高等数学第三章 导数与微分
合集下载
《高等数学(上册)》 第三章
证明 设 f (x) arcsin x arccos x ，则
f (x) 1 1 0 ， x (1，1) ， 1 x2 1 x2
所以 f (x) C ， x (1，1) ．
又因为 f (0) arcsin 0 arccos0 0 ，所以 f (x) f (0) ，结论得证．
又因为
H (x) F(x)[G(b) G(a)] G(x)[F(b) F(a)] ，
所以
H ( ) F( )[G(b) G(a)] G( )[F(b) F(a)] 0 ．
又因为 x (a ，b) 时，G(x) 0 ，则 G( ) 0 ，G(b) G(a) 0（ G(x) 在[a ，b] 上
设
F ( x)
，
G(x)
是
x
x0
时的无穷小量，即
lim
x x0
F ( x)
lim
xx0
G(x)
0
，且
F (x) ， G(x) 在 (x0 ，x) （或 (x ，x0 ) ）内可导，且 G(x) 0 ，令 F(x0 ) 0 ，
G(x0 ) 0 ，则由柯西中值定理可知
lim
x x0
F (x) G(x)
f (x2 ) f (x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2 ) ． 假设 f ( ) 0 ，所以 f (x2 ) f (x1) 0 ，而 x1 ， x2 在区间 I 上的选取是任意 的，因此 f (x) 在区间 I 上是一个常数．
3.1.2 拉格朗日中值定理
例 4 证明 arcsin x arccos x ， x (1，1) ． 2
例 2 证明 f (x) x(x 2)(x 4)(x 6) 1的导函数 f (x) 有 3 个零点分别位 于区间 (0 ，2) ， (2 ，4) ， (4 ，6)
高等数学 第三章 微分中值定理与导数的应用 第三节 泰勒公式
§3. 泰勒(Taylor)公式 一,问题的提出
1.设 f ( x ) 在 x0 处连续,则有
f ( x ) ≈ f ( x0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + α ]
仅仅是无穷小
2.设 f ( x ) 在 x0 处可导,则有
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x x 0 )
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x y= x 3!
3
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x3 x5 y= x + 3! 5!
x3 y= x 3!
x
x2 x3 思 ∵ e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 题 sin x = x + o( x 3 ) 3!
解 e x sin x x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →0 x
x2 x3 x3 3 3 1 + x + + + o( x ) x + o( x ) x (1 + x ) 2! 3! 3! lim x →0 x3 x3 x3 + o( x 3 ) 1 = lim 2! 3! 3 = . x →0 x 3
y = 1+ x
o o
不足: 1,精确度不高; 2,误差不能估计. 问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) ≈ P ( x )
1.设 f ( x ) 在 x0 处连续,则有
f ( x ) ≈ f ( x0 )
[ f ( x ) = f ( x0 ) + α ]
仅仅是无穷小
2.设 f ( x ) 在 x0 处可导,则有
f ( x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x x 0 )
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x y= x 3!
3
五,小结
1.Taylor 公式在近似计算中的应用;
y= x
y = sin x
o
x3 x5 y= x + 3! 5!
x3 y= x 3!
x
x2 x3 思 ∵ e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 题 sin x = x + o( x 3 ) 3!
解 e x sin x x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →0 x
x2 x3 x3 3 3 1 + x + + + o( x ) x + o( x ) x (1 + x ) 2! 3! 3! lim x →0 x3 x3 x3 + o( x 3 ) 1 = lim 2! 3! 3 = . x →0 x 3
y = 1+ x
o o
不足: 1,精确度不高; 2,误差不能估计. 问题: 寻找函数 P ( x ) ,使得 f ( x ) ≈ P ( x )
人大版 微积分 第三章 导数与微分
并称这个极限为函数y f ( x)在点x0处的导数 .
记为 y x x0
微积分
dy dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
x x0
,
即 y
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) y lim lim x 0 x x 0 x
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
第三章 导数与微分
• • • • • 引例 导数概念 导数的基本公式与运算法则 高阶导数 微分
微积分
导数的概念
在许多实际问题中，需要从数量上研究 变量的变化速度。如物体的运动速度，电流 强度，线密度，比热，化学反应速度及生物 繁殖率等，所有这些在数学上都可归结为函 数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微 分学中两个最重要的基本概念——导数与微 分，然后再建立求导数与微分的运算公式和 法则，从而解决有关变化率的计算问题。
微积分
注意: 1. f ( x0 ) f ( x ) x x .
