第三讲 间接效用函数与支出函数
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第3讲效用最大化与支出最小化
复习第2讲，消费者最优化2.1预算2.2偏好2.3效用2.4选择消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序2.3效用：更简便的排序是用效用函数效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的斜率——边际支付意愿或保留价格2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。
偏好是严格凸性的，也就是效用函数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5买得到的组合：稀缺 排序：偏好无差异曲线ch3 效用函数 Ch4 边际替代率边际效用预算集 预算线预算约束Ch2 相切：选择ch5预算线斜率：商品1机会成本（边际成本）无差异曲线的斜率：商品1的主观价值（边际支付意愿。
保留价格）第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）3.1效用最大化3.2支出最小化3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系3.1效用最大化Max U＝U(x1, x2)S.t. P1 x1 + P2 x2 = ML=U(x1, x2) –ζ(P1 x1 + P2 x2 – M)L’x1= ðU/ðx1 –ζP1=0 (1)L’x2 = ðU/ðx2 –ζP2=0 (2)L’ζ=M – P1 x1 – P2 x2=0 (3)x1*=x1（p1，p2，M），x2*=x2（p1，p2，M）；这是马歇尔需求函数例子1：U(x1, x2)= x11/2 x21/2x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。
即马歇尔需求函数是零次齐次函数x1（tp1，tp2，tM）=t0x1（p1，p2，M）=x1（p1,p2,M）例子2：把马歇尔需求函数x1*=(1/2) (m/p1)，x2*=(1/2) (m/p2)代入U(x1, x2)= x11/2 x21/2得到最大的效用U*= (1/2) p1-1/2 p2-1/2 mV= U*=V(p1,p2,m) =(1/2) p1-1/2 p2-1/2 m我们把V=V(p1,p2,m)称为间接效用函数，把U＝U(x1, x2)称为直接效用函数。
8效用函数、间接效用函数和支出函数
j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
第三讲 间接效用函数与支出函数
) • 包络定理：包络曲线 V ( 与曲线 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为：
f ( x1 , ) 相切
V f ( x , )1• 在 1处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max
x
f ( x, ) g ( x, ) 0
前者是为达到既定的效用水平u选择最小的支出引出谢泼特定理前面已经证明和推导后者通过下面图形加以说明上图表示价格变动的替代效应的价格为斜率的支出线与以为斜率的支出线仍都与u相切表示以为斜率的支出线是最小支出表示以为斜率的支出线是最小支出
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义 • 直接效用函数：效用u ( x) 是消费计划 x x , x ,...x • 的函数。 v ( p, y ) u x ( p, y ) • 若 成立，则 v( p, y ) 就为间接效 用函数。
x ( a ), ( a )
f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) ....(2) a j ai
对最大值函数v(a )求关于a j的偏导数： v(a ) n f ( x(a ), a) xi (a ) f ( x(a), a) a j xi a j i 1 a j 返回一阶条件公式（），将第一个式子移项得： 1 f ( x(a ), a) g ( x(a ), a ) ( a ) xi xi 将此式代入求和项的方括中，并将v(a )的偏导数改写成：
性质1说明和证明
n R 表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正，
没有一维价格为零，n表示n维价格。R 表示收入的定义域，
n 收入可以为零。R R 表示预算集的定义域。性质1说明
《微观经济学》第三章经典需求理论
定义3.C.1 如果X上的偏好关系≥在极限下被保持，即 对于任意二元序列
{(xn ,
yn )}n1,
xn
yn, x
lim
n
xn,
y
lim
n
yn
我们有x≥y，则称该偏好关系是连续的。
等价表示：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭 集。 证明这两个定义之间的等价性。 词典式偏好是不连续的。
y1
定义1.B.6 如果对于每个x，均有，对于任意
(0,1), y x, z x, y z y (1)z x
则称X上的偏好关系是严格凸的。 定义1.B.7 如果所有无差异集均通过射线的等比例 扩展联系在一起：即，若x~y，则对所有α≥0均 有αx~αy，则称 X RL上的单调偏好关系是位似 的。
注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。 例3.D.2 效用函数 u(x1, x2 ) ln x1 (1 ) ln x2
习题
