2.1.1合情推理
合集下载
课件6：2.1.1 合情推理
(2)分成两列数，奇数位的数：32,16，( )，4,2.偶数位的 数：31,26，( )，16,11，所以括号中的数依次是 8,21.
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
2．观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<54，1＋212＋312＋412 <78，…，由此可以归纳出的一般结论是__________.
【答案】1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112<2n2＋n 1(n∈N*) 【解析】不等式的左边是i12的前 n＋1 项和，右边的分母是 2n， 分子是 2n＋1，故一般性的结论是 1＋212＋312＋…＋n12＋n＋112 <2n2＋n 1(n∈N*)．
2.1.1 合情推理
新知导学
1．归纳推理 由某类事物的_部__分___对__象__具有某些特征，推出该类事物的 __全__部__对__象__都具有这些特征的推理，或者由_个__别__事__实___概括出 _一__般__结__论___的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由___部__分___到__整__体___、由__个__别___到__一__般___的推理． 2．金导电、银导电、铜导电、铁导电，金、银、铜、铁 都是金属，因此可猜想所有金属都导电，这种推理形式为 __归__纳__推__理__．
新知导学
3．类比推理 由 两 类 对 象 具 有 _某__些__类__似__特__征___ 和 其 中 一 类 对 象 的 __某__些__已__知__特__征__，推出另一类对象也具有_这__些__特__征___的推理称 为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由__特__殊__到__特__殊__ 的推理．
5．归纳推理是由部分到_整__体___，由具体到_抽__象___，由特 殊到_一__般___，从个别事实中概括出_一__般__结__论___的思维模式． 类比推理是在__两__类__不__同__的事物之间进行对比，找出若干相同 或相似之处之后，推测在其他方面也可能存在__相__同__或__相__似___
课件11：2.1.1 合情推理
类比对象较合适
()
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形 D．矩形
【解析】从构成几何图形的几何元素的数目、位置关
系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体
的类比对象较为合适．
【答案】C
4．根据如图的5个图形及相应的圆圈个数的变化规 律，试猜测第(n)个图形有多少个圆圈．
解：方法一：图(1)中的圆圈数为12－0； 图(2)中的圆圈数为22－1， 图(3)中的圆圈数为32－2， 图(4)中的圆圈数为42－3， 图(5)中的圆圈数为52－4… 故猜测第(n)个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
小结：
类比推理：类比就是在两类不同的事物之间进行对比， 找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存 在相同或相似之处的一种推理模式，类比推理是否正确 是需要证明的.
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
本节内容结束 更多精彩内容请登录：
2.1.1 合情推理
学习目标： 1．了解合情推理的含义及合情推理在数学发现中的作用； 2．理解归纳推理与类比推理的含义及它们的异同点． 3.理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的 推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
新知识·预习探究 知识点一：归纳推理 1．概念 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全 部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一 般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推 理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
证明：在四面体 O－BCD 与 V－BCD 中， 1
OVEE＝hh1＝＝313SS△△BBCCDD··hh1＝VVOV－－BBCCDD. 同理有：ODFF＝VVOD－－VVBBCC；OBGG＝VVOB－－VVCCDD；OCHH＝VVOC－－VVBBDD， ∴OVEE＋DOFF＋OBGG＋OCHH ＝VO－BCD＋VO－VVBCV＋－BVCDO－VCD＋VO－VBD＝VVVV－－BBCCDD＝1.
课件6：2.1.1 合情推理
二是研究数列中的相邻两项或几项的关系，这样，知 道了最初的几项后，后面的项就可按照已找出的关系 顺次写出来． (2)这个数列的一般项可以写成： a2n＝1＋2(1＋2＋…＋n)＝n2＋n＋1； a2n－1＝1＋2(1＋2＋…＋n－1)＋n＝n2＋1(n∈N＋)．
跟踪训练 3.如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点” 表示原子，两点间的“短线”表示化学键，按图中结构， 第 n 个图有________个原子，有________个化学键．
解：(1)由已知有 a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出 an＝2n＋1－1，n∈N* .
(2)由已知有 a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a， a3＝2－1 a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜测出 an＝(n－n－1)(－n－(n1－)a2)a，n∈N*.
…， 所以，第 20 个拐弯处的数是 a20＝1＋(1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋…＋10＋10) ＝1＋2(1＋2＋…＋10)＝111.
