江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(6)
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(十)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（十）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设全集{2,1,0,1,2}U =--，{2,1,2}A -=，则U A =ð________． 2．设a ∈R ，i 是虚数单位，若()(1)a i i +-为纯虚数，则a =________．3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为________．4．棱长均为2的正四棱锥的体积为________．5．已知{1,0,1}m ∈-，{2,2}n ∈-，若随机选取m ，n ，则直线10mx ny ++=上存在第二象限的点的概率是________．6．如图所示的流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．7．已知正数a ,b 满足210a ab -+=，则8a b +的最小值为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC △是等边三角形，则ABC △的面积为________．9．已知ABC △，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22265tan acB a c b =+-，则sin B 的值是________．10．已知函数2()||2+=+x f x x ，x ∈R ，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是________．11．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知13a =，且数列也为等差数列，则11a =________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,0)(0)A t t ->，(0)B t ，，点C 满足8AC BC =u u u r u u u rg ，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是________．13．设函数231,1()2,1x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足2(())2(())f f a f a =的a 的取值范围为________．14．已知函数2()()()(0)f x x a x b b =--≠，不等式()()f x mxf x '≥对x ∀∈R 恒成立，则2m a b +-=________．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）在ABC △中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知πsin()2cos 6A A +=．（1）若6cos 3C =，求证：230a c -=． （2）若π(0,)3B ∈，且4cos()5A B -=，求sin B ．16．（本小题满分14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB DC ∥，60ABC ∠=︒，1DC =，3AD =．已知PB PC =.（1）若N 为PA 的中点，求证：DN ∥平面PBC ； （2）若M 为BC 的中点，求证：MN BC ⊥．17．(本小题满分14分）如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照． 半圆周上的C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ABC ∠=,点E ，F 在直径AB 上，且π6ABC ∠=． （1）若3CE =，求AE 的长；（2）设ACE α∠=,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为2，点12(,)33A 在椭圆E 上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点(4,)P t t -在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交点分别为C ，D ．（1）求椭圆E 的方程；（2）求证：直线CD 的斜率为定值．19．(本小题满分16分）设a ∈R ，函数()ln f x x ax =-．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设2()()F x f x ax ax =++问()F x 是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由； （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y 是函数()()g x f x ax =+图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为00(,)C x y直线AB 的斜率为k ．证明：0()k g x >'．20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，且对任意不小于2的正整数n ，都有21231...1(,)n n n a a a a ka ta k t -+++++=-为常数成立．（1）若12k =，14t =，问：数列{}n a 是否为等差数列？并说明理由； （2）若数列{}n a 是等比数列，求证：0t =，且0k <．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ．（选修4-1；几何证明选讲）如图,PAQ ∠是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ,与射线AQ 相交于两点B 、C ．求证：BT 平分OBA ∠．B ．（选修4-2：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，设点(,3)P x 在矩阵1234M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点(4,2)Q y y -+，求2x M y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线cos :sin x t m l y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）恒经过椭圆5cos :3sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB g 的最大值与最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，b ，c 均为正数，且239a b c ++=．求证：11114181089a b c ++≥．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．一个袋中装有黑球，白球和红球共(*)n n ∈N 个，这些球除颜色外完全相同．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25．现从袋中任意摸出2个球．（1）若15n =，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是47，设ξ表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量ξ的概率分布及数学期望E ξ；（2）当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？23．设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,,...,)|,1,2,...,}n n i A x x x x x M i n =∈=，集合n A 中满足条件“121||||...||n x x x m ≤+++≤”的元素个数记为nm S ．（1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：111322n n m n m S +++<+-．。
【江苏省南通市、扬州市、泰州市】2017年高考三模数学试卷-答案
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷答 案1．12-2．2|}0{x x ＜＜3．564．3 5．75006．110789．10．111．812．[46]-,13．214．3(,2)2- 15．解：（1）由条件，周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即πsin 3f x A x =+()()．因为f x ()的图象经过点π()32，所以2πsin 32A =． ∴1A =， ∴πsin 3f x x =+()()．（2）由12f παα+=()(-)，得πππsin 1323αα++=()(-)，即ππsin 133αα++=()()，可得：ππ2sin 133[]α=(+)-，即1sin 2α=． 因为0πα∈(,)，解得：π6α=或5π6． 16．证明：（1）因为M 、N 分别为PD 、PC 的中点， 所以//MN DC ，又因为底面ABCD 是矩形，所以//AB DC ．所以//MN AB ，又AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB ．（2）因为AP AD =，P 为PD 的中点，所以AM PD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，又平面PAD 平面ABCD =AD ，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ，又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥．因为CD 、PD ⊂平面PCD ，CDPD D =，∴AM ⊥平面PCD ．17．解：（1）由题意，10F (-,)，由焦点210F (,)，且经过31,2P ()， 由22PF PF a +=，即24a =，则2a =，2223b a c ==-， ∴椭圆的标准方程22143x y +=； （2）设直线AB 的方程为1y k x =+()．①若0k =时，24AB a ==，1FD FO +=， ∴4ABDF =．②若0k ≠时，11Ax y (,)，22B x y (,)，AB 的中点为00M x y (,)， 22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：22224384120k x k x k +++=()-， ∴2122834k x x k +=-+，则202434k x k =-+，则0023134k y k x k =+=+()． 则AB 的垂直平分线方程为2223143434k k y x k k k =+++--()， 由DA DB =，则点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点， ∴22034k D k +(-,)，∴22223313434k k DF k k +=-+=++， 由椭圆的左准线的方程为4x =-，离心率为12，由1142AF x =+，得11(4)2AF x =+， 同理21(4)2BF x =+， ∴212211212()4234k AB AF BF x x k +=+=++=+， ∴4ABDF = 则综上，得ABDF 的值为4．18．解：（1）设DQ 与半圆相切于点Q ，则由四边形CDEF 是等腰梯形知，OQ DE ⊥，以CF 所在直线为x 轴，OQ 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．设EF 与圆切于G 点，连接OG ，过点E 作EH OF ⊥，垂足为H ．∵EH OG =，OFG EFH ∠=∠，GOF HEF ∠=∠，∴Rt EHF Rt OGF △≌△，∴12HF FG EF t ==-． ∴222111()2EF HF EF t =+=+-， 解得1024t EF t t=+(＜＜)． （2）设修建该参观线路的费用为y 万元． ①当103t <≤，由1325[2()]5()42t y t t t t =++=+．2325(02)y t '=-＜，可得y 在1(0,]3上单调递减， ∴13t =时，y 取得最小值为32.5． ②当123t <<时，2111632(8)[2()]1242t y t t t t t t=-++=+--． 22331624(1)(331)'12t t t y t t t -+-=-+=． ∵123t <<，∴23310t t +-＞． ∴1(,1)3t ∈时，0y '＜，函数y 此时单调递减；12t ∈(,)时，0y '＞，函数y 此时单调递增． ∴1t =时，函数y 取得最小值24.5．由 ①②知，1t =时，函数y 取得最小值为24.5．答：（1）1024t EF t t =+(＜＜)（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．19．解：（1）∵122331a b a b a b +=+=+，∴21111112a b q a d b q a d b +=++=++，化为：2210q q =--，1q ≠±． 解得12q =-． （2）m p p r r m a b a b a b +=+=+，即p m p r a a b b =--，∴p m r m m p m d b q q =--(-)(-)，同理可得：1r m m r p d b q =-(-)(-)．∵m ，p ，r 成等差数列，∴12p m r p r m ==--(-)，记p m q t =-，则2210t t =--， ∵1q ≠±，1t ≠±，解得12t =．即12p m q =-，∴10q -＜＜， 记p m α=-，α为奇函数，由公差大于1，∴3α≥． ∴11311()()22a q =≥，即131()2q ≤-， 当3α=时，q 取得最大值为131()2-． （3）满足题意的数组为23E m m m =++(,,)，此时通项公式为：1133()(1)288m n n a m -=---，*m N ∈． 例如134E =(,,)，31188n a n =-． 20．（1）证明：12a =时，21cos 2f x x x =+()， 故sin f x x x '=（）-，即sin g x x x =()-，1cos 0g x x '=≥()-， 故g x ()在R 递增；（2）解：∵2sin g x f x ax x ='=()()-，∴2cos g x a x '=()-， ①12a ≥时，1cos 0g x x '≥≥()-，函数f x '()在R 递增， 若0x ＞，则00f x f '=()＞()， 若0x ＜，则00f x f ''=()＜()，故函数f x ()在0+∞(,)递增，在0∞(-,)递减， 故f x ()在0x =处取极小值，符合题意； ②12a ≤-时，1cos 0g x x '≤≤()--，f x '()在R 递减， 若0x ＞，则00f x f ''=()＜()， 若0x ＜，则00f x f '=()＞()， 故f x ()在0+∞(,)递减，在0∞(-,)递增， 故f x ()在0x =处取极大值，不合题意； ③1122a -＜＜时，存在00x π∈(,)，使得0cos 2x a =，即00g x '=()， 但当00x x ∈(,)时，cos 2x a ＞，即0g x '()＜，f x '()在00x (,)递减， 故00f x f ''=()＜()，即f x ()在00x (,)递减，不合题意， 综上，a 的范围是1[2+∞,)； （3）解：记2cos ln 0h x ax x x x x =+-()(＞)，①0a ＞时，ln x x ＜，则1122ln x x <，即ln x <，当2x >时，112sin 1ln 2222022h x ax x x ax a a+'==()---＞--﹣﹣)＞，故存在21(2m a+=，函数h x ()在m +∞(,)递增； ②0a ≤时，1x ＞时，2sin 1ln sin 1ln 0h x ax x x x x '=()---＜---＜， 故存在1m =，函数h x ()在m +∞(,)递减；综上，函数ln y f x x x =()-在0+∞(,)上广义单调．21．解：连结PA 、PB 、CD 、BC ，因为PAB PCB ∠=∠，又点P 为弧AB 的中点，所以PAB PBA ∠=∠，所以PCB PBA ∠=∠，又DCB DPB ∠=∠，所以PFE PBA DPB PCB DCB PCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠，所E 、F 、D 、C 四点共圆．所以PE PC PF PD =．22．解：由题意，111115a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1115a b -=-⎧⎨--=-⎩，解得2a =，4b =，所以矩阵1214M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． 所以矩阵M 的特征多项式为2125614f λλλλλ--==+-()-，令0f λ=()，得矩阵M 的特征值为2和3． 23．解：因为圆心C 在极轴上且过极点，所以设圆C 的极坐标方程为：cos a ρθ=，又因为点)4π在圆C 上，所以cos 4a π=，解得6a =， 所以圆C 的极坐标方程为：6cos ρθ=．24．证明：∵a ，b ，c ，d 是正实数，且1abcd =，∴54a b c d a +++≥=，同理可得：54a b c d b +++≥=，54a b c d c +++≥=，54a b c d d +++≥=，将上面四式相加得：555533334444a b c d a b c d a b c d +++++++≥+++，∴5555a b c d a b c d +++≥+++．25．解：（1）以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则000D (,,)，220B (,,)，010C (,,)，002S (,,) ∴(2,2,2)SB =-，(0,1,2)SC =-，(0,0,2)DS =设面SBC 的法向量为(,,)m x y z =由222020m SB x y z m SC y z ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩可取(1,2,1)m =-∵SD ⊥面ABC ，∴取面ABC 的法向量为(0,0,1)n = 6cos ,m n =∵二面角S BC A --为锐角．二面角S BC A --（2）由（1）知101E (,,)，则(2,1,0)CB =，(1,1,1)CE =-， 设CP CB λ=，01λ≤≤()．则(2,,0)CP λλ=，(12,1,1)PE CE CP λλ=-=---易知CD ⊥面SAD ，∴面SAD 的法向量可取(0,1,0)CD =cos ,13PE CD ==， 解得13λ=或119λ=（舍去）． 此时21(,,0)33CP =，∴5CP =∴线段CP26．解：（1）102()bc ad f x f x ax b -='=+()()， 2132[]2()()()bc ad ax b a bc ad f x f x ax b -+--='='=+()()； （2）猜想111(1)()!()n n n n a bc ad n f x ax b --+-++-++()=，*n N ∈， 证明：①当1n =时，由（1）知结论正确；②假设当n k =，*k N ∈时，结论正确， 即有111(1)()!()k k k k a bc ad k f x ax b --+-+-+=+() 11112(1)()1?1])[(k k k k k k a bc ad k a bc ad k ax b ax b -++-++-+=+++'=+---()(-)(-)()() 所以当10n k =+时结论成立，由①②得，对一切*n ∈N 结论正确．江苏省南通市、扬州市、泰州市2017年高考三模数学试卷解析1．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵a+bi=（4+3i）i=﹣3+4i．∴a=﹣3，b=4．∴ab=﹣12．故答案为：﹣12．2．【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={x|x＞0}，A={x|x≥2}，则∁U A={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．3．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，由此能求出甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率．【解答】解：∵随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，∴基本事件总数n==6，甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的对立事件是甲、乙2首歌曲都没有被播放，∴甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率：p=1﹣=．故答案为：．4．【考点】EF：程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，循环可得结论．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=1，k=1S=2，不满足条件S＞10，k=2，S=6不满足条件S＞10，k=3，S=15满足条件S＞10，退出循环，输出k的值为3．故答案为：3．5．【考点】B3：分层抽样方法．【分析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，即可求出该校学生总人数．【解答】解：由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是=7500．故答案为：7500．6．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式求出首项a1=2，由此利用等差数列前n项和公式能求出S10．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若公差d=2，a5=10，∴a5=a1+4×2=10，解得a1=2，∴S10=10×2+=110．故答案为：110．7．