(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习知能专练(二)函数的概念与性质

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高三二轮专题函数的概念与性质及初等函数的基本概念(习题卷)无答案

第一章函数的概念与性质第一课A 组考点一函数的概念及其表示1-b.(2018浙江名校协作体期初,9)函数322+-+=x x x y 的值域为 ( ) A.[)+∞+,21 B.()+∞,2 C.[)+∞,3 D.()+∞,1考点二分段函数及其应用2-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,16)已知函数()()⎩⎨⎧≥<+-=1,21,32x x a x a x f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是 .3-a.( 2017浙江宁波期末,3)函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-=1,112sin 21,22x x x x f x π则()[]=2f f ( ) A.2- B.1- C.2213-- D.04-b.(2017浙江宁波二模(5月),14)定义{}⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ,,,max ，已知函数(){}b ax x x f +-=2,12max ,其中0<a ,R b ∈.若()b f =0,则实数b 的范围为;若()x f 的最小值为1,则=+b a .5-b.(2016浙江镇海中学测试(六),9)已知函数()⎩⎨⎧>≤-=0,log 0,122x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f f ;若()[][]0,1-∈t f f ,则t 的取值范围是 .6-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,10)已知函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈--⎥⎦⎤ ⎝⎛∈+=21,0,43141,21,142x x x x x f x x 函数()()0326sin >+-=a a x a x g π.若存在[]1,0,21∈x x ,使得()()21x g x f =成立,则实数a 的取值范围是( ) A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,32 D.(]2,0B 组一、选择题1-b.(2017浙江湖州期末调研,1)已知()x f 是R 上的奇函数,当0≥x 时,()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<≤+=1,3110,1log 21x x x x x f 则函数()21+=x f y 的所有零点之和是( ) A.21- B.12- C.25- D.52-2-c.(2017浙江温州模拟(2月),10)已知定义在实数集R 上的函数()x f 满足()()()x f x f x f 2211-+=+,则()()20170f f +的最大值为( )A.221-B.221+ C.21D.23二、填空题3-b.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,16)若函数()()()b ax x x x x f +++--=2232的图象关于直线2-=x 对称,则()x f 的值域为 .4-b.(2016浙江宁波一模,12)对于定义在R 上的函数()x f ,若存在实数a ,使得()()1=-⋅+x a f x a f 对任意实数恒成立,则称()x f 为关于a 的“倒函数”.已知定义在R 上的函数()x f 是关于0和1的“倒函数”,且当[]1,0∈x 时,()x f 的取值范围为[]2,1,则当[]2,1∈x 时,()x f 的取值范围为 ,当[]2016,2016-∈x 时,()x f 的取值范围为 .5-c.(2018浙江重点中学12月联考,17)已知R a ∈,函数()⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-0,0,1x e x x a x f x 若存在三个互不相等的实数321,,x x x ,使得()()()e x x f x x f x x f -===222211成立,则a 的取值范围是 .6-c.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,16)已知定义域和值域都为R 的函数()x f 满足()()[]()342-+=+y x f y f x f f ,则当0>x 时,函数()x f 的取值范围是 .C 组方法1 求函数定义域的解题策略1-a.求下列函数的定义域: (11232-+-=x xy ); (2)()()034534ln -++=x x x y .2-a.若函数()x f 2的定义域是[]1,1-,求函数()x f 2log 的定义域.方法2 求函数解析式的解题策略3-a.已知函数()x f 满足:当0≠x 时,都有3311xx x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-,求()x f 的解析式.4-b.已知定义在R 上的函数()x f 满足:对于任意的实数y x ,,都有()()()()()()4fxyxffx,求函数()x f的解析式.fyyx-y12221---=--5-c.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,16)()x f 是定义在R 上的函数,若()5041=f ,对任意的R x ∈,满足()()()124+≤-+x x f x f )及()()()5612+≥-+x x f x f ,则()()=12017f f .6-c.(2017浙江金华十校调研,20)已知函数()[]()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-=3,1,1551,0,2x x f x x x x f (1)求⎪⎭⎫⎝⎛25f 及[]3,2∈x ]时函数()x f 的解析式; (2)若()xk x f ≤对任意(]3,0∈x 恒成立,求实数k 的最小值.方法3 分段函数的解题策略7-a.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,11)设函数()⎩⎨⎧>≤++=0,20,2x x c bx x x f 若()()04f f =-,()22-=-f ,则=+c b ;方程()x x f =的所有实根的和为 .第二课A 组考点一函数的单调性1-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,12)已知函数()()⎩⎨⎧≥<--=2,log 2,22x x x a x a x f 若()x f 是()+∞∞-,上的增函数,则实数a 的取值范围是 ;若()x f 的值域为()+∞∞-,,则实数a 的取值范围是 .2-a.