第 25 个拐弯处的数是 a25＝1＋(1＋1＋2＋2＋…＋12＋12＋13) ＝1＋2(1＋2＋…＋12)＋13＝170.
方法总结 (1)寻找数列的排序规律，常用两种方法： 一是考察数列的“项”与它所在的位置，即“项数” 之间的关系，一般的数列写作：a1，a2，a3，…， an，….这里的an是数列的“项”，n是“项数”，若能 找到“项”与“项数”的关系，则知道了项数n，也就 知道了它所对应的项an.
解：如图，设 O 为四面体 V－BCD 内任意一点，连接 VO、BO、CO、DO 并延长交对面于 V′、B′、C′、D′， 类比关系为OVVV′′＋OBBB′′＋OCCC′′＋ODDD′′＝1.
人教版选修2-2《2.1.1合情推理》课件(共23张PPT)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 F+V-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体86Fra bibliotek12五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
7.利用等差数列性质类比等比数列性质
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
6＝3+3， 8＝3+5，
10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11,
18 =7+11, …，
1000＝29+971， 1002=139+863,
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
课件11：2.1.1 合情推理
题型三 类比推理及其应用 例 3 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面 体性质的猜想．
解：如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；
类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P-DEF 中，如图(2)， 猜想：S2＝S21＋S22＋S23(S、S1、S2、S3 分别是四面体 PDEF 的 面△PEF、△DEF、△PFD、△PDE 的面积)．
2．已知△ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结论 有：若三棱锥 A-BCD 的内切球半径为 R，求三棱锥 A-BCD 的体积． 解：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VABCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
象具有某种性质，推出这 些__类__似__ (或__一__致__)性，推测其
定义 类事物的_所__有___对象都具 中一类事物具有与另一类事物类
有这种性质的推理，叫做 似(或相同)的性质的推理，叫做类
归纳推理
比推理
归纳是从特殊到一般的过 特征
程
类比是从特殊到特殊的过程
初试身手
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
课件1：2.1.1合情推理
此 凸 n 边 形 的 对 角 线 条 数 为 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ … ＋ (n － 2) ＝ n(n －
3)(n≥4，n∈N*)．
在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸
六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n边形有几条对角线？
总结规律：在几何中，随点、线、面等元素的增加，探究相应的线
2．类比推理的关键是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，为了
提高所得结论的准确性，常采用下列技巧
(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些．
(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．
(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．
典例展示
等差数列、等比数列的性质类比问题
• 言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的
是(
)
• A．三角形
B．梯形
• C．平行四边形
D．矩形
解析：选C.因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平
面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
3．合情推理
• 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分
•
例4
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋an＝a1
＋a2＋…＋a19－(＜19，∈N*)成立，类比上述性质，相应地，在
等比数列{bn}中，若b10＝1，则有等式________成立．
【解析】
等差数列→用减法定义→性质用加法表述
(若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq)；
积等．
(2)在推导空间中的结论时，可利用类似平面结论的推导方
2.1.1 合情推理
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |归纳推理 1.定义:由某类事物的④ 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 ⑤ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由⑥ 个别事实 概括出 一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 2.特征:归纳推理是由⑦ 部分到整体 、由⑧ 个别到一般 的推理.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 特别提醒 经过归纳推理、猜想得出的结论不一定正确,例如:由an=(n2-5n+5)2得到a1=a2=a3= a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上,a5=25.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
(★★☆)(1)发现问题 如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.求 ∠AEB的度数及线段AD、BE之间满足的数量关系.
图①
图②
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在
同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.求∠AEB的度数及线段CM、
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |类比推理 类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以 旧的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它具有发现的功能.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
1 |归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象. (2)结论:归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围, 具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理的结 论不能作为数学证明的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别的、特殊性的事实作为前提,然后才能进 行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:归纳推理是具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结 论,归纳推理是科学发现的重要手段.
课件10：2.1.1 合情推理
【答案】 b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n＜19，n∈N*)
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
跟踪训练
4．若记号“*”表示两个实数 a 与 b 的算术平均的运算， 即 a*b＝a＋2 b,则两边均含有运算符号“*”和“＋”,且对于 任意 3 个实数 a，b，c 都能成立的一个等式可以是 _______．
【解析】由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需 要经过一定的探索类比过程，并且答案不唯一，解决这道试 题要把握住 a*b＝a＋2 b，还要注意到试题的要求不仅类比推 广到三个数，而且等式两边均含有运算符号“*”和“＋”，则可 容易得到 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．
做一做
下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合
适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行，
类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.