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为3，且AB=3，AC=4，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案为：．8．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a2的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点为（2，0），若双曲线﹣y2=1（a＞0）经过点（2，0），则有﹣0=1，解可得a2=4，即双曲线的方程为：﹣y2=1，则a=2，c==，则双曲线的离心率e==；故答案为：．9．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为： =2．故答案为：2．10．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设出切点坐标P（x0，e x0+x0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=2x+b 是曲线y=e x+x的一条切线，求出实数b的值．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，设切点为P（x0，e x0+x0），则过P的切线方程为y﹣e x0﹣x0=（e x0+1）（x﹣x0），整理，得y=（e x0+1）x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y=2x+b是曲线y=e x+x的一条切线，∴e x0+1=2，e x0=1，x0=0，∴b=1．故答案为1．11．【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将变形可得则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4，由基本不等式分析可得答案．【解答】解：根据题意，x，y满足x+y=1，则=+=+﹣1=（x+y）（+）﹣1=（1+4++）﹣1=（+）+4≥2+4=8，即的最小值是8；故答案为：8．12．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），由=+， =+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，﹣1≤μ≤0，即可求得﹣4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．【解答】解：∵AB∥DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（﹣1≤μ≤0），又=+， =+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又﹣1≤μ≤0，∴﹣4≤4μ≤0②，①+②得：﹣4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[﹣4，6]，故答案为：[﹣4，6]．13．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】设出=t，化简可得圆的方程，运用两圆相减得交线，考虑圆心到直线的距离不大于半径，即可得出结论．【解答】解：设P（x，y），=t，则（1﹣t2）x2+（1﹣t2）y2﹣2x+（2﹣4t2）y+2﹣4t2=0，圆x2+y2=2两边乘以（1﹣t2），两圆方程相减可得x﹣（1﹣2t2）y+2﹣3t2=0，（0，0）到直线的距离d=，∵t＞0，∴0＜t≤2，∴的最大值是2，故答案为2．14．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出g（x）的解析式，计算g（x）的零点，讨论g（x）在区间[a，+∞）上的零点个数，得出g（x）在（﹣∞，a）上的零点个数，列出不等式解出a的范围．【解答】解：g（x）=，显然，当a=2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；当x≥a时，令g（x）x=0得x=0，当x＜a时，令g（x）=0得x=0或x2=，（1）若a＞0且a≠2，则g（x）在[a，+∞）上无零点，在（﹣∞，a）上存在零点x=0和x=﹣，∴≥a，解得0＜a＜2，（2）若a=0，则g（x）在[0，+∞）上存在零点x=0，在（﹣∞，0）上存在零点x=﹣，符合题意；（3）若a＜0，则g（x）在[a，+∞）上存在零点x=0，∴g（x）在（﹣∞，a）上只有1个零点，∵0∉（﹣∞，a），∴g（x）在（﹣∞，a）上的零点为x=﹣，∴﹣＜a，解得﹣＜a＜0．综上，a的取值范围是（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）由条件可求周期，利用周期公式可求ω=1，由f（x）的图象经过点（，），可求Asin =．解得A=1，即可得解函数解析式．（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得sin．结合范围α∈（0，π），即可得解α的值．16．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出MN∥DC，AB∥DC．从而MN∥AB，由此能证明MN∥平面PAB．（2）推导出AM⊥PD，CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥AM，由此能证明AM⊥平面PCD．17．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）根据椭圆的定义，即可求得2a=4，由c=1，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆的标准方程；（2）分类讨论，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，由韦达定理及中点坐标公式求得M点坐标，求得直线AB垂直平分线方程，即可求得D点坐标，由椭圆的第二定义，求得丨AF丨=（x1+4），即丨BF丨=（x2+4），利用韦达定理即可求得丨AB丨，即可求得的值．18．【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x 轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF﹣t．利用EF2=1+HF2=1+，解得EF．（2）设修建该参观线路的费用为y万元．①当，由y=5=5．利用y′，可得y在上单调递减，即可得出y的最小值．②当时，y==12t+﹣﹣．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．19．【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1+b2=a2+b3=a3+b1，利用等差数列与等比数列的通项公式可得：a1+b1q==a1+2d+b1，化简解出即可得出．（2）a m+b p=a p+b r=a r+b m，即a p﹣a m=b p﹣b r，可得（p﹣m）d=b m（q p﹣m﹣q r﹣m），同理可得：（r﹣p）d=b m（q r ﹣m﹣1）．由m，p，r成等差数列，可得p﹣m=r﹣p=（r﹣m），记q p﹣m=t，解得t=．即q p﹣m=，由﹣1＜q＜0，记p﹣m=α，α为奇函数，由公差大于1，α≥3．可得|q|=≥，即q，即可得出．（3）满足题意的数组为E=（m，m+2，m+3），此时通项公式为：a n=，m∈N*．20．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间，单调函数的极小值，从而确定a的具体范围即可；（3）记h（x）=ax2+cosx﹣xlnx（x＞0），求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性证明即可．21．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】连结PA、PB、CD、BC，推导出∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD，从而E、F、D、C四点共圆．由此能证明PE•PC=PF•PD．22．【考点】OV：特征值与特征向量的计算．【分析】设出矩阵，利用特征向量的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为：ρ=acosθ，又因为点（3，）在圆C上，代入解得ρ即可得出圆C的极坐标方程．[选修4-5：选修4-5：不等式选讲]24．【考点】R6：不等式的证明．【分析】由不等式的性质可得：a5+b+c+d≥4=4a，同理可得其他三个式子，将各式相加即可得出结论．解答题25．【考点】MI：直线与平面所成的角；MT：二面角的平面角及求法．【分析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，1，0），S（0，0，2），利用空间向量求解．26．【考点】RG：数学归纳法；63：导数的运算．【分析】（1）利用条件，分别代入直接求解；（2）先说明当n=1时成立，再假设n=K（K∈N*）时，猜想成立，证明n=K+1时，猜想也成立．从而得证．。
南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷 含答案
20XX 年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 若集合2{|11},{|20}M x x N x x x =-≤≤=-≤，则MN = ▲ ．2． 已知复数(2)z i i =--，其中i 是虚数单位，则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限.3． 某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4． 双曲线22132x y -=的离心率为 ▲ ．5． 执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6． 从2个黄球，2个红球，一个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ▲ ．7． 若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ ．8． 在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9． 若函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f ln )(=，则不等式e xf -<)(的解集为 ▲ ．10. 已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y 轴的交点分别为M 、N ，已知O 为原点，则OM ON ⋅= ▲ ．12．若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比，则这两条直线的斜率之积为 ▲ ． 13． 设实数1m ≥，不等式||2x x m m -≥-对[1,3]x ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．yAB 14．在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sinC 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）己知向量(1,2sin ),(sin(),1)3a b πθθ==+，R θ∈．(1)若a b ⊥，求tan θ的值：(2)若//a b ，且(0,)2πθ∈，求以||a 、||b 为边，夹角为θ的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线l ⊥平面ABC ，求证：l //平面PBC ．17.(本小题满分14分）如图，ABCD 是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS 是一半径为90米的底面为扇形小山（P 为圆弧TS 上的点），其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在BC 及CD 上的长方形停车场PQCR ..（1）设PAB θ∠=,试将矩形PQCR 面积表示为θ的函数； （2）求停车场PQCR 面积的最大值及最小值. .18．(本小题满分14分）如图，点A （1，3）为椭圆1222=+ny x 上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B 、C 两点. （1）求椭圆方程;（2）若直线AB 、AC 与x 轴围成以点A 为顶点的等腰三角形.()i 求直线BC 的斜率；()ii 求△ABC 的面积最大值，并求出此时直线BC 的方程.19．(本小题满分16分）已知数列{n a }中，121,a a a ==，且12()n n n a k a a ++=+对任意正整数n都成立，数列{n a }的前n 项和为Sn.（1）若12k =，且20172017S =，求a ； （2）是否存在实数k ，使数列{n a }是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,m m m a a a ++按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若1,2n k S =-求.20．(本小题满分16分）已知函数'()ln ,()f x x a x f x =+为()f x 的导数，()f x 有两个零点1212,,()x x x x < ，且1202x x x +=.（1）当3a =-时，求 ()f x 的单调区间；（2）证明：'0()0f x > ；（3）证明：02(,),t x x ∃∈使得'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）O E D C B A21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，AB 为圆O 的切线，A 为切点，C 为线段AB 的 中点，过C 作圆O 的割线CED （E 在C ，D 之间）.求证：∠CBE =∠BDE ．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a A 203，A 的逆矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-10311b A （1）求a,b 的值；（2）求A 的特征值.C ．（选修4-4：坐标系与参数方程） 己知在平面直角坐标系xOy 中，圆M 的参数方程为532cos 72sin 2x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数），以Ox 轴为极轴，O 为极点建立极坐标系，在该极坐标系下，圆N 是以点3,3π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，且过点)2,2(π的圆．（1）求圆M 及圆N 在平面直角坐标系xOy 下的直角坐标方程； （2）求圆M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知x,y,z 都是正数且xyz =8,求证：(2+x )(2+y )(2+z )≥64【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．甲、乙两人投篮命中的概率为别为与，各自相互独立，现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后，甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．23．对于给定的大于1的正整数n ，设2012n n x a a n a n a n =++++，其中i a ∈{0,1,2,,1n -}，1,2,,0,,1i n n =-，且0n a ≠，记满足条件的所有x 的和为A n .（1）求A 2（2）设n A =(1)()2n n n f n -，求f （n ）.20XX 年高考模拟试卷(2)参考答案一、填空题1．[]0,1 2．四 3．16 4/3 5．286． 4/5. 1—（2222C C +）/25C =4/5 .7．3.圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高，故V=3. 8． 64. 先得公比q 2=4,知7a =64 .9． (,-∞-e). 11()ln 1,(0,),(,),().f x x f e e e e'=++∞=为减区间为增区间 由于)(x f 是奇函数，结合函数图像得，不等式的解集是(,-∞-e) . 10. [1,7].根据可行域知，目标函数化为z=x-y+3(去掉绝对值是关键） 11． -8/9.令f(x)-g(x)=0,化简得2sin()0,,,66x x k k Z πππππ+=+=∈则15((66M N -，故OM ON ⋅=158((669-⋅12. -9或-1/9.设斜率为k,-k,则两条直线方程为kx-y+1-k=0,kx+y-1-k=0,两条弦心距为12d d ==12l l ==弦长之比得231030k k -+=，求出k=3,或k=-1/3,故结果为-9或-1/9.13．7(1,2][,)2+∞.（1）当12m≤≤时，不等式显然成立；（2）当3m≥时，由1(1)32(2)3m mm m-≥-⎧⎨-≥-⎩得72m≥；（3）当23m<<时，由02m≥-得m<2, 矛盾，综上，7[1,2][,)2m∈+∞..切化弦得22232()c a b=+，222221cos263a b c a bCab ab+-+==≥，于是知sinC的最大二、解答题15．(1)因为⊥a b，所以=0⋅a b，所以π2sin sin03θθ⎛⎫++=⎪⎝⎭，即5sin cos022θθ+=．因为cos0θ≠，所以tan5θ=-．(2)由a∥b，得π2sin sin13θθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即2ππ2sin cos2sin cos sin133θθθ+=，即()11cos2212θθ-+=，整理得，π1sin262θ⎛⎫-=⎪⎝⎭又π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2,666θ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以ππ266θ-=，即π6θ=．所以三角形的面积1sin302=16．（1）因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC平面ABC BC=，AB⊂平面ABC，AB⊥BC，所以AB⊥平面PBC．因为CP⊂平面PBC，所以CP⊥AB.又因为CP⊥PB，且PB AB B=，,AB PB⊂平面PAB,所以CP⊥平面PAB，又因为PA⊂平面PAB，所以CP⊥PA．（2）在平面PBC内过点P作PD⊥BC，垂足为D．因为平面PBC⊥平面ABC，又平面PBC∩平面ABC＝BC，PD⊂平面PBC，所以PD⊥平面ABC．APBDxyAB CO又l ⊥平面ABC ，所以l //PD ． 又l ⊄平面PBC ，PD ⊂平面PBC ， 所以l //平面PBC ．17.(1)S P Q C R ＝f （θ）＝（100－90cos θ）（100－90sin θ）＝8100sin θcos θ－9000（sin θ＋cos θ）＋10000 , θ∈[0，2π]. （2）由（1）知S P Q C R ＝f （θ）＝8100sin θcos θ－900（sin θ＋cos θ）＋10000 ,θ∈[0，2π] .令sin θ＋cos θ＝t ，则t ＝2sin （θ＋4π）∈[1， 2]. ∴S P Q CR ＝28100t 2－9000t ＋10000－28100当t ＝910时，S P Q CD 最小值为950（m 2）当t ＝2时，S P Q CD 最大值为14050－90002 （m 2）.答:停车场面积的最大值和最小值分别为 14050－90002 （m 2）和950（m 2）.18． (1)把点A （1，3）代入1222=+n y x 得n ＝6，故椭圆方程为22126x y +=. （2）（i ）显然题中等腰三角形腰所在的直线不可能与x 轴垂直，因此其斜率必存在，设两腰的斜率分别为1k 、2k ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-162)1(3221y x x k y得点B 的横坐标为33261211++-=k k x （1=x 为点A 的横坐标）， ∴点B 的纵坐标为3632321121++-=k k k y ，即)36323,33261(21121211++-++-k k k k k B .同理可得点C 的坐标为)36323,33261(22222222++-++-k k k k k C∵ 021=+k k ,∴ 直线BC 的斜率为3=BC k .(ii)设直线BC 的方程为m x y +=3，代入方程16222=+y x 得0632622=-++m mx x ，∴ 212332||m BC -=又点A 到直线BC 的距离为2||m d =∴ 36)6(63)12(63||212222+--=-=⋅=m m m d BC S ∴ 当62=m ，即6=m 或6-=m 时，△ABC 面积取得最大值为3.此时，直线BC 的方程为63±=x y .19．⑴12k =时，121()2n n n a a a ++=+，211n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}n a 是等差数列， 此时首项11a =，公差211d a a a =-=-，数列{}n a 的前n 项和是1(1)(1)2n S n n n a =+--，故12017201720172016(1)2a a =+⨯⨯-，得1a =；⑵设数列{}n a 是等比数列，则它的公比21a q a a ==，所以1m m a a -=，1m m a a +=，12m m a a ++=，①若1m a +为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m a a a -+=+，解得1a =，不合题意；②若m a 为等差中项，则122m m m a a a ++=+，即112m m m aa a -+=+，化简得：220a a +-=，解得2a =-,1a =（舍去）；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； ③若2m a +为等差中项，则212m m m a a a ++=+，即112m m m aa a +-=+，化简得：2210a a --=，解得12a =-；11122215m m m m m m a a a k a a a a a +-++====-+++； 综上可得，满足要求的实数k 有且仅有一个，25k =-； ⑶12k =-则121()2n n n a a a ++=-+， 211()n n n n a a a a ++++=-+，32211()n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+，当n 是偶数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++12341()()()n n a a a a a a -=++++++12()(1)22n na a a =+=+， 当n 是奇数时， 12341n n n S a a a a a a -=++++++123451()()()n n a a a a a a a -=+++++++1231()2n a a a -=++1121[()]2n a a a -=+-+11(1)2n a -=-+，1n =也适合上式，综上可得，n S ⎧=⎨⎩11(1),2(1),2n a n a --++n n 是奇数是偶数．