高等数学第三章导数与微分
《高等数学(上册)》 第三章
证明 设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ． 假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意 的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位 于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)
高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第3章导数与微分
习题3-11．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ∆； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ∆； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ∆=102-100=2,(2) (102)(100)C C C ∆=-=22102+1)-(100+1)=404((3) 函数的平均变化率为00()()4042022C q q C q C q q +∆-∆===∆∆. (4) 总成本在100q =处的变化率为100()(100)lim 100q C q C q →--22100100100lim lim (100)200100q q q q q →→-==+=- 2．设()f x =(4)f '.解44()(4)(4)lim4x x f x f f x →→-'==-412x →==3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-.证 根据函数导数定义及“和差化积”公式，得0cos()cos (cos )limh x h x x h →+-'=0sin2limsin()22h hhx h →=-+⋅sin x =-.4．已知()f a k '=，求下列极限：(1) 0()()lim;x f a x f a x→-- (2) 0()()lim x f a x f a x x→+--解 (1) 00()()()()limlim ();x x f a x f a f a x f a f a k x x →→----'=-=-=-- (2) 0()()lim x f a x f a x x →+--=0()()()()lim x f a x f a f a f a x x →+-+--00()()()()lim lim x x f a x f a f a x f a x x→→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0(2)lim.x f x x→ 解 00(2)(2)(0)lim=2lim 2(0)22x x f x f x f f x x →→-'== 6．求下列函数的导数： (1) 5y x =；(2) y =(3) x y e -=； (4) 2x x y e =; (5) lg y x =；(6) sin 4y π=解(1) ()545x x '=；(2) 31443()4x x -''==；(3) 1()ln x x x e e e e ----'==-；(4) (2)[(2)](2)ln(2)2(ln 21)x x x x x x e e e e e ''===+;(5) 1(lg )ln10x x '=； (6)(sin )04π'=7．问函数⎩⎨⎧=,,sin )(x x x f 00≥<x x 在0=x 处是否可导？如可导，求其导数.解 考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h -→+-0sin lim 1,h hh-→==(0)f +'=0(0)(0)lim h f h f h+→+-0lim 1h h h +→==, 所以，函数在0=x 处的可导，且(0)1f '=.8．讨论函数2,0()2,011,1x x f x x x x x ⎧-≤⎪=<<⎨⎪+≥⎩在点0=x 和1x =处的连续性与可导性.解 (1)考察0=x 处的左、右导数(0)f -'=0(0)(0)lim h f h f h-→+-0lim 1,h hh -→-==-(0)f +'=0(0)(0)limh f h f h+→+-02lim 2h hh +→==, 所以，函数在0=x 处不可导；又0lim ()lim ()0(0)x x f x f x f -+→→===,所以，函数在0=x 处连续. (2) 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--122lim 2,1x x x -→-==-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--21(1)2lim 2,1x x x +→+-==- 所以，函数在1x =处的可导，且(1)2f '=.9．求等边双曲线x y 1=在点⎪⎭⎫⎝⎛2,21处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解 由导数的几何意义，得切线斜率为31/21x x k y x =='⎛⎫'== ⎪⎝⎭1/2214x x ==-=-.所求切线方程为,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-2142x y 即.044=-+y x法线方程为,⎪⎭⎫⎝⎛-=-21412x y 即.01582=+-y x10．求曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点. 解 曲线ln y x =在点(),1e 处的切线斜率为111x x ek y x e==⎛⎫'=== ⎪⎝⎭故切线方程为11()y x e e-=-.上式中，令0x =，得0y =.所以，曲线ln y x =在点(),1e 处的切线与y 轴的交点为()0,0.习题3-21．求下列函数的导数：(1) 23sin y x x x =+-；(2) y =；(3) ln 2s t +； (4) cos ln y x x x =⋅(5) 11x y x +=-； (6) 21x e y x =+解 (1) y '=23cos x x +-;(2) 57332422()2()()353y x x x x x x ----''''=+-=+-;(3) sin )0s t t '''=+=t ; (4) cos ln (cos )cos (ln )y x x x x x x x ''''=⋅+⋅cos ln sin ln cos x x x x x x =⋅-⋅+ (5) 22(1)(1)(1)(1)2(1)(1)x x x x y x x ''+--+--'==--； (6) 22222()(1)(1)1(1)x x xe e x x e y x x ''+-+'==++ 222222(1)2(1)(1)(1)x x xe x xe x e x x +--==++ . 2．求下列函数在给定点处的导数： (1) arccos ,y x x =求12x y ='；(2) tan sec ρθθθ=+，求4;d d πθρθ=(3) ()f x =(0)f '. 解 (1) y '=arccos +(arccos )x x x x ''=arccos x12x y ='=11arccos2-3π(2)2d tan sec sec tan d ρθθθθθθ=++4d 121d 4πθρπθ==+⋅+=2π(3) 331()ln(1)22x f x x e =-+，333()22(1)x f x e '=-+ 故(0)f '333(0)22(11)4f '=-=+3．曲线32y x x =-+上哪一点的切线与直线210x y --=平行？解 231y x '=-,令2y '=，即231=2x -，得=1x 或=-1x ，代入原曲线方程都有：2y =，故所求点为：()1,2或()-1,2.4．求下列函数的导数： (1) x y sin ln =；(2) 310(1)y x =-；(3) 23(cos )y x x =+；(4) y =(5) 22sin sin y x x =⋅； (6) 2tan[ln(1)]y x =+ ；(7) 1sin 2x y = ;(8)ln x xy e=；(9)ln(y x =；(10))0(arcsin 22222>+-=a ax a x a x y 解(1) y '=()1sin sin x x '⋅cos cot sin x x x==； (2) 39323910(1)(1)30(1)y x x x x ''=--=-； (3) 2223(cos )(cos )y x x x x ''=++223(cos )(12cos (sin ))x x x x =++⋅-223(cos )(1sin 2)x x x =+-；(4) 211ln(2)ln(1)32y x x ==--+y '=221(1)3(2)21x x x '-+-+=213(2)1x x x --+; (5) 2222sin cos sin sin cos 2y x x x x x x '=⋅+⋅⋅222sin 2sin 2sin cos x x x x x =⋅+⋅；(6) 222sec [ln(1)][ln(1)]y x x ''=+⋅+=222222212sec [ln(1)](1)sec [ln(1)]11x x x x x x'+⋅+=+++ ； (7) 1sin 12ln 2(sin )xy x ''=⋅=1sin 112ln 2cos ()xx x'⋅1sin22ln 21cos xx x =-;(8)ln ()ln x x x y e x ''= ln 2ln (ln )ln x x x x x x e x ''-==ln 2ln 1ln xx x e x-；(9)y x ''=22'==+；(10)22y '=22=+5．已知)(u f(1) (csc )y f x =； (2) (tan )tan[()]y f x f x =+.解 (1) (csc )(csc )y f x x '''=⋅=(csc )csc cot f x x x '-⋅⋅ (2) 2(tan )(tan )sec [()]()y f x x f x f x ''''=⋅+⋅=22sec (tan )sec [()]()x f x f x f x ''⋅+⋅.习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x： (1) 4444x y xy -=-； (2)； sin cos()0y x x y +-=;(3) sin 0x y e e xy --=；(4) arctan y x=.解 (1)方程两边同时对自变量x 求导，得33d d 4444d d y y x y y x x x -=--, 整理得 33d ()d y y x x y x -=+,故33d d y x y x y x+=-； (2) d d cos sin sin()(1)0d d y yy x x x y x x+⋅--⋅-= 整理求得d d y x =sin()cos sin()sin x y y xx y x---+(3) d d cos ()0d d x y y y e exy y x x x--+= 求得 d d y x =cos cos x y e y xy e x xy-+(4)2222111.