【答案】C
3．合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、 分析、比较、联想，再进行_归__纳____、__类__比___,然后提 出_猜__想__的推理．我们把它们称为合情推理．通俗地 说，合情推理是指“___合__乎__情__理____”的推理．
跟踪训练 3．在三棱锥 S－ABC 中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC， 且 SA、SB、SC 和底面 ABC 所成的角分别为 α1、α2、α3， 三侧面△SBC、△SAC、△SAB 面积分别为 S1、S2、S3， 类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．
解：在△DEF 中，由正弦定理得sindD＝sine E＝sinf F. 于是，类比三角形中的正弦定理， 在四面体中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3成立．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
猜想：把n个金属片从1号针移到3号针，最少要移动 2n 1 次
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求 解立体几何往往有赖于平面几何的 类比问题.”
数学中的著名猜想： • 哥德巴赫猜想
• 费马猜想 • 地图的“四色猜想” • 哥尼斯堡七桥猜想 ……
你知道这些数学猜想是怎样提出来的吗？
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
几何中常见的类比对象
平面几何 点
线 圆 三角形 立体几何 线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等 数 有限 相等
例2:类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（归纳）.
归纳推理是由 部分 到 整体 , 由 个别 到 一般
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的事例进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的一般结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
条对角线。由此，凸n边形对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2). n(n 3) 2
练习3.
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: VP ABC PA PB PC
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
3.潜水艇 人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇.
这几个推理的过程是归纳推理吗？
不是
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。
二.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理. (简称：类比)
三、 合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 方程 a＋x=0
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0）
x 1 a
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运 算是减法，乘法的逆运算是除法。
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的 积都等于原来的数，即 a 1 a a+0=a
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
对比两个推理
归纳推理： 由部分到整体、特殊到一般的推理; 结论不一定成立.
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理： 由特殊到特殊的推理; 结论不一定成立.
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
A )
情景创设2：
1. 春秋时代鲁国的鲁班， 一次去林中砍树时被一株齿形的 茅草割破了手，这桩倒霉事却使 他发明了锯子.
他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
2.火星生命
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例如:
由铜、铁、金等金属能导电,归纳出: 一切金属都能导电 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和为180度,归纳出: 三角形的内角和为180度.
你还能举一 些归纳推理 的例子吗?
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。
（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
2. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○● … 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系 列的圈,那么在前120个圈中的●的个( C ) (A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 3. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14, x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( (A)42,41,123; (B)13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863, …
这是正确 的吗？
通过对一些偶数的验证，他发现 它们总可以表示成两个奇质数之 和，而且没有出现反例。
例4：如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多 少次? 解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 圆有切线 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2 球有切面
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1=2-1=21-1 当n=2时,a2= 3 =4-1=22-1 当n=3时,a3= 7 =8-1=23-1 当n=4时,a4= 15 =16-1=24-1
由此归纳 : 数列1， 3， 7， 15的通项公式为an 2n 1
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
n(n 1) f(n)=1+2+3+…+（n-1）= 2
练习2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2
2
E
M
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 ac 1 2 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 2 2 1 2 a c 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a c ) ( 2 b ) a c a b b c s1 s2 s3 4 a c2 4 4 4
2.1.1 合情推理
情景创设1： 世界近代三大数学难题之一 四色猜想问题：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不 相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3， 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两 个区域得到相同的数字。” ”
2n
21
2 1 17 2 1 257 2 1 65 537
24 23
22
F5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
25
练习1. 在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几个交点？ 四条直线相交，最多有1=1，且 an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
an 得: 1 an
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 3 1 3 f (2) 1 f (2)
2
1
3
n=1时, f (1) 1 n=2时, f (2) 3 n=3时, f (3) 7 f (2) 1 f (2) n=4时, f (4) f (3) 1 f (3) 15
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
进行类比推理的步骤：
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想.
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理
“类比是一个伟大的引路人,求 解立体几何往往有赖于平面几何的 类比问题.”