20．(1) '3()3ln ,()x f x x x f x x-=-=，可得f (x)的单调减区间为（0,3），单调增区间为（3，+∞）. (2) 设2(1)()ln (1)1x x x x x ϕ-=->+，可证此函数在（1，+∞）是增函数，且(1)0ϕ>，令211x x x =>，代入得到211221ln ln 2x x x xx x -+<-， 而由21112221ln ,ln ln ln x x x a x x a x a x x -=-=-⇒=-->122x x +-,故有12''12012122()22()()1102x x x x af x f x x x x +-+==+>+=++. (3)令2200()ln()x G x x x x x =--，'2020(,),()ln 0,xx x x G x x ∈=>G(x)是增函数，D令201x t x =>，则有0022()[ln (1)]01()[ln (10G x x t t G x x t t =--<⎧⎪⎨=-->⎪⎩（用到lnx<x-1）, 由零点定理知，存在02(,),()0t x x G t ∈=， 即20202020ln ln ln ln 111x x x x aa tx x t x x --=⇔+=+--即'020()()f x f t x x =--.第II 卷（附加题，共40分）21.A .因为CA 为圆O 的切线，所以2CA CE CD =⋅， 又CA CB =， 所以2CB CE CD =⋅， 即CB CDCE CB=， 又BCD BCD ∠=∠， 所以BCE ∽DCB ， 所以∠CBE =∠BDE ．B ．（1）因为A A －1＝⎣⎡⎦⎤302a⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13 0 b 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 023＋ab a ＝⎣⎡⎦⎤1001． 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，23＋ab ＝0．解得a ＝1，b ＝－23． （2）由（1）得A ＝⎣⎡⎦⎤3021， 则A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－30－2 λ－1＝(λ－3)( λ－1)．令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝1，λ2＝3．C ．（1）⊙M ：227(()42x y -+-=，)3π对应直角坐系下的点为3)2,(2,2π对应直角坐系下的点为(0,2)，∴⊙N ：223(()122x y -+-=（2）PQ =MN -3=431-=.D ．因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ．同理 2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ．（5分）所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥22222288x y z xyz = 因为xyz ＝8， 所以(2＋x )( 2＋y )( 2＋z )≥64．22．( 1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球． 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率： p=++=．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P （ξ=0）=+++==，P （ξ=1）=+++=， P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=1﹣=，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 PEξ==1．23．⑴当2n =时，01224x a a a =++，0{0,1}a ∈，1{0,1}a ∈，21a =， 故满足条件的x 共有4个，分别为004x =++，024x =++，104x =++，124x =++, 它们的和是22． ⑵由题意得，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法；n a 有1n -种取法，由分步计数原理可得0121,,,,n a a a a -,n a 的不同取法共有(1)(1)n n n n n n n ⋅⋅⋅-=-，即满足条件的x 共有(1)nn n -个， 当0a 分别取0,1,2,,1n -时，121,,,n a a a -各有n 种取法，n a 有1n -种取法， 故n A 中所有含0a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn --++++--=；同理，n A 中所有含1a 项的和为21(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含2a 项的和为2122(1)(0121)(1)2n n n n n nn n n --++++--⋅=⋅；n A 中所有含1n a -项的和为2111(1)(0121)(1)2n n n n n n n nn nn ----++++--⋅=⋅；当n a 分别取1,2,,1i n =-时，0121,,,,n a a a a -各有n 种取法，故n A 中所有含n a 项的和为1(1)(121)2n nnnn n n n n n +-+++-⋅=⋅；所以n A =2121(1)(1)(1)22n n n n n n n n n n nn +---+++++⋅；21(1)1(1)212n n n n n n n n n n n +---=⋅+⋅-1(1)(1)2n n n n n n n +-=+-故1()1n n f n n n +=+-．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(七)-答案
15．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B +=，则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0A <，πB <所以ππA B -<-<，所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．（2）由214S a =，得211sin 24ab C a =，所以1sin sin sin 2B C A =，由（1）知，1sin sin sin2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2A =； 若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4A =．16．解：（1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD ACE ∥平面，PD PBD ⊂面，PBD ACE OE =面面，所以PD OE ∥．因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点．（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB =，因为四边形ABCD 是正方形，所以2OC AB =， 所以PC OC =．因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥． 又因为PC ABCD ⊥底面，BC ABCD ⊂底面， 所以PC BD ⊥．而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG PAC ⊂平面，AC CG C =，所以BD PAC ⊥平面，因为CG PAC ⊂平面，所以BD CG ⊥． 因为,PO BD PBD ⊂平面，PO BD O =，所以l PA QA =+，即4π(0)sin cos 2l θθθ=+<<．（2）设4()cos f θθ，π(0,)2θ∈．由24sin ()cos f θθθ'==，令()f θ'，得0tan θ且当0(0,)θθ，()0f θ<；当0π(,)2θθ∈，()0f θ'>，所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．当0tan 2θ=0sin θ=，0cos θ=，所以()f θ的最小值为即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．18．解：（1）由题意，12c a =且6a a c+=，解得2a =，1c =．∴b ==∴椭圆的标准方程为22143x y +=．（2）证明：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，又(2,0)A -， ∴直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，得002(0,)2y M x +， ∴00(22,)2y x AM +=． 同理可得002(0,)2y N x --+，0022)2(,y AN x -=-+，∴220444y AM AN x =+-．又点P 在椭圆C 上，故2200143x y +=，即2200443x y -=-， ∴2204414y AM AN x =+=-（定值）； （3）证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，将直线AP 的方程1(2)y k x =+与椭圆方程联立得：21214(32)y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即2222111(34)1616120k x k x k +++=-．∴2112116234k x k -+=+-，211216834k x k =-+，11212112234k k y x +=+=-，∴221122116812(,)3434k k P k k -++． ∵121k k =-，∴221122116812(,)3434k k Q k k --++．当211k =时，2121682347k k -=-+点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为27x =-， 由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为27-．当211k ≠时，11222111222111221112123434768684(1)3434OQ k k k k k k k k k k k --++==----++， 直线PQ 的方程为211122211112768()344(1)34k k k y x k k k --=-+-+， 令27x =-得：2111222111768122()04(1)73434k k k y k k k -=--+=-++．19．解：（1）21()32f x ax x'=--， 由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-， 所以0a b +=．（2）由（1）知，3()2ln f x ax x x =--，3221321(1)(331)()32x x x x x f x x x x x---++'=--==， 令()0f x '=，得1x =，且当01x <<时，()0f x '=；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间1[,1]e和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点．（3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(0,1]x ∈．32131()3ax g x ax x x-'=-=，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；当0a >时，()g x '令()0g x '=，得x =1，即103a ≤≤时，函数()g x 在(0,1]单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥， 所以13a =符合；1，即13a >时，函数()g x在上单调减，在上单调增， 所以()g x的最小值为112ln3133g a a =++>， 所以1a >符合． 20．解：（1）由条件，22213a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22111023a a -=， 所以222213511...82a a a a +++=．（2）①由22121(2)n n a a n n --=+≥，22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，22121n n a a n --=+．将上面的式子相加，得221(215)(1)2nn n a a ++--=，所以22(215)(1)4(1)(2)2nn n a n n ++-=+=+≥．因为{}n a 的各项均为正数，故1(2)n a n n =+≥． 因为12a =也适合上式，所以*1()n a n n =+∈N ． ②假设存在满足条件的k m a=， 1m +，平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*）所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，所以2222(1)(21)19(1)(2)19m k m k ⎧+-->⎪⎨+-<⎪⎩， 即(2)(22)19(1)(12)(12)19(2)m k m k m k m k +-+->⎧⎨+++-<⎩由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得18m =，192k =不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k +-≤， 所以21192k m k <+≤-，即194k <，又*k ∈N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =． 21．A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．由题意，233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即63,315,a b -=⎧⎨-=⎩， 解得，3,2,a b =⎧⎨=⎩所以2321M ⎡⎤⎢⎣=⎥⎦． 设23()(2)(1)6021f λλλλλ--==---=--，解得1λ=-或4λ=，所以矩阵M 的特征值为1-和4．C ．由32,1x t y t =-⎧⎨=-⎩消参数t ，得210x y --=．由55cos ,35sin x y ϕϕ=+⎧⎨=-+⎩消参数ϕ，得22(5)(3)25x y -++=．所以圆心(5,3)-到直线210x y --=的距离d ==所以AB =D ．因为不等式20x ax b -+<的解集为(1,0)， 所以可得，3a =，2b =．又函数()((f x a b =--由柯西不等式可得，22122(21]5++=，当且仅当=16[3,4]5x =∈时取等号． 所以，当165x =时，函数()f x22．因为平面B DEF C A A D ⊥平面，ADEF ABCD AD =平面平面，CD ABCD ⊂平面，CD AD ⊥，所以CD ADEF ⊥平面，因为DE ADEF ⊂平面，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(0,0,0)D ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E ，F(1,0,1)，所以(0,2,1)EC =-，(1,0,1)DF =，(1,1,0)DB =． 设平面BDF 的法向量(,,)n x y z ，则00n DF n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-，所以(1,1,1)n --， 设直线与平面所成角为，则sin |||||||EC n EC n θ===⨯即直线EC 与平面BDF ． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=≤≤， 则(0,2,1)P λλ-，所以(0,2,1)DP λλ=-． 设平面BDP 的法向量2(1,1,)1n λλ'=--， EC BDF θ则00n DP n DB ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩，即2(1)00y z x y λλ''+-=⎧⎨''+=⎩，令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(1,1,)1n λλ'--． 设二面角F-BD-P 的平面角为α，则2111cos ||||3n n n n λα+-'==='⨯， 解得13λ=或57λ=．经检验，符合条件的13λ=， 即当13EP EC =时，二面角F-BD-P 的余弦值为13． 23．解：（1）由22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．（2）①当3n =，不等式左边1111571ln3345660=+++=<<，所以不等式成立； ②假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln ki k i=<∑；则当1n k =+时，左边2(1)233111111ln 21222122k k i i k i i k k k k +===++<++++++∑∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k ++≤+++，只需证111ln 2122k k k k++≤++（*）． 由（1）知，1x >时，()0f x >，即2ln(1)2xk x +>+，所以212ln(1)1212kk k k+>=++， 由于112212221k k k +++++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．由①②知，原不等式对任意n ∈N ，3n ≥都成立．江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（七）解 析一、填空题1． {2，3} 2． 3． 90 4． 245．12 ．由双曲线的一条准线的方程为，所以．6． ．所有的基本事件的总数为，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为． 7． ．8．．由条件，不等式即为，所以， 解得． 9． 3 ．由条件，，所以，所以，因为，，所以．10. 4 ．由，得，所以，所以．11． ．令，即，所以， 因为，所以，即12． 7．如图所示，函数与的图象有7个不同的交点，所以原方程有713． 18．直线过定点的对称中心，所以为的中点，由所以动点满足所以的最大值为18．14． ．由1i -+2214y x a -=3x =3=12a =23339⨯=32193-=()1010，(lg )(1)0f x f +>(lg )(1)f x f >-lg 1x <-1010x <<234534()()2()a a a a a a +++=+2312(1)()2()q a a q a a ++=+11(1)(3)8q q a qa ++=10a >1q ≠3q =16cos 8OP OA AOP ⋅=∠=1cos 2AOP ∠=60AOP ∠=42cos604OC AP OC OB ⋅=⋅=⨯⨯=345cos22sin x x =-25(12sin )2sin x x -=-210sin sin 30x x --=()π02x ∈，3sin 5x =03sin 5x =()1y f x =+y =1y kx k =+-(1,1)M M AB 4PA PB +≤2PM ≤()P m n ，22(1)(1)8m n -+-≤22m n +2a ≤e+e 2(1)x yx y ax a +-+-≤当时，不等式为恒成立，；当时，不等式为，设，，则，当且仅当时取“=”， 再设，则，设，由于，所以在上单调增，因为，所以当时，，即；当时，，即， 所以在上为减函数，在上为增函数， 所以在时取得最小值，且最小值为2．综上，当且时，取最小值为2，所以．2x =-220e+e 2yy -+--+≤a ∈R 2x >-1e (e +e )22x y y a x -⎡⎤+⎣⎦+≤1()e (e +e )22x y y f x x -⎡⎤=+⎣⎦+()2x ∈-+∞，2(e 1)()2x f x x ++≥0y =2(e 1)()2x g x x +=+222[e (2)(e 1)]2[e (1)1]()(2)(2)x x x x x g x x x +-++-'==++()e (1)1x t x x =+-()e (1)e e (2)0x x xt x x x '=++=+>()t x ()2-+∞，(0)0t =(20)x ∈-，()0t x <()0g x '<(0)x ∈+∞，()0t x >()0g x '>()g x (20)x ∈-，(0)x ∈+∞，()g x 0x =0x =0y =()f x 2a ≤。
江苏省南通市(数学学科基地命题)2017年高考模拟试卷(8) Word版含答案
2017年高考模拟试卷(8)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 集合{}{}0,2,1,0,1x A B ==-，若{}0,1A B ⋂=，则x = ▲ .2. 若复数()(1i)1i z a =+-(i 为虚数单位，a ∈R )满足||2z =，则2016()ai = ▲ .3. 已知倾斜角为α的直线l 的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则2016sin(2)3π-α=▲ .4. 某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人。