(22)21()xy y x yy y x x y x'-'=+++ 整理求得 2222xy y x yy x y x y ''-+=++ 故 d d y x =x yx y+-.2．求曲线3335x xy y ++=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解 方程两边同时对自变量x 求导，得2233330x y xy y y ''+++=解得 d d y x =22y x y x+-+，在点(1,1)处，(1,1)1y '=-，于是，在点(1,1)处的切线方程为 11(1)y x -=--，即20x y +-=, 法线方程为 11(1)y x -=-即y x =.3．用对数求导法求下列各函数的导数d d y x: (1) sin (0)x y x x =>； (2) a x x y x a x =++；(3) y =(4) (sin )(cos )y x x y =.解 (1)等式两边取对数ln sin ln y x x =⋅两边对x 求导得11cos ln sin ,y x x x y x'=⋅+⋅ 故 s i n d 1cos ln sin d x y x x x x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. (2) ()1ln a x x y ax a a x -''=++()1ln ln 1a x x axa a x x x -=++⋅+(3) []1ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2y x x x x =-+----- 11111121234y y x x x x ⎛⎫'=+-- ⎪----⎝⎭得11111234y x x x x ⎫'=+--⎪----⎭.(4) lnsin ln cos y x x y =lnsin cot ln cos tan y x y x y x y y ''+=-⋅ d d y x =ln cos cot tan ln sin y y x x y x-+ 4．求下列参数方程所确定的函数的导数d d yx：(1) 221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩； (2) 33cos sin x a y a θθ⎧=⎨=⎩. 解 (1) d ()d ()y y t x x t '='212t t -=- (2) 22d ()3sin cos d ()3cos (sin )y y a x x a θθθθθθ'⋅=='⋅-=tan θ- 5．求椭圆6cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=相应点处的切线方程.解 d ()d ()y y t x x t '='()()4sin 4cos 2cot 6sin 36cos t t t t t '===--'.4t π=时，切线斜率为4d 2d 3t yxπ==-，()4x π=()4y π=.故所求切线方程为2(3y x -=-- .习题3-41．求函数2x y =当x 由1改变到1.005的微分. 解 因为d d 2d ,y y x x x '== 由题设条件知 1x =，d 1.00510.005x x =∆=-= 故所求微分为 d 210.0050.0y =⨯⨯= 2．求函数sin 2y x =在0x =处的微分. 解 所求微分为00d (sin 2)d 2cos2d x x y x x x x =='===2d x 3．求下列各微分d y : (1) 3cos x y e x =； (2) 2sin 2xy x =； (3) 2ln(1)x y e-=+；(4) y = (5) 23xy e x y =+；(6) 221xy x y +=.解 (1) 33d cos d()d(cos )x x y x e e x =+=33cos 3d sin d xxx e x e x x ⋅-⋅=3(3cos sin )d x e x x x -；(2) 22244dsin 2sin 2d 2cos 2d 2sin 2d d x x x x x x x x xy x x x --== 32(cos 2sin 2)d x x x x x-=； (3) 222212d d(1)d 11x xx x xe y e xe ----=+=-++；(4) d y =2)x =+=(5)方程两边对求微分(d d )3d 2d xy e x y y x x y y +=+.整理得 (2)d (3)d xy xy xe y y ye x -=-解得 3d d 2xyxy ye y x xe y-=-；(6) 方程两边对求微分22d 2d 2d d =0y x xy y xy x x y +++.整理得 22(2)d (2)d xy x y y xy x +=-+解得 222d d 2xy y y x x xy+=-+4．计算下列各数的近似值:(1) 0.03e ；(2)解(1) 0.0310.03e ≈+=1.03；(2)==112(1)516=≈-⋅=1.975. 5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()3d x =; (2) d()2d x x =;(3) d()sin d t t ω=； (4) 2d(cos )(x =.