0
2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近 函数.
播放
微积分
★ 单侧导数 1.左导数:
f ( x 0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) lim ; x 0 x x0 x
Δy lim lim (2 x Δx) 2 x ,即 ( x 2 ) 2 x . Δx0 Δx Δx0
Δy 2 x Δx , Δx
微积分
关于导数的说明：
★ 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出 的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量 所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画 变化率的本质
高等数学导数微分学习辅导及公式总结
高等数学（1）学习辅导（三）第三章 导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：⒈理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。
)(x f 在点0x x =处可导是指极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限0)()(limx x x f x f x x --→函数)(x f 在点0x x =处的导数)(0x f '的几何意义是曲线)(x f y =上点))(,(00x f x 处切线的斜率。
曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线方程为)())((000x f x x x f y +-'=函数)(x f y =在0x 点可导，则在0x 点连续。
反之则不然，函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 点不一定可导。
⒉了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。
⒊熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法 （1）导数的四则运算法则 （2）复合函数求导法则 （3）隐函数求导方法 （4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法， 例如函数xx y 2)1(-=，求y '。
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即21212322212)1(-+-=+-=-=xx x xx x xx y再用导数的加法法则计算其导数，于是有2321212123----='x x x y这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数321-+=x x y ，求y '。
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得)2ln(31)1ln(21ln --+=x x y 两端求导得)2(31)1(21--+='x x y y 整理后便可得)2(682123---⋅-+='x x x x x y若函数由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕψ 的形式给出，则有导数公式)()(d d t t x y ϕψ''=能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
《高等数学》教案第三章导数与微分
《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。
三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。
方法：讲解、示例演示、问题解答。
四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。
2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。
3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。
五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。
在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。
同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。
在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。
希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。
《高等数学》 第三章
1
1
2
(b
a)
，所以
arctan b arctan a
1
12
(b a)
„baBiblioteka ．第一节 微分中值定理例 3 证明 arctan x arccot x π ． 2
证明 令 f (x) arctan x arccot x ，则 f (x) 在 R 上可导，且 xR 有
x
第一节 微分中值定理
例 4 如 果 f (x) 在 [a ，b] 上 连 续 ， 在 (a ，b) 内 可 导 ， 并 且
f (a) f (b) 0 ．证明，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () f () ．
证明 令 F (x) f (x)ex ，由已知，不难验证 （1） F(x) 在闭区间[a ，b] 上连续；（2） F(x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 又因为 f (a) f (b) 0 ，所以 F(a) F(b) 0 ．因此， F(x) 在 [a ，b] 满足
f (b) f (a) f ( ) ． g(b) g(a) g( )
第二节 洛必达法则
在讲述极限运算法则的时候，经常会遇到类似下面的问题：
（1） lim x2 1 ； x1 x 1
（2） lim x ． x 1 x2
第一节 微分中值定理
二、拉格朗日（Lagrange）中值定理
定理 2 （拉格朗日中值定理）如果函数 f (x) 满足： （1） f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续； （2） f (x) 在开区间 (a ，b) 内可导． 则在 (a ，b) 内至少存在一点 ，使
f ( ) f (b) f (a) ．
高等数学第三章导数与微分
第一节 导数的概念
图3-1-2
第一节 导数的概念
四、 可导与连续的关系
定理2
如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处连续， 其逆不真。
第一节 导数的概念
例6 求函数y=f(x)=|x|在x=0处的导数。 解 很明显，该函数在x=0处是连续的。又
当Δx<0时， =-1
当Δx>0时， =1
这说明，当Δx→0时，极限 数f(x)在x=0处不可导。
不存在，即函
第一节 导数的概念
五、 求导数举例
例7 求函数f(x)=sinx的导数.。 解 f′(x) =
=
=
= =cosx•1 =cosx
第二节 函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理1
设函数u(x)，v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、 商（除分母为零的点外）都在点x具有导数，且有以下法则：
导数的概念
函数的求导法则 函数的高阶导数
隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数
偏导数 函数的微分及应用
第一节 导数的概念
一、 引例
1. 变速直线运动的瞬时速度
设做变速直线运动的质点在t时刻所经过的路程为s，即路程 s是时间t的函数 s=f（t） 。
则当时间由t0改变到t时，动点在Δt=t-t0这段时间内经过的 路程为Δs=f（t）-f（t0）。动点在Δt=t-t0这段时间内的平均速 度为
第二节 函数的求导法则
例4 求函数y=lnsinx的导数。
解
y′=(lnsinx)′
1
= sin x (sinx)′
= cos x
sin x
=cotx
第二节 函数的求导法则
高等数学-第三章微分中值定理与导数的应用
(3) y f ( x x) x (0 1).