现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．则该校高三学生共有 ▲ 人. 5. 已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，且()30f =，则 不等式2(2)0f x x ->的解集为 ▲ .6. 运行如图所示的算法流程图，输出的结果为 ▲ .7. 已知集合{}2,1,0A =--，{}1,0,1,2B =-，若,a A b B ∈∈， 则b a AB -∈的概率 ▲ .8. 数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n nn n n a a a n a a a --++-=≥-，则使得20162n a a =成立的正整数 n = ▲ .9.函数()sin f x x x a =+-在区间[]0,2π上恰有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3 ＝ ▲ .10. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、.其中2F 也是抛物线224C y x =：的焦点，点M 为12C C 与在第一象限的交点，且1523MF a =-.则椭圆1C 的方程为 ▲ .11. 已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-=⎨+>⎩，，≤≤，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，MFEDC BA则实数m 的取值范围是 ▲ . 12. 已知0,0x y >>，且2x y +≤，则4122x y x y+++的最小值为 ▲ . 13. 在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||||||BM CN BC CD =，则AM AN ⋅的最大值为 ▲ . 14. 已知函数2()12f x x x =-的定义域为[]0m ，，值域为20am ⎡⎤⎣⎦，，则实数a 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知斜三角形ABC ∆中． （1）求角C ；（2）若c =，求当ABC ∆的周长最大时的三角形的面积．16．（本小题满分14分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，2AB DC =，45BDC ︒∠=，点M 在线段EC 上． （1）若2EM CM =，求证：AE ∥面BDM ； （2）证明：平面BDM ⊥平面ADEF.17．(本小题满分14分）为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON 进行分流，已知穿城公路MON 自西向东到达城市中心点O 后转向东北方向，现准备修建一条城市高架道路L ，L 在MO 上设一出入口A ，在ON 上设一出入口B ，假设高架道路L 在AB 部分为直线段，且要求市中心O 与AB 的距离为10km ． （1）求两站点,A B 之间距离的最小值；（2）公路MO 段上距离市中心O 30km 处有一古建筑群C ，为保护古建筑群，设立一个以C 为圆心，5km 为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群和市中心O 之间设计出入口A ，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区？18．(本小题满分14分）已知圆O ：x 2 + y 2 = 4，两个定点A (a ，2)，B (m ，1)，其中a ∈R ，m > 0.P 为圆O 上任意一点，且PAPB = k (k 为常数). （1）求常数k 的值；（2）过点E (a ，t )作直线l 与圆C ：x 2 + y 2 = m 交于M 、N 两点，若M 点恰好是线段NE的中点，求实数t 的取值范围．19．(本小题满分16分）已知函数2()(1)ln f x x a+x x =--+2，且该函数在1x =处取得极值. (1)求实数a 的值，并求出函数的单调区间；(2)若函数5()()2g x f x b x =-+在区间(0,2016)上只有一个零点，求实数b 的值；(3)令2()()2f x kh x x x x=+--，当0k <时，若函数()f x 的图象与x 轴交于不同的两点1(,0)A x ，()2,0B x ，12x x <，求证：122x x +>N20．(本小题满分16分）对于数列{}n a ，记1n n n a a a +∆=-，11k k k n n n a a a ++∆=∆-∆，,k n N *∈，则称数列{}k n a ∆为数列{}n a 的“k 阶差数列”.（1）已知1()2n n a ∆=-，① 若{}n a 为等比数列，求1a 的值；② 设t 为任意正数，证明：存在k N *∈，当,,n m k n N m N **>≥∈∈时总有||.n m a a t -≤（2）已知23-2n n a ∆=，若11a =，且3n a a ≥对n N *∈恒成立，求2a 的取值范围.第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．答题区域内作答．．．．．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图，ABC ∆内接于圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，BAC ∠的平分线分别交BC 于点D ，若2PA PB =. 求证：2CD DB =.B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵302A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，A 的逆矩阵11031A b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求2A .C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C 的方程为2cos (0)a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为31(43x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围.D ．（选修4-5：不等式选讲）已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1.求证：22212223x y z y z z x x y ++≥+++.【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC. 若AC=BC=BE =2,（1）BE 边上是否存在一点M ，使得AD 和CM 的夹角为60︒？ （2）求锐角二面角O-CE-B 的余弦值.23．设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．2017年高考模拟试卷(8)参考答案一、填空题1. 0 . 由{}0,1A B ⋂=,可得21x =，所以，0x =2. 1. 法一：由()(1i)1i (1)(1)i z a a a =+-=++-，所以z ，所以222(1)(1)2a a ++-=，所以21a =，即1a =±，所以20162016()()1ai i ==法二：由(1i)1i 2z a =+-==，所以212a +=，所以21a =，即1a =±， 所以20162016()()1ai i ==.3. 45-. 因为tan 2=α，所以，22220162sin cos 2tan 4sin(2)sin 23sin cos 1tan 5παααααααα-=-=-=-=-++. 4. 600. 设高二女生人数为x 人，所以，0.192000x=，即380x =，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600人。
(高清版)【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（三）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合{1,2,3,4}=A ，{1,4,7}=B ，则=AB ________．2．已知复数z 满足i 3i =+z （i 是虚数单位），则||z 的值为________．3．已知样本数据12,,...n x x x 的均值5=x ，则样本数据131+x ，231+x ，…，的值为________． 4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为________．5．随机从1，2，3，4，5五个数中取两个数，取出的恰好都为偶数的概率为________． 6．已知等差数列{}n a 满足1210+=a a ，432-=a a ．则数列第10项10=a ________． 7．如图，四棱锥-P ABCD 中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2=AB ，3=AD ，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥-E PAB 的体积为4，则PA 的长为________．8．函数2|log |=y x ，1[,32]4∈x 的值域为________． 9．如果函数3sin(2)=+y x ϕ的图像关于点5π(,0)6中心对称，则||ϕ的最小值为________．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)=-OA t ，(2,2)=OB ，若∠OBA 为直角三角形，则实数t 的值为________．11．若存在实数x ，使不等式2e 2e 10+-≥x x a 成立，则实数a 的取值范围为________． 12．已知正数a ，b 满足13+=ab a b，则ab 的最小值为________． 13．已知点(2,3)A ，点(6,3)-B ，点P 在直线3430-+=x y 上，若满足等式20+=AP BP λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．14．设函数33,()2,⎧-<=⎨-≥⎩x x x af x x x a，若关于x 的不等式()4>f x a 在实数集R 上有解，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，π3=B ． (1)若23=AC ，2=BC ，求AB ． (2)若13cos =A ，求tan C ． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥-P ABCD 中，⊥AB 平面PAD ，∥DC AB ，2=DC AB ，E 为棱PA 上一点.(1)设O 为AC 与BD 的交点，若2=PE AE ，求证：∥OE 平面PBC ；(2)若⊥DE AP ，求证：⊥PB DE ．17．(本小题满分14分）南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积（亿立方米）关于t 的近似函数的关系为321124100,010()4(10)(341)100,1012⎧-+-+<≤=⎨--+<≤⎩t t t t V t t t t (1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以1-<<i t i 表示第t 月份(1,2,...,12)=i ，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积． 18．(本小题满分14分）已知圆222:(0)+=>O x y r r 与椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b相交于点(0,1)M ，(0,1)-N ，且椭圆的离心率为2． (1)求r 值和椭圆C 的方程；(2)过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点． ①若23=MB MA ，求直线l 的方程；②设直线NA 的斜率为1k ，直线NB 的斜率为2k ，问：21k k 是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．19．(本小题满分16分）设函数()e ||=--x f x x a ，其中a 是实数． (1)若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若函数有极大值点2x 和极小值点1x ，且2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，求实数k 的取值范围． 20．(本小题满分16分）已知数列{}n a 的各项均为正数，2122==a a ，且312++-=n n n na a a a 对*∀∈n N 恒成立，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)证明：数列212{}-+n n a a 为等比数列；(2)若存在正实数t ，使得数列{+}n S t 为等比数列，求数列{}n a 的通项公式．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A.（选修4-1；几何证明选讲）如图,AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ．过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ，求证：2=-AB BE BD AE AC ．B ．（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵1214⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，向量32⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，计算3A α． C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为π()3=∈R θρ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2cos ()1cos 2=⎧⎨=-⎩为参数x y ααα，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标．D ．（选修4-5：不等式选讲）已知a ，∈b R ，e >>a b （其中e 是自然数对数的底数），求证：>a b b a ．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．小明和小刚进行篮球投篮比赛，采用五局三胜制，当有人赢得三局时，比赛即停止．已知每局比赛中小明获胜的概率为34． (1)求第三局结束后小明获胜的概率；(2)设比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ．23．设0(,)(1)-=-+∑nk knk m P n m C m k，(,)-=nn m Q n m C ，其中m ，*∈n N ． (1)当1=m 时，求(,1)(,1)P n Q n 的值；(2)对+∀∈m N ，证明：(,)(,)P n m Q n m 恒为定值．为直角，有0=OB AB ，即有()0-=OB OB OA ，∴2=OA OB OB ； ， 5=t ． ．[1,)-+∞．12．23．解：∵a ，b 为正数，根据不等式有13132=+≥ab a b a b， 化简得23≥ab ab ，即有23≥ab ，当且仅当1313⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b ab a b时，即23=a ，183=b 时，取“=”．13．(,2)-∞．解：设(,)P x y ，则(2,3)=--AP x y ，(6,3)=-+BP x y ，根据20+=AP BP λ， 代入坐标化简有2213(4)132()2-+=-<x y λλ． 由题意圆：2213(4)132()2-+=-<x y λλ圆与直线3430-+=x y 相交， 圆心到直线的距离22|34403|313234-+==<-+d λ∴2<λ．14．1(,)(7,)2-∞+∞．解：当1≤-a ，函数()f x 有最大值2-a ，此时24->a a ，得0<a ，又∵1≤-a ， ∴1≤-a ；当12-<≤a ，函数()f x 有最大值2，此时24>a 得12<a ， 又∵12-<≤a ，∴112-<<a ， 当2>a ，函数()f x 无最大值，∵取不到33-a a ，∴334->a a a ，即370->a a ，得70-<<a ，或7>a ， 又∵2>a ， ∴7>a ；综上所述，a 的取值范围是1(,)(7,)2-∞+∞．二、解答题．15．解：(1)∵在△ABC 中，π3=B ，=AC ，2=BC ， 由余弦定理得2222cos =+-AC AB BC AB BC B ， 得21242=+-AB AB ，即2280--=AB AB 解之得4=AB ，2=-AB （舍去）．(2)cos 013=>A ，得π02<<A ，sin 13==A sintan cos ==AA A 又∵π3=B ，∴tan tan 333tan tan()1tan tan 533++=-+=-==-A B C A B A B ．16．解：(1)在△AOB 与△COD 中， ∵∥DC AB ，2=DC AB ， ∴12==AO AB CO CD ， 又∵2=PE AE ， ∴在△APC 中，有12==AO AE CO PE ，则∥OE PC ． 又∵⊄OE 平面PBC ，⊂PC 平面PBC ， ∴∥OE 平面PBC ．(2)∵⊥AB 平面PAD ，⊂DE 平面PAD ， ∴⊥AB DE ．又∵⊥AP DE ，⊂AB 平面PAB ，⊂AP 平面PAB ，⋂=AP AB A ， ∴⊥DE 平面PAB ，⊂PB 平面PAD ， ∴⊥DE PB ．17．解：(1)当010<≤t 时，32()1124100100=+-+<V t t t t ， 化简得211240-+<t t ， 解得3<t 或8>t ，又∵010<≤t ，故04<<t 或810<≤t ，当1012<≤t 时，()4(10)(341)100100=--+<V t t t ，得41103<<t ， 又∵1012<≤t ，故1012<≤t ． 综上得04<<t ，或812<≤t ．∴衰退期为1月，2月，3月，4月，…9月，10月，11，12月共8个月．(2)由(1)知：()V t 的最大值只能在(4,9)内取到． 由322()(1124100)32224''=-+-+=+-V t t t t t t 令()0'=V t ， 得6=t 或43=t （舍去）． 当t 变化时，()'V t 与()V t 的变化情况如下表：由上表，()Vt 在6=t 时取最大值(6)136()=亿立方米V ． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．18．解：(1)∵圆222:+=x y r O 与椭圆22221(0):+=>>x y a b a C b相交于点(0,1)M∴1==b r ．又∵离心率为e 2==c a ∴a∴椭圆22:12+=y C x ．(2)∵过点M 的直线l 另交圆O 和椭圆C 分别于A ，B 两点，∴直线l 的方程为1(0)=+≠y kx k ，由22112=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx x y 得22(21)40++=k x kx ， ∴222421(,)2121--+++k k B k k ，同理2211=+⎧⎨+=⎩y kx x y 得到22(1)20++=k x kx ，∴22221(,)11--+++k k A k k ，∵23=MB MA ，则224223211--=++k kk k ∵0≠k ，∴2=±k ，即直线l的方程为12=±+y x ． ②根据①222421(,)2121--+++k k B k k ，22221(,)11--+++k k A k k ， 222111121-++-+====---+A N NAA N k y y k k k k x x k k ，22222111214221-++-+====---+B N NB B N k y y k k k k x x k k ， ∴2112=k k 为定值． 19．解：(1)∵e ,()e |e ,⎧-+≥⎪=--=⎨+-<⎪⎩x xx x a x a f x x a x a x a ，则e 1,()e 1,⎧-≥⎪'=⎨+<⎪⎩x x x af x x a ，∵()f x 在R 上单调递增， ∴()0'≥f x 恒成立，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x 恒成立，当≥x a 时，()e 10'=-≥xf x 恒成立，故()0'≥f a ，即0≥a ．(2)由(1)知当0≥a 时，()f x 在R 上单调递增，不符题意， ∴有0<a ．此时，当<x a 时，()e 110'=+≥>xf x ，()f x 单调递增，当≥x a 时，()e 1'=-xf x ，令()0'=f x ，得0=x ，∴()0'<f x 在(,0)a 上恒成立，()f x 在(,0)a 上单调递减，()0'>f x 在(0,)+∞恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴()()e ==极大af x f a ，()(0)1==+极小f x f a ，即0<a 符合题意．由2121()()()-≥-f x f x k x x 恒成立，可得e 1--≥a a ka 对任意0<a 恒成立，设()e (1)1=-+-a g a k a ，求导，得()e (1)'=-+ag a k ，①当1≥-k 时，()0'≥g a 恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递增， 又∵1(1)0e-=+<g k ，与()0>g a 矛盾； ②当0≥k 时，()0'≤g a 在(,0)-∞上恒成立，()g a 在(,0)-∞单调递减， 又∵(0)0=g ，∴此时()0≥g a 恒成立，符合题意；③当10-<<k 时，令()0'>g a 在(,0)-∞上解集为(ln(1),0)+k ， 即()g a 在(ln(1),0)+k 上单调递增， 又∵(0)0=g ，∴(ln(1))0+<g k 不符题意； 综上，实数k 的取值范围为[0,)+∞． 20．证明：(1)由312+++=n n n n a a a a ，可知323311...