解(1) 3x c +;(2) 2x c +;(3) 1cos t ωω-；(4) 22d(cos )2sin d x x x x =-x = 即d x =，故22d(cos )4x x =-.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) 38cos y x x x =+-； (2) 2(1)arctan y x x =+； (3) 2x y xe =；(4) x y x =.解(1) 238sin y x x '=++,6cos y x x ''=+； (2) y '=2arctan 1x x +,y ''=222arctan 1xx x ++； (3) y '=2222x x e x e +,y ''=2222244x x x xe xe x e ++=222(32)x xe x +；(4) ln ln y x x =,1ln 1y x y'=+,y '=(ln 1)x x x + y ''=21()(ln 1)(ln 1)(1ln )x x x x x x x x x x x -''+++=++2. 验证函数2312x xy C e C e -=+(其中12,C C 为任意常数)满足方程60y y y '''+-=.证：23122-3x x y C e C e -'=,231249x x y C e C e -''=+232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=. 3．设函数()y f x =二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) (sin )y f x =； (2) 2(ln )y x f x =.解 (1)求导数d (sin )(sin )cos (sin )d yf x x x f x x'''=⋅=⋅，于是22d (cos )(sin )cos (sin )(sin )d yx f x x f x x x'''''=⋅+⋅⋅ =2cos (sin )sin (sin )x f x x f x '''⋅-⋅ (2) d 2(ln )(ln )d y xf x xf x x '=+22d d yx =2(ln )2(ln )(ln )(ln )f x f x f x f x ''''+++=2(ln )3(ln )(ln )f x f x f x '''++. 4．对下列方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2y e xy e +=；(2) arctan y x=.解 (1)方程两边对x 求导0y e y y xy ''++=得 yyy e x'=-+. 因此求得222d ()(1)d ()y y y y y e x y e y x e x ''+-⋅+=-+ =2()(1)()y y y y y y y e x y e e x e x e x --+-⋅+++-+=2322()y y y xy ye y e e x +-+；(2) 方程两边对x 求导2222211()1xy yx yy y x yx x'-'+=++得 x yy x y+'=-. 因此求得222d (1)()()(1)d ()y y x y x y y x x y ''+--+-=- = 2232()()x y x y +-5．对下列参数方程所确定的函数)(x y y =求22d d yx：(1) 2323x t t y t t⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(1)t ≠； (2) ⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x . 解(1) d ()d ()y y t x x t '='2333(1)222t t t -==+-. 故 22d d y x 3(1)222t t '+=-=34(1)t -； (2) d ()d ()y y t x x t '='()()1cos sin 1cos sin a t t ta t t '-==-'-. 故 22d d yxsin ()1cos (1cos )t t a t '-=- 2cos (1cos )sin sin (1cos )(1cos )t t t tt a t --⋅-=-21(1cos )a t --).,2(Z n n t ∈≠π 6．求下列函数的n 阶导数：(1) 2sin y x =； (2) ln(1)y x =+； (3) 112-=x y ； (4) (1)(2)()y x x x x n =+++ .解(1) 2()()1cos 2(sin )()2n n x x -=1cos 211()2(sin 2)2cos 2,2222x x x π-⎛⎫'=-⋅-=-⋅+ ⎪⎝⎭221cos 211()2sin 22cos 2,222222x x x πππ+⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⋅-+=-⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2()()1cos 2(sin )()2n n x x +==12cos(2)2n n x π--+；(2) []1ln(1)1x x '+=+[]21ln(1)(1)x x ''+=-+ ,[](3)32ln(1)(1)x x +=+ []()1(1)!ln(1)(1)(1)n n nn x x --+=-+； (3) 21111()1211y x x x ==---+, 故()11(1)!112(1)(1)n n n n n y x x ++⎡⎤-=-⎢⎥-+⎣⎦; (4) 1(1)(2)()(12)n n y x x x x n xn x +=+++=+++++()(1)(1)!!