2013年安徽省“江南十校”高三联考【理科数学试题】(含答案)
2013年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ．（8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是（ ）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知=2OAOB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x a f x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a，)B a，则()200,CA x a x =-，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OAB OA B ∆∆∽，∴1n OA OA=．∴1n a a =∴n a =．（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S为六边形；⑤当1CQ=时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP 1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ ⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a=+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa =+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>，()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则t a n t a n 60O F O P O P F h h=⋅∠=⋅︒=． 根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan1tan45︒-=︒=和tan22.50︒>， 得tan22.51︒=，因此1)OC h=．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ==∠， 故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠----=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<．对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
安徽省江南十校2013届高三下学期3月联考理科综合试题(word版)
安徽省江南十校2013届高三下学期3月联考理科综合试题（word版）本试卷分第I卷（选择題）和第II卷（非选择题）两部分，第1卷第1页至第5页，第 II卷第6页至第12页_全卷满分300分，考试时间150分钟考生注童事项：1. 答题前，务必在试题卷、答超卡规定位置填写自己的姓名、座位号。
2. 答第I卷时，每小題选出答案后，用2B铅笔把答案卷上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案标号。
3. 答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
第II卷(选择题共120分）本卷共20小题，毎小題6分，共120分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量)：H—1 C-12 N-14 0—16 Na—23 Mg—241. 绿色植物在进行光合作用时以H2O作为供氢体，而光合细菌则以H2S作为供氢体进行光合作用.以下有关光合细菌的说法合理的是A. 没有成形的细胞核，拟核中分布着多条线性DNAB. 以H2S作为供氧体进行光合作用，无法产生氧气C. 利用H2S作为原料，其光合作用的产物不可能是糖类D 生存需要光厢条件，体内的叶绿体是光合作用的场所2. 男性红绿色盲患者中一个处于有丝分裂中期的细胞和女性红绿色盲基因携带者中一个处于减数第二次分裂后期的细胞进行比较，在不考虑变异的情况下，下列说法正确的是A. 红绿色盲基因数目比值为1:1B.性染色体数目比值为1 : 1C. 常染色体数目比值为2:1D.染色单体数目比值为2 ： 13. 以下甲、乙两图表示某真核细胞中的遗传信息传递的某些过程，下列叙述正确的是A. 甲、乙两图所示过程进行的场所均为细咆核B. 从化学结构上看，甲图中的3和4相同C 乙图中②③④⑤最终形成的物质结构不会相同D.乙图中的⑥链与甲图中的b链基本组成单位相同4. 右图为膝跳反射反射弧的结构示意图，以下相关叙述中错误的是A. 传出神经末梢及其所支配的伸肌和屈肌均属于效应器B. 膝跳反射的神经中枢位于大脑皮层C. 膝跳反射完成过程中存在兴奋的传导和传递D. 在A处施加剌激引起屈肌收缩不属于反射5. 正常人体内的胰岛素、呼吸酶和抗体，这三类物质都是A 在B细胞中合成 B.通过胞吐的方式释放C. 与特定的分子结合后发挥作用D.在细胞间进行信息交流6. SOD是一种抗氧化酶，它能催化02－形成H2O2,增强植物的抗逆性。
2013年安徽省江南十校高三联考理科数学2013.3
2013年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）A ． （2）D ． （3）C ． （4）B. （5）D ． （6）A ． （7）C ． （8）A ． （9）B. （10）D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）相交． （12）π4． （13）π34． （14）2500． （15）①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x)32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-， 解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分故0θ的最小值为125π …………………………………………………………………12分 方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ ………………………………8分取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分由题可得0θ的最小值为125π …………………………………………………………12分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C nn ………3分则21)1()6(12≥--n n n …………………………………………………………………4分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16 …………… 6分 （Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2 …………………………………………7分 则,2250(226===CC P ）ξ,116)1(21616===CC C P ξ225)2(226===CC P ξ ∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分（18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE 由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=CD AD⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量， 设二面角E CD A --为θ，则321442cos =++=，即32cos =θ …12分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H 点，连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ， 由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE=∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分（19）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分故x xx x f ln 32)(--=，2)2)(1()(xx x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分z yxA B CDEF GPHGFEDCA分于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解（Ⅱ）)0(2332)(222>+-=-+='x xx ax xxa x f ………5分由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆02030892121a x x a x x a （也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a ） ………………………………7分解得890<<a ………8分解（Ⅲ）由（Ⅰ）x xx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上， （1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时．由于切线过点)4,1(-P ，则2631402000--=-+x x x y所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x （舍去）……12分（2）当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时．则切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分） （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：由题可知11212-++=n n n a a则nn n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分12211=-∴-+n n n na a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分n a n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分（Ⅱ）由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++nn b b b ………………7分证明：（1）当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边；（2）当2≥n 时，由题可知n n n b b b +=+21和0>n b ，则n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ ……………………………………………………………10分 则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分 1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-nnn n b b b综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立 ………………………………………………13分 （21）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=mm c 双，故双曲线的焦点为)0,3()0,3(21F F 、-（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线l ：a x ty -=，代入x y 22=并整理得0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+a y y ty y 222121 ……………………………………3分2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a aat a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分由（1）得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+yx…………………………6分（Ⅱ）判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分将直线AD 的方程0000)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分由题可知此方程必有一根为0x -．于是解得020220046x yx y x x B ++=，所以202002030002020200042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++=………………………11分所以002000202202000202002030664642y x yx y x y x yx y y x y x y k PB -=-=+-+-=………………………………12分故10000-=⨯-=x y y x k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线．设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分将直线B P '的方程0000)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分由题可知此方程的一根为0x ，解得2202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='，所以202002030020202003000042)474(yx y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分则00202000203000220202000220020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-=' …………12分又000000421x y x x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线．∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分 解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得412212021-=--x x y y ，故412021202101010101-=--=--⋅++=⋅xx y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分又000000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分所以1)(0000-=-=y x x y k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分。