+++====n n n n a a aa a a a ， ∴212232123212212()++---++==++n n n n n n n na a a a a a a a a a ，当1=n 时，123+=a a ，即数列212{}-+n n a a 是以3为首项，3a 为公比的等比数列．(2)法一：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 又∵{}+n S t 为等比数列，故有221()()()++++=+n n n S t S t S t ，对+∀∈N n 恒成立，∴222221()()()++++=+k k k S t S t S t 和222322()()()++++=+k k k S t S t S t 对+∀∈N k 恒成立，即123333333112333333333(1)3(1)(2)(1)()()(1)111(2)(1)(2)(1)3(1)(1)(1)()111+++⎧--+-++=++⎨---⎩+-+--++++=+---k k k k k k a a a a t t t a a a a a a a a t t t a a a 对+∀∈Nk 恒成立，解得34=a ，1=t ，此时2132(1)(1)(1)++=+S S S 也成立．∴34=a ，1=t ，即21=-n n S 得到12-=n n a ．法二：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，3212342123333(1)33()()...()111--=++++++==----k k k k k a S a a a a a a a a a a 要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有331=-t a 成立① 故当21=+n k 时，333321123451333(2)(1)22()()...()11111+-+-++=+++++++=+=-+---k k k n n a a a a S a a a a a a a a a a a ．要使得{}+n S t 为等比数列必有2{}+k S t 为等比数列，即有33211+=--a t a 成立② 联立①②得1=t ，34=a 以下同解法一法三：由(1)，同理可知，数列221{}++n n a a 是以32+a 为首项，3a 为公比的等比数列．故当2=n k 时，32123421233(1)()()...()1--=++++++=-k k k k a S a a a a a a a 故当21=+n k 时，33211234513(2)(1)()()...()11+-+-=+++++++=+-k k n n a a S a a a a a a a a ． 要使得{}+n S t 为等比数列必有2243()()()++=+S t S t S t 和2132()()()++=+S t S t S t解得1=t ，34=a ，通过验证1=t ，31=a 时，{}+n S t 为等比数列．以下同解法一第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．解：A ．连接AD ， ∵AB 为圆O 的直径，∴90∠=︒ADB ，又∵⊥EF AB ，90∠=︒AFE ，则A ，D ，E ，F 四点共圆， ∴=BD BE BA BF ，又~△△ABC AEF ，即=AB AF AE AC ．∴2()-=-=-=BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ．B ．∵212()5614--⎡⎤==-+⎢⎥-⎣⎦f λλλλλ，由()0=f λ，得2=λ或3=λ． 当2=λ时，对应的一个特征向量为121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；当3=λ时，对应的一个特征向量为211⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α；设321211⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m n ，解得11=⎧⎨=⎩m n ，∴33333312122143()12131135⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A A A αααααC ．∵直线l 的极坐标方程为π()3=∈θρR ， ∴直线l的直角坐标方程为=y ，又∵曲线C 的参数方程为2cos 1cos 2=⎧⎨=-⎩x y αα，∴曲线C 的普通方程为212,[2,2]2=-+∈-y x x ，联立解方程组2122⎧=⎪⎨=-+⎪⎩y y x ．解得3⎧=⎪⎨=-+⎪⎩x y3⎧=⎪⎨=-⎪⎩x y∴点P的直角坐标方程为(3-． D ．∵0>a b ，0>b a ， ∴要证>a b b a ， 只要证ln ln >a b b a只要证ln ln >b ab a，构造函数ln (),(e,)=∈+∞x f x x x ． 21ln (),(e,)-'=∈+∞x f x x x，()0'<f x 在区间(e,)+∞恒成立， ∴函数()f x 在(e,)∈+∞x 上是单调递减，∴当e >>a b 时，有()()>f b f a 即ln ln >b ab a，得证． 22．解：(1)记“第三局结束后小明获胜”为事件A ，则3327()()464==P A ．(2)由题意可知X 的所有可能取值为3，4，5．33317(3)()()4416==+=P X131333311345(4)()()()()4444128==+=P X C C ，27(5)(3)(4)128===-==P X P X P X ．∴比赛局数X 的分布列为∴比赛局数X 的数学期望是74527483()34516128128128=⨯+⨯+⨯=E X ． 23．解：(1)当1=m 时，1100111(,1)(1)(1)111++--=∑-=∑-=+++n n k kk k nn k k P n C C k n n ， 又∵11(,1)1+==+n Q n C n ，显然(,1)(,1)1=P n Q n ．(2)0(,)(1)-=∑-+nk knk mP n m C m k111111(1)()(1)-----=+∑-++-++n k k k nn n k m mC C m k m k111(1,)(1)---=-+∑-+n k k n k m P n m C m k 0(1,)(1)-=-+∑-+n k knk m m P n m C n m k (1,)(,)=-+mP n m P n m n即(,)(1,)=-+nP n m P n m m n， 由累乘，易求得!!1(,)(0,)()!+==+n n mn m P n m P m n m C ，又∵1(,)+=nn Q n m C ， ∴(,)(,)1=P n m Q n m ．。
2017年南通市数学学科基地命题高考模拟试卷(6)(含详解)
(第5题)2017年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则 x = ▲ .2. 若复数z 1＝2+i ，z 1·－z 2＝5，则z 2＝ ▲ .3. 从数6，7，8，9，10，11六个数中，任取两个不同的数， 则两个数互质的概率是 ▲ .4．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据 3x 1，3x 2，…，3x 100 的标准差为 ▲ .5．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为 ▲ .6．设正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是单位正方形，其表面积14，则AA 1＝ ▲ . 7．不等式组⎩⎨⎧y ≤x +2y ≥x0≤y ≤4x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ▲ ．8．函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象在［0,1］上恰有三个最高点，则ω的取值范围是 ▲ .9．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是 ▲ .10．已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ▲ ．11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2、a 5、a 9依次成比数列，则 使a 1＋a 2＋…＋a n ＞100a 1的最小正整数k 的值是 ▲ .12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F 1，抛物线和双曲线交于点B 、C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．13．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C，则cos A cos B cos C＝ ▲ ．14．已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6xx 2+4x ＋3，x ∈［0,4］，则f (x )最大值是 ▲ ．AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 1二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知α∈(0，π)，且sin(α＋π3)＝6－24．(1)求sin(α－π4)的值；(2)求cos(2α－π3)的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．17.（本小题满分14分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、2(N)的重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m (N)的重物，恰好使系统处于平衡状态． (1)若∠AOB ＝120°，求m 的值； (2)求m 的取值范围．18. 椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，在椭圆C 上任取异于A 、B 的点P ，直线P A 、PB 分别与直线x =3交于点M ，N ，直线MB 与椭圆C 交于点Q ．m (N)(1)求FM →·FN →的值；(2)证明：A 、Q 、N 三点共线．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，n *∈N ．（1）若数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）设1(0)a a a =>，2n n *∀∈N ≥，，不等式22113n n n n a a a a ++++≥成立，求实数a 的最小值．20.（本小题满分16分）已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1，g (x )=a 2x 2+bx +1．(1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2；函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4． (i)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (ii)若x 1=x 3＜x 2，m 、n 、p ∈1(,)x -∞，()()()()()()f m f n f pg n g p g m '''==，求证m =n =p ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于M ，求证：AM ＝DM ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为a ＝⎣⎡⎦⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是A EBCD M22x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设函数()|1||1|f x x x =-++，若不等式|||2|||()a b a b a f x +--≤⋅对任意,a b R ∈且0a ≠恒成立，求实数x 的范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．23．设a 0＜a 1＜a 2＜…＜a n (i ∈N *，i ＝1，2，…，n )，以[b ，c ]表示正整数b ，c 的最小公倍数．求证：1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a n －1，a n ]≤1－12n ．2017年高考模拟试卷(6)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．4．因为A ∩B ={4}，所以4∈A ，故x ＝4．M D O A B C2．2+i ．由z 1·－z 2＝5，得－z 2＝52+i＝2－i ，所以z 1＝2+i ． 3．1115．用枚举法.从6，7，8，9，10，11六个任取两个数有15种不同的取法，其中两个数互质有(6,7)，(6,11)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(7,11)，(8,9)，(8,11)，(9,10)，(9,11)，(10,11)共11组，故其概率为1115． 4. 32．由x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则3x 1，3x 2，…，3x 100的方差是18，所标准差为32．5．126．由程序框可知：S ＝2＋22＋…＋2n ＝2 n +1－2＞100，则最的n 值为6，所以输出的S =27－2＝126．6. 3．正四棱柱的表面积为14，两个底面积之和为2，故侧面积为12，⇒AA 1＝3．7. 6．作出如图所示的平面区域，得面积S =12×(42－22)＝6．8. ［74π，254π)．区间［0,1］至少包含218个周期而不到318个周期，故178×2πω≤1＜258×2πω，解之得74π≤ω＜254π． 9．217．由(a ＋b )⊥(a －2b )，得(a ＋2b )·(a －2b )＝0，⇒|a |2－4|b |2＝0，则|a |＝2|b |， cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝(a ＋b )·(a －b ) |a ＋b || a －b |＝a 2－b 2 a 2+2a ·b +b 2 a 2－2a ·b +b 2＝3b 2 21b 2＝217．10. (－∞，0)∪［1，+∞)．若t ＜0，令x ＝1t ，则f (1t )＝e 1/t －1－1＜1e －1＜0；若t ＝0，f (x )＝e x -1＞0，不合题意；若t ＞0，只需f (x )min ≤0，求导数，得f ′(x )＝e x -1－t ，令f ′(x )＝0，解得x ＝ln t +1．当x ＜ln t +1时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(－∞，ln t +1)上是减函数；当x ＞ln t +1时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(ln t +1，＋∞)上是增函数．故f (x )在x ＝ln t +1处取得最小值f (ln t +1)＝t －t (ln t +1)＝－t ln t ．所以－t ln t ≤0，由t ＞0，得ln t ≥0，所以t ≥1．11. 34．设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1+d ，a 5＝a 1+4d ，a 9＝a 1+8d ．由a 2、a 5、a 9依次成比数列得 a 2 a 9＝a 52，即(a 1+d )(a 1+8d )＝(a 1+4d )2，化简上式得 a 1d ＝8d 2，又d ＞0，所以a 1＝8d ．a 1+a 2+…+a ka 1＝a 1k +k (k +1)2 a 1＝k ＋k (k －1)16＞100，解得k min ＝34． 12. 2＋1．抛物线方程为y 2＝8x ，且a 2+b 2＝4，设B (x 0，y 0)、C (x 0，－y 0) (x 0＞0，y 0＞0)．则可知∠BF 1C 为直角，△BCF 1是等腰直角三角形，故y 0＝x 0+2，y 02＝8x 0，解得x 0＝2，y 0＝4，将其代入双曲线得4a 2－16b 2＝1．再由a 2+b 2＝4解得a ＝22－2，所以e ＝222－2＝2＋1．13.110．由题意可设 tan A ＝2k ，tan B ＝3k ，tan C ＝6k ，k ＞0，而在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ，于是k ＝116，从而cos A cos B cos C ＝3 20×2 15×1 12＝110． 14. 12. 法一 当x ＝0时，原式值为0；当x ≠0时，由2x 3+7x 2+6x x 2+4x ＋3＝，令t ＝2x +7+6x，由x ∈(0,4］得t ∈［2＋ 3，+∞)，f (x )＝g (t )＝2t t 2+1＝2t +1t ．而t ＋1t≥4，当且仅当t ＝2＋3时，取得等号，此时x＝3，所以f (x )≤12．即f (x )的最大值为12．法二 f (x )＝2x (x 2+4x +3)－x 2x 2+4x ＋3＝2x x 2+4x ＋3－(xx 2+4x ＋3)2，于是令t ＝x x 2+4x ＋3，所求的代数式为 2t －t 2．当x ＝0时，t ＝0；当x ≠0时，有t ＝1x +4+3x ≤123+4＝2－32，所以t ∈［0，2－32］，当t ＝2－32， 2t －t 2有最大值12，此时x ＝3． 二、解答题15. 法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧sin(α＋π3)＝6－24，sin 2α＋cos 2α＝1．⇒4sin 2α－( 6－ 2)sin α－(1＋3)＝0，解之得sin α＝6＋24，和sin α＝－22，因为α∈(0，π)，所以sin α＝6＋24， 且α∈(π2，π)，所以cos α＝2－64．(1) sin(α－π4)＝sin αcos π4－cos αsin π4＝6＋24×22－2－64×22＝62×22＝32．(2)sin2α＝2sin αcos α＝2×6＋24×2－64＝－12，cos2α＝1－2sin 2α＝－32． cos(2α－π3)＝cos2αcos π3－sin2αsin π3＝－32．法二：因为α∈(0，π)，sin(α＋π3)＝6－24＜12，所以α＋π3＞5π6，所以α＋π3＝11π12，所以α＝7π12．(1) sin(α－π4)＝sin(7π12－π4)＝sin π3＝32．(2) cos(2α－π3)＝sin(2×7π12－π3)＝cos 5π6＝－32．16．（1）证法一：取B 1C 1的中点为N ，连O 1N ，BN ．因为O 1，N 分别是△A 1B 1C 1边A 1C 1与B 1C 1的中点， 所以O 1N ∥A 1B 1，且O 1N ＝12A 1B 1，m (N)又MB ＝12AB ＝12A 1B 1，且MB ∥A 1B 1，所以O 1N ∥MB ，且O 1N ＝MB ，所以四边形BMO 1N 为平行四边形， 所以O 1M ∥NB ，NB ⊂平面BB 1C 1C ，O 1M ⊄平面BB 1C 1C ，所以O 1M ∥平面BB 1C 1C ． （2）连AC 与BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ； 又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C ， 因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ，所以BD ⊥AA 1，BB 1∥AA 1，BD ⊥BB 1， 所以平行四边形BB 1D 1D 是矩形．17. 如图所示，系统受力的水平分量和与竖直分量和都为零，得⎩⎨⎧2sin α－3sin β＝0，2cos α＋3cos β＝m ，(1)因为∠AOB ＝120°，即α＋β＝120°，由⎩⎨⎧2sin α－3sin β＝0 (1)，2cos α＋3cos β＝m (1)2+(2)2得4＋9＋12cos(α＋β)＝m 2，故m ＝7N ．(2)由⎩⎨⎧2sin α－3sin β＝0，2cos α＋3cos β＝m ，得⎩⎨⎧2sin α＝3sin β (3)，2cos α＝m －3cos β (4) ，(3)2+(4)2得4＝9－6m cos β＋m 2，即m 2－6m cos β＋5＝0．解得m ＝3cos β± 9cos 2β－5．因为α是锐角，由(2)得m －3cos β＞0， 即m ＞3cos β，从而m ＝3cos β＋ 9cos 2β－5，且9cos 2β－5＞0，又因为β为锐角，得到1＞cos β＞53． 因此5＜m ＜5．答：(1)当∠AOB ＝120°，m 的值为 7N ；(2)系统处于平衡状态时，m 的取值范围是(5，5)． 18. （1）记点P (x 0，y 0)．则3x 02+4y 02＝12．由l P A ：y ＝(x ＋2)y 0x 0+2，得M (3，5y 0x 0+2)；由l P A ：y ＝(x －2)×y 0x 0－2，得N (3，y 0x 0－2)，而F (1，0)得FM →·FN →＝(2，5y 0x 0+2)·(2，y 0x 0－2)＝4＋5y 02x 02－4＝4－154＝14．(2)记点Q 为(s ，t )，直线BQ 、AQ 分别与直线x =3交于点M ′(3，t s －2)，N ′ (3，5ts ＋2)．由题意，点M ′即为点M ，故t s －2＝5y 0x 0+2，再由t s －2·5t s ＋2＝－154＝5y 0x 0+2·y 0x 0－2，得5t s ＋2＝y 0x 0－2．即N ′与N 点重合．于是A 、Q 、N 三点共线．19.（1）设数列{}n a 公差为d ，则111123(1)2(2)n n n a a a n d a nd dn a d +-=+=+-++=+-对n *∀∈N 成立， 所以12223d a d =⎧⎨-=-⎩，，故1d =，11a =-．（2）由123n n a a n ++=-，知{(2)}n a n --为等比数列，公比1q =-，所以1(2)(1)(1)n n a n a ---=+-，故1(2)(1)(1)n n a n a -=-++-．① 当n 为不小于3的奇数时，由22113n n n n a a a a ++++≥，得22(1)(2)323n a n a n -++---≥，化简得22(3)2a a n +--+≥恒成立，所以22a a +≥，解得a ≥1． ② n 为不小于2的偶数时，同理有223(3)a a n +--≥恒成立， 因为0a >，显然恒成立．所以0a >．由①②得1a ≥，故a 的最小值为1．