某消费者具有如下形式的效应函数
u(x1, x2 ) u(x1) x2
其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是 x1 0 or x1 1 假设u(0)=0，p2=1 该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平 时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间接效应 函数的代表形式是什么？
u(x( p, w)) w
u(x( p, w)) Dwx( p, w)
p Dwx( p, wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例3.D.1 从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D 效用函数为 u(x1, x2 ) Ax1 x12 , A 0, (0,1) UMP问题是
间接效用函数-详解
间接效用函数-名词详解间接效用函数(Indirect Utility Function)目录• 1 什么是间接效用函数• 2 间接效用函数的内容• 3 间接效用函数的性质• 4 相关条目什么是间接效用函数间接效用函数是指消费者在进行消费活动时，当自变量商品价格向量C和消费者的消费预算S．T．发生冲突时，即C．Z＞S．T．时，在满足C．Z≤S．T．情况下，让效用函数u(z)取得最大值。
间接效用函数的内容在实际中，消费者在购买一种商品时会面临许多选择，例如同种商品有许多不同的品牌，或者是消费者要购买的这种商品可以被其他相类似的商品而替代。
因此，消费者在购买商品时做出的决定其实是一个决策问题效用实际上是消费者在进行消费的过程中，从销售商提供的商品或者服务中是否能得到满足感。
我们给效用附加上一个效用值，通过比较不同商品或者服务的效用值来做出购买的决定。
间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者的最优消费时的效用。
间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影响有比较便利的条件成立。
间接效用函数的性质间接效用函数 v(p, m) 是价格和收入的函数，消费者的最大化效用，是消费束x的函数。
可以由预算约束（收入m）和外在的相对价格（p）关系间接地表达。
具有如下性质：1.关于p和m是零次齐次的，即对于所有t>0，是零次齐次的，都有v(p,m)=v(t p,t m)。
2.对于p是非递增的和拟凸的，即是非递增的和拟凸的，v(p,m)≤0。
3.对于m是严格递增的，即是严格递增的，v(p,m)>0。
4.对于所有的p>0和m>0是连续的，即如果u(x)连续，则是连续的，连续其最大化的一阶导数值也是连续的。
其最大化的一阶导数值也是连续的。
5.满足罗伊恒等式(Roy’sidentity)。
相关条目•需求函数•效用函数-全文完-。
chapter04 间接 效用函数与支出函数
20
A
C
价格变动的 替代效应
A
C
h 0, 0 x1 p1 p2 , u
希克斯
h 1, 0 x1 p1 p2 , u
需求曲线
间接效用函数与支出函数
21
如果u ()是连续且严格递增的， 那么，当p 0时， 支出函数e( p, u )在点（p o , u 0 )对于p可微，并且 e（p o , u 0 ) h o 0 x（ p , u ) i 1,2, n i pi
x p x , p y , I
2 px I 2 2 px py
x, y为两种商品， I为收入。
Why or why not?
间接效用函数与支出函数
12
2.设一个消费者的直接效用函数为
u ln q1 q2
构造出该消费者的间接效用函数，并且运用罗尔等式其关于 两种物品的需求函数。验证这样得到的需求函数与直接效用 函数推导的需求函数是相同的。
间接效用函数与支出函数
间接效用函数与支出函数
1
Which is better？
政府决定对化妆品征税，那么到底是
征收所得税好还是商品税好呢？
间接效用函数与支出函数
2
设效用函数为
x1 x2 x1 x2
1 2
ux1, x2 x1x2
m ax L
s.t . p x 1 p x2 y L 1 x1 x1 2
间接效用函数与支出函数
10
0 0 如 p, y 在点 p , y 是可导且 p ,y 0 y
0
0
p 0 , y 0 pi 0 0 i 1,2,, n 则有xi p , y 0 0 p , y y 0
8效用函数、间接效用函数和支出函数
M (a ) f ( x (a ), a )，其中x (a )为f ( x , a )的最优解 两边对a微分 dM (a ) f ( x (a ), a )) x (a ) f ( x (a ), a )) （ 1） da x (a ) a a 因为x (a )为f ( x, a )的最优解 f ( x (a ), a )) 所以 0 x (a ) 代入（ 1）得到 dM (a ) f ( x (a ), a )) f ( x , a ) da a a
第一节间接效用函数
一、定义
v p, m max u x
n xR
S t px m
px m
瓦尔拉斯定 律
①它是极大化了的效用
②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现
二、性质
（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0) 即它是关于p,m的零次齐次函数
pn xn m
p1 x1 p2 x2
两边同时对pj偏微分
xi x j pi 0 p j i 1
n
n xi v pi p j p j i 1
故
v x j p j
（1）
②再求分母
v( p, m) u ( x( p, m))
对m求偏微分
x x (a )