(2016浙江镇海中学测试卷二,9)设函数()⎩⎨⎧≥<-=2,2,232x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛23f f ,若()()121-≥+a f a f ,则实数a 的取值范围是 .3-b.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),9)记{}⎩⎨⎧<≥=y x x y x y y x ,,,min 设(){}32,min x x x f =,则( ) A.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -+>-+B.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -->--C.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f -++>-++1111D.存在0>t ,()()()()t f t f t f t f --+>--+1111考点二函数的奇偶性与周期性4-a.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,6)已知()()x x x f x h ++=2是奇函数,且()21=f ,若()()1+=x f x g ,则()=-1g ( )A.3B.4C.-3D.-45-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),4)设()x f 为定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,()()()R a a x x x f ∈+-+=32log 2,则()=-2f ( )A.-1B.-5C.1D.56-a.(2017浙江名校协作体期初,4)下列四个函数,以π为周期,在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减且为偶函数的是( ) A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x y sin ln -=7-a.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,8)已知函数()()()()()⎩⎨⎧<+≥+=0,sin 0,cos x x x x x f βα是偶函数,则βα,的可能取值是( ) A.2,πβπα== B.3πβα== C.6,3πβπα== D.43,4πβπα==8-a.(2016浙江宁波二模,4)已知函数()⎩⎨⎧<-≥+=0,10,1x x x x x f 则下列命题正确的是( ) A.函数()x f y sin =是奇函数,也是周期函数B.函数()x f y sin =是偶函数,不是周期函数C.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,但不是周期函数 D.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1sin 是偶函数,也是周期函数9-a.(2018浙江高考模拟卷,12)定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =+6.当[)3,3-∈x 时()()⎩⎨⎧<≤--<≤-+-=31,13,22x x x x x f ，则()=4f ;()()()()()=+++++20172016...321f f f f f .B 组一、选择题1-b.(2017浙江宁波二模(5月),9)已知函数()x x x f 2cos sin =,则下列关于函数()x f 的结论中,错误的是( )A.最大值为1B.图象关于直线2π-=x 对称C.既是奇函数又是周期函数D.图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43π中心对称2-b.(2016浙江镇海中学测试,8)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2x x f x f =-+,且对任意的[)+∞∈,0,21x x (其中21x x ≠)均有()()()21212121x x x x x f x f +>--. 若()()02862242>-+---m m m f m f ,则m 的可能取值是( )A.-1B.0C.1D.23-b.(2016浙江名校(诸暨中学)交流卷一,7)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名字命名的函数()⎩⎨⎧∈∈=QC x Q x x f R ,0,1被称为狄利克雷函数,其中R 为实数集,Q 为有理数集,则关于函数()x f 有如下四个命题: ①()[]0=x f f ;②函数()x f 是偶函数;③任取一个不为零的有理数T ,()()x f T x f =+对任意的R x ∈恒成立;④存在三个点()()11,x f x A ,()()22,x f x B ,()()33,x f x C 使得ABC ∆为等边三角形.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44-c.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,10)已知定义在R 上的函数()x f 满足()()2-=-+x f x f ,函数()1s i n 3--=x x x g ,若函数()x f y =与()x g y =的图象相交于点()()()()*222111,,...,,,,N n y x P y x P y x P n n n ∈,,则()()()=++++++n n y x y x y x ...2211( )A.22+-nB.n 2-C.1+-nD.n -5-c.(2017浙江金华十校联考(4月),9)若定义在()1,0上的函数()x f 满足()0>x f 且对任意的()1,0∈x ,有()x f x x f 2122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,则( ) A.对任意的正数M ,存在()1,0∈x ,使()M x f ≥B.存在正数M ,对任意的()1,0∈x ,使()M x f ≤C.对任意的()1,0,21∈x x 21x x <,有()()21x f x f <D.对任意的()1,0,21∈x x 且21x x <,有()()21x f x f >)二、填空题6-b.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,16)已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数,对任意的R x ∈都有()()x f x f -=+11,且当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则当[]6,2-∈x 时,方程()21-=x f 所有根之和为 .C 组方法1 函数单调性的解题策略1-a.