安徽省江南十校2013届高三摸底联考数学(文)试题(word版)
江南十校2013届新高三模底联考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设复数z 满足(1)1,||i z i z -=+则=A ．0B ．1CD ．22．已知2{|2,},{|log 1},M x x x N N x x MN =>-∈=<则=A ．{|21}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{0，1}D ．{1} 3．已知命题2:*,1,p x N x p ∀∈≥⌝则是A ．2*,1x N x ∀∈<B ．2*,1x N x ∀∉≥C ．200*,1x N x ∃∉≥D ．200*,1x N x ∃∉<4．22"2""00"a b a b ab+≤-><是且的A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数()lg(||1)f x x =-的大致图象是6．设{}n a 是等差数列，246a a +=，则这个数列的前5项和等于A ．12B ．13C ．15D ．18 7．下列命题正确的是A ．在（,2ππ）内，存在x ，使5sin cos 4x x +=B ．函数2sin()5y x π=+的图像的一条对称轴是45x π=C ．函数211tan y x =+的周期为2π D ．函数2sin y x =的图像可以由函数2sin(2)4y x π=-的图像向左平移8π个单位得到 8．如下程序框图输出的结果是2021，则判断框内应填入的条件是A ．20?n ≤B ．20?n <C ．20?n >D ．20?n ≥9．已知,x y 满足约束条件02,02,32,x y z ax y y x ≤≤⎧⎪≤≤=-⎨⎪-≥⎩如果的最大值的最优解为4(2,)3，则a 的取值范围是A ．1[,1]3 B ．1(,1)3 C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3+∞10．下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD 的是A ．四面体ABCD 三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm ，2cm,3cmB ．四面体ABCD 有五条棱长都是1cmC ．四面体ABCD 内切球的半径是1cmD ．四面体ABCD 外接球的半径是1cm第Ⅱ卷(非选择题,共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
安徽江南十校13届联考 理科数学 试题 含答案
2013年安徽省“江南十校”髙三联考数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题50分）和第II 卷（非选择题100分）两部分.全卷满分150 分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答通前，务必在试趙卷、答題卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.选择超每小趙选出答案后，用2B 铅笔把答題卡对应趙目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。
3.非选择超必须用O.5毫米的黑色墨水签字笔在等琴卞士作答，要求字体工整、笔迹清 晰。
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答“答案无效.必须在題号所指示的答 通区域作答，超出答规区城书写的答案无效，在试M 卷、草稿纸上答趙无效。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么P(A +B) = P(A)+P(B); 如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB) = P(A)P(B);第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大題共10小題，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1) 若a+ bi=i215+ (i 是虚数单位，a ，b ∈R),则ab= (A) -2 (B) -i (C) i (D) 2(2) 一次数学测验后，从甲、乙两班各抽取9名同学的成绩进行统计分析，绘成茎叶图如右图.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值为(A) 8(B) 5(C) 4(D) 2(3)已知正项等差数列{a n }满足：)2(211≥=+-+n a a a n n n 等比数列{b n }满足：)2(211≥=-+n b b b n n n ， 则log 2(a 2+b 2)=(A) -1或 2(B) 0或 2(C) 2 (D) 1(4) 己知正四棱柱ABCd-A 1B 1C 1D 1底面是边长为1的正方形，若平开始 面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A 1的距离为1,则异面直线AA 1, BC 1所成的角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)125π (5) 右图是寻找“徽数”的程序框图.其中“S mod l0表示自然 数S 被10除所得的余数，“S \ 10”表示自然数S 被10除所 得的商.则根据上述程序框图，输出的“徽数S ”为(A) 18(B) 16(C) 14(D) 12(6) 定义在R 上的函数f(x)、g(x)满足：对任意的实数X 都有f (x )=f (|x |)， g(-x)-g(x)=0.当:C>0时，0)(>'x f ，0)(>'xg 则当x<0时，有(A) 0)(,0)(<'<'x g x f(B) 0)(,0)(<'>'x g x f(C) 0)(,0)(>'>'x g x f (D) 0)(,0)(>'<'x g x f(7) 已知直线/过抛物线y 2=4x 的焦点F,交抛物线于A 、B 两点，且点A 、B 到y 轴的距离分别为m,n 则m+ n+ 2的最小值为(A)24 (B) 26 (C) 4 (D) 6(8) 若9922109)1(...)1()1()2(+++++++=++x a x a x a a m x ，且(a 1+a 3+...+a 9)2-(a 0+a 2+...+a 8=39,则实数m 的值为(A) 1或-3(B) -1或3(C) 1 (D) -3(9) 如图，ΔABC 中，A ∠ = 600, A ∠的平分线交BC 于D,若AB= 4,且)则AD 的长为(A) 22 (B) 23 (C) 24 (D) 25(10) 已知函数，，，若,且当时，恒成立，则的最大值为(A) 2(B) 3(C) 4 (D) 52013年安徽省“江南十校”高三联考 数学（理科）第II 卷（非选择題 共100分）二、填空题(11) 在极坐标系中，直线01sin cos =+-θρθρ与圆θρsin 2=的位置关系是______(12) 设动点P(x,y)在区域Ω:⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥40y x xy x 上（含边界)，过点P 任作直线l,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段Ab ，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为______.(13)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为_______.(14) 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数， 那么就称它们为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称作这个排列的逆序数.如排列 1,3,5,4,2中，3，2 ; 5,4 ; 5,2 ; 4,2为逆序，逆序数是4.现有从1〜101 这101个自然数的排列:1，3，5，7，…,99 ,101 ,100 ,98，…,6,4,2 ,则此排 列的逆序数是______. (15) 已知Δ的内角A 、B,C 成等差数列，且A,B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 则下列命题中正确的有______(把所有正确的命题序号都填上).①B=3π②若a,b 、c 成等比数列，则ΔABC 为等边三角形； ③若a= 2c,则ΔABC 为锐角三角形；④若CB CA BC BA AC AB AB (2)++=，则3A = C; ⑤若tanA tanC + 3>0,则ΔABC 为钝角三角形；三、解答题：本大颶共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (16) (本小题满分12分）将函数:y= sin:C 的图像向右平移3π个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍，这样就得到函数/(X)的图像，若3cos )()(+=x x f x g(I)将函数g(x)化成. B x A ++)sin(ϕω（其中]2,2[,0,ππϕω-∈>A ）的形式； (II)若函数g (x )在区间上的最大值为2,试求θ0的最小值.(17) (本小題满分12分）某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了m位校友(m>8且*N n ∈),其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合(I )若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于21，求n 的最大值； (II)当n =12时，设选出的2位校友中女校友人数为ξ，求ξ的分布列和ξE(18) (本小題满分12分）如图,直角梯形ABCD 中，090=∠=∠B A ，A D = A B = 2， B C = 3，E ，F 分别是AD,BC 上的两点，且AE =BF ＝1，G 为AB 中点,将四边形ABFE 五沿EF 折起到(如图2)所示的位置，使得EG 丄GC ，连接 A D 、B C 、AC 得(图2)所示六面体.(I )求证：E G 丄平面CFG;(II)求二面角A —CD-E 的余弦值.(19) (本小超满分13分）已知函数x xax x f ln 32)(--=，其中a 为常数. (I )当函数f(x)图象在点))32(,32(f 处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在]3,23[上的最小值；(II)若函数f(x)在区间(0，∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围； (III)在（I)的条件下，过点P (1，-4)作函数F(x)=x 2[f(x)+3lnx-3]图象的切线，试问这样的切线有几条？并求出这些切线方程.(20) (本小《满分13分）己知数列{a n }满足：a 1=1,且成等差数列.又正项数列{b n }满足b 1=e ,且是b n 与b n +1的等比中项.(1)求证：{2n-1a n }为等差数列，并求出数列{a n }的通项 (II)求证：都有.(21)(本小题满分13分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与双曲线)30(1322222<<=-+m ny m x 有公共的焦点，过椭圆E的右顶点及任意作直线l,设直线l 交抛物线:y 2=2x 于 M 、N 两点,且OM 丄ON.