三、应用 例，设 u( x1, x2 ) x1x2 •比较政府征收0.5元的所得税 •与0.5元的商品税对消费者效用 •的影响。
解： max x1 x2 p1 x1 p2 x2 m 的解为
m * x1 2 p 1 x* m 2 2 p2
（二） v( p, e( p, u )) u , 证：设x*为 m e( p, u ) 时 M1的解，故
中级微观3
间接效用函数
Max U（ x1，x2，‥xi，‥，xn） S.t. ∑pixi=m 得出xi=Di( P1，P2，‥Pi，‥，Pn, m),称为 马歇尔需求函数。 将其带入效用函数中，使得效用的最大值可 以表示为价格（ P1，P2，‥Pi，‥，Pn, m） 的函数V（p，m），将其称之为间接效用函 数。
第三讲 间接效用函数 和支出函数
张涵
本章要点
间接效用函数
支出函数 谢泼特引理
对偶性
定义：同一行为的两种不同的表述方式，其实质是 一样的。 消费者行为选择：预算约束一定下的效用最大化问 题和效用一定下的支出最小化问题。 生产者行为选择：成本一定的情况下产出最大化问 题和产出一定的下的成本最下化问题。 性质：对偶问题的解是相同的，因为其均衡条件是 相同的。
第一步：直接效用函数为 第二步：可求出其间接效用函数
第三步：初始状态：p1=0.25;p2=1,y=2。分 别讨论征收0.5元所得税或商品税消费者效 用的变化。
对消费者福利的影响
开征商品税对于消费者的间接效用的负面作 用大于开征所得税所带来的负面作用 原因：价格提高后减少了消费者的实际购买 力；改变了商品的相对价格。
支出函数
从间接效用函数中解出m＝n（p，u）—— 收入与价格、效用的函数，在给定效用水平 和价格时，我们可以找到实现此效用水平的 最低支出。 支出函数是间接效用函数的反函数。 对支出函数的一般定义
支出函数的性质
1. 在u取最低效用水平时，支出函数e (p, u) 为零 2. 在定义域e： 上连续 3. 对于所有的p≥0������ ，支出函数在u上递 增并且无上界 4. 在价格p上递增
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1 1 2
1
1 1
1 1 p2 p1
1 1 2
x2
yp p1
1
p2
1 1 1
1
x1
yp p1
1
p2
1
令
r
1
yp r r p1 p2
r yp2 1 r r p1 p2 r 1 1
• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有 关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大 值函数。 • 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而 且也出现在目标函数，我们有：
V ( ) max f ( x, ) g ( x, ) 0 f ( x( ), )
x
• 其中x x( )为参数为 时的选择变量的最优 解，或者称最优反应。因此，根据定义， 如果对一任意 x' ， 则有 f ( x( ), ) f ( x' , ) ， 等号当且仅当 x' x x( ) 时取得。因此， 最大值函数 V ( ) f (x( ), ) 与函数 f ( x, ) 是有 区别的，一般而言， V ( ) f ( x, ) ，当且仅当 x x( ) V( 时， ) f ( x, ) ，即 x为参数 的最优反应时 取得等号。我们用一简单的图示来说明这 一关系。
) • 包络定理：包络曲线 V ( 与曲线 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为：
f ( x1 , ) 相切
V f ( x , )
1
• 在
1
处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max
x
f ( x, ) g ( x, ) 0
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义 • 直接效用函数：效用u ( x) 是消费计划 x x , x ,...x • 的函数。 v ( p, y ) u x ( p, y ) • 若 成立，则 v( p, y ) 就为间接效 用函数。
1 2 n
二、使用间接效用函数的原因：
v( p, w) , j 1, 2,, n w
• 这个证明要用到包络定理
包络定理(Envelope Theorem)
• 与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。 比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变 得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响， 以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题 是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数 （最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费 者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要 素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响， 都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先 介绍一个概念：最大值函数
x 1 x2
1
v( p, y ) [ x1 ( p, y ) x2 ( p, y ) ]
1
yp yp ( r ) ( r ) r r p1 p2 p1 p2