已知()ax y a -=2log 在[]1,0上是关于x 的减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.[2,+∞)2-b.(2017浙江台州质量评估,17)已知函数()()R b a b ax x x x f ∈--+=,1,当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时,设()x f 的最大值为()b a M ,,则()b a M ,的最小值为 .3-b.(2016浙江模拟训练卷(二),20)已知函数()x x x f 42-=.(1)若()x f y =在区间[]1,+a a 上为单调增函数,求实数a 的取值范围;(2)若存在实数t ,当[]m x ,0∈时,有()x t x f 2≤-恒成立,求正实数m 的取值范围.方法2 关于函数奇偶性的解题策略5-b.函数f(x)的定义域为{}R x x x D ∈≠=,0,且满足对于任意D x x ∈21,,有 ()()()2121x f x f x x f +=⋅.(1)求()1f 的值;(2)判断()x f 的奇偶性并证明;(3)如果()14=f ,()()36213≤-++x f x f ,且()x f 在()+∞,0上是增函数,求x 的取值范围.方法3 求函数值域(或最值)的解题策略5-a.求函数x x y sin 2cos 3+=的最大值和最小值.6-a.(2016浙江名校协作体测试,18)已知R a ∈,函数()22a x a x x x f +--=.(1)若2>a ,解关于x 的方程()a a x f 22-=;(2)若[]4,2-∈a ,求函数()x f 在[]3,3-上的最小值.方法4 关于函数周期性的解题策略7-a.已知定义在R 上的函数()x f y =为偶函数,且()1+=x f y 为奇函数,()20=f ,则()()=+54f f .8-a.(2016浙江镇海中学测试(七),9)已知()x f 是以2为周期的周期函数,且当[]1,1-∈x 时,()⎩⎨⎧≤<≤≤-+=10,log 01,x x x a x x f b 其中R b a ∈,.若02321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛f f , 则=a ,=⎪⎭⎫ ⎝⎛22017f .第二章基本初等函数第一课A 组考点二次函数与幂函数1-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,8)若函数()b ax x x f ++=2有两个零点21,x x ,且5321<<<x x ,那么()()5,3f f ( )A.只有一个小于1B.都小于1C.都大于1D.至少有一个小于12-a.(2018浙江重点中学12月联考,3)已知函数142+-=x x y 的定义域为[]t ,1,在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5,则实数t 的取值范围是( )A.(1,3]B.[2,3]C.(1,2]D.(2,3)3-b.(2017浙江杭州二模(4月),9)设函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2的两个零点为21,x x ,若221≤+x x ,则( ) A.1≥a B.1≤b C.22≥+b a D.22≤+b a4-b.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,9)()c bx ax x f ++=2,当210≤≤x 时,()[]4,2∈x f ,则a 的最大值为( )A.8B.16C.32D.645-b.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,8)已知()()⎩⎨⎧≥-<+--=0,10,122x x f x x x x f 则()x x f y -=的零点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个6-b.(2016浙江绍兴一模,8)对于函数()x f ,若存在N x ∈0,满足()410≤x f ,则称0x 为函数()x f 的一个“近零点”.已知函数()()02>++=a c bx ax x f 有四个不同的“近零点”,则a 的最大值为 ( )A.2B.1C.21D.417-b.(2016浙江宁波“十校”联考,18)若存在区间[]()n m n m A <=,,使得(){}A A x x f y y =∈=,,则称函数()x f 为“可等域函数”,区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.已知函数()()R b a b ax x x f ∈+-=,22.(1)若()()x f x g a b ===,1,0是“可等域函数”,求函数()x g 的“可等域区间”;(2)若区间[]1,1+a 为()x f 的“可等域区间”,求b a ,的值.B 组一、选择题1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,7)设函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,若函数()x e x f y =(e 为自然对数的底数)在1-=x 处取得极值,则下列图象不可能为()x f y =的图象的是( )2-c.(2017浙江稽阳联谊学校联考,10)设二次函数()b ax x x f ++=2,若对任意的实数a ,都存在实数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得不等式()x x f ≥成立,则实数b 的取值范围是( ) A.[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,231, B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4131, C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-,4941, D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,4931,3-c.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),10)已知函数()122+-=tx x x f 在(]1,∞-上递减,且对任意的[]1,0,21+∈t x x ,总有()()221≤-x f x f ,则实数t 的取值范围为( ) A.[]2,2- B.[]2,1 C.[]3,2 D.[]2,1二、填空题4-c.