民航客运量的多元线性回归分析

摘要： 为了对民航业务量做出准确地评估和预测， 利用多元线性回归分析方法对民航客运量的变化趋势及成因建立 并从国民收入、 消费额、 铁路客运量、 民航航线里程、 来华旅游入境人数等方面进行了多元线 了多元线性回归模型， 性回归分析。 关键词： 回归分析； 最小二乘法； 回归方程； 显著性检验； 民航客运量 中图分类号： O212 文献标识码： A 文章编号： 1006 － 0707 （ 2012 ） 08 － 0081 － 04
)
在此条件下可以得到关于回归系数的估计及 σ 估计的 进一步的结果， 比如， 它们分别是回归系数及 σ 的最小方差 而且还可以作回归的显著性检验及区间 无偏估 计 等， 估计 1． 3 1． 3． 1
［7 ］
∑（ y
i =1
i
珋 －y ）2 =
∑（ y
i =1
i
－ yi ）
2
)
n
n
n
+
∑（ y
i =1
［8 ］ － 1 ） 时， 接受 H0 ， 则认为回归方程不显著 。
E（ β i ） = β i ， var（ β i ） = c ij σ
)
2
c ij σ2 ） β i ～ N（ β i ，
)
据此构造 t 统计量 ti = 其中 σ = βi c ii σ 槡 1 e2 i = n － p － 1∑ i =1
2 差， 通常认为 ε ～ N（ 0 ， σ ）。
1 ） 解释变量 x1 ， x2 ， …， x m，是随机变量， x i2 ， 观测值（ x i1 ， …， x im ） 为常数。 2 ） 方差齐性及不相关的假定条件为［1］
{
E（ ε i ） = 0 ， i = 1， 2， …， n COV（ ε i ， εj ） = = j （ i， j = 1， 2， …， n） {0σ，， ii ≠ j
^
2
2． 1
民航客运量模型的建立与求解
民航客运量模型的建立与求解 1 ） 数据来源 x1 表示国民收入总 以预测值 y 表示民航客运量（ 万人） ，
21 ． 578 x4 + 0 ． 435 x5
2
（ 20 ）
b． 复相关系数 R = 0 ． 999 ， 决定系数 R = 0 ． 988 ， 由相关 系数来看回归方程高度显著 。 c． 方差分析表中， F = 1 128 ． 303 ， P 值 = 0 ． 000 表明回归 x2 ， x3 ， x4 ， x5 整体上对 y 有高度线性 方程高度显著， 说明 x1 ， 关系。 d． 回归系数的显著性检验 。自变量 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 对 y 均有显著影响， 其中 x3 铁路客运量的 P 值 = 0 ． 006 最大， 可 这充分说 是仍然在 1 % 的显著性水平上对 y 具有高度显著， 明在多元回归分析中， 不能仅凭相关系数的大小而决定变量 的取舍。
2 2 … ε n ～ N（ 0 ， σ ） iid
2， …， n， 其中 i = 1 ， 这个模型称为多元线性回归模型 。 令
y1 1 x11 x12 y2 1 x21 x22 Y = ， X = yn 1 x n1 x n2 β0 ε1 β1 ε2 β = ， ε = βm εn
y1 = y2 = yn = ε ， ε
1
β0 + β1 x11 + β2 x12 + … + β p x1m + ε1 β0 + β1 x21 + β2 x22 + … + β p x2m + ε2 （ 2） β0 + β1 x n1 + β2 x n2 + … + β p x nm + ε n
2
。
（ 17 ）
回归系数的 F 检验
对多元线性回归方程的显著性检验就是看随机变量 x1 ， x2 ， …， x m 从 整 体 上 对 y 是 否 有 明 显 的 影 响。 因 此 提 出 原 假设 H0 ： β1 = β2 = … = β m = 0 x2 ， …， xm 如果原假设被接受， 则表明随机变量 y 与 x1 ，
［7 ］
。
2
之间的关系由线性回归模型表示不合适 。 一般用 F 检验来 判别， 为了建立对 H0 进行检验的 F 统计量， 用总离差平方和 （ 5）
2
3 ） 正态分布的假定条件为
{
i = 1， 2， …， n ε i ～ N（ 0 ， σ ）， …， ε1 ， ε2 ， ε n 相互独立
2
的分解式， 即
c ii σ 槡 按照一元线性回归系数区间估计的推导过程， 可得 β j 置信水 平为 1 － α 的置信区间为
)