(I) 求双曲线的焦点坐标和椭圆E 的方程；(II)设P是椭圆E上第一象限内的点，点P关于原点0的对称点为A、关于x 轴的对 称点为Q ,线段PQ 与x 轴相交于点C,点D 为CQ 的中点，若直线AD 与椭圆E 的另一个交点为B ,试判断直线PA、PB 是否相互垂直？并证明你的结论.2013年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）A ． （2）D ． （3）C ． （4）B. （5）D ． （6）A ． （7）C ． （8）A ． （9）B. （10）D ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）相交． （12）π4． （13）π34． （14）2500． （15）①②④三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得)3sin(4)(π-=x x f (2)分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x )32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-，解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分 故0θ的最小值为125π (12)分方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分 由题可得0θ的最小值为125π…………………………………………………………12分（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ………3分则21)1()6(12≥--n n n (4)分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16 …………… 6分 （Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2 …………………………………………7分则,2250(21226===C C P ）ξ,116)1(2121616===C C C P ξ225)2(21226===C C P ξ分∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分 （18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）F 、E Θ分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE Θ由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥Θ⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1n =()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=Θ⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量， 设二面角E CD A --为θ，则321442=++=，即32cos =θ (12)分方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ， 由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE Θ =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分（19）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分 故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(xx x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分 于是可得下表：分于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解（Ⅱ）)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f Θ………5分 由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆020********a x x a x x a （也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a ） ………………………………7分解得890<<a ………8分 解（Ⅲ）由（Ⅰ）x xx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上，（1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时．由于切线过点)4,1(-P ，则2631402000--=-+x x x y 所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x （舍去）……12分（2）当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时．则切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分） （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：由题可知11212-++=n n n a a则n n n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分 12211=-∴-+n n n n a a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分n a n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分（Ⅱ）由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++nn b b b Λ ………………7分证明：（1）当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边； （2）当2≥n 时，由题可知n n nb b b +=+21和0>n b ，则n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ ……………………………………………………………10分 则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b Λ …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-n n n n b b b ΛΛ综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立 ………………………………………………13分 （21）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=m m c 双，故双曲线的焦点为)0,3()0,3(21F F 、-（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线l ：a x ty -=，代入x y 22=并整理得 0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+ay y t y y 222121 ……………………………………3分 02 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a aat a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分 由（1）得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+y x …………………………6分 （Ⅱ）判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分 将直线AD 的方程0000)(4y x x x y y -+=代入椭圆方程并整理得 01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分由题可知此方程必有一根为0x -．于是解得0202020046x y x y x x B ++=， 所以2020020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++= ………………………11分 所以0020002020202000202002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB-=-=+-+-= ………………………………12分 故10000-=⨯-=x y y x k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分 解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线．设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分将直线B P '的方程0000)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分由题可知此方程的一根为0x ，解得20202003002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='， 所以202002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分 则020200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-=' …………12分 又000000421x y x x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线． ∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故412021************-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分 又000000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得0000441y x x y k PB -=÷-= …12分 所以1)(0000-=-=y x x y k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分。
安徽省江南十校2013届高三3月联考试题(word版)理综
2013年安徽省“江南十校”高三联考理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择題）和第II卷（非选择题）两部分，第1卷第1页至第5页，第 II 卷第6页至第12页_全卷满分300分，考试时间150分钟考生注童事项：1. 答题前，务必在试题卷、答超卡规定位置填写自己的姓名、座位号。
2. 答第I卷时，每小題选出答案后，用2B铅笔把答案卷上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案标号。
3. 答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
第II卷 (选择题共120分）本卷共20小题，毎小題6分，共120分.在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量)：H—1 C-12 N-14 0—16 Na—23 Mg—241. 绿色植物在进行光合作用时以H2O作为供氢体，而光合细菌则以H2S作为供氢体进行光合作用.以下有关光合细菌的说法合理的是A. 没有成形的细胞核，拟核中分布着多条线性DNAB. 以H2S作为供氧体进行光合作用，无法产生氧气C. 利用H2S作为原料，其光合作用的产物不可能是糖类D 生存需要光厢条件，体内的叶绿体是光合作用的场所2. 男性红绿色盲患者中一个处于有丝分裂中期的细胞和女性红绿色盲基因携带者中一个处于减数第二次分裂后期的细胞进行比较，在不考虑变异的情况下，下列说法正确的是A. 红绿色盲基因数目比值为1:1B.性染色体数目比值为1 : 1C. 常染色体数目比值为2:1D.染色单体数目比值为2 ： 13. 以下甲、乙两图表示某真核细胞中的遗传信息传递的某些过程，下列叙述正确的是A. 甲、乙两图所示过程进行的场所均为细咆核B. 从化学结构上看，甲图中的3和4相同C 乙图中②③④⑤最终形成的物质结构不会相同D.乙图中的⑥链与甲图中的b链基本组成单位相同4. 右图为膝跳反射反射弧的结构示意图，以下相关叙述中错误的是A. 传出神经末梢及其所支配的伸肌和屈肌均属于效应器B. 膝跳反射的神经中枢位于大脑皮层C. 膝跳反射完成过程中存在兴奋的传导和传递D. 在A处施加剌激引起屈肌收缩不属于反射5. 正常人体内的胰岛素、呼吸酶和抗体，这三类物质都是A 在B细胞中合成 B.通过胞吐的方式释放C. 与特定的分子结合后发挥作用D.在细胞间进行信息交流6. SOD是一种抗氧化酶，它能催化02－形成H2O2,增强植物的抗逆性。
安徽省江南十校高三开第一考数学理试题