r 1 1 r 1 2 ( y ( p1( r 1) p2r 1) ) r ( p1r p2 ) r p1r p2 y r r ( p1 p2 ) r y ( p1r p2 ) 1 r 1 1
• 最大值函数(Maximum Value Function) • 最优规划问题max f ( x), x x g ( x) c 中， x 我们知道最优解是与参数有关的函数， 即 x x(c) ，因此在最优解处，目标函数的值 为：
f ( x ) f ( x(c)) V (c)
x( p0 , w0 )
x( p1 , w1 )
x R : u ( x) v
2
5、罗伊恒等关系
• 如果间接效用函数 v( p, w) 在点上 ( p , w ) 是可导的且 v( p, w) 0 ， w • 一定存在
v( p, w) x j ( p, w) p j
n n g ( x(a), a) g ( x(a), a) xi (a) a j xi a j i 1
将该式的减号移入方括号内, 再用该恒等式的右边 替代公式(3)中的整个求和式,从而得: v(a) g ( x(a), a) f ( x(a), a) (a) ....(4) a j xi a j 所以公式(2)和公式(4)右边相等, 故有 : v(a ) L a j a j
• 间接效用函数使用收入和价格两个变量 来描述的消费者的最优消费均衡。
ICC
PCC
三、间接效用函数的性质
• 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格 和财富的同比例变化并不影响效用水平。 • 3、在财富上是严格递增的。 • 4、而在价格上则是严格递减的。 • 5、满足罗伊恒等式。
性质2的证明
v(tp, ty ) [max u ( x), 受约束于tpx ty ]， 它显然等价于[max u ( x), px y ] 用t>0去除约束条件两边， 得到v(tp, ty ) [max u ( x), tpx ty ] v( p, y )Βιβλιοθήκη B0 B2 B1p
y
• 现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与 销售税的比较，价格补贴发放办法比较。 • 问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种 是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额 是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? • 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ • 商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格， 不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨 价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消 费者更为有利？ • 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费 者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
n v(a ) g ( x(a ), a ) xi (a) f ( x(a), a) (a ) － ....(3) a j xi a j a j i 1
再返回一阶条件公式(1), 并对方程组的第二个恒等式g ( x(a), a) 0 求关于a j的微分 : g ( x(a), a) xi (a) g ( x(a), a) 0 x a j a j i 1 i 再整理得到 :
性质1说明和证明
n R 表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正，
没有一维价格为零，n表示n维价格。R 表示收入的定义域，
n 收入可以为零。R R 表示预算集的定义域。性质1说明
当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用函数也是 会有微量的变化的。理由是，如果效用u(x)是连续的，那么其极大 化了的值一定也是连续的。
s.t.
• 其中选择变量x为n维向量，参数 为m维向 量，包络定理为：
V L j a j
x ( a ), ( a )
• 即参数 a j 对最大值函数（目标函数的最大 值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对 参数 a 求偏导数，并在最优解 x 处取值。
j
包络定理证明
首先, 构建最优化问题的拉格朗日函数,即有: L f ( x, a ) [ g ( x, a )] 如果x(a)是方程的解，那么存在(a)满足详尽的一阶 库恩-塔克条件。 如果则有： f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) 0......(1) xi xi g ( x ( a ), a ) 0 由于这些条件用于定义解x ( a )与 ( a ), 我们可将 它们写成恒等式。 L关于参数a j的偏导数将为： L f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) a j a j a j 如果我们在( x ( a ), ( a ))处给这个导数取值, 将有 : L a j
两式相除，就可以得到罗伊恒等式
• 例:从直接效用函数
1
u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) ,0 1, 推出 接效用函
v( p, y),
• 并验证性质5。