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)设关于x 的方程022=--ax x 和012=---a x x 的实根分别为21,x x 和43,x x ,若4231x x x x <<<,则a 的取值范围是 .5-c.(2018浙江高考模拟卷,17)已知关于x 的方程()R c b c bx x ∈=++,022在[]1,1-上有实根,且340≤+≤c b ,则b 的取值范围为 .6-c.(2017浙江绍兴教学质量调测(3月),17)已知R b a ∈,且10≤+≤b a ,函数()b ax x x f ++=2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21上至少存在一个零点,则b a 2-的取值范围为 .7-c.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)记()z y x M ,,为z y x ,,三个数中的最小数,若二次函数()()02≥≥≥++=c b a c bx ax x f 有零点,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c b a b a c a c b M ,,的最大值为 .三、解答题8-a.(2017浙江温州中学高三3月模拟,19)已知二次函数()()R c b a c bx ax x f ∈++=,,2,对任意实数x ,不等式()()21212+≤≤x x f x 恒成立. (1)求()1-f 的取值范围;(2)对任意[]1,3,21--∈x x ,恒有()()121≤-x f x f ,求实数a 的取值范围.9-b.(2016浙江宁波一模,18)已知函数()12-=x x f .(1)对于任意实数[]2,1∈x ,()()()1442-≤+x f m f x f m 恒成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意实数[]2,11∈x ,存在实数[]2,12∈x ,使得()()2212ax x f x f -=成立,求实数a 的取值范围.C 组方法1 三个“二次”问题的处理方法1-c.(2017浙江杭州质检,17)设函数()bx ax x f 222+=,若存在实数()t x ,00∈,使得对任意不为零的实数b a ,均有()b a x f +=0成立,则t 的取值范围是 .2-c.(2017浙江测试卷,17)已知函数()()R b a b ax x x f ∈++=,2在区间()1,0上有两个零点,则b a +3的取值范围是 .方法2 关于二次函数值域和最值的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),17)已知函数()a bx ax x f -++=122.若对任意实数[]1,1-∈x ,均有()0≥x f ,则b a -的最大值为( )A.-1B.0C.1D.24-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),17)已知()11+=x x f ,且()()[]()*11,2N n n x f f x f n n ∈≥=-,若关于X 的函数()()*210320N n n x nf x y n ∈+-+=在区间(]2,-∞-上的最小值为-3,则n 的值为 .方法3 幂函数的解题策略5-a.比较大小:(1)()5352328.1,9.3,8.3--; (2)5.14.15,3.6-b.已知幂函数()()Z m x x f m m ∈=++-322为偶函数且在区间(0,+∞)上是单调增函数. (1)求函数()x f 的解析式;(2)设函数()()182-+-=q x x f x g ,若()0>x g 对任意[]1,1-∈x 恒成立,求实数q 的取值范围.第二课A 组考点指数与指数函数1-a.(2018浙江浙东北联盟期中,8)已知R y x ∈,,且x y y x --+≤+7575,则( )A.y x sin sin ≤B.22y x ≤C.y x 55≤D.y x 7171log log ≤2-a.(2017浙江镇海中学一轮阶段检测,4)不论a 为何值,函数()221a a y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,13-a.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,11)已知0>a 且1≠a ,x a =2log ,则=x a ;=+-x x a a 22 .4-a.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,11)已知24=a,a x =lg ,则a = ,x = .5-a.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数()x f 是奇函数,当0>x 时,()()1,0≠>=a a a x f x 且,且34log 21-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,则a 的值为( ) A.3B.3C.9D.236-b.(2016浙江五校第一次联考,8)已知函数()x f 是定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=2,12120,4sin 45x x x x f x π若关于x 的方程()()()20,f x af x b a b R ⎡⎤++=∈⎣⎦有且仅有6个不同的实数根,则实数a 的取值范围是 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,25 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛--49,25 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,4949,25 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛--1,49B 组一、选择题1-a.(2018浙江镇海中学模拟,2)若无论m 为何值,函数()331m m y x --=恒过定点,则这个定点的坐标是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,1 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,12-b.(2017浙江镇海中学模拟训练(三),9)已知函数()b x a x f x-+=的零点()()Z n n n x ∈+∈1,0,其中常数b a ,满足20172016=a ,20162017=b ,则n 的值是( )A.-2B.-1C.0D.13-b.(2016浙江嘉兴一模,7)设函数()⎩⎨⎧≥<+=1,31,12x x x x f x 则满足()[]()m f m f f 3=的实数m 的取值范围是( ) A.(]⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞-210, B.