学必求其心得，业必贵于专精2013年安徽省江南十校开年第一考数学试卷(理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的)1．（5分）设i是虚数单位，则复数z=的虚部为（)A．1B．﹣1C．2D．﹣2考点：复数的基本概念．专题:计算题．分析：把给出的复数利用负数的除法运算化简为a+bi（a，b∈R）的形式,则复数z的虚部可求．解答:解:．所以，复数z=的虚部为1．故选A．点评：本题考查了复述的基本概念，考查了复数的除法运算，复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．（5分）已知双曲线上一点M到A(5，0）的距离为3，则M到左焦点的距离等于（)学必求其心得，业必贵于专精A．6B．7C．8D．9考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析:依题意,点M 在双曲线﹣=1的右支，利用双曲线的定义即可求得M到左焦点的距离．解答：解：∵双曲线﹣=1的焦点为A（5，0)，F（﹣5，0），∵｜MA｜=3，∴点M 在双曲线﹣=1的右支，∴｜MF|﹣|MA｜=6,∴｜MF|=9．故选D．点评：本题考查双曲线的定义，考查分析与理解能力，属于中档题．3．（5分）设全集为R ，集合,则∁R M=（)A．（﹣∞,﹣1]∪[2,+∞）B．(﹣1，0）∪（1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]∪[2，+∞）D．（﹣∞,0］∪[2，+∞)考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：解对数不等式，可求出集合M，进而根据集合补集的定义，可得∁R M．解答：解:∵集合=｛x｜0＜x2﹣x＜2｝解得x∈（﹣1，0）∪(1，2）故M=（﹣1，0）∪（1，2）又∵全集为R故∁R M=（﹣∞,﹣1]∪［0，1］∪[2，+∞)故选C点评：本题考查的知识点是集合的补集运算,其中根据对数函数的图象和性质，解对数不等式求出集合M是解答的关键．4．(5分)“m＞2”是直线x﹣my+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相交的（) A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件考点：直线与圆的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题；直线与圆．分求出圆x2+y2﹣2x=0的圆心和半径，由直线x﹣my+1=0与圆析:x2+y2﹣2x=0相交，利用圆心到直线x﹣my+1=0的距离小于关径就能求出m的范围，然后判断充要条件的关系．解答：解：圆x2+y2﹣2x=0的圆心C（1，O）,半径r=1，∵直线x﹣my+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相交，∴圆心C（1，O)到直线x﹣my+1=0的距离d=＜1=r,解得m，或m．显然“m＞2”时直线x﹣my+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相交,反之不成立,所以“m＞2”是直线x﹣my+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相交的充分不必要条件．故选B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的应用，充要条件的应用．解题时要认真审题，注意点到直线距离公式的合理运用．5．（5分)某校高一(4）班有男生28人，女生21人，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个调查小组，调查该校学生对2013年元月1日起执行的新交规的知晓情况，已知某男生被抽中的概率为,则抽取的女生人数为（）A．1B．3C．4D．7考点：分层抽样方法．专概率与统计．题：分析：根据某男生被抽中的概率做出样本容量,再结合分层抽样方法做出要抽取的女生数．解答：解：设样本容量为a ，某男生被抽中的概率为，∴,得a=7，∴抽取的女生人数为=3人．故选B．点评：本题考查分层抽样的方法，是一个基础题，本题解题的关键是求出抽取的学生总数，注意数字的运算不要出错．6．(5分）已知等差数列｛a n}的前n项和为S n，a3+a8=13，且S7=35．则a7=( )A．11B．10C．9D．8考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析:由等差数列的性质和求和公式可得a4=5，进而可得a4+a7=13，代入可得答案．解答：解：由等差数列的性质可得:S7===35，解得a4=5，又a3+a8=a4+a7=13，故a7=8，故选D点评:本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．7．(5分）已知向量,，且||=1，｜｜=2,则｜2﹣｜的取值范围是( ）A．[1，3]B．[2，4］C．［3，5]D．[4,6］考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：设向量与的夹角为α，可得=，由cosα的范围可得答案．解答：解:设向量与的夹角为α，α∈[0，π］，由题意可得===，∵cosα∈[﹣1，1]，∴∈[3，5]，故选C点评:本题考查向量的模长,涉及向量的及三角函数的知识，属基础题．8．（5分）已知f（x)为偶函数，且f（x+4）=f（﹣x），当﹣3≤x≤﹣2时,f（x）=，则f(2013)=（）学必求其心得，业必贵于专精A．B．C．2D．8考点：函数的值．专题:计算题．分析：利用函数的奇偶性与周期性及﹣3≤x≤﹣2时，f（x)=，可求得f（2013）．解答:解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f(x)，又f（x+4）=f（﹣x），∴f（x+4)=f（x），∴f（x)是以4为周期的函数，又当﹣3≤x≤﹣2时，f（x)=，∴f（2013）=f（1）=f（﹣3）==8．故选D．点评：本题考查函数的奇偶性与周期性,考查分析运算能力，属于中档题．9．（5分)一个多面体是由正方体割去两个三棱锥得到的，其正视图、侧视图、府视图均是边长为2的正方形，如图所示，该多面体的表面积是（)A．12+4B．8+2C．12+2D．8+4考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由三视图可知几何体如图所示：几何体由底面是一个正方形边长为2,与4个等腰直角三角形直角边长为2和2个正三角形边长为2组成，几何体的表面积为：S=12+4．故选A．点评：本题考查几何体的三视图的视图能力，几何体的表面积的求法，考查计算能力．10．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A，ω,ϕ是常数,A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，下列结论：①最小正周期为π；②将f（x ）的图象向左平移个单位，所得到的函数是偶函数;③f(0）=1；④；⑤．其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①④⑤D．②③⑤考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题;三角函数的图像与性质．分析：根据已知中函数y=Asin(ωx+ϕ）（ω＞0）的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（,﹣2）代入解析式，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式，最后对照各选项进行判断即可．解答:解:由图可得：函数函数y=Asin(ωx+ϕ）的最小值﹣｜A|=﹣2，令A＞0，则A=2，又∵=﹣，ω＞0∴T=π，ω=2,∴y=2sin（2x+ϕ)将（，﹣2）代入y=2sin（2x+ϕ)得sin(+ϕ)=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∴f（x）=2sin（2x+)．∴f（0）=2sin =，f(x+）=2sin［2（x+）+]=2sin（2x+）．f （)=2sin （+）=1．对称轴为直线x=，一个对称中心是（，0），故②③不正确;根据f（x)=2sin（2x+）的图象可知，④正确;由于f（x)=2sin（2x+）的图象关于点（，0）中心对称，故⑤正确．综上所述,其中正确的是①④⑤．故选C．点评：本题考查的知识点正弦型函数解析式的求法，其中关键是要根据图象分析出函数的最值,周期等，进而求出A,ω和φ值．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）11．（5分)命题P：∀x∈R,2x＞1,则￢P：∃x∈R，2x≤1．考点：特称命题；命题的否定．专题：阅读型．学必求其心得，业必贵于专精分析：根据命题p：“∀x∈R,2x＞1”是全称命题，其否定¬p定为其对应的特称命题,由∀变∃，结论变否定即可得到答案．解答：解：∵命题p：“∀x∈R,2x＞1”是全称命题∴¬p为：∃x∈R，2x≤1．故答案为：∃x∈R，2x≤1．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的互化、命题的否定．属于基础题．12．（5分）已知，则的最小值为 4 ．考点:椭圆的参数方程；基本不等式;三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析:利用椭圆的参数方程和三角函数的单调性即可得出．解答：解：由题意可设x=acosθ，y=bsinθ，θ∈(0,2π)且．∴==≥4，当且仅当sin2θ=±1时取等号．故的最小值为4．故答案为4．点评：熟练掌握椭圆的三角代换和三角函数的单调性是解题的关键．学必求其心得，业必贵于专精13．（5分）二项式的展开式中所有有理项的系数和等于41 ．（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析:利用二项展开式的通项公式T r+1=•（2）4﹣r•（﹣1）r•，（r=0，1，…4）可求得展开式中所有有理项，继而可求得答案．解答：解：∵T r+1=•24﹣r•(﹣1)r•，（r=0，1，…4）∴r=0，2，4时，T r+1=•24﹣r•（﹣1）r•为有理项，∴二项式的展开式中所有有理项的系数和等于:•24+•22+=16+24+1=41．故答案为：41．点评：本题考查二项展开式的通项公式，考查思维分析与运算能力,属于中档题．14．（5分）执行右边的程序框，输出的结果S是49．考点：程序框图．专题：操作型．分析:根据已知中的程序框图，分析程序框图中变量S的变量规律，模拟程序的运行结果，进而可得答案．解答：解：当i=1时,S=1=40，i=2,a2=3，满足继续循环的条件；当i=2时，S=4=41，i=3,a3=12,满足继续循环的条件；当i=3时,S=16=42，i=4,a4=48，满足继续循环的条件;当i=4时，S=64=43,i=5，a5=192，满足继续循环的条件;…当i=n时，S=4n﹣1，i=n+1，a n+1=3×4n﹣1，…当i=10时，S=49，i=11,a11=3×410,不满足继续循环的条件；故输出的结果S是49故答案为：49点评：本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知的程序框图，模拟程序的运行过程，并分析出S的变化规律是解答的关键．15．（5分）若实数x，y 满足不等式组，则的取值范围是［，e] ．简单线性规划．考点：压轴题；不等式的解法及应用；直线与圆．专题:分先画出满足约束条件的可行域,分析的几何意析:义，结合函数的图象分析出的最值，可得的取值范围．解解：满足约束条件的可行域如下图所示：答：表示可行域内动点（x，y)与定点（0，﹣2）连线的斜率由图可知过（0，﹣2）的直线与y=lnx相切时，取最大值设切点坐标为（m,lnm），则直线的斜率k=y′｜x=m==解得m=，此时y′|x=m=e即z的最大值为e．过（0，﹣2）的直线与2x﹣3y﹣6=0重合时，z取最小值故的取值范围是［，e]故答案为：［,e］点评:本题考查的知识点是简单线性规划，线性规划是高考的必考内容，“角点法”是解答此类问题最常用的方法，一定要熟练掌握．三、解答题(本大题共6小题,共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．(12分）设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B,C ，（Ⅰ)求A的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题:三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）△ABC 中，由利用正弦定理求得a2=b2+c2﹣bc，再由余弦定理求得cosA==，从而求得A的值．(Ⅱ)利用二倍角公式，两角和差正弦公式化简函数f（x)的解析式为2sin(2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数f(x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）△ABC中,由利用正弦定理可得，化简可得a2=b2+c2﹣bc．再由余弦定理可得cosA==，∴A=．（Ⅱ)函数=sin（2x+A）+（cos2x+A）=2sin（2x+A+)=2sin(2x+）,由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣,k∈z，故函数f（x ）的单调增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式，两角和差正弦公式,正弦函数的增区间,属于中档题．17．（12分)某校高二(4)班组织学生报名参加国学社和摄影社,已知报名的每位学生至少报了一个社团，其中报名参加国学社的学生有2人，参加摄影社团的学生有5人，现从中选2人．