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
增量y的精确表达式. 注 由(3)式看出, 它表达了函数增量和某点的
导数之间的直接关系. 这里 ,未定, 但是增量、
导数是个等式关系. 这是十分方便的. 拉格朗日中值公式又称 有限增量公式.
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理.
微分中值定理
f ( x)在[1,2]上连续, 在(1, 2)内可导,
f (1) 0 f (2) (2) 结论正确
方程f ( x) 0, 即3x2 8x 7 0有实根
1 x1 3 (4
1
37),
x2
(4 3
37)
其中 x2 (1,2), 符合要求.
罗尔定理肯定了 的存在性, 一般没必要知道
c0
c1 2
cn n1
0.
试证方程
证设
c0 c1 x cn xn 0在(0,1)内存在一个实根.
f
(x)
c0 x
c1 2
x2
cn n1
x n1 ,
f ( x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f (0) 0 f (1)
罗尔定理
在(0,1)内至少存在一个实根 , 使得f ( ) 0,
即 c0 c1 cn n 0 即x 为所求实根.
微分中值定理
拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日中值定理 若函数f ( x)满足 : (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2)在开区间(a, b)内可导;
g( ) f ( ) f (b) f (a) 0.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( x ) x 1
( x ) 例如，
1 ( x 2 )
（以后将证明）
1 1x 2 1 2 2 x
(
1 1 1 1 1 ( x ) x 2 x x
1 x x
3 7 3 ) ( x 4 ) x 4
4
例4. 求函数 解:
第三章 导数与微分
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学
导数
微分
描述函数变化快慢
描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第三章 导数与微分
§3.1 引入导数概念的例子
§3.2导数概念 §3.3 导数的基本公式与运算法则
或
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) lim ; h 0 h
f ( x0 ) lim
x x0
或
f ( x) f ( x0 ) ; x x0
例2. 求函数
(C 为常数) 的导数. f ( x x ) f ( x ) 解: y lim x 0 x
f (t )
t0
t
s
2. 曲线的切线斜率 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 切线 MT 的斜率
y
y f ( x) N
C M
T
o x0
x x
lim tan
f ( x) f ( x0 ) 割线 M N 的斜率 tan x x0
k lim
类似可证得
例5 求函数 f ( x ) a x (a 0, a 1) 的导数.
解
xh x a a (a x ) lim h 0 h h a 1 x a lim h 0 h
a x ln a .
即
(a ) a x ln a .
x
( e x ) e x .
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 例11 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
解 (1) 在x 0 点,
lim f ( x) lim( x 1) 1,
处的
( f ( x0 ) 0 )
若
切线与 x 轴平行,
y
称为驻点;
o
x0
x
1 1 例8 求等边双曲线 y 在点( ,2)处的切线的 x 2 斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y
1 x 2
1 ( ) x
1 x 2
1 2 x
f ( x )在x 0处不可导.
(二)、 导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线 的斜率,即 f ( x0 ) tan , ( 为倾角)
y
y f ( x)
C
M
x0
T
o
x
曲线在点 切线方程: 法线方程:
1 x 2
4.
1 所求切线方程为 y 2 4( x ), 即 4 x y 4 0. 2 1 1 法线方程为 y 2 ( x ), 即 2 x 8 y 15 0. 4 2
例9
求曲线 y x 的通过点 (0, 4) 的切线方程.