20. (1)因为f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，所以，ax 2≥a 2x 2对任意实数x 恒成立，所以，2a a -≤0，解得0≤a ≤1．又由题意可得a ≠0，所以实数a 的取值范围为0＜a ≤1．(2)(i)因函数g (x )的图象开口向上，且其零点为x 3，x 4，故g (x )＜0⇔x ∈(x 3，x 4)． 因x 1，x 2是f (x )的两个不同零点，故f (x 1)=f (x 2)=0． 因x 3＜x 1＜x 4，故g (x 1)＜0=f (x 1)，于是221()a a x -＜0． 注意到x 1≠0，故20a a -<．因g (x 2)-f (x 2)=222()a a x -＜0，故g (x 2)＜f (x 2)=0，从而x 2∈(x 3，x 4)，于是x 3＜x 2＜x 4．(ii)记x 1=x 3=t ，故f (t )=at 2+bt +1=0，g (t )=a 2t 2+bt +1=0，于是(a -a 2)t 2=0． 因a ≠0，且t ≠0，故a =1．所以，f (x )=g (x )且其图象开口向上．所以，对x ∀∈1(,)x -∞，f (x )递减，()f x '递增且()f x '＜0，g (x )递减且g (x )＞0． 若m ＞n ，则()f n '＜()f m '＜0，于是1()g n ＞1()g p ＞0，从而g (p )＞g (n )＞0，故n ＞p ． 同上，当n ＞p 时，可推得p ＞m ．所以，p ＞m ＞n ＞p ，矛盾．所以，m ＞n 不成立．同理，n ＞m 亦不成立．所以，m =n ．同理，n =p ．所以，m =n =p ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连AD ，因为AB 为直径，所以AD ⊥BD ， 又DE ⊥AB ，所以∠ABD ＝∠ADE ．另一方面，D 是弧AC 的中点，所以∠DAC ＝∠ABD， 所以∠ADE ＝∠DAC ．所以△AMD 为等腰三角形， 所以AM ＝DM ．B ． 设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由条件有，11311a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 3329215a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪∴⎨-+=⎪⎪-+=⎩，解得1436a b c d =-⎧⎪=⎪∴⎨=-⎪⎪=⎩，1436M -⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦． C. 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，224x y x ∴+=，即圆C 的方程为()2224x y -+=，又由,,2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消t ，得0x y m --=， 直线l 与圆C 相切，2=，2m ∴=±D. ()|1||2|.b b f x aa≥+--设,()|1||2|[3,3].bt g t t t a==+--∈- A EBCDM|1||1| 3.x x ∴-++≥3(1)123.2x x x ≥≥∴≥当时，(2)123,.x <<≥当-1时，无解3(3)123.2x x x ≤-≥∴≤-当时，-综上，33.22x x ≤-≥或22. 作AP ⊥CD 于点P ，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立坐标系， 则A (0，0，0)，B (1，0，0)，P (0，22，0)，D (－22，22，0)，O (0，0，2)，M (0，0，1)． （1）AB ＝(1，0，0)，MD ＝(－22，22，－1)，则cos ＜AB ，MD ＞＝－12， 故AB 与MD 所成角为π3．（2）OP ＝(0，22，－2)，OD ＝(－22，22，－2)， 设平面OCD 法向量n ＝(x ，y ，z )，则n ·OP ＝0，n ·OD ＝0即⎩⎨⎧22y －2z ＝0－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，则n ＝(0，4，2)．易得平面OAB 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，cos ＜n ，m ＞＝223，故平面OAB 与平面OCD 所成二面角的平面角余弦值为223．23． 先用数学归纳法证明1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a n －1，a n ]≤1a 0(1－12n )．当n ＝1时，1[a 0，a 1]≤12a 0＝1a 0(1－12)成立．假设n ＝k 时命题成立则当n ＝k ＋1时1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a k ，a k ＋1]≤1[a 0，a 1]＋1a 1(1－12n )，因此，只需证辅助命题“1[a 0，a 1]＋1a 1(1－12k )≤1a 0(1－12k ＋1)”．设(a 0，a 1)＝d ，则a 0＝xd ，a 1＝yd (x ，y ∈N *，y ＞x ≥1，(x ，y )＝1) 所以1[a 0，a 1]＋1a 1(1－12k )－1a 0(1－12k ＋1)＝1xyd ＋1yd (1－12k )－1xd (1－12k ＋1)＝1xyd [1＋x (1－12k )－y (1－12k ＋1)]＝1xyd [1－(y －x )(1－12k ＋1)－x2k ＋1]第 11页，共 11页 ≤1xyd [1－1·(1－12k ＋1)－12k ＋1]＝0． 从而1[a 0，a 1]＋1a 1(1－12k )≤1a 0(1－12k ＋1)．即n ＝k ＋1时命题成立． 由上可知，对一切n ∈N *，命题都成立．而1a 0(1－12n )≤1－12n ，故1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a n －1，a n ]≤1－12n ．。
(高清版)【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(四)
江苏省南通市2017年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（四）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合21{}|60A x x =-<，5,{1}0,B -=，则AB =________．2．命题“若a b >，则22a b >”的否命题是________． 3．已知i 为虚数单位，复数12i1iz +=-，则复数z 的虚部是________． 4．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________．5．执行如右图所示的程序框图，若输出s 的值为16，那么输入的n 值等于________．6．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则其中恰有一个红球的概率是________． 7．等差数列{}n a 中，若357911100a a a a a ++++=，则9133a a -=________．8．将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位（0ϕ>），可得函数()sin2cos2g x x x =-的图像，则ϕ的最小值为________．9．已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为________． 10．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，4AC =，2BC =，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，P 是ABC △（包括边界）内任一点．则AD EP 的取值范围是________．11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1222x x -<<<且120x x +>，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则12348x x x x +++=-或8； ④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点； 其中正确的结论的个数是________个．12．已知函数()f x 满足1()2()f x f x =，当[1,3]x ∈时，()ln f x x =，若在区间1[,3]3上，函数()()g x f x ax =-恰有一个零点，则实数a 的取值范围是________．13．设P 是圆M ：22()(55)1x y -+-=上的动点，它关于()9,0A 的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90到点S ，则||SQ 的取值范围为________．14．如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）．那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1n ≥），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标组成的集合是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A B =，3sin B =． （1）求cos A 及sin C 的值； （2）若2b =，求ABC △的面积． 16．（本小题满分14分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=，平面11AA B B ⊥平面11BB C C ．（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E ，F 分别是B 1C ，AA 1的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由．17．（本小题满分14分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（1）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？（2）设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y （元）关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 18．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>3，短轴端点到焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点A ，B 是椭圆C 上的任意两点，O 是坐标原点，且OA OB ⊥；①求证：存在一个定圆，使得直线AB 始终为该定圆的切线，并求出该定圆的方程； ②若点O 为坐标原点，求AOB △面积的最大值． 19．（本小题满分16分） 已知曲线C ：1xy =，117x =过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点，111(,)n n n A x y +++．（1）求n x 与1n x +之间的关系式； （2）求证：数列11{}23n x +-是等比数列，并求数列{}n x 的通项公式； （3）求证：23*123(1)(1)(1)...(1)1()n n x x x x n -+--+-<∈N ．20．（本小题满分16分）已知函数2()1(1)ln ()f x x a x x a =----∈R ． （1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()1g x f x x =-+既有一个极小值和又有一个极大值，求a 的取值范围； （3）若存在(1,2)b ∈，使得当(0,]x b ∈时，()f x 的值域是[(),)f b +∞，求a 的取值范围． 注：自然对数的底数 2.71828...e =．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．A ，（选修4-1；几何证明选讲）如图，已知AB 切圆O 于点B ，BC 是圆O 的直径，AC 交圆O 于点D ，DE 是圆O 的切线，CE DE ⊥于E ，3DE =，4CE =，求AB 的长．B ．（选修4-2：矩阵与变换）求将曲线2y x =绕原点逆时针旋转90后所得的曲线方程．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的非负半轴重合．若曲线C 1的方程为πsin()2306ρθ-+=，曲线C 2的参数方程为cos sin x y θ,θ.=⎧⎨=⎩（1）将C 1的方程化为直角坐标方程；（2）若点Q 为C 2上的动点，P 为C 1上的动点，求||PQ 的最小值． D ．（选修4-5：不等式选讲）设函数()|21||2|f x x x =+--． （1）求不等式()2f x >的解集； （2）若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，求实数t 的取值范围． 【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分．22．设A ，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为23，服用B 有效的概率为12． （1）求一个试验组为甲类组的概率；（2）观察三个试验组，用X 表示这三个试验组中甲类组的个数，求X 的分布列和数学期望．23．用数学归纳法证明：224n n nn C <<，其中2n ≥，n ∈N ．15．解：（1）∵2A B =，∴2cos cos21sin A B B ==-．∵sin B =11cos 1233A =-⨯=．由题意可知，π(0,)2B∈．∴cos Bsin sin22sin cos3A B B B===．∴sin sin[π()]sin()sin cos cos sin9C A B A B A B A B=-+=+=+=．（2）∵sin sinb aB A=，2b==，∴a=．16．解：（1）连接BC1．在正方形ABB1A1中，1AB BB⊥．因为平面11AA B B⊥平面11BB C C，11111AA B B BB C C BB=平面平面，11AB ABB A⊂平面，所以11BB CA B C⊥平面．因为111BC CB B C⊂平面，所以1AB B C⊥在菱形11BB C C中，．11BC B C⊥因为11B C ABC⊂平面，1AB ABC⊂平面，1B C AB B=，所以11B C ABC⊥平面．因为11AC ABC⊂平面，所以11B C AC⊥．（2）EF ABC∥平面，理由如下：取BC的中点G，连接GE，GA．因为E是B1C的中点，所以1GE BB∥，且112GE BB=．因为F是AA1的中点，所以112AF AA=．在正方形ABB1A1中，11AA BB∥，11AA BB=．所以GE AF ∥，且GE AF =． 所以四边形GEF A 为平行四边形． 所以EF GA ∥．因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面，所以EF ABC ∥平面．17．解：（1）当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 700.03200(12)88P =+⨯⨯+=（元）． （2）（1）当7x ≤时36010236370236y x x x =++=+（2）当7x >时2[(7)360236706(6)21332143]2y x x x x x =++++-+⋯⋯++=++-∴2370236,73321432,7x x y x x x +≤⎧=⎨++>⎩∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为()f x 元．2370236,7()3321432,7x x xf x x x x x +⎧≤⎪⎪=⎨++⎪>⎪⎩．当7x ≤时236()370f x x =+当且仅当7x =时()f x 有最小值28264047≈（元）当7x >时23321432144()3(333219)x x f x x x x++==≥++．当且仅当12x =时取等号．∴所求椭圆方程为2214x y +=．（2）①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =，原点O 到直线AB ， 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由2214m y y kx x ==+⎧+⎪⎨⎪⎩，得：222(14)8440k x kmx m +++-=，2216(14)0k m ∆=+->，122814km x x k+=-+，21224414m x x k -=+， 由2212122544014m k OA OB x x y y k --=+==+，得224(1)5m k =+， ∴原点O 到直线AB的距离d ===， 综上所述，原点O 到直线AB；即该定圆方程为2245x y +=． ②当直线AB的斜率不存在时5AB =， 当直线AB的斜率存在时，12|||AB x x =-= 当0k ≠时，||AB =12K =±时等号成立． 当0k =时，||AB =||AB 1255125=．19．解：（1）直线方程为1()2n n n y y x x x -=--+，因为直线过点111(,)n n n A x y +++， ∴111111111()()222n n n n n n n n n n n n n y y x x x x x x x x x x x +++++-=--⇒-=--⇒=+++． （2）设1123n n a x =+-，由（1）得 111111112()22233232n n n n n na a x x x x ++=+=+=-+=-+---又120a =-≠，故11{}23n x +-是等比数列；1(2)21(2)3n n n na x =-⇒=+--．（3）由（2）得∴1(1)(1)212(1)3n n n nnx -=-+--当n 为偶数时，则11111111222211(1)(1)11222222239n n n n n nn n n n n n n n n x x --------++-+-=<=++-∴2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x -+-+-++-<+++=-<；当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n n n n x x x x x -+-+-++-<+- 而120123n n x =->+，所以1(1)11n n n x x +-=-<∴23123(1)(1)(1)...(1)1n n x x x x -+-+-++-<综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)...(1)1nn x x x x -+-+-++-<成立．20．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．当0a =时，11()1x f x x x-'=-=．()001f x x '<⇔<<；()01f x x '>⇔>． 所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)．（2）2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-．令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为x 1，x 2．于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩解得2a >．当2a >时，()0h x =有两个不相等的正实根，设为x 1，x 2，不妨设12x x <， 则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-． 当10x x <<时，()0h x >，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数； 当12x x x <<时，()0h x <，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数；当2x x >时，()0h x >，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数．由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点．符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围是(2,)+∞．（3）212(21)1(1)(21)()12(1)ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=-=-①当0a ≤时，210ax x-<．当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数； 当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数．所以，当(0,](12)x b b ∈<<时，min ()(1)0()f x f f b ==<，()f x 的值域是[0,)+∞． 不符合题意．②当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-．（i ）当112a <，即1a >时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：若满足题意，只需满足()(2)2f f a>，即21(1)ln 1ln2222a a a a a ---->--． 整理得11ln2ln21()42a a a ++-≥．令11()ln2ln21()42F a a a a =++-≥，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln20222F a F >=->=．可见，当12a >时，1()(2)2f f a >恒成立，故当12a >，(0,](12)x b b ∈<<时，函数()f x 的值域是[(),)f b +∞；所以12a >满足题意．（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x -'=-≤，当且仅当1x =时取等号．所以()f x 在(0,)+∞上为减函数．从而()f x 在(0,]b 上为减函数．