设ξ为选出的学生中既报名参加国学社又报名参加摄影社的人数，且．（Ⅰ）求高二（4）班报名参加社团的学生人数；（Ⅱ）写出ξ的分布列并计算Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ)利用对立事件的概率求出P(ξ=0）,进而利用古典概型的概率计算公式即可得出答案;（Ⅱ）利用古典概型的概率计算公式即可得出ξ的分布列,进而得出数学期望．解答：解：（Ⅰ）设既报名参加国学社又报名参加摄影社的有x人，则该班报名总人数为（7﹣x）人．∵P（ξ＞0)=P（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=．∴P（ξ=0）=,∴，∴，解得x=2．故高二(4）班报名参加社团的学生有5人；（Ⅱ）∵P（ξ=0）=,P（ξ=1）==，P（ξ=2）==．∴ξ的分布列为：∴Eξ=0×=．点评:熟练掌握对立事件的概率、古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的概率分布和数学期望是解题的关键．18．（12分）如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB=∠DAB=90°，AF=AB=BC=2,AD=1,FA⊥CD．（Ⅰ）证明：在平面EBC上，一定存在过C的直线l与直线FD平行；（Ⅱ）求二面角F﹣CD﹣A的余弦值．考点：二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定．专题:空间角．分析：（Ⅰ）利用线面、面面平行的判定和性质定理即可证明；(Ⅱ)利用相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义即可得出．解答：（Ⅰ)证明：由已知得，BE∥AF,BC∥AD,BE∩BC=B，AD∩AF=A,∴平面BCE∥平面ADF．设平面DFC∩平面BCE=l，则l过C点．∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE=l，平面DFC∩平面ADF=DF．∴DF∥l．证毕(Ⅱ）解：∵FA⊥AB,FA⊥CD，AB与CD相交，∴FA⊥平面ABCD．过点A作AM⊥CD，垂足为M，连接FM，根据三垂线定理可得FM⊥CM，∴∠FMA是二面角F﹣CD﹣A的平面角．过D点作DN⊥BC交BC于点N，则四边形ABND是矩形，∴DN=2,CN=1，∴CD=．∵△AMD∽△DNC,∴,∴=．在Rt△AMF 中，由勾股定理可得=，∴cos∠AMF==．∴二面角F﹣CD﹣A 的余弦值是．点评：熟练掌握线面、面面平行的判定和性质定理、相似三角形的性质、三垂线定理、线面角的定义是解题的关键．19．（13分）已知函数．(Ⅰ）当a=1时,函数y=f（x）有几个极值点？（Ⅱ）是否存在实数a,使函数有两个极值？若存在，求实数a的取值范围;若不存在，请说明理由．考点:函数在某点取得极值的条件．专题:导数的综合应用．分析：(Ⅰ)利用导数结合极值的定义即可判断出结论;(Ⅱ）把问题等价转化,利用导数研究函数的单调性，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ)当a=1时,函数f（x)=，其定义域为（0,+∞)．f′（x）=lnx+1﹣x．令g（x）=f′(x)=lnx+1﹣x ，则，令g′(x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数g(x）单调递增;当1＜x时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．∴当x=1时，函数g（x）取得极大值,也即最大值，∴g(x）≤g （1）=0，即f′（x）≤0．虽然f′（1）=0，但是在x=1的两侧都有f′(x）＜0，故x=1不是函数f（x）的极值点．因此函数f（x）没有极值点．（Ⅱ）f′（x）=lnx+1﹣ax，函数f（x）有两个极值⇔f′（x）=0在（0,∞）上有两个不等实数根，且每一个根两侧导数异号⇔直线x=a与函数h（x)=由两个交点．∵，∴当x∈(0,1）时，h′（x)＞0，函数h(x)单调递增；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0,函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h(x）取得极大值，也是最大值，画出图象如下：由图象可知：实数a的取值范围是(0，1)．点评:正确把问题等价转化，熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值等性质是解题的关键．20．(13分）已知数列｛a n}中，a1=1，a n＜a n+1，设b n =，S n=b1+b2+…+b n，求证：（Ⅰ）；（Ⅱ)若数列｛a n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S n＜1．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析:（Ⅰ）利用作差法证明该不等式,作差后，把b n =代入，通分后进行因式分解,然后根据a n＜a n+1判断差式的符号;（Ⅱ）写出等比数列{a n｝的通项公式,代入b n =后整理得到b n =，利用等比数列求和得到S n =．由q≥3利用放缩法可证得S n＜1．解答:证明：（Ⅰ）由题意可知a n＞0∵===．又a n＜a n+1，∴,，，则．∴；（Ⅱ)数列{a n｝是首项a1=1，公比为q且q≥3的等比数列，∴．∴．S n=b1+b2+…+b n===．∵q≥3,∴．．∴．点评：本题是数列和不等式的综合题，训练了作差法证明不等式，考查了数列的递推式及等比数列的前n项和公式,考查了不等式的基本性质，是中档题．21．（13分）焦点分别为F1，F2的椭圆过点M（2，1）,抛物线的准线过椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程;（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B 两点，若•=0，求证:直线l恒过定点，并求出该定点的坐标．考点:直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题:压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由抛物线方程写出其准线方程，从而求出椭圆焦点坐标，把点M的坐标代入椭圆方程后,结合a2=b2+c2可求椭圆方程；(Ⅱ)分直线l垂直于坐标轴和不垂直坐标轴两种情况进行讨论，直线垂直坐标轴时，把直线方程代入椭圆方程求出A，B的坐标,由•=0解出m的值，直线不垂直坐标轴时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后由判别式大于0得到直线斜率和在y 轴上的截距满足的关系式，再由•=0把直线的截距用斜率表示，代回直线方程后由线系方程可得直线恒过定点．解答：（Ⅰ）解：由2p=,∴p=，∴抛物线的准线方程为．故，，∴椭圆方程可化为,又椭圆过点M（2，1）,∴，则a4﹣8a2+12=0,∵a2＞3，解得：a2=6．∴所求椭圆的方程为．（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2）,则直线l与椭圆交于，，由,得,即3m2﹣8m+4=0．解得：m=2（舍）或，故直线l 的方程为．②若直线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=kx+n．直线l 与椭圆交于A（x1，y1)，B(x2，y2）．由⇒（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣6=0．由△＞0，得:（4kn）2﹣4(1+2k2）（2n2﹣6)＞0，即6k2﹣n2+3＞0．由根与系数关系得:，．由得:（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1)（y2﹣1)=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+5=0,又y1=kx1+n,y2=kx2+n，故，即．∴4k2+8kn+（3n+1）（n﹣1)=0，即（2k+3n+1)（2k+n﹣1)=0．∴或n=﹣2k+1．而或n=﹣2k+1满足△＞0．∴直线l 为或y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1．由于直线l不过M，∴直线y=kx﹣2k+1=k(x﹣2）+1不合题意．∴直线l 为．综合①②，直线l 为为或．故直线l 恒过定点．点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系,考查了分类讨论的数学思想，证明直线l恒过定点时，综合考查了向量知识、直线系方程及学生的运算能力，此题属难题．。
安徽省江南十校2013届高三下学期3月联考数学文试题 含答案
安徽省江南十校2013届高三下学期3月联考数学文试题本试卷分第I 卷（选择题50分）和第II 卷（非选择题100分）两部分。
全卷满分150 分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答超前，务必在试題卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.选择題每小题选出答案后，用2B 铅笔把答題卡对应題目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案；答在试卷上的无效。
3.非选择题必须用0.5毫米的黑色墨水签字在答题卡上作答，要求字体工整、笔迹清 晰。
不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.必须在题号所指示的答規区域作答， 第I 卷（选择題共50分）一、选择題：本大题共10小題，每小题5分，共50分，在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数111++-i i的虚部为(A) 1 (B) -1 (C) i (D) -i2.对于下述两个命题：p.对角线互相垂直的四边形是菱形；q:对角线互相平分的四边 形是菱形.则命题“q p ∨”、“q p ∧”、“p ⌝”中真命题的个数为 (A) O(B) 1(C) 2(D) 33.己知集合A={x|x2-x ≤0}，函数，f(x)=2-x(x ∈A)的值域为B.则B A C R I )(为 (A) (1,2] (B) [1，2] (C) [O,1] (D) (1, ∞)4. 函数y=log2(| x|+1)的图象大致是5.已知21,e e 是两个单位向量，其夹角为θ,若向量2132e e m +=，则||m =1的充要条件是(A)πθ= (B)2πθ=(C)3πθ=(D)32πθ=6.某次摄影比赛，9位评委为某参赛作品给出的分数 如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个 最低分后，算得平均分为91分.复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清.若记分 员计算无误，则数字x 是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47.已知函数f(x)=xa 的图象过点(4，2),令*,)()1(1N n n f n f a n ∈++=记数列{an}的前n 项和为则Sn S2013 = (A) 12012- (B) 12013- (C)12014- (D)12014+8.执行如右图所示的程序框图，若输出i 的值为2 ,则输入 x 的最大值是 (A) 5 (B) 6 (C) H (D) 229.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 恰好是双曲线 12222=-b y a x 的右焦点，且双曲线过点(p b pa 222,3)则该双曲线的离心率是 (A) 2 (B)410(C)213(D)42610. 对于集合{a1,a2,...,an}和常数a0,定义：为集合{a1,a2,...,an}相对a0的“正弦方差” 则集合相对a0的“正弦方差”为(A) 21 (B) 31(C) 4 (D)与％有关的一个值2013年安徽省“江南十校”髙三联考 数学（文科）第II 卷（非选择題共100分） 二、填空题11. 函数y=(x+1)0+ln(-x)的定义域为________12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积 是_______.13. 若不等式组表示的平面区域的面积为3,则实数a 的值是______.14.从某校高中男生中随机抽取100名学生，将他们的体 重（单位：kg)数据绘制成频率分布直方图（如图）.若要从身高在[60,70), [70 , 80)，[80，90]三组内的 男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人 中选两人当正副队长，则这两人身 髙不在同一组内的概率为______. 15 已知ΔABC 的三边长分别为AB = 5,BC = 4,AC ＝3, M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外 一点.给出下列四个命题：①若PA 丄平面ABC,则三棱锥P- ABC 的四个面都是直角三角形；②若PM 丄平面ABC,且M 是AB 边中点，则有PA=PB=PC③若PC= 5，PC 丄平面ABC,则ΔPCM 面积的最小值为；④若PC= 5, P 在平面ABC 上的射影是ΔABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的 距离为.其中正确命题的序号是_______.(把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.(本小题满分12分）己知现将f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数g(x)的图象(I)求+的值；(II)若a 、b 、C 分别是ΔABC 三个内角A 、B 、C 的对边，a + c = 4，且当x = B 时， g(x)取得最大值，求b 的取值范围.17. (本小题满分12分）随着生活水平的提髙，人们休闲方式也发生了变化。