数学中的著名猜想： • 哥德巴赫猜想
• 费马猜想 • 地图的“四色猜想” • 哥尼斯堡七桥猜想 ……
你知道这些数学猜想是怎样提出来的吗？
歌德巴赫猜想: “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和” 即:偶数＝奇质数＋奇质数
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
几何中常见的类比对象
平面几何 点
线 圆 三角形 立体几何 线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等 数 有限 相等
例2:类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质
解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果
仍然是一个实数。 （2）从运算的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即
一.归纳推理
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类 事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实 概括出一般结论的推理,称为归纳推理（归纳）.
归纳推理是由 部分 到 整体 , 由 个别 到 一般
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的事例进行观察、分析、归纳整理； ⑵ 提出带有规律性的一般结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
条对角线。由此，凸n边形对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2). n(n 3) 2
练习3.
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: VP ABC PA PB PC
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
3.潜水艇 人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇.
这几个推理的过程是归纳推理吗？
不是
除了归纳，在人们的创造发明活动中，还 常常应用类比。
二.类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理. (简称：类比)
三、 合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后 提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常 能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提 供证明的思路和方向
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c) 方程 a＋x=0
ab=ba (ab)c=a(bc) ax=1(a≠0）
x 1 a
（3）从逆运算的角度考虑，加法和乘法都有逆运算，加法的逆运 算是减法，乘法的逆运算是除法。
解
a=－x
（4）在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；任意实数与1的 积都等于原来的数，即 a 1 a a+0=a
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
对比两个推理
归纳推理： 由部分到整体、特殊到一般的推理; 结论不一定成立.
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
类比推理： 由特殊到特殊的推理; 结论不一定成立.
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
A )
情景创设2：
1. 春秋时代鲁国的鲁班， 一次去林中砍树时被一株齿形的 茅草割破了手，这桩倒霉事却使 他发明了锯子.
他的思路是这样的： 茅草是齿形的； 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具； 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗？
2.火星生命
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例如:
由铜、铁、金等金属能导电,归纳出: 一切金属都能导电 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角 和为180度,归纳出: 三角形的内角和为180度.
你还能举一 些归纳推理 的例子吗?
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论。
（但要注意，结论可能为真，也可能为假。）
2. 一同学在电脑中打出如下若干个圈: ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○● … 若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系 列的圈,那么在前120个圈中的●的个( C ) (A)12 (B) 13 (C)14 (D)15 3. 观察下列数:1,3,2,6,5,15,14, x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是 ( (A)42,41,123; (B)13,39,123; (C)24,23,123; (D)28,27,123.
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, „， 1000＝29+971， 1002=139+863, …
这是正确 的吗？
通过对一些偶数的验证，他发现 它们总可以表示成两个奇质数之 和，而且没有出现反例。
例4：如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面. 试推测;把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多 少次? 解:设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 圆有切线 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2 球有切面
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1=2-1=21-1 当n=2时,a2= 3 =4-1=22-1 当n=3时,a3= 7 =8-1=23-1 当n=4时,a4= 15 =16-1=24-1
由此归纳 : 数列1， 3， 7， 15的通项公式为an 2n 1
……
六条直线相交，最多有几个交点？
……
n条直线相交，最多有几个交点？
n(n 1) f(n)=1+2+3+…+（n-1）= 2
练习2. 凸n边形有多少条对角线？
凸四边形有2条对角线， 凸五边形有5条对角线， 比凸四边形多3条； 凸六边形有9条对角线， 比凸五边形多4条；
……
猜想：凸n边形的对角线条数比凸n-1边形多n-2
2
E
M
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 ac 1 2 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 2 2 1 2 a c 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (a c ) ( 2 b ) a c a b b c s1 s2 s3 4 a c2 4 4 4
2.1.1 合情推理
情景创设1： 世界近代三大数学难题之一 四色猜想问题：“任何一张地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。” 用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不 相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3， 4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两 个区域得到相同的数字。” ”
2n
21
2 1 17 2 1 257 2 1 65 537
24 23
22
F5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
25
练习1. 在同一平面内，两条直线相交，有一个交点； 三条直线相交，最多有几个交点？ 四条直线相交，最多有1=1，且 an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式. 分别把n=2,3,4代入 an 1
1 1 a2 11 2
1 a3 1 3 1 2 1 2
an 得: 1 an