3 2 0
3 f ( x0 ) x 2
（三）单侧导数
定义2 . 设函数 有定义, 若极限 在点 的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
x0
在 处的右 (左) 导数, 记作
存在, 则称此极限值为
( x0 ) ( f f ( x0 ))
即
( x0 ) f
1 例7 讨论函数 f ( x ) x sin x , x 0, x0 0, 在x 0处的连续性与可导性 .
y
1
x
－1/π
0
1/π
1 解 sin 是有界函数 , x 1 lim f ( x) lim x sin 0 f (0) f ( x )在x 0处连续. x 0 x 0 x 1 (0 x ) sin 0 1 y 0 x sin 但在x 0处有 x x x y 当x 0时, 在 1和1之间振荡而极限不存在. x
由函数的极限,左右极限的关系, 知 定理1. 函数 是 简写为 若函数 都存在 , 则称 在点 且 可导的充分必要条件
f ( x 0 ) 存在
在开区间 在闭区间 内可导, 且 上可导.
f ( x0 )
与 f (b)
例10 讨论函数 f ( x ) x 在x 0处的可导性. 解 f (0) lim f (0 h) f (0) lim h lim h 1,
的导数.
f ( x h) f ( x ) sin( x h) sin x lim lim h 0 h 0 h h h lim 2 cos( x ) 2 h 0 h lim cos( x ) h 0 2
即
cos x
(sin x) cos x (cos x) sin x
线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
§3.2导数概念
(一)、导数的定义
定义1 . 设函数
若 在点
第三章
的某邻域内有定义 ,
f ( x ) f ( x0 ) y lim lim x x0 x x0 x 0 x
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
即 例3. 求函数 解:
f ( x) f (a) xn an lim lim x a x a x a xa
lim ( x n 1 a x n 2 a 2 x n 3 a n 1 )
x a
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
2 (1 x ) 1 2 f (1 x) f (1) f (1) lim lim 2, x0 x0 x x
f (1) f (1),
f ( x)在x 1处可导, 且 f (1) 2
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 (3) 在x 2点 , 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
在 t 0 时刻的瞬时速度
o
f (t0 )
f (t )
t0
t
s
f (t0 )
曲线 C : y f ( x) 在 M 点处的切线斜率
y
y f ( x)
N
f ( x0 )
C
M
x0
T
o
x x
若极限
y f ( x) f ( x0 ) x x x0
不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. 若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
3 2
分析: 切线斜率=? 切点? 解: 设切点为 ( x0 , x ) , 则切线的斜率为:
3 x0 2 x x0 3 x0 ( x 0) 于是所求切线方程为: y 4 2 3 3 3 2 2 x0 x0 , x0 4 因为, 切线过点 ( x0 , x0 ), 所以, x0 4 2 于是所求切线方程为: 3 x y 4 0
存在, 则称函数
在点
在点
处可导, 并称此极限为
y x x0
的导数. 记作: d y d f ( x ) ; f ( x0 ) ; ; d x x x0 d x x x0
即
y x x0
y f ( x0 ) lim x 0 x
运动质点的位置函数 s f (t )
x1
2 lim f ( x ) lim( x 1) 2, x 1 x 1
lim f ( x) lim(2 x) 2,
x1 x1
lim f ( x) lim f ( x), f ( x)在x 1处连续.
f (1 x) f (1) 2(1 x) 2 f (1) lim lim 2, x 0 x 0 x x
x0 x0 x0
lim f ( x) lim(2 x) 0,
x0
lim f ( x) lim f ( x),
x0 x0
f (x) 在x 0 处不连续 . 进而, f ( x) 在x 0 处不可导 .
(2) 在x 1点 ,
x1
x 0, x 1, 2 x, 0 x 1, 讨论函数 f ( x) 2 x 1, 1 x 2, 1 x 2 4, x2 2 在x 0, x 1及x 2处的连续性与可导性.
例6. 求函数 解:
的导数.
1 lim h 0 h
ln( x h) ln x f ( x h) f ( x ) lim lim h 0 h h 0 h
或
x 1
h
1 x
lim
1 h lim h 0 h x
h 0
h 0
lim
ln e
即
1 (ln x) x