安徽省江南十校联考高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y|y=x}，B={y|y=（）x，x＞1}，则A∩B=（）A．（0，）B．（）C．（0，1）D．∅2．已知复数z满足z•（1+i2015）=i2016（i是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列命题中，真命题的是（）A．∀x＞0，2x＞x2B．∃x0∈R，e≤0C．“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件D．“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．55．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．7．已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．B ．1C ．D ．212．函数f （x ）=1+x ﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为______．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为______．15．若对于任意实数t ，圆C 1：（x +4）2+y 2=1与圆C 2：（x ﹣t ）2+（y ﹣at +2）2=1都没有公共点，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g （x ）=3[f （x ）]3﹣4f （x ）+m 在x 上有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列． （Ⅰ）求等比数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若c n =a n •（），n=1，2，3，…，且数列{c n }为单调递减数列，求λ的取值范围．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X ，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．21．已知函数f（x）=e﹣ax2（其中e是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；（Ⅱ）若f（x）≤0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x＞0时，求证：对任意的正整数n都有f（）＜n!x﹣n．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．2015-2016学年安徽省江南十校联考高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={y |y=x }，B={y |y=（）x ，x ＞1}，则A ∩B=（ ）A ．（0，）B ．（） C ．（0，1） D ．∅【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；交集及其运算．【分析】利用函数的单调性可得：A=[0，+∞），B=，即可得出A ∩B ．【解答】解：A={y |y=x }=[0，+∞），B={y |y=（）x ，x ＞1}=，则A ∩B=，故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i 2015）=i 2016（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数单位的幂运算，然后利用复数的乘法的运算法则化简求解即可． 【解答】解：复数z 满足z •（1+i 2015）=i 2016，可得z （1﹣i ）=1，可得z===．对应点的坐标（）．故选：A ．3．下列命题中，真命题的是（ ） A ．∀x ＞0，2x ＞x 2B ．∃x 0∈R ，e≤0C ．“a ＞b “是“ac 2＞bc 2”的充要条件D ．“ab ＞1”是“a ＞1，b ＞1”的必要条件 【考点】特称命题；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．【解答】解：A ．若x=3，则23=8，32=9，此时2x ＞x 2不成立，故A 错误， B ．∵∀x ∈R ，e x ＞0，∴∃x 0∈R ，e≤0不成立，故B 错误，C．当c=0，当a＞b时，“ac2＞bc2”不成立，即“a＞b“是“ac2＞bc2”的充要条件错误，故C错误，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即“ab＞1”是“a＞1，b＞1”的必要条件成立，故D正确，故选：D4．截至11月27日，国内某球员在2015﹣2016赛季CBA联赛的前10轮比赛中，各场得分x i（i=1，2，3，…，10）的茎叶图如图①所示，图②是该运动员某项成绩指标分析的程序框图，则输出的结果是（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，得到程序的功能，由茎叶图写出所有的数据，计算得分超过20分（不包括20分）的场数即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算得分超过20分（不包括20分）的场数，有茎叶图知，各场得分的数据为：14，17，27，21，28，20，26，26，31，44，∴根据茎叶图可知得分超过20分（不包括20分）的场数有7场．故选：B．5．将函数y=cos2x的图象向右平移φ个单位得到函数y=cos2x﹣sin2x的图象，则φ的一个可能取值为（）A．B．C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由和差角的公式化简可得y=2cos2（x﹣），由三角函数图象变换的规则可得．【解答】解：∵y=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+）=2cos（2x﹣）=2cos2（x﹣），∴φ的一个可能取值为．故选：D．6．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有24﹣2=14种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有2×2=4种，∴P==．故选：B．7．已知实数x，y满足，且目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4，则k等于（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由题意可知，直线y=x+z经过可行域，且在y轴上的截距的最小值为﹣4时，直线kx﹣y+2过点（4，0），由此求得k的值．【解答】解：如图，由题意可知，直线y=x+z经过可行域，且在y轴上的截距的最小值为﹣4．∴直线kx﹣y+2过点（4，0），从而可得k=．故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，且a2=b2+c2﹣bc，则△ABC的面积S的最大值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得cosA=，解得A=，由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA==，A为三角形内角，解得A=，∵a=，∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立），∴2bc≤3+bc，解得bc≤3，∴S△ABC=bcsinA=bc≤．故选：C．9．已知△ABC的边BC上一动点D满足=n（n∈N*），=x+y，则数列{（n+1）x}的前n项和为（）A． B． C．D．【考点】数列的求和；向量的共线定理．【分析】通过=n（n∈N*）可知=+，与=x+y比较可得x=，进而计算可得结论．【解答】解：∵=n（n∈N*），∴=+，又∵=x+y，∴x=，∴数列{（n+1）x}是首项、公差均为1的等差数列，∴则数列{（n+1）x}的前n项和为，故选：C．10．若抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，则双曲线C2的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，利用抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，可得=，再利用抛物线的定义，结合抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，可得c2+1=5，从而可求双曲线的几何量，可得结论．【解答】解：抛物线C1：y=x2的焦点F（0，1），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∵抛物线C1：y=x2的焦点F到双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的距离为，∴=，∵直线y=﹣1是抛物线的准线，抛物线C1上的动点P到双曲线C2的一个焦点的距离与到直线y=﹣1的距离之和的最小时为，∴根据抛物线的定义可知，当P，F及双曲线C2的一个焦点三点共线时最小，∴c2+1=5，∴c=2，∵c2=a2+b2，∴b=，a=1，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：B．11．一个三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．1 C．D．2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的，作出图形，结合图形代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该三棱锥为棱长为2的正方体切割得到的．即三棱锥A1﹣MCD．∴V=××2×2×2=．故选C．12．函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+﹣在区间[﹣2，2]上的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求导f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015，分类讨论以确定f（x）的单调性，从而确定函数的极值的正负，从而利用函数的零点判定定理判断即可．【解答】解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+﹣，∴f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014﹣x2015，当x=﹣1时，f′（x）=2016＞0，当x≠﹣1时，f′（x）=，故当﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；故f （x ）在[﹣2，1]上单调递增，在（1，2]上单调递减， 又∵f （﹣2）＜0，f （1）＞0，f （2）＜0，∴f （x ）在（﹣2，1）和（1，2）内各有一个零点， 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置13．已知（+）5的展开式中的常数项为80，则65x 的系数为 40 ．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于80求得实数a 的值，从而求得65x 的系数．【解答】解：∵（+）5的展开式中的通项公式为 T r+1=•a r •，令=0，求得r=3，即常数项为•a 3=80，求得a=2．故展开式中的通项公式为 T r+1=•2r•，令r=2，可得则65x 的系数为40，故答案为：40．14．已知正数x ，y 满足2x +y=1，则4x 2+y 2+的最小值为 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由基本不等式可得0＜xy ≤，令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得最小值．【解答】解：正数x ，y 满足2x +y=1， 可得2x +y ≥2， 即有0＜xy ≤，则4x 2+y 2+=（2x +y ）2﹣4xy +=1﹣（4xy ﹣），令t=xy ，0＜t ≤，由4t ﹣在0＜t ≤递增，可得t=时，4t ﹣取得最大值，且为﹣，则4x2+y2+在xy=时，取得最小值，且为1+=．故答案为：．15．若对于任意实数t，圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1都没有公共点，则实数a的取值范围是a＜﹣或a＞0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】通过两个圆的方程求出两个圆的圆心与半径，利用圆心距与半径和与差的关系即可求解．