复合而成的复合函数，
（为参数），求 ″ .
= (1 − )
= ()
′ ()
高阶导数的概念及常见高阶导数公式
〔3〕加速度)(t a 就是位置函数)(t s 对时间t 的导数的导数，称为)(t s 对t 的二阶导数，记为)(''t s 或22dtsd2．高阶导数的定义设y=f(x)在某区间上可导，即有 ()x f ' 存在，如果()x f '也可导，则称()x f ' 的导数为函数 f(x) 的二阶导数。
记 y '', 或)(x f '', 22dx y d , dx x f d )(2根据导数的定义可知：''0()()()lim x f x x f x f x x→+-''=类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n )或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , n n dxyd . 函数f (x )具有n 阶导数, 也常说成函数f (x )为n 阶可导. 注：〔1〕如果函数f(x)在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数.（2）二阶及二阶以上的导数y '' y '''y (4) ⋅⋅ y (n )统称高阶导数.例1 已知3y x = 求()n y 〔一级〕解: ()()423;6;6;0;,0.ny x y x y y y ''''''=====课堂练习：已知y =e x 求它的n 阶导数. 例2 已知sin y x =求它的n 阶导数. 〔一级〕 解:)2sin(cos π+=='x x y ,)22sin()22sin()2cos(ππππ⋅+=++=+=''x x x y ,( 2 2nn nαππ-+⎫+⋅⎪⎭⎫+⋅⎪⎭),2,,20()03,4,20k =得221833172020202020C v u C v u C v ++++1922182202222x x x e C e ⋅⋅+⋅⋅的隐函数。
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解
z 2x1
x
x2y2x,
z y
2y x2 y2
. x
2z x 2
2(xx222yx22xy)221,
2z x 2
2(xx222yx22xy)221,
2z xy
2(2x1)y (x2 y2 x)2,
2z y2
2x2 (x2
2y2 2x y2 x)2
.
例13 设 uex2y2z2,求 x 3u 3, x3 2u y,x 3 y u z.
y ( n ) ( 1 ) 2 ) ( ( ( n 1 ) 1 ) x ) n (
( 1 )n 1 (n 1 )(1 ! x ) n .
例5 设 ysix n .求 y(n).
解 ycoxssin (x).
2
yco sx )(si2 n (x ).
2
2
y co 2 s x () si3 n ( x ).
求导法 . 只则 需注意是对哪量一求个偏变导 . 数
例6 求函 z数 xsin y在(点 1,)处的两个 . 偏导
4
解
z siny, x
则 xz(1,)sin y(1,4)
2, 2
4
z xcosy, y
则 yz(1,)xcoys(1,4)
2. 2
4
例7 求函 z数 xy的z,z. xy
解 z yxy1, x
2y x2 y2 z2
y, r
r z
1 2
2z x2 y2 z2
z. r
三、高阶偏导数
若二元z函 f数 (x,y)在域 D内偏导数, 存在 则z,z域D内仍x是 ,y的函,数
x y 对这两个函数数再 (如求 果偏 存导 在 ), 的话 则称它f们 (x,y是 )的二阶偏 ,共导有数四 : 个 (xz)xx22 zfxx(x,y). (xz)yx2zyfxy(x,y). (yz)xy2zxfyx(x,y). (yz)yy22zfyy(x,y).
二阶及二阶以 数上 称的 为偏 高导 阶 . 偏导
例11 求zx43x2y2y5x3xy3,求 所 有 的 二 偏 导. 数
解 z 4 x 3 6 x2y 3 x 2y5y3 , x
z6x2y5x3y43x2y, y
x22 z1x 226y26x5y.
2z 1x 2y1x 52y43y2. xy
2z 1x 2y1x 52y43y2. yx
y22z6x220x3y36xy.
定理 若二元函f(数 x, y)在域D上二阶混合偏导数
2z , 2z 连续, 则在 D上 域 ,有2z 2z.
xy yx
xy yx
例12 设 zln x2(y2x)求 , x 22 z, x 2 zy, y 22 z.
解
y
1 1 x2
,
y
2x (1 x2)2
,
y 2((13x2x2)13).
将x0代入以上,得 各y 式 ( 0 ) 0 ,y ( 0 ) 2 .
例3 设 yex.求 y(n). 解 显然 y(n)有 ex.
例4 设 yln 1(x)求 .y(n ). 解 y 1 (1x)1,
1x y(1)1 (x)2, y ( 1 ) ( 2 )1 ( x ) 3 ,
文档名
第三章 微分学
§4 高阶导数
一、高阶导数 二、多元函数的偏导数 三、高阶偏导数 四、拓展与思考 五、小结
一、高阶导数 对函f(数 x)的导函数再求(如 一果 f次 (x)导数
可导 )就得到f函 (x)的 数二阶.导数
定义一 设导f函 (x)在 数x点 0处的一个邻.域
如l果 im f(x 0 x)f(x 0)存 , 在
x 0
x
则称此y 极 f(x)在 限 x0 处 点 为的 函二 ,数阶 记f作 (x0),y(x0)或 , d dx22yx0.
类似地 ,四 , 可 ,n 阶 阶 定 ,分 导 义 别 数 三 记
类似地 ,四 , 可 ,n 阶 阶 定 ,分 导 义 别 数 三 记
y,y(4), ,y(n)
或分d d 别 x 33 y,d dx 4 记 4 y, ,为 d dx nn y.
对V 于 R T,则 VR . 对T 于 1P,则 VT1V .
P T P
R PR
PVT1. VT P 进一步说 z,明 z看 了 z成 与 不 x或 z能 与 y之 把 .商 xy
例10 求r x2y2z2的各个偏. 导数
解
r 1 x 2
2x x2 y2 z2
x, r
r 1 y 2
z lif m ( x 1 x 1 ,x 2 , ,x n ) f( x 1 ,x 2 , ,x n )
x 1 x 1 0
x 1
(如果上述极限存在). 其余可以类推.
注意 不能把偏导 z数 ,z理 的解 记 z与 为 号 x xy
或z与y之商 . 它仅仅是一种不可的分记开号 .
根据偏导数 ,求的偏定导义数用不的着
z xy lnx. y
例8 求函 zx 数 2yyx 2x3y3的两个. 偏导
解 zy22xy3x2, z2xyx23y2.
x
y
例9 设 P 关 R V ( R 为 T 系 ) 试 ,常 P 式 V 证 T 量 1 . V T P
解 对 P 于 R V T ,则 V PRV T 1 2.
2
2
y(n)sinn(x).
2
二、多元函数的偏导数
定义二 设函 z数 f(x,y)在P 点 (x0,y0)的一个邻 有定 . 如 义果
lim f(x 0 x,y0)f(x 0,y0)存 , 在
x 0
x
则称此极 yf限 (x,y)为 在P 函 点 (x0,y数 0)处 对 x的偏,记 导作 数
二 阶 及 二 阶为 以高 上阶 导 ,而 导 数y把 称 数 称 为一阶 . 导数
例１设 y x 3 2 x 1 .求 y ,y ,y ,y ( 4 ) .
解 y6x22, y12 x, y12, y(4) 0.
例2 设 y arx .求 cy ( t 0 )a y ,( 0 n ).
zx(x0,y0)或xz(x0,y0).
同,样 可以0 y)f(x0,y0).
y ( x0 , y0 ) y 0
y
上述偏推 导广 数 ,四 到 的 , ,元 n 元 三 定 .函 元 义
如 n 元z 函 f(x 1 ,x 2 数 , ,x n )对 x 1 的偏 : 导