()(1)!22n n n ny n x n x n +=++=++ 复习题3（A ）1．已知0()f x k '=(k 为常数)，则(1) 000(2)()limx f x x f x x∆→+∆-=∆;(2) 001lim [()()] n n f x f x n→∞+-=(3) 000()(2)lim h f x h f x h h→+--=.1.解 (1)2k ; (2) k ; (3) 3k .(1) 000000(2)()(2)()lim 2lim 2x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆=2k ;(2) 00001()()1lim [()()]lim 1n n f x f x n n f x f x nn→∞→∞+-+-==k ;(3) 000()(2)lim h f x h f x h h →+--=00000()()()(2)lim h f x h f x f x f x h h →+-+--000000()()(2)()lim +2lim 2h h f x h f x f x h f x h h→→+---=-=3k . 2．函数)(x f y =在点0x 处的左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在，是()f x 在0x 可导的( )A . 充分必要条件；B . 充分但非必要条件；C . 必要但非充分条件；D . 既非充分又非必要条件. 2 ．答C . ()f x 在0x 可导的充分必要条件是0()f x -'和0()f x +'都必须存在且相等；反之，0()f x -'和0()f x +'都存在，不能保证()f x 在0x 可导.3．函数()sin f x x =在0=x 处 ()A . 可导；B . 连续但不可导；C . 不连续；D . 极限不存在.3．答B . 函数()sin f x x =在0=x 连续；但(0)1(0)1f f -+''=-≠=，故()s i n f x x =在0=x 不可导.4．设()f x 对定义域中的任意x 均满足(1)()f x mf x +=，且(0)f n '=则必有 ( )A . (1)f '不存在；B . (1)f m '=；C . (1)f n '=；D . (1)f mn '=.4．答D . 0(1)(1)(1)limh f h f f h→+-'=00()(0)()(0)lim lim h h mf h mf f h f m h h →→--== (0)mf mn '==5．解答下列各题：(1)设ln 2y =，求y '；(2) 设a x x a y x a x a =+++(0,1)a a >≠，求d d y x； (3)设22()x y x f e =⋅，)(u f 可导，求d y ；(4) y =d d y x ；(5) 求曲线sin()0xy x y -+=在点(0)π，的切线与法线方程;(6) 已知函数)(x y y =由方程 ⎩⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 确定，求d d y x ，22d d y x ; (7) 设(sin )cos 2csc f x x x '=+，求()f x '';(8) 设31x y x =+，求()n y (3)n ≥.5.解(1)y '=22=2cot x x ⋅(2) y '=1ln ()a x x ax a a x -'++由对数求导法，可求得()(1ln )x x x x x '=+故y '=1ln (1ln )a x x ax a a x x -+++； (3) 2222d 2d ()()d x x x y x x f e x f e e '=⋅+⋅=22222()d ()2d x x x xf e x x f e e x '+⋅⋅ =2222[()()]d x x x x f e xe f e x '+⋅；(4)取对数 1ln ln (ln ln )(ln ln )2b y x b a x a x b a ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦两边求导 1y y '=1ln 2b b a a x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故y '=1ln 2b a b ax -⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5) 两边求导cos()(1)0y xy x y y '+-++=得cos()cos()x y yy x x y +-'=-+，故(0)1+1y ππ-'=， 因此切线方程为 1()1y x ππ=--+,法线方程为(1)()y x ππ=+-; (6) d ()d ()y y t x x t '='223sin cos 3cos (sin )a t t a t t ⋅=⋅-=tan t - 22d d y x 2(tan )3cos (sin )t a t t '-=⋅-22sec 3cos (sin )t a t t -=⋅-=4sec 3sin t a t； (7) 由21(sin )cos 2csc 12sin sin f x x x x x'=+=-+知21()12f x x x '=-+故()f x ''=214x x--;(8) 3321111111x x y x x x x x -+===-+++++ ()n y =1(1)!(1)n nn x +-⋅+(3)n ≥. 6．