【解答】解：圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1的圆心在直线y=ax﹣2上，∴要使圆C1：（x+4）2+y2=1与圆C2：（x﹣t）2+（y﹣at+2）2=1没有公共点，必须使圆心C1（﹣4，0）到直线y=ax﹣2的距离大于两圆半径之和，即d=＞2，∴a＜﹣或a＞0．故答案为：a＜﹣或a＞0．16．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ≤）的图象如图所示，若函数g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m在x上有4个不同的零点，则实数m的取值范围是[，）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系．【分析】利用由y=Asin（ωx+φ）的部分图象可求得A，T，从而可得ω，又曲线经过（，0），|φ|＜，可得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式，将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，由导数求出单调区间，结合函数f（x）的图象，即可确定m的取值范围．【解答】解：由图知T=4（﹣）=2π，∴ω=1，∴f（x）=sin（x+φ），∵f（）=0，∴+φ=kπ，k∈Z．∴φ=kπ﹣，k∈Z．又|φ|≤，∴φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+）．由f（x）的图象可知，对于f（x）∈[，1）上的每一个值，对应着[﹣，]上的两个x值，又g（x）=3[f（x）]3﹣4f（x）+m=0，⇔m=﹣3[f（x）]3+4f（x）有4个不同的零点，令f（x）=t，则m=﹣3t3+4t．∵m′=﹣9t2+4=﹣9（t+）（t﹣），∴m=﹣3t3+4t在[，]上单调递增，在[，1]上单调递减，而当t=时，m=；当t=时，m=；当t=1时，m=1，结合图象可知，对于m∈[，）上的每一个值，对应着t=f（x）∈[，1）上的两个值，进而对应着[﹣，]上的4个x值．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡的指定区域17．已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1=2，且2a1，a3，3a2成等差数列．（Ⅰ）求等比数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=a n•（），n=1，2，3，…，且数列{c n}为单调递减数列，求λ的取值范围．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q=2，进而得到所求通项；（Ⅱ）把数列{a n}的通项公式a n代入c n=2n•（﹣λ），由c n+1﹣c n分离λ后，求出﹣的最大值得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q（q＞0），由2a1，a3，3a2成等差数列，可得2a3=2a1+3a2，即为2a1q2=2a1+3a1q，可得2q2﹣3q﹣2=0，解得q=2（﹣舍去），则a n=a1q n﹣1=2n；（Ⅱ）c n=a n•（）=2n•（），由数列{c n}为单调递减数列，可得则c n+1﹣c n=2n+1•（﹣λ）﹣2n•（）=2n•（﹣﹣λ）＜0对一切n∈N*恒成立，即﹣﹣λ＜0，即λ＞﹣==，当n=1或2时，n+取得最小值，且为3，则﹣的最大值为=，即有λ＞．即λ的取值范围是（，+∞）．18．从某企业的一种产品中抽取40件产品，测量其某项质量指标，测量结果的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求这40件样本该项质量指标的平均数；（Ⅱ）从180（含180）以上的样本中随机抽取2件，记质量指标在[185，190]的件数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算数据的平均值是各小矩形底边中点与对应的频率乘积的和；（Ⅱ）首先分别求质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，然后求出X=0、1、2时的概率，进而求出X的分布列及数学期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，这40件样本该项质量指标的平均数=162.5×0.05+167.5×0.125+172.5×0.35+177.5×0.325+182.5×0.1+187.5×0.05=174.75cm；（Ⅱ）由频率分布直方图可知，质量指标在[180，185]的件数：0.020×5×40=4，质量指标在[185，190]的件数有：0.010×5×40=2，∴X的可能值为：0，1，2；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，数学期望E（X）=0×+1×+2×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接DF，EF，由已知结合三角形中位线定理可得四边形DFEC是平行四边形，从而得到CE∥DF．再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）由题意证明OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．求出所用点的坐标，求得的坐标，再求出底面ABCD的一个法向量，则AE与底面ABCD所成角的正弦值可求；（Ⅲ）分别求出平面APD与平面PCD的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，则二面角A﹣PD﹣C的正弦值可求．【解答】解：（Ⅰ）当E为PB的中点时，CE∥平面PAD．证明如下：取PA的中点F，连接DF，EF，则EF∥，．由已知CD，CD=，则EF∥CD，EF=CD．∴四边形DFEC是平行四边形，∴CE∥DF．又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，∴CE∥平面PAD；（Ⅱ）取AD中点O，AB的中点G，连接OP，OG，∵PA=PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．由已知可得AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，又OG∥BD，∴OG⊥AD，∴OA，OG，OP两两互相垂直，故以OA，OG，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz．A（），P（0，0，），B（），E（），D（），C（，，0）．∴，是平面ABCD的一个法向量，设AE与底面ABCD所成角为θ，则sinθ=|cos|==；（Ⅲ）平面APD的一个法向量为，，=（，，﹣）．再设平面PCD的一个法向量为，由，得，取z=1，则x=﹣1，y=﹣1，∴．∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值的绝对值为=．∴二面角A﹣PD﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C的左、右焦点F1，F2在x轴上，左顶点为A，离心率e=，过原点O的直线（与x轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点，△PF1F2的周长为8+4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求四边形MF1NF2面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）根据e=，2a+2c=8+4，求解即可；（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），求出的坐标，然后求的值即可；（Ⅲ）先把四边形MF1NF2面积表示出来，然后求其最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵e=，2a+2c=8+4，∴a=4，c=2，∴b=2，故椭圆的方程为：（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，∵A（﹣4，0），∴直线PA的方程为y=，∴M（0，）．同理，直线QA的方程为，∴N（0，），又F 1（﹣2，0），∴，，∴=12+（Ⅲ）|MN |=||=||=||=|，∴四边形MF 1NF 2的面积S==，∵|y 0|∈（0，2]，∴当y 0=±2时，S 有最小值8．21．已知函数f （x ）=e﹣ax 2（其中e 是自然对数的底数）．（Ⅰ）判断函数f （x ）的奇偶性；（Ⅱ）若f （x ）≤0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若a=0，当x ＞0时，求证：对任意的正整数n 都有f （）＜n!x ﹣n ．【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）利用定义判断，先判断定义域关于原点对称，再判断f （﹣x ）=f （x ）；（Ⅱ）不等式可整理为a ≥恒成立，只需求出右式的最大值即可，利用构造函数令g（x ）=，求出导函数g'（x ）=﹣（2x +1），得出函数的单调性，求出最大值；（Ⅲ）若a=0，f （x ）=，得出x n ＜n!e x ，利用数学归纳法证明不等式对一切n ∈N *都成立即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称， ∵f （﹣x ）=f （x ），∴函数f （x ）为偶函数；（Ⅱ）由偶函数性质可知，只需求当x ∈（﹣∞，0）时， f （x ）=﹣ax 2≤0恒成立，∴a ≥恒成立，令g （x ）=，g'（x ）=﹣（2x +1），当x ∈（﹣∞，）时，g'（x ）＞0，g （x ）递增，当x ∈（，0）时，g'（x ）＜0，g （x ）递减，∴g（x）的最大值为g（﹣）=4e﹣2，∴a≥4e﹣2，（Ⅲ）若a=0，f（x）=e，当x＞0时，f（x）=，f（）=e﹣x＜n!x﹣n．∴x n＜n!e x，（i）当n=1时，设g（x）=e x﹣x，（x＞0），∵x＞0时，g'（x）=e x﹣1＞0，∴g（x）是增函数，故g（x）＞g（0）=1＞0，即e x＞x，（x＞0）所以，当n=1时，不等式成立（ii）假设n=k（k∈N*）时，不等式成立，即x k＜k!•e x当n=k+1时设h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）有h'（x）=（k+1）!•e x﹣（k+1）x k=（k+1）（k!•e x﹣x k）＞0故h（x）=（k+1）!•e x﹣x k+1，（x＞0）为增函数，所以，h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，即x k+1＜（k+1）!•e x，这说明当n=k+1时不等式也成立，根据（i）（ii）可知不等式对一切n∈N*都成立，故原不等式对一切n∈N*都成立．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚．选修4-1：几何证明选讲22．已知AB是圆O的一条弦，过点A、B分别作AE⊥AB，BF⊥AB，交弧AB上任意一点T的切线于点E、F，OT交AB于点C，求证：（Ⅰ）∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）CT2=AE•BF．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）证明B，C，T，F四点共圆，可得∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，利用△PBF∽△PTC，△PAE∽△PTC，结合切割线定理，即可证明CT2=AE•BF．【解答】证明：（Ⅰ）∵OT⊥EF，BF⊥AB，∠CTF=∠CBF=90°，∴∠CTF+∠CBF=180°，∴B，C，T，F四点共圆，∴∠CBT=∠CFT；（Ⅱ）延长EF与ABM交于P，则△PBF∽△PTC，∴=①，△PAE∽△PTC，∴=②①×②=由切割线定理可得PT2=PA•PB，∴CT2=AE•BF．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C的参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l经过点P（1，2）且与直线C相交于点A、B，求线段AB的长度．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（I）用x，y表示出cosθ，sinθ，根据正余弦的平方和等于1消参数得到普通方程；（II）写出直线l的参数方程，代入曲线的普通方程得到关于参数t的一元二次方程，根据参数的几何意义解出AB．【解答】解：（1）∵（θ为参数），∴cosθ=，sinθ=，∴．∴曲线C的普通方程为．（II）直线l的参数方程为（t为参数）．将l的参数方程代入得7t2+22t+14=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣，t1t2=2．∴t1，t2符号相同．∴|AB|=|t1﹣t2|===．选修4-5：不等式选讲24．设f（x）=|x+3|﹣a|2x﹣1|（Ⅰ）当a=1时，求f（x）＞3的解集；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，对x分类讨论，去绝对值，分别求出f（x）＞3，得解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，对x分类讨论：当x=时，a∈R；当x≠时，||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，只需求出左式的最小值即可．利用分离常数法得出=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），进而求出最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，当x＜﹣3时，f（x）=x﹣4，f（x）＞3，∴无解当﹣3≤x≤时，f（x）=3x+2，f（x）＞3，∴＜x，当x＞时，f（x）=4﹣x，f（x）＞3，∴x＜1，∴解集为（，1）；（Ⅱ）若f（x）≥0对x∈[﹣1，1]恒成立，∴|x+3|≥a|2x﹣1|恒成立，当x=时，a∈R，当x≠时，∴||≥a对[﹣1，）∪（，1]恒成立，∵=+∈（﹣∞，﹣）∪（4，+∞），∴||的最小值为，∴a≤．2016年9月14日。