符合题意． （ⅱ）当112a >，即1a <<时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 若满足题意，只需满足(2)(1)f f <，且22a <（若22a≥，不符合题意）， 即1ln2a >-，且14a >． 又11ln24->，所以1ln2a >-．此时，11ln22a -<<．综上，1ln2a >-．所以实数a 的取值范围是(1ln2,)-+∞．21．A ．连接OD ，∵DE 是圆O 的切线，∴OD DE ⊥，又∵CE DE ⊥于E ，∴OD CE ∥， ∴ECD ODC OCD ∠=∠=∠，∵3DE =，4CE =，∴5CD =，∴3tan tan tan 4ECD ODC OCD ∠=∠=∠=，∴4cos 5OCD ∠=， 故25cos 4CD BC OCD ==∠，故75tan 16AB BC OCD =∠=． B ．由题意得旋转变换矩阵cos90sin900110sin90cos90M ⎡⎤--⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 设00(,)P xy 为曲线2y x =上任意一点，变换后变为另一点(,)x y ，则000110x x y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即00,,x y y x =-⎧⎨=⎩ 所以00,,y x x y =-⎧⎨=⎩又因为点P 在曲线2y x =上，所以200y x =，故2()x y -=，即2x y =为所求的曲线方程． C ．（1）由已知得31sin cos 2302ρθρθ-+，即0x -． （2）由C 2得221x y +=，所以圆心为2(0,0)C ，半径为1．又圆心到直线C 1的距离为d =||PQ 的最大值为1． D ．(1)不等式()2f x >可化为22122x x x >⎧⎨+-+>⎩或1222122x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++->⎩或122122x x x ⎧<-⎪⎨⎪--+->⎩， 解得5x <-或1x >，所以所求不等式的解集为{|51}x x x <->或．(2)因为3,21()|21||2|31,2213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪+>⎪⎪=+--=--≤≤⎨⎪⎪--<-⎪⎩，可得5()2f x ≥-，若x ∀∈R ，211()2f x t t ≥-恒成立，则211522t t -≤-，解得152t ≤≤． 22．设Ai 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =；Bi 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，0,1,2i =．依题意，有112423()39P A ⨯⨯=＝，222433()9P A ==⨯，0111()224P B =⨯=，1111()2222P B =⨯⨯=．故所求的概率为010212)1414144(()()4949299P P B A P B A P B A =⨯+⨯+⨯=＝＋＋． （2）由题意知X 的可能值为0，1，2，3，故有35125()()97290P X ===， 123451001()99243()P X C ⨯⨯===， 22345802()99243()P X C ⨯⨯===， 34643()9(7)29P X ===． 从而，X 的分布列为数学期望1251008064401237292432437293EX ⨯⨯+⨯⨯＝++=．23．①当2n =时，22222264C ⨯<=<不等式成立．②假设当n k =时，2264k k k k C <=<成立，则当1n k =+时由122(22)(21)2(1)2(21)(+1)(+1)(+1)(+1)(+1)k k k k k k C k k k k k k ++++⨯++===！！！！！！！！！11222222k k k k k k C C ++=>=>=，即11222k k k C +++<．11222122221222244441k kk k k k k k k k k k k C C C C C k +++++=<<=<=+， 因此1112224k k k k C ++++<<成立，即当1n k =+时，不等式成立， 所以，对2n ≥，n ∈N ，不等式224n n nn C <<恒成立．江苏省南通市2017年（数学学科基地命题）高考模拟数学试卷（四）解 析一、填空题1．∵A={x|-4<x<4}， B={-5，0，1}。
【江苏省南通市】2017年高考一模数学试卷-答案
江苏省南通市2017年高考一模数学试卷答 案1．2π3 2．{135},, 3．3- 4．0.17 5．5 6．7 7．20 8．32910．1322111213．(,2)(2,)-∞-+∞14．15．解：（1）在AOB △中，由余弦定理得，2222cos AB OA OB OA OB AOB =+∙∠-，所以，2222221135cos 22115OA OB ABAOB OA OB+-+-∠===⨯⨯， 即3cos 5β=． （2）因为3cos 5β=，(0,)2πβ∈，∴4sin 5β==． 因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，5cos 13α=，因为α为锐角，所以12sin 13α===．所以5312433cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，sin()sin cos cos αβαβα+=+1235456sin 13513565β=⨯+⨯=， 即点3356(,)6565B -．16．证明：（1）连结OE ，因为O 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以O 为AC 中点． 又因为E 为PC 的中点， 所以//OE PA ．…4分又因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以直线//PA 平面BDE ．…6分（2）因为//OE PA ，PA PD ⊥，所以OE PD ⊥．…8分 因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥．…10分 又因为PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC PD P =，所以OE ⊥平面PCD ．…12分又因为OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面PCD ．…14分．17．解：（1）由题意得，c a =，21a c c -=，…2分解得a =1c =，1b =．所以椭圆的方程为2212x y +=．…4分（2）由题意知OP 的斜率存在．当OP 的斜率为0时，2OP =，2OQ =，所以．…6分当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y kx =．由2212x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22212k x +=()，解得22221x k =+，所以222221k y k =+，所以2222221k OP k +=+．…9分 因为OP OQ ⊥，所以直线OQ 的方程为1y x k=．由1y y xk ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得x =，所以2222OQ k =+．…12分 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++． 综上，可知22111OP OQ +=．…14分． 18．解：（1）当π4EFP ∠=时，由条件得π4EFP EFD FEP ∠=∠=∠=． 所以π2FPE ∠=．所以FN BC ⊥， 四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积2•2S PN MN m ==．…5分 （2）解法一： 设(0)2EFD πθθ∠=<<，由条件，知EFP EFD FEP θ∠=∠=∠=．所以22sin(2)sin 2PF πθθ==-，23sin 2NP NF PF θ=-=-，23tan ME θ=-．…8分 由230sin 2230tan 02θθπθ⎧->⎪⎪⎪->⎨⎪⎪<<⎪⎩得2sin 232tan ,()30.2θθπθ⎧>⎪⎪⎪>*⎨⎪⎪<<⎪⎩所以四边形MNPE 面积为112222()[(3)(3)]2622sin 2tan tan sin 2S NP ME MN θθθθ=+=-+-⨯=--2222(sin cos )366(tan )tan 2sin cos tan θθθθθθθ+=--=-+…12分66≤-- 当且仅当3tan tan θθ=，即tan θ，π3θ=时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当π3EFD ∠=时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为26-．…16分 解法二：设BE tm =，36t ＜＜，则6ME t =-．因为EFP EFD FEP ∠=∠=∠，所以PE PF =t BP -．所以2132(3)t BP t -=-，213333()32(3)t NP PF PE t BP t t -=-=-=--=-+-．…8分由22361302(3)13302(3)t t t tt t ⎧⎪<<⎪⎪-⎪>⎨-⎪⎪-⎪-+>-⎪⎩得236()12310t t t t <<⎧⎪>*⎨⎪-+<⎩ 所以四边形MNPE 面积为22111333067()[(3)(6)]2222(3)2(3t)t t t S NP ME MN t t t --+=+=-++-⨯=--…12分326[(3)]623t t =--+≤--．当且仅当32(3)23t t -=-，即33t ==+时取“=”．…14分 此时，（*）成立． 答：当点E 距B点33+m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为6-2．…16分．19．解：（1）当38a =时，23()ln 8f x x x x =--．所以31(32)(2)'()144x x f x x x x+-=--=，0x (＞)．…2分令'()0f x =，得2x =，当0,2x ∈()时，'0f x ()＜；当2x ∈+∞(,)时，'0f x ()＞，所以函数f x ()在02(,)上单调递减，在2+∞(,)上单调递增． 所以当2x =时，f x ()有最小值1(2)ln 22f =--．…4分（2）由2ln f x ax x x =()--，得2121'()21ax x f x ax x x--=--=，0x >．所以当0a ≤时，221'()0ax x f x x--=<，函数f x ()在0+∞(,)上单调递减，所以当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点．…6分因为当10a ≤≤-时，110f a =()-＜，221()0e e af e e-+=>， 所以当10a ≤≤-时，函数f x ()在0+∞(,)上有零点． 综上，当10a ≤≤-时，函数f x ()有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当0a ≤时，函数f x ()在0+∞(,)上最多有一个零点． 因为函数f x ()有两个零点，所以0a ＞…9分由2ln f x ax x x =()--，得221'()ax x f x x--=，(0)x >，令221g x ax x =()--．因为010g =()-＜，20a ＞，所以函数g x ()在0+∞(,)上只有一个零点，设为0x ．当00x x ∈(,)时，0g x ()＜，'0f x ()＜；当0x x ∈+∞(,)时，0g x ()＞，'0f x ()＞． 所以函数f x ()在00x (,)上单调递减；在0x +∞(,)上单调递增． 要使得函数f x ()在0+∞(,)上有两个零点，只需要函数f x ()的极小值00f x ()＜，即2000ln 0ax x x --<．又因为2000()210g x ax x =--=，所以002ln 10x x +-＞， 又因为函数2ln 1h x x x =+()-在0+∞(,)上是增函数，且10h =()， 所以01x ＞，得0101x <<． 又由20210ax x --=，得22000111112()()24a x x x =+=+-， 所以01a ＜＜．…13分 以下验证当01a ＜＜时，函数f x ()有两个零点． 当01a ＜＜时，21211()10a ag a a a a -=--=>， 所以011x a<<．因为22211()10a e e af e e e e-+=-+=>，且00f x ()＜． 所以函数f x ()在01(,)x e上有一个零点．又因为2242222()ln (1)10a f a a a a a a=--≥--=>（因为ln 1x x ≤﹣），且00f x ()＜．所以函数f x ()在02(,)x a上有一个零点．所以当01a ＜＜时，函数f x ()在12(,)e a内有两个零点． 综上，实数a 的取值范围为01(，)．…16分 下面证明：ln 1x x ≤-． 设1ln t x x x =()--，所以11'()1x t x x x-=-=，0x (＞)． 令'0t x =()，得1x =．当01x ∈(,)时，'0t x ()＜；当1x ∈+∞(,)时，'0t x ()＞． 所以函数t x ()在01(,)上单调递减，在1+∞(,)上单调递增． 所以当1x =时，t x ()有最小值10t =()． 所以1ln 0t x x x =≥()--，得ln 1x x ≤-成立．20．解：（1）由已知可得：1a ，3a ，8a 成等比数列，所以2111(2)(7)a d a a d +=+，…2分整理可得：2143d a d =．因为0d ≠，所以143a d =．…4分 （2）设数列{}n k 为等比数列，则2213k k k =．又因为1k a ，2k a ，3k a 成等比数列，所以2111312[(1)][(1)][(1)]a k d a k d a k d +-+-=+-．整理，得21213132132(2)(2)a k k k d k k k k k k --=---+．因为2213k k k =，所以121321322a k k k d k k k =(--)(--)．因为2132k k k ≠+，所以1a d =，即11a d=．…6分 当11a d=时，11n a a n d nd =+=(-)，所以n k n a k d =． 又因为1111n n n k k a a q k dq --==，所以11n n k k q -=．所以1111nn n n k k q q k k q +-==，数列{}n k 为等比数列． 综上，当11a d=时，数列{}n k 为等比数列．…8分 （3）因为数列{}n k 为等比数列，由（2）知1a d =，11(1)n n k k q q -=>．1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，111n a a n d na =+=(-)．因为对于任意*n N ∈，不等式2n n k n a a k +>恒成立． 所以不等式1111112n n na k a qk q --+>，即111112n n k q a n k q -->+，111111110222n n n n k q qna k q k q --+<<=+恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数01εε(＜＜)，总存在正整数1n ，使得11n n q ε<． 要证11n n q ε<，即证11ln ln ln n n q ε+＜． 因为11ln 2x x x e ≤<，则1122111ln 2ln n n n =<，解不等式1211ln ln n n q ε<+，即1122211()ln ln 0n q n ε-+>，可得121n >，所以21n >．不妨取01n =+，则当10n n ＞时，原式得证． 所以11102a <≤，所以12a ≥，即得1a 的取值范围是[2+∞,)．…16分 21．解：设CD x =，则2CE x =． 因为1CA =，3CB =，由相交弦定理，得••CA CB CD CE =， 所以213?22x x x ⨯==，所以2x =．…2分 取DE 中点H ，则OH DE ⊥．因为2222354()28OH OE EH x =-=-=，所以OH =．…6分又因为2CE x ==所以OCE ∆的面积1122S OH CE ==⨯=10分． 22．解：设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，因为向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量，所以111(1)111a b cd -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以11a b c d -=-⎧⎨-=⎩…4分 因为点11P (,)在矩阵A 对应的变换作用下变为'33P (,)， 所以1313a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．所以33a b c d +=⎧⎨+=⎩…8分 解得1a =，2b =，2c =，1d =，所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…10分．23．解：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． 直线π()4R θρ=∈的直角坐标方程为y x =①，…3分 曲线4sin ρθ=的直角坐标方程为2240x y y +=-②．…6分由①②得00x y =⎧⎨=⎩或22x y =⎧⎨=⎩…8分所以00A(,)，22B (,)，所以直线π()4R θρ=∈被曲线4sin ρθ=所截得的弦长AB =．…10分．24．解：3sin 3sin y x x =++2分由柯西不等式得222222(3sin (34)(sin cos )25y x x x =+≤++=，…8分 所以5max y =，此时3sin 5x =．所以函数3sin y x =+5．…10分．25．解：以1{,,}AB AD AA 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -． （1）因为(1,2,2)AP =，(2,0,1)AQ =，所以cos ,15APAQ AP AQ AP AQ===．所以AP 与AQ ．…4分 （2）由题意可知，1(0,0,2)AA =，(2,0,2)AQ λ=． 设平面APQ 的法向量为z n x y =(,,)，则00n AP n AQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩即220220x y z x z λ++=⎧⎨+=⎩令2z =-，则2x λ=，2y λ=-． 所以222n λλ=(,-,-)．…6分又因为直线1AA 与平面APQ 所成角为45︒， 所以111cos ,2n AA n AA n AA ==， 可得2540λλ=-，又因为0λ≠，所以45λ=．…10分．26．解：（1）抛物线220x py p =(＞)的准线方程为2py =， 因为1M m (,)，由抛物线定义，知12pMF =+， 所以122p+=，即2p =，所以抛物线的方程为24x y =．…3分（2）因为214y x =，所以1'2y x =． 设点2(,)4t E t ，0t ≠，则抛物线在点E 处的切线方程为21()42t y t x t -=-．令0y =，则2tx =，即点(,0)2t P ．因为(,0)2t P ，01F (,)，所以直线PF 的方程为2()2ty x t =-，即20x ty t +=-． 则点2(,)4t E t 到直线PF的距离为d ==5分 联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得2222(2t 16)0t y y t -++=． 因为224221646440t t t =+=+△()-()＞，所以1y =，2y = 所以221212222164(4)1122t t AB y y y y t t++=+++=++=+=．…7分 所以EAB △的面积为3222214(4)1(4)22t t S t t++=⨯=⨯． 不妨设322(4)()(0)x g x x x +=>，则12222(4)'()(24)x g x x x+=-．因为x ∈时，'0g x ()＜ ，所以g x ()在)x ∈+∞上，'0g x ()＞，所以g x ()在)+∞上单调递增．所以当x时，32min()g x ==所以EAB △的面积的最小值为10分．江苏省南通市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z ，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得=．故答案为：．10．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．15．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．16．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．17．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．18．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6﹣t．可得PE=PF，即．，NP=3﹣T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．19．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x ﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．20．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．22．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．24．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．25．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．26．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．。
【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(九)-答案
若 2 ，即 p2 mr 时，则 2 ，所以 ，矛盾；
若 2 ，则 2 ( ) 2 0 ，所以 1 ( ) 1， 2
1,
2
得，
x y
12t t2 18
18 t2 t2 18
, .