x1 x2 y y
p1 p1 ,x1 x2 p2 p2 p1 x1 p2 x2 x2 p
性质5证明
由 max u f ( p, y ) s.t px y 得，L(x, )= u(x)+ (y- px) v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) y y v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) x p p
x ( a ), ( a )
性质3证明
由 max s.t u v ( p, y ) px y 得，L ( ) u( + x, = x)
( y-
px)
L ( x , ) u ( x*) pi 0 x x v ( p , y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y u ( x*) pi * x 由于u (.) 格 增 x1 x2 , u1 u 2 x 0, u 0 u ( x*) 0 x n p R
• • • •
验证（略） 性质3 性质4 性质5
三、间接效用函数的应用
• 间接效用函数的存在对于说明政府政策的福利影响有比较便利的 条件。 • 控制消费者行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现。控 制价格 ，实质就是价格改革和价格政策；控制收入 ，实质 便是收入政策的内容。如：最低生活保障制度。 • 这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先 从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。 • 最低生活保障制度。为了保证消费者在收入限制下选择到生活 需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入 标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。 • 最低生活保障制度是一种保证收入 y不低于 I( p) 的制度。 条件 y I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出 条件。
1
1 1
1 1 p2 p1
1 1 2
x2
yp p1
1
p2
1 1 1
1
x1
yp p1
1
p2
1
令
r
1
yp r r p1 p2
r yp2 1 r r p1 p2 r 1 1
• 即目标函数在最优解处的解也是与参数c有 关的函数，我们定义为 V (c) ，称之为最大 值函数。 • 更一般的，如果参数不仅出现在约束，而 且也出现在目标函数，我们有：
V ( ) max f ( x, ) g ( x, ) 0 f ( x( ), )
x
• 其中x x( )为参数为 时的选择变量的最优 解，或者称最优反应。因此，根据定义， 如果对一任意 x' ， 则有 f ( x( ), ) f ( x' , ) ， 等号当且仅当 x' x x( ) 时取得。因此， 最大值函数 V ( ) f (x( ), ) 与函数 f ( x, ) 是有 区别的，一般而言， V ( ) f ( x, ) ，当且仅当 x x( ) V( 时， ) f ( x, ) ，即 x为参数 的最优反应时 取得等号。我们用一简单的图示来说明这 一关系。
) • 包络定理：包络曲线 V ( 与曲线 于A点，即两曲线在A点的斜率相等，用代 数表达为：
f ( x1 , ) 相切
V f ( x , )
1
• 在
1
处取值。此等式即为包络定理。
• 更加一般的，对于最优规划问题：
max
x
f ( x, ) g ( x, ) 0
第一节 间接效用函数
• 一、间接效用函数的定义 • 直接效用函数：效用u ( x) 是消费计划 x x , x ,...x • 的函数。 v ( p, y ) u x ( p, y ) • 若 成立，则 v( p, y ) 就为间接效 用函数。
1 2 n
二、使用间接效用函数的原因：
v( p, w) , j 1, 2,, n w
• 这个证明要用到包络定理
包络定理(Envelope Theorem)
• 与比较静态分析相关的一个重要工具是包络定理。 比较静态分析的思想是在其它条件（参数）不变 得前提下，研究单个参数的变化对均衡解的影响， 以此来表达决策者的行为。而另一类重要的问题 是，我们常常要考虑此参数的变化对目标函数 （最大值）的影响，如一商品价格的变化对消费 者的效用的影响，一投入要素价格的变化（或要 素禀赋的变动）对厂商收入（或利润）的影响， 都属此类情形。在进入正式的讨论之前，我们先 介绍一个概念：最大值函数
x 1 x2
1
v( p, y ) [ x1 ( p, y ) x2 ( p, y ) ]
1
yp yp ( r ) ( r ) r r p1 p2 p1 p2
r 1 1 r 1 2 ( y ( p1( r 1) p2r 1) ) r ( p1r p2 ) r p1r p2 y r r ( p1 p2 ) r y ( p1r p2 ) 1 r 1 1
• 最大值函数(Maximum Value Function) • 最优规划问题max f ( x), x x g ( x) c 中， x 我们知道最优解是与参数有关的函数， 即 x x(c) ，因此在最优解处，目标函数的值 为：
f ( x ) f ( x(c)) V (c)
x( p0 , w0 )
x( p1 , w1 )
x R : u ( x) v
2
5、罗伊恒等关系
• 如果间接效用函数 v( p, w) 在点上 ( p , w ) 是可导的且 v( p, w) 0 ， w • 一定存在
v( p, w) x j ( p, w) p j
n n g ( x(a), a) g ( x(a), a) xi (a) a j xi a j i 1