是回归标准差。 当原假设 H0i ： β i = 0 成立时， 式（ 10 ） 构造的 t i 统计量服 查出双 从自由度为 n － m － 1 的 t 分布。 给定显著性水平 α， 侧检验的临界值 t α / 2 。当 t i ≥ t α / 2 时拒绝原假设 H0i ： β i = 0 ， 认为 β i 显著不为 0 ， 认为 β i 显著不为 0 ， 自变量 x i 对因变量 y 的线性效果显著； 反之认为 β i 为 0 ， 自变量 x i 对因变量 y 的 线性效果不显著 1． 3． 2
2
83 张 艳， 等： 民航客运量的多元线性回归分析
x2 ， …， x m 的样本复相关系数 为 y 关于 x1 ，
［5 ］
。
结果见表 4 ～ 6 。 5 ） 回归诊断 a． 回归方程为 y = 450 ． 9 + 0 ． 354 x1 － 0 ． 561 x2 － 0 ． 007 3 x3 +
2 0， 1］区间内， R2 距离 1 越 样本决定系数 R 的取值在［
近， 表明拟合的效果越好； R 距离 0 越近， 表明拟合的效果越 R 检验可以更清楚直观的反映回归拟 差。与 F 检验相比， 合的效果， 但是并不能做为严格的显著性检验 。称 R = 槡 R2 = SST 槡 SSR （ 18 ）
i
珋 －y ）2
（ 12 ）
简写为 SST = SSR + SSE 此时用 F 检验统计量 F = SSR / m SSE / （ n － m － 1 ） （ 14 ） （ 13 ）
。 回归系数的 t 检验
回归方程的显著性检验 在多元线性回归问题中， 回归方程显著并不能说明每个
F 在正态性假设下， 当 H0 ： β1 = β2 = … = β m = 0 成立时， n － m － 1 ） 的 F 分布， 服从自由度为（ m， 于是可利用 F 统计 量对回归方程的总体显著性进行检验 。 对于给定的数据， 当 i = 1， 2， ．．．， n， 计算出 SSR 和 SSE， 进而得到对应 F 的值， 见 一般列在下面的方差分析表中， 再由给定的显著性水平 α， n － m － 1） 。 查 F 分布表， 得到临界值 F α （ m， 表1 方差来源 自由度 回归 残差 总和 m n － m －1 n －1 方差分析表 均方 F值
2
（ 4）
x i2 ， …， x im ， yi ） （ i = 1， 在实际问题中， 获得 n 组关于（ x i1 ， 2， …， n） 观测数据， 则
Markov ） 条件， M 这个称为高斯 － 马尔柯夫（ Gauss简记为 G条件。在此条件下， 可以得到关于回归系数方程一些重要性 质， 比如， 得到关于回归系数的最小二乘估计是回归系数的
2012 年 8 月 第 33 卷 第 8 期 四 川 兵 工 学 报 【信息科学与控制工程】
民航客运量的多元线性回归分析
张 艳， 苗 刚， 李盈科
（ 新疆农业大学 数理学院， 乌鲁木齐 830052 ）
在实际问题中，常遇到研究一个随机变量与多个变量 之间的相关关系， 如， 某产品的销售额不仅受到投入的广告 费用的影响， 还与产品价格、 消费者收入状况、 社会保障及其 它可替代产品的价格等其他因素有关系 。 研究这种一个随 机变量同多个变量之间关系的方法主要是多元回归分析法 。 目前， 我国国民收入实现了快速增长， 民航业蓬勃发展， 为了对民航业务量做出准确地评估和预测， 民航客运量的变 化趋势及成因成为航空公司关心的主要问题 。 影响我国民 航客运量的因素， 不仅有经济因素、 政治因素， 还有天气因 素、 季节因素， 这些因素对我国民航客运量的变化影响程度 各有不同， 而这些因素的不同组合也会产生不同的效果 。 本 文从国民收入、 消费额、 铁路客运量、 民航航线里程、 来华旅 游入境人数等几个方面出发， 运用多元回归分析法来研究其 变化趋势及成因问题。
［4 ， 8 ］
)
1 （ yi － yi ） n － p － 1∑ i =1
)
)
n
2
)
ti =
βi － βi
～ t（ n － m － 1 ）
（ 15 ）
)
)
1． 4． 2
（ βi － tα /2 槡 c ii σ， c ii σ） βi + tα /2 槡 拟合优度
)
（ 16 ）
拟合优度用于检验回归方程对样本观测值的吻合程度 。 在多元线性回归中， 定义样本相关系数为 R2 = SSR SSE = 1 － SST SST
［3 ］
)
i = 1， 2， …， m
（ 6）
平方和 SSR SSE SST
如果接受原假设 H0i ， 则 x i 不显著； 否则 x i 是显著的。
SSR /m SSR /m SSE / （ n － m －1） SSE / （ n － m －1）
2 T β ～ N（ β， σ （ X X）