，故
Q(
t
12t 2 18
,
18 t2 t2 18
)
．
所以直线 PM 的斜率 kPM
t2 t2
2 2
1 2
t
4t 2
2
6 t2 8t
，
直线 QM 的斜率 kQM
18 t2 t2 18
an an1 4Sn 1
a an n1 4Sn 1
所以 4Sn
1
2an an 1 an1 an
①．
所以
4Sn1
1
2a a n1 n2
a a n2
n 1
②，
由 ② ① ，得 2an1
a a n1 n2
a a n2
n 1
a an n1 an1 an
因为 b1
a1 a2 a1
3 4
，所以数列{bn} 的通项公式为 bn
n
1 4
．
（3）由（2）知， an n 1 ，所以 an1 1 1 4n 3 ，
an1 an
4
an
n
1 4
4n 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(第5题)2017年高考模拟试卷(6)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 设集合A = {1，x }，B = {2，3，4}，若A ∩B ={4}，则 x = ▲ .2. 若复数z 1＝2+i ，z 1·－z 2＝5，则z 2＝ ▲ .3. 从数6，7，8，9，10，11六个数中，任取两个不同的数， 则两个数互质的概率是 ▲ .4．已知一组数据x 1，x 2，…，x 100的方差是2，则数据 3x 1，3x 2，…，3x 100 的标准差为 ▲ .5．执行右边的程序框图，则输出的S 的值为 ▲ .6．设正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是单位正方形，其表面积14，则AA 1＝ ▲ . 7．不等式组⎩⎨⎧y ≤x +2y ≥x0≤y ≤4x ≥0表示的平面区域的面积为S ，则S 的值为 ▲ ．8．函数y ＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的图象在［0,1］上恰有三个最高点，则ω的取值范围是 ▲ . 9．若两个非零向量a ，b 的夹角为60°，且(a ＋2b )⊥(a －2b )，则向量a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值是 ▲ .10．已知函数f (x )＝e x -1－tx ，∃x 0∈R ，f (x 0)≤0，则实数t 的取值范围 ▲ ．11．已知数列{a n }是一个等差数列，首项a 1＞0，公差d ≠0，且a 2、a 5、a 9依次成比数列，则使a 1＋a 2＋…＋a n ＞100a 1的最小正整数k 的值是 ▲ .12．抛物线y 2＝2px (p ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有一个相同的焦点F 2(2，0)，而双曲线的另一个焦点F 1，抛物线和双曲线交于点B 、C ，若△BCF 1是直角三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．13．△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2cos A ＝b 3cos B ＝c6cos C ，则cos A cos B cos C＝ ▲ ．14．已知函数f (x )＝2x 3+7x 2+6x x 2+4x ＋3，x ∈［0,4］，则f (x )最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.AA 1B 1 CD 1 B C 1D MO 115．（本小题满分14分）已知α∈(0，π)，且sin(α＋π3)＝6－24．(1)求sin(α－π4)的值；(2)求cos(2α－π3)的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，M 是AB的中点，O 1是A 1C 1与B 1D 1的交点． (1)求证：O 1M ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，求证：四边形BB 1D 1D 是矩形．17.（本小题满分14分）如图所示，一根绳穿过两个定滑轮，且两端分别挂有3(N)、2(N)的重物．现在两个滑轮之间的绳上挂一个重量为m (N)的重物，恰好使系统处于平衡状态． (1)若∠AOB ＝120°，求m 的值； (2)求m 的取值范围．18. 椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点，在椭圆C 上任取异于A 、B 的点P ，直线PA 、PB 分别与直线x =3交于点M ，N ，直线MB 与椭圆C交于点Q ．m (N)(1)求FM →·FN →的值；(2)证明：A 、Q 、N 三点共线．19.（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足123n n a a n ++=-，n *∈N ．（1）若数列{}n a 为等差数列，求1a ；（2）设1(0)a a a =>，2n n *∀∈N ≥，，不等式22113n n n n a a a a ++++≥成立，求实数a 的最小值．20.（本小题满分16分）已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1，g (x )=a 2x 2+bx +1．(1)若f (x )≥g (x )对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )有两个不同零点x 1，x 2；函数g (x )有两个不同零点x 3，x 4． (i)若x 3＜x 1＜x 4，试比较x 2，x 3，x 4的大小关系； (ii)若x 1=x 3＜x 2，m 、n 、p ∈1(,)x -∞，()()()()()()f m f n f pg n g p g m '''==，求证m =n =p ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题．．．．．．．．．．．．．．．区域内作答．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE ⊥AB 于E ，AC 与DE 交于M ，求证：AM ＝DM ．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变成点（9，15），求出矩阵M.．EBCDMC ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是22x t m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）.若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值.D ．（选修４－５：不等式选讲）设函数()|1||1|f x x x =-++，若不等式|||2|||()a b a b a f x +--≤⋅对任意,a b R ∈且0a ≠恒成立，求实数x 的范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （2）求平面OAB 与平面OCD 所成锐二面角的余弦值．23．设a 0＜a 1＜a 2＜…＜a n (i ∈N *，i ＝1，2，…，n )，以[b ，c ]表示正整数b ，c 的最小公倍数．求证：1[a 0，a 1]＋1[a 1，a 2]＋…＋1[a n －1，a n ]≤1－12n ．M D O A B C2017年高考模拟试卷(5)参考答案一、填空题1．{1,2,3,6}． 2．1i +． 3. 391． 4. 18． 5．29． 6．充分不必要． 7．4． 8．76． 9．10．10．已知函数()sin(2)3f x x π=+（0x <π≤），且1()()3f f αβ==（βα≠），则=+βα▲ ．10．76π．由0x <π≤，知2333x ππ7π+≤≤，因为1()()3f f αβ==<，所以()()3π222332αβππ+++=⨯， 所以76αβπ+=．11．(1，2]． f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＜0，2－x 2，0≤x ＜1，x 4－2x 2，x ≥1．作出函数f (f (x ))的图像可知，当1＜k ≤2时，函数y ＝f (f (x ))－k 有3个不同的零点． 12．12．由2AB AC A O +=可得OB OC +=0，即BO OC =，所以圆心在BC 上，且AB AC ⊥．注意到||||=2AB AO =，所以ππ,,4,36B C BC AC ====，所以12CA CB ⋅=．13．由()a a b c bc ++=，得1b c b c a a a a ++=⋅，设,b c x y a a ==，则1x y xy ++=， 1ab c x y =++，因为21()x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c +的最大值．14．设a 为实数，记函数f (x )＝ax －ax 3（x ∈[12，1]）的图象为C ．如果任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，则a 的取值范围是 ▲ ．14．1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．由任何斜率不小于1的直线与C 都至多有一个公共点，也即x ∈[12，1]时，曲线()y f x =上任意两点连线的斜率都小于1，所以()1f x '≤在x ∈[12，1]上恒成立．由2()31f x a a x '=-≤，即2310ax a -+≥，设()31g t at a =-+，1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，只需1()04g ≥，且(1)0g ≥，所以142a -≤≤．二、解答题15．解：（1）由正弦定理知，b sin A ＝a sin B ＝2，①又a cos B ＝1， ②①，②两式平方相加，得(a sin B )2＋(a cos B )2＝3， 因为sin 2B ＋cos 2B ＝1， 所以a ＝3（负值已舍）；（2）由（1）中①，②两式相除，得sin B cos B＝2，即tan B ＝2，因为A －B ＝π4，所以tan A ＝tan(B ＋π4)＝tan B ＋tanπ41－tan B tanπ4 ＝1＋21－2＝－3－22．（14分）16．证：（1）方法1：取线段PD 的中点M ，连结FM 、AM .因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD .因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD .所以FM ∥EA ，且FM ＝EA .所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM . 又AM ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD .方法2：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE . 又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA . 所以CE ＝NE .又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP . 又NP ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ， 所以EF ∥平面P AD .方法3：取CD 的中点Q ，连结FQ 、EQ .在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ .所以四边形AEQD 为平行四边形， 所以EQ ∥AD .又AD ⊂平面P AD ，EQ ⊄平面P AD ， 所以EQ ∥平面P AD .(2分)因为Q 、F 分别为CD 、CP 的中点， 所以FQ ∥PD .又PD ⊂平面P AD ，FQ ⊄平面P AD ，所以FQ ∥平面P AD .又FQ 、EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面P AD .(5分) 因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面P AD . (2) 设AC 、DE 相交于G .在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点，所以DA AE ＝CDDA＝ 2.又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ， 所以∠ADE ＝∠DCA .又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°， 所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°. 由△DGC 的内角和为180°，得∠DGC ＝90°. 即DE ⊥AC .因为点P 在平面ABCD 内的正投影O 在直线AC 上，所以PO ⊥平面ABCD . 因为DE ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥DE . 因为PO ∩AC ＝O ，PO 、AC ⊂平面P AC ， 所以DE ⊥平面P AC ，又DE ⊂平面PDE ，所以平面P AC ⊥平面PDE .17．解：（1）设n *()n ∈N 年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2， 依题意，每年新建安置房面积是以200为首项，50为公差的等差数列， 从而n 年内所建安置房面积之和为(1)200502n n n -⎡⎤+⨯⎢⎥⎣⎦m 2， 则(1)200502n n n -+⨯≥3 000，整理得，271200n n +-≥， 解得8 (15)n n -≤≥舍去.答：8年内所建安置房面积之和首次不低于3 000万m 2.（2）依题意，每年新建住房面积是以500为首项，1.1为公比的等比数列， 设第m 年所建安置房面积占当年新建住房面积的比为()p m ， 则1120050(1)3()500(10.1)10 1.1m m m m p m --+-+==⋅+⨯， 由()(1)p m p m =+得，13410 1.110 1.1m mm m -++=⨯⨯，解得7m =. 答：第7年和第8年，所建安置房面积占当年新建住房面积的比保持不变. ·····14分 18．解：（1）分别过点A 、B 作直线l 的垂线，垂足为11,B A ，由题意得11BB AA =，由点到直线距离公式得112a AA BB ==，因为圆A 以1AF 为半径，所以半径为c ，被直线l 截得的弦长为圆B 以OB 为半径，∴半径为a ，被直线l 截得的弦长为因为直线l：y =被圆A 和圆B，==，解得a c 34=（a ＞c ＞0）.因为c e a=，所以所求的离心率为34,（2）存在点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34，设点0(,0)P x ，由题意可得直线方程为0()y k x x =-, 直线截圆A 所得的弦长为直线截圆B 所得的弦长为,34==,化简得22222220016(7)9(7)(1)(169)k x k x k c a +--=+-（*），由（1）离心率为34，得22169c a =，即方程（*）为0)1)(49(002=++x x k ,解得10-=x 或490-=x ， 即存在2个点)0,1(-和)0,49(-；当10-=x 时，||6||8k k⎧<⎪⎨<⎪⎩k <<，当490-=x 时，||42||56k k ⎧<⎪⎨<⎪⎩k <,即有无数条直线；故存在2个点P ，使得过点P 有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34．19．解：（1）∵()()e ,0x f x x k x '=->．（i ）当0k ≤时，()0恒成立'>f x ，∴()f x 的递增区间是0+（，）∞，无递减区间；无极值．（ii ）当0>k 时，由()0'>f x 得，>x k ；由()0'<f x 得，0<<x k ；∴()f x 的递减区间是(0,)k ，递増区间是(,+)∞k ，()f x 的极小值为()e k f k =-，无极大值．（2）①由()4f x x <，可得(1)e 40x x k x ---<， 因为e 0x >，所以41e x x x k --<，即41e xxk x >--对任意[1,2]x ∈恒成立，记4()1ex xg x x =--，则4(1)e 4(1)()1e e x x x x x g x -+-'=-=， 因为[1,2]x ∈，所以()0g x '>，即()g x 在[1,2]x ∈上单调递增，故2max228e 8()(2)1e e g x g -==-=．所以实数k 的取值范围为22e 8(,)e-+∞．②由已知1212()()()f x f x x x =≠，结合（1）可知， 0k >,()f x 在(,)-∞k 上单调递减，在(,+)∞k 上单调递增，又(1)0+=f k ，1<+x k 时，()0<f x ．不妨设121<<<+x k x k ，此时2x k >，12->k x k ，故要证122+<x x k ，只要证122k x x ->，只要证12(2)()f k x f x ->， 因12()()f x f x =，即证11(2)()f k x f x ->．设()(2)()h x f k x f x =--2(1)(1)()kx xx k x k x k -+-=---<e e e， 2()e ()()e e k xxx k h x x k -'=--22()()k x x x k --=e e e ， ∴当<x k 时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞k 上单调递减，∴(,)x k ∈-∞时，()()0k k h x h k >=-+=e e ，故当<x k 时，(2)（）->f k x f x ，即11(2)（）->f k x f x 成立，∴122+<x x k ．20．解：（1）111312A B d ===，，；222413A B d ===，，；333716A B d ===，，． …………………………………………………………………3分（2）① 当1n =时，11(1)1a a λλ-=-+，所以11a =；当2n ≥时，由21(1)33n n S a n λλ-=-++，则1121(1)(1)33n n S a n λλ---=-+-+， 两式相减得12(1)n n n a a a λλλ--=-++，即12n n a a λ-=+， 所以11122233(1)3(1)n n n n b a a b λλλλλ---⎡⎤=++=+==⎢⎥--⎣⎦．……………………………6分 因为11231b a λλλ-=+=， 所以当13λ≠时，数列{}n b 满足1n n bλ-=（2n ≥），即数列{}n b 是以313(1)λλ--为首项，λ为公比的等比数列；当13λ=时，数列{}n b 不是等比数列． …………………………………………………8分② 由①知，当13λ≠时，13123(1)3(1)n n a λλλλ--=⋅---；当13λ=时，23(1)n a λ=--． (10)分又{}{}1212max min i i i i n d a a a a a a ++=-，，，，，，，{}{}112123max min i i i i n d a a a a a a ++++=-，，，，，，． 由于{}{}1223min min i i n i i n a a a a a a ++++，，，≤，，，，所以由1i i d d +>可得，{}{}12121max max i i a a a a a a +<，，，，，，．所以{}1211max i i a a a a ++=，，，对任意的正整数1232i n =-，，，，恒成立， 即数列{}n a 的前1n -项单调递增是题设成立的必要条件，易知13λ≠． (12)分因为1i i i d a a +=-，112i i i d a a +++=-，所以1212i i i i i d d a a a +++-=+-1231(12)3(1)i λλλλλ--=⋅+--1231(1)3(1)i λλλλ--=⋅--．当1λ>时，由1n n a a +>，得3103(1)λλ->-，解得1λ>， 此时10i i d d +-≥，不符合1i i d d +>，舍去；当01λ<<，由1n n a a +>，得3103(1)λλ-<-，解得113λ<<，此时10i i d d +-<，符合1i i d d +>．综上所述，λ的取值范围是()113，． (16)分第II 卷（附加题，共40分）21A ．证：因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ． …………………… 10分21B ．解：设点(x 0，y 0)为曲线|x |+|y |=1上的任意一点，在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的点为(,)x y ''，则0010103xx y y ⎛⎫'⎡⎤⎡⎤ ⎪=⎢⎥⎢⎥ ⎪' ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以003x x y y ='⎧⎨='⎩ ……5分所以曲线|x |+|y |=1在矩阵10103M ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为|x |+3|y |=1， 所围成的图形为菱形，其面积为1222233⨯⨯= .……10分21C ．解：（1）将M 及对应的参数3πϕ=代入cos ,(0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数），得2cos 3sin3a b ππ⎧=⎪⎪=，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的普通方程为221164x y +=. ……4分（2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将12(,),(,)2A B πρθρθ+代入 得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=，所以221211516ρρ+=. ……10分21D ．解：因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，所以(2a ＋1)＋(2b ＋2)＝5，从而(12a ＋1＋2b ＋1 )[(2a ＋1)＋(2b ＋2)]＝1＋4＋2b ＋22a ＋1＋4(2a ＋1)2b ＋2≥5＋22b ＋22a ＋1×4(2a ＋1)2b ＋2＝9． …………………… 6分 所以12a ＋1＋2b ＋1≥95．当且仅当2b ＋22a ＋1＝4(2a ＋1)2b ＋2，且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23 时，12a ＋1＋2b ＋1取得最小值95． …………………… 10分 22．解：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，所以分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C ,因为D 是BC 的中点，所以(1,2,0)D ， (2)分（1）因为111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-，设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =， 则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-， 所以1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅<>==⋅ 所以直线1DB 与平面11A C D ；…………………………………5分（2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-，设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =， 则2112100n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =，所以121212130cos ,n n n n n n ⋅<>==⋅， 二面角111B A D C --．……………………………………………10分23．（1）证明：0)(121)2()(31222222>-=+-++=-b a b a b ab a B A （2）证明：11,1B A n ==；,)2(,11,311nn n n n b a B b a b a n A n +=--+=≥++令,,y b a x b a =-=+且0,>y x ， 于是,)2(],)()[()1(21)2()2(1111111n n n n n n n n x B y x y x y n y y x y x n A =--++=--++=+++++ 因为y x C y x C y x C y x y x n n n n n n n n 11323111112)22(])()[(+-++++≥++=--+ ，所以n n n n nn n n B x x y x C y n A ===⋅+≥++)2(22)1(21111．。