设函数2,(),ax b f x x +⎧=⎨⎩ 11x x <≥在1x =处可导，求,a b 的值.6．解：因可导必连续，所以211lim ()lim 1x x ax b x -+→→+==,得1a b += 考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--111lim lim 11x x ax b ax a a x x --→→+--===--(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--211lim 2,1x x x +→-==- 所以，得到2,1a b ==-.7. 设函数()g x 在x a =点连续, 且()()()f x x a g x =-, 证明()f x 在x a =的可导，并求出()f a '.7.证:因()g x 在x a =点连续,故lim ()()x ag x g a →=，又()()limx a f x f a x a →-- ()()0limlim ()()x a x a x a g x g x g a x a →→--===- 故()f x 在x a =的可导，()f a '=()g a8．验证函数12y C C e =+其中12,C C 为任意常数)满足方程420xy y y '''+-=.8．证：因12y C C e '=-,12121(4y C C e C C e x''=-++故12121424(4xy y y x C C e C C e x ⎡⎤'''+-=-++⎢⎥⎣⎦(121220C C e C C e ⎤+--+=⎥⎦232323121212(49)(2-3)6()x x x x x x C e C e C e C e C e C e ---++-+0=.（B ）1. 设函数()f x 在0x =连续，下列命题错误的是( )A . 若0()lim x f x x→存在，则(0)0f =；B . 若0()lim x f x x→存在，则(0)f '存在；C . 若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则(0)0f =；D . 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在.1.答：D .A .正确，因为0()limx f x x→存在，则0l i m ()=0x f x →，又()f x 在0x =连续，所以0(0)l i m ()=0x f f x →=； B .正确，因为若0()limx f x x →存在，则0()(0)(0)lim x f x f f x →-'==0()lim x f x x →存在；C .正确，因若0(2)()lim x f x f x x→+存在，则0lim (2)()=lim (2)lim ()=2(0)0x x x f x f x f x f x f →→→++=［］,故(0)0f =；D .错，如()f x x =, 0()()lim0x f x f x x→--=，但(0)f '不存在.2. 若21()lim (1)tx x f t t x→∞=+，则()f t '= .2. 2(12)t t e +，221()lim (1)txt x f t t te x→∞=+=,所以()f t '=2()t te '=2(12)t t e +.3．设周期函数()f x 在()-∞∞,周期为3，且0(1)(1)li m 13x f f xx→--=，则曲线)(x f y =在点(4(4))f ,的切线斜率为 .3． -3，00(4)(4)(1)(1)(4)limlim x x f x f f x f f x x →→+-+-'==0(1)(1)limx f f x x →-+=-=0(1)(1)lim x f f t t →--=-0(1)(1)3lim 33x f f x x→--=-=-, 4. 已知(1)(2)(10)()(1)(2)(10)x x x f x x x x ---=+++ ，求(1)f '.4. 解：(1)f '1()(1)lim 1x f x f x →-=-1(1)(2)(10)(1)(2)(10) lim 1x x x x x x x x →---+++=- 1(2)(10)1(2)(9)lim (1)(2)(10) 2391011x x x x x x →---⋅--==+++⋅⋅⋅ =1110 - 5.设()f a '存在，求()()lim x a xf a af x x a→--.5. 解：()()()()()()lim lim x a x a xf a af x xf a af a af a af x x a x a→→--+-=--()()()lim x a f x f a f a a x a→-=--=()()f a af a '-6.设()max{f x x =，在区间(02)，内求()f x '.6.解：()max{,f x x x ==⎪⎩0112x x <≤<<,考察1x =处的左、右导数(1)f -'=1()(1)lim 1x f x f x -→--1111lim lim ,12x x x --→→===-(1)f +'=1()(1)lim 1x f x f x +→--11lim 1,1x x x +→-==- 所以，函数在1x =处不可导.故所求导数为：1()1,f x ⎧⎪'=⎨⎪⎩0112x x <<<< 7. 设函数()g x 在0x x =点连续, 且()()f x x a g x =-, 讨论()f x 在0x x =的可导性.7. 