[]1,0 C.[)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞21,0 D.[)+∞,14-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,7)若函数()x f 是R 上的单调函数,且对任意实数x ,都有()31122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x f f ,则()=3log 2f ( )A.1B.54C.21D.0二、填空题5-a.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),11)设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,10,1212x x x x x f x则()[]=0f f = ;若()1<a f ,则实数a 的取值范围是 .6-a.(2016浙江镇海中学测试(三),10)已知定义在R 上的奇函数()x f 满足:当0>x 时,()⎩⎨⎧>+-≤<=1,110,2x x x x f x 则()[]=-2f f ;若方程()a x f =有两解,则a 的取值范围是 .7-c.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数()⎩⎨⎧≥<<=1,10,x e x e x f x 现有四个命题: ①若0,0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≤+;②若0>>b a ,则()()()b f a f b a f ≥-; ③若0,0>>b a ,则()()[]b a f ab f ≥;④若0>>b a ,则()[]b a f b a f 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛. 其中真命题为 .(写出所有真命题的序号)C 组方法1 指数式的运算、估值和大小比较的解题策略 1-b.已知函数()x x f 10=,且实数c b a ,,满足()()()b a f b f a f +=+,()()()()c b a f c f b f a f ++=++,则c 的最大值为 .2-b.化简:11111331333---+++++-x x x x x x x x .方法2 指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略3-a.已知实数b a ,满足等式ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,下列五个关系式: ①a b <<0;②0<≤+=a x ax x x f x,2,1若存在两个不相等的实数21,x x 使得()()21x f x f =,则实数a 的取值范围为 .第三课A 组考点对数与对数函数1-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知()[]0log log log 235=x ,那么x =( ) A.5B.3C.8D.12-a.(2017浙江镇海中学模拟卷三,5)设x 是实数,则“0ln >+x x ”是“()0ln ln >+x x ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3-a.(2016浙江新高考研究卷二(慈溪中学),2)为了得到函数x y 21log =的图象,只需将函数12log 2+=x y 的图象( )A.向右平移1个单位,再向下平移1个单位B.向左平移1个单位,再向下平移1个单位C.向右平移1个单位,再向上平移1个单位D.向左平移1个单位,再向上平移1个单位4-a.(2018浙江9+1高中联盟期中,11)16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即N b N a a b log =⇔=.现在已知32=a,43=b,则ab = .5-a.(2017浙江名校协作体期初,12)已知4316aba -=,21log a a b+=,则a = ,b = .6-a.(2017浙江柯桥区质量检测(5月),14)若正数b a ,满足()b a b a +=+=+842log log 1log 3,则a = ,b = .7-b.(2017浙江名校协作体,11)已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yxy x ,则xy 的最大值是 .8-b.(2016浙江宁波一模,9)已知0,3log ,2log >==a n m a a 且1≠a ,则nm a +2= ;若用n m ,表示6log 4,则6log 4= .B 组一、选择题1-a.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,3)设0,0>>b a ,则“()b a b a +≥+222log log log ”是“4≥ab ”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2-b.(2017浙江名校(绍兴一中)交流卷一,6)已知函数()a x x x f +-=22的定义域与函数()()1ln 2+-=ax x x g 的值域均为R ,则实数a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(-∞,-2)C.[-2,1]D.[2,+∞)3-b.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,7)已知实数0,>y x ,且()161=+y x ,则y x 24log log +的最大值是( ) A.2B.23C.3D.4二、填空题4-a.(2018浙江嵊州高级中学期中,2)已知函数()⎩⎨⎧≤+>=0,20,log 23x x x x x x f 则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛31f f ;若()20-=x f ,则0x = .5-a.(2018浙江萧山九中12月月考,11)若函数()x x x f lg lg 1++=,则()x f 的定义域为 ;不等式()1>x f 的解集是 .6-a.(2017浙江杭州质检,11)=+5lg 2lg ;=-313log 822 .7-a.(2017浙江台州质量评估,11)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()=0f ,()[]=0f f .8-a.(2017浙江镇海中学模拟卷一,12)已知函数()⎩⎨⎧≥<=1,log 1,22x x x x f x 则()x f 的值域是 ;若方程()0=-a x f 恰有一个实根,则实数a 的取值范围是 .9-b.(2016浙江金丽衢十二校第一次联考,18(改编))已知函数()()t a x f x a +=2log ,其中0>a 且1≠a ,若存在实数()n m n m <,,使得[]n m x ,∈时,函数()x f 的值域也为[]n m ,,则t 的取值范围是 .C 组方法1 关于对数概念及运算的解题策略1-a.