2013年安徽江南十校高三联考
2013年安徽省“江南十校”高三联考数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．（1）A ． （2）D ． （3）C ． （4）B. （5）D ． （6）A ． （7）C ． （8）A ． （9）B. （10）D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）相交． （12）π4． （13）π34． （14）2500． （15）①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由题可得)3sin(4)(π-=x x f …………………………………………………2分3cos )3sin(4)(+-=∴x x x g π……………………………………………………3分3)cos 3cos (sin 2 3cos )cos 23sin 21(4 2+-=+-=x x x x x x )32sin(2 π-=x ………………………………………………………………6分（Ⅱ）方法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,12θπx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈-∴32,2320πθππx ………………………8分要使函数)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,12θπ上的最大值为2，当且仅当2320ππθ≥-，解得1250πθ≥………………………………………………………………………11分 故0θ的最小值为125π…………………………………………………………………12分方法2：设223222πππππ+≤-≤-k x k ，解得)(12512Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 得函数)(x g 的增区间为)](125,12[Z k k k ∈+-ππππ ………………………………8分 取0=k 得)(x f 的一个增区间]125,12[ππ-，此时)(x f 的从2-增加到2 ………10分由题可得0θ的最小值为125π…………………………………………………………12分 （17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可知，所选两人为“最佳组合”的概率)1()6(1221616--==-n n n C C C n n ………3分 则21)1()6(12≥--n n n …………………………………………………………………4分化简得0144252≤+-n n ，解得169≤≤n ，故n 的最大值为16 …………… 6分 （Ⅱ）由题意得，ξ的可能取值为0，1，2 …………………………………………7分则,2250(226===C P ）ξ,116)1(21616===C C C P ξ225)2(226===C P ξ 分∴1225211612250=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………………………………12分 （18）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）F 、E 分别是BC AD ,上的两点，1==BF AE∴四边形ABFE 为矩形∴折叠后BF EF FC EF ⊥⊥,，即⊥EF 平面BFC 连接GF ︒=∠∴===902,1,1EGF AB BF AE由已知得GC EG ⊥⊥∴EG 平面CFG …………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知EG FC ⊥EF FC ⊥⊥∴FC 平面ABFEBF FC ⊥∴ ………………………………………7分方法一：如图建系xyz F -则A （1,0,2）C （0,2,0）D （0,1,2）设1=()z y x ,,为平面ACD 的法向量，)2,1,0(),0,1,1(-=-=⎩⎨⎧=+-=+-∴020z y y x 得⎩⎨⎧==zy xy 2．则令1=z 得)1,2,2(1=n …………………9分 又)0,0,1(2=n 为平面CDEF 的法向量，设二面角E CD A --为θ，则321442cos =++=，即32c o s =θ …12分 z yxA BC DEF G方法二：延长CD 与FE 的延长线交于P 点，过E 作DP EH ⊥垂足为H点，连结EH 、AH ，则EHA ∠为二面角E CD A --的平面角， 设二面角E CD A --为θ， 由DE =1，得EP =2，则EH =52，53,1=∴=AH AE =∠∴AHE cos 32即32cos =θ……………12分 （19）（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由题可知1)32(='f ，解得1=a ………1分故x x x x f ln 32)(--=，2)2)(1()(x x x x f --='∴，由0)(='x f 得2=x ………2分分于是可得：2ln 31 )2()(-==f x f 小……………………………………………………4分解（Ⅱ）)0(2332)(222>+-=-+='x x x ax x x a x f ………5分 由题可得方程0232=+-x ax 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为21x x 、，并令23)(2+-=x ax x h则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>=+>-=∆020********a x x a x x a （也可以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒>-->-=∆0)0(0023089h a a a ） ………………………………7分解得890<<a ………8分解（Ⅲ）由（Ⅰ）x xx x f ln 32)(--=，故)0(23)(23>--=x x x x x F ，)0(263)(2>--='x x x x F …………9分设切点为T ),(00y x ，由于点P 在函数)(x F 的图像上， （1）当切点T 不与点)4,1(-P 重合，即当10≠x 时．PHGFE DCA由于切线过点)4,1(-P ，则2631402000--=-+x x x y 所以)263)(1(423020002030---=+--x x x x x x ，化简得013302030=-+-x x x ，即0)1(30=-x ，解得10=x （舍去）……12分（2）当切点T 与点)4,1(-P 重合，即10=x 时．则切线的斜率5)1(-='=F k ，于是切线方程为015=-+y x综上所述，满足条件的切线只有一条，其方程为015=-+y x ……………13分（注：若没有分“点T 是否与点P 重合”讨论，只要过程合理结论正确，本小题只扣1分） （20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：由题可知11212-++=n n n a a则n n n a a 21211=-+ ………………………………………………………………2分 12211=-∴-+n n n n a a故数列{}n n a 12-是首项和公差都为1的等差数列 ………………………………4分n a n n =∴-1212-=∴n n n a ………………………………………………………………6分（Ⅱ）由12-=n n n a 可知，只需证：12ln ln ln 21-≥+++n n b b b ………………7分证明：（1）当1=n 时，左边1122=-=a ，右边1ln ==e ，则左边≥右边； （2）当2≥n 时，由题可知n n nb b b +=+21和0>n b ，则n n n n b b b b ln 2ln ,121>∴>++ ……………………………………………………………10分则1112212ln 2ln 2ln 2ln ----=>>>>n n n n n b b b b …………………………………11分1221)21(1221ln ln ln 121-=--=+++>+++∴-n n n n b b b综上所述，当+∈N n 时，原不等式成立 ………………………………………………13分 （21）（本小题满分13分） 解:（Ⅰ）（1）由题可知3322=-+=m m c 双，故双曲线的焦点为)0,3()0,3(21F F 、-（2）设点M ),(11y x 、N ),(22y x ，设直线l ：a x ty -=，代入x y 22=并整理得 0222=--a ty y ，所以⎩⎨⎧-==+ay y ty y 222121 ……………………………………3分2 2)2)(1( )()1( ))((222222121221212121=-=++-+=++++=+++=+=⋅a a aat a t a y y at y y t y y a ty a ty y y x x ON OM 故解得2=a ……………………………………………………………………………5分由（1）得3=c ，所以椭圆E 的方程为1422=+y x …………………………6分 （Ⅱ）判断结果：PB PA ⊥恒成立.................7分证明：设P ),(00y x ，则A ),(00y x --，D )21,(00y x -，442020=+y x …………8分将直线AD 的方程0000)(4y x x x yy -+=代入椭圆方程并整理得01696)4(20202020022020=-+-+x y x x y x x y x ，. ..... ...... ..... ..... ...... ..... ..... ...... ......9分 由题可知此方程必有一根为0x -．于是解得02202046x y x y x x B ++=， 所以2020020300020202000042)246(4y x y x y y x y x y x x y y B +-=-++= ………………………11分 所以00200020202000022002030664642y x y x y x y x y x y y x y x y k PB -=-=+-+-= ………………………………12分 故10000-=⨯-=x yy x k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分解法2：判断结果：PB PA ⊥恒成立 ………………………………………………7分证明：过点P 作直线AP 的垂线，得与椭圆的另一个交点为B '，所以，要证PB PA ⊥，只要证A 、D 、B '三点共线．设P ),(00y x ，则A ),(00y x --， D )21,(00y x -，442020=+y x ..................8分 将直线B P '的方程000)(y x x y x y +--=代入椭圆方程并整理得 04)(4)(8)4(20220202020022020=-+++-+y y x x y x x x y x ............ ...... ................10分 由题可知此方程的一根为0x ，解得220203002020202004744)(8y x y x x x y x y x x x B ++=-++='，所以22002030020202003000042)474(y x y x y x y x y x x y x y y B +-=-++⨯-=' …………………………11分 则20200020300020202020002020020304)(822)4)(8()42(x y y x x y x y x x y x y x x y y x y x y k B A =++=+-++÷++-='…………12分 又000000421x yx x y y k AD =++-=，所以B A AD k k '=，故B D A '、、三点共线． ∴PB PA ⊥ ……………………………………………………………………………13分 解法3：判断结果：PB PA ⊥恒成立................7分证明：设),(),(0011y x P y x B 、，则),(00y x A --，14,1420202121=+=+y x y x ，两式相减得4120212021-=--x x y y ，故4120212021********-=--=--⋅++=⋅x x y y x x y y x x y y k k BP BA ……………………10分 又000000421x y x x y y k k AD AB =++-==，代入上式可得0000441y xx y k PB -=÷-= …12分 所以1)(0000-=-=y xx y k k PB PA ，即PB PA ⊥ ………………………………………13分。