解：0000000()()()()limlimx x x x x x g x f x f x f x x x x x →→--'==-- (1)若0()0g x ≠，则0000()lim x x x x g x x x →--不存在，此时()f x 在0x x =不可导(2)若0()0g x =，则0000()()lim 0x x x x g x f x x x →-'==-，此时()f x 在0x x =可导.8. 验证下列命题：(1) 若定义在()-∞∞,内以周期为T 的周期函数()f x 可微，则()f x '也是以周期为T 的周期函数.(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇(偶)函数，则()f x '()a a -,内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因()()f x T f x +=,又0()()()lim h f x h f x f x h→+-'=,因此00()()()()()lim lim h h f x T h f x T f x h f x f x T h h→→++-++-'+===()f x '(2) 若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则有0()()()lim h f x h f x f x h →-+--'-=0()()lim h f x h f x h →--+=0()()lim h f x h f x h→--=-=()f x ', 即证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微奇函数，则()f x '()a a -,内必为偶函数. 同理可证得：若函数()f x 在()a a -,内是可微偶函数，则()f x '()a a -,内必为奇函数.9. 设函数()f x 可微，且()()()2f x y f x f y xy +=+-，(0)3f '=，求()f x . 9. 解：由()()()2f x y f x f y xy +=+-，令0x y ==,则(0)(0)(0)f f f =+，得(0)0f =()()()limy f x y f x f x y →+-'=0()()2()limy f x f y xy f x y→+--= 0()lim2y f y x y→=-(0)232f x x '=-=-因此()f x 23x x C =-+(C 为任意常数)，又(0)0f =则C =0，故()f x 23x x =- 10. 设在()-∞∞,内函数()f x 有定义, 且(0)0f =，(0)f C '=(0C ≠)，又2()s i n c o s xg x e x x =+, 对任意,x y 有关系式()()()()()f x y f x g y f y g x +=+成立，证明()()f x C g x '=⋅10. 证：0()()()lim y f x y f x f x y →+-'=0()()()()()lim y f x g y f y g x f x y→+-=00()1()()lim()limy y g y f y f x g x y y →→-=+00()(0)()(0)()lim ()limy y g y g f y f f x g x y y→→--=+ =()(0)()(0)f x g g x f ''+又 2()sin sin 2sin x x g x e x e x x '=+-，得(0)0g '= 故 ()()f x C g x '=⋅.。
人大版 微积分 第三章 导数与微分
并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
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注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
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★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
高等数学第三章导数与微分
第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
《高等数学B》第三章 导数、微分、边际与弹性 第1节 导数的概念
其中 α → 0 ( ∆ x → 0) . 则
∆ y = f ′( x 0 ) ∆ x + α ∆ x
∆x → 0
lim ∆ y = lim [ f ′( x0 )∆ x + α ∆ x ] = 0 ,
N 沿曲线C → M , x → x0 ,
切线 MT 的斜率为
由上可得: 由上可得: 1) 变速直线运动的瞬时速度
2) 曲线切线的斜率
两个问题的共性: 两个问题的共性: 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 函数增量
二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 y = f ( x)在点x0的某个邻域内有定义,
当自变量 x在 x0处取得增量∆x(点 x0 + ∆x仍在该邻域 ) 内 时, 相应地函数 y取得增量∆ y = f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ); 如果∆ y与∆x 之比当∆x → 0 时的极限存在, 则称函数 y = f ( x)在点x0处可导,并称这个极限为函数 y = f ( x) 在点x0处的导数, 记为
1 1 = ( )′ 1 = − 2 x x= 2 x
1 x= 2
= −4 .