将该式的减号移入方括号内, 再用该恒等式的右边 替代公式(3)中的整个求和式,从而得: v(a) g ( x(a), a) f ( x(a), a) (a) ....(4) a j xi a j 所以公式(2)和公式(4)右边相等, 故有 : v(a ) L a j a j
• 间接效用函数使用收入和价格两个变量 来描述的消费者的最优消费均衡。
ICC
PCC
三、间接效用函数的性质
• 1、在价格和财富上是连续的。 • 2、它对于价格和财富是零次齐次的，即价格 和财富的同比例变化并不影响效用水平。 • 3、在财富上是严格递增的。 • 4、而在价格上则是严格递减的。 • 5、满足罗伊恒等式。
性质2的证明
v(tp, ty ) [max u ( x), 受约束于tpx ty ]， 它显然等价于[max u ( x), px y ] 用t>0去除约束条件两边， 得到v(tp, ty ) [max u ( x), tpx ty ] v( p, y )Βιβλιοθήκη B0 B2 B1p
y
• 现在应用效用最大化理论来分析两个实际问题：所得税与 销售税的比较，价格补贴发放办法比较。 • 问题1：所得税与销售税哪一种对消费者更为有利？ • 国家向居民征税有两种办法，一种是征收所得税，另一种 是征收销售税。假定不论采取哪种办法，居民缴纳的税额 是一样的。那么，哪一种征税办法对居民更为有利些? • 问题2：涨价补贴对消费者是否有利？ • 商品涨价，国家要发放价格补贴。一种办法是控制价格， 不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨 价，把价格补贴发给消费者。那么，哪一种补贴办法对消 费者更为有利？ • 为了分析这两个问题，设当前的市场价格体系为 p，消费 者收入为 r，消费者的选择为 xD( p, r)。
n v(a ) g ( x(a ), a ) xi (a) f ( x(a), a) (a ) － ....(3) a j xi a j a j i 1
再返回一阶条件公式(1), 并对方程组的第二个恒等式g ( x(a), a) 0 求关于a j的微分 : g ( x(a), a) xi (a) g ( x(a), a) 0 x a j a j i 1 i 再整理得到 :
性质1说明和证明
n R 表示价格的定义域，下标＋＋是指严格为正，
没有一维价格为零，n表示n维价格。R 表示收入的定义域，
n 收入可以为零。R R 表示预算集的定义域。性质1说明
当收入与价格有微量的变化时，极大化了的效用函数也是 会有微量的变化的。理由是，如果效用u(x)是连续的，那么其极大 化了的值一定也是连续的。
s.t.
• 其中选择变量x为n维向量，参数 为m维向 量，包络定理为：
V L j a j
x ( a ), ( a )
• 即参数 a j 对最大值函数（目标函数的最大 值）的影响，就等于拉格朗日函数直接对 参数 a 求偏导数，并在最优解 x 处取值。
j
包络定理证明
首先, 构建最优化问题的拉格朗日函数,即有: L f ( x, a ) [ g ( x, a )] 如果x(a)是方程的解，那么存在(a)满足详尽的一阶 库恩-塔克条件。 如果则有： f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) 0......(1) xi xi g ( x ( a ), a ) 0 由于这些条件用于定义解x ( a )与 ( a ), 我们可将 它们写成恒等式。 L关于参数a j的偏导数将为： L f ( x ( a ), a ) g ( x ( a ), a ) (a) a j a j a j 如果我们在( x ( a ), ( a ))处给这个导数取值, 将有 : L a j
两式相除，就可以得到罗伊恒等式
• 例:从直接效用函数
1
u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) ,0 1, 推出 接效用函
v( p, y),
• 并验证性质5。
x1 x2 y y
p1 p1 ,x1 x2 p2 p2 p1 x1 p2 x2 x2 p
性质5证明
由 max u f ( p, y ) s.t px y 得，L(x, )= u(x)+ (y- px) v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) y y v ( p, y ) L( x , ) |x x ( p , y ) x p p
x ( a ), ( a )
性质3证明
由 max s.t u v ( p, y ) px y 得，L ( ) u( + x, = x)
( y-
px)
L ( x , ) u ( x*) pi 0 x x v ( p , y ) L ( x , ) |x x ( p , y ) y y u ( x*) pi * x 由于u (.) 格 增 x1 x2 , u1 u 2 x 0, u 0 u ( x*) 0 x n p R
• • • •
验证（略） 性质3 性质4 性质5
三、间接效用函数的应用
• 间接效用函数的存在对于说明政府政策的福利影响有比较便利的 条件。 • 控制消费者行为实质上可以由控制价格与控制收入来实现。控 制价格 ，实质就是价格改革和价格政策；控制收入 ，实质 便是收入政策的内容。如：最低生活保障制度。 • 这项制度有利于社会稳定，有利于促进经济均衡。现在，我们先 从预算集合角度，考察一下最低生活保障制度的含义。 • 最低生活保障制度。为了保证消费者在收入限制下选择到生活 需要品，消费者收入就应不低于最低收入标准。所谓最低收入 标准，是指在既定价格体系 p 下消费集合X 中的最低支出 I( p) = inf { p x: xX }。 • 最低生活保障制度是一种保证收入 y不低于 I( p) 的制度。 条件 y I( p) 就叫做最低生活保障或最低收入条件或最低支出 条件。