1 所求切线方程为 y − 2 = −4( x − ) , 即 4 x + y − 4 = 0 . 2 1 1 法线方程为 y − 2 = ( x − ) , 即 2 x − 8 y + 15 = 0 . 4 2
四、函数可导性与连续性的关系 定理 凡可导函数都是连续函数 . 证 设函数 f ( x ) 在点 x0 可导 , 得
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第三章导数与微分
一、导数概念与定义
A 、导数的概念
a 、设函数y=f （x ）在点0x 处的某临域内有定义，当自变量x 在0x 处取得变量△x （△x ≠0）时，函数取得
相应增量。
即△y=f （0x +△x ）-f （0x ）
若△y 与△x 之比当△x →0时极限存在，即000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-∆存在，，则称函数在点0x 处可导，0x 为()y f x =的可导点，并称此极限为函数在点0x 处的导数。
法线的斜率为1k
，切线的斜率为k b 、若0
000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=→不存在，则称()f x 在0x 处不可导或不存在导数，0x 为()f x 的不可导点。
※特别是当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()f x 在点0x 处的导数无穷大。
导数()f x '也可记为0|x x dy dx =或0()|f x x x x
d d = c 、函数的左导数与右导数
0000()()()lim x f x f x f x x x --→-'=→ 0000
()()()lim x f x f x f x x x ++→-'=→
※分段函数的分段点处考虑左导右导，其余正常求导时直接求()f x '
B 、导数的几何意义
曲线在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-
曲线在点00(,())x f x 处的发现方程为0001()()y y x x f x --=
-' C 、函数的可导性与连续性的关系
函数()y f x =在0x 处可导，则在0x 处连续；但函数()y f x =在0x 处连续，在点0x 不一定可导。
二、求导法则
A 、 代数和的求导法则，积的导数、商的导数
① ()u v u v '''+=+ ② ()u v u v v u '''⋅=+ ③ ()cu cu ''= ④ ()au bv au bv '''±=±
⑤ ()u v w s t u vwst uv wst uvw st uvws t uvwst ''''''⋅⋅⋅⋅=++++
即n 个因子乘积的导数一定为n 项，且每项均为n 个因子的乘积，第i 项的第i 个因子求导，其余不变 ⑥ 2()u
u v v u v v
''-'= B 、 反函数的导数
设函数()x y ϕ=在某区间单调且连续，又在该区域内某点0y 处有导数0()0y ϕ'≠，则其反函数()y f x =在0y 的对应点000(())x x x ϕ=处有导，数且001()()
f x y ϕ'=' ※
①、(arcsin )x '=＜1
②、(arccos )x '= |x|＜1 ③、21(arctan )1x x '=
+ (,)x ∈-∞+∞ ④、221(tan )sec cos x x x
'== ⑤、21(cot)1arc x -'=+ (,)x ∈-∞+∞ 三、复合函数的导数
设()u x ϕ=在点0x 处可导，函数()y f u =在点00()u x ϕ=处可导，则复合函数[]()y f
x ϕ=在点0x 处导。
且000|||x x u u x x dy dy du dx du dx ==== 或记0|x x dy dx
==00()()f u x ϕ''⋅ 即为复合函数的求导法则 ※ 有的函数可以直接先化简再求导
四、隐函数的导数及对数求导法
A 、隐函数的导数
a 、隐函数：不能直接表示成y =
隐函数的分类 ①、可显化：即可表示为y =的形式 ②、不可显化：解不出y =的关系形式
b 、隐函数的求导法则
将方程中的y 看成x 的函数()y y x =，利用复合函数的链式规则，在方程两端对x 求导
※将y 看做()f x 用复合函数求导
B 、对数求导法，即幂指函数求导
一般的：()()()()ln ln ()ln ()ln ()()ln ()()()x x y f x y f x y f x y x f x x f x x y f x ϕϕϕϕϕ'''=⇒=⇒=⋅⇒=⋅+ 所以()()()()ln ()()()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'⎡
⎤''=⋅+⎢⎥⎣⎦
五、导数公式
基本初等函数的导数公式汇集。
(亲爱的们~这块好难打，大家抄一下吧，就一小丢丢。
)
六、高阶导数（二阶和二阶以上的导数）
一般的，()y f x =的导数()y f x ''=仍是x 的函数，将()y f x ''=的导数叫做()y f x =的二阶导数，
记作y ''或()f x ''或22d y dx
或22()d f x dx 一般超过三阶导数则用数字表示eg.四阶导表示为(4)y 或(4)()f x 或(4)(4)d y dx 或(4)(4)()d f x dx
七、微分
求微分说白了就是就是求导 Eg 、()dy f x dx
'=则()dy f x dx '=⋅。