(2016浙江模拟训练卷(一),13)已知()x f 是定义在R 上的奇函数,且()()02=++x f x f ,当[]1,0∈x 时,()12-=x x f ,则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛125log 81f .2-a.(2017浙江台州4月调研卷(一模),14)已知324,2==b a x,则=b 2log ,满足1log ≤b a 的实数x 的取值范围是 .方法2 对数函数的图象和性质的应用的解题策略3-c.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),17)函数()⎩⎨⎧>+-≤<=4,341240,log 22x x x x x x f 若d c b a ,,,互不相同,且()()()()d f c f b f a f ===,则abcd 的取值范围是 .。

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第2章第8讲函数与方程、函数的模型及其应用含解析

第8讲函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型【如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点【1)函数零点的概念对于函数y＝f【x)，把使f【x)＝0的实数x叫做函数y＝f【x)的零点.【2)函数零点与方程根的关系方程f【x)＝0有实数根⇔函数y＝f【x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f【x)有零点.【3)零点存在性定理如果函数y＝f【x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f【a)·f 【b)<0；则函数y＝f【x)在【a，b)上存在零点，即存在c∈【a，b)，使得f【c)＝0，这个c也就是方程f【x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c【a>0)的图象与零点的关系【1)一次函数模型：y＝kx＋b【k≠0).【2)反比例函数模型：y＝kx【k≠0).【3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c 【a ，b ，c 为常数，a ≠0). 【4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c 【b >0，b ≠1，a ≠0). 【5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n 【a >0，a ≠1，m ≠0). 4.指数、对数、幂函数模型性质比较1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)函数f 【x )＝lg x 的零点是【1，0).【 )【2)图象连续的函数y ＝f 【x )【x ∈D )在区间【a ，b )⊆D 内有零点，则f 【a )·f 【b )<0.【 )【3)若函数f 【x )在【a ，b )上单调且f 【a )·f 【b )<0，则函数f 【x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.【 )【4)f 【x )＝x 2，g 【x )＝2x ，h 【x )＝log 2x ，当x ∈【4，＋∞)时，恒有h 【x )<f 【x )<g 【x ).【 ) 解析【1)f 【x )＝lg x 的零点是1，故【1)错.【2)f 【a )·f 【b )＜0是连续函数y ＝f 【x )在【a ，b )内有零点的充分不必要条件，故【2)错.答案【1)× 【2)× 【3)√ 【4)√2.【必修1P88例1改编)函数f 【x )＝e x ＋3x 的零点个数是【 ) A.0B.1C.2D.3解析由已知得f ′【x )＝e x ＋3＞0，所以f 【x )在R 上单调递增，又f 【－1)＝1e －3<0，f 【0)＝1>0，因此函数f 【x )有且只有一个零点. 答案 B3.【2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是【 ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋1解析由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D ，y ＝cos x 为偶函数且有零点. 答案 A4.已知某种动物繁殖量y 【只)与时间x 【年)的关系为y ＝a log 3【x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到【 ) A.100只 B.200只 C.300只D.400只解析由题意知100＝a log 3【2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3【x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. 答案 B5.函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.解析因为函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上是单调函数，所以若f 【x )在区间【－1，1)上存在一个零点，则满足f 【－1)f 【1)＜0，即【－3a ＋1)·【1－a )<0，解得13<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －2，x ≥0，则f 【f 【－2))＝________；函数f 【x )的零点的个数为________.解析根据题意得：f 【－2)＝【－2)2＝4，则f 【f 【－2))＝f 【4)＝24－2＝16－2＝14；令f 【x )＝0，得到2x －2＝0，解得：x ＝1，则函数f 【x )的零点个数为1. 答案 14 1考点一函数零点所在区间的判断【例1】【1)若a <b <c ，则函数f 【x )＝【x －a )【x －b )＋【x －b )【x －c )＋【x －c )【x －a )的两个零点分别位于区间【 )A.【a ，b )和【b ，c )内B.【－∞，a )和【a ，b )内C.【b ，c )和【c ，＋∞)内D.【－∞，a )和【c ，＋∞)内【2)设f 【x )＝ln x ＋x －2，则函数f 【x )的零点所在的区间为【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析【1)∵a 0， f 【b )＝【b －c )【b －a )<0，f 【c )＝【c －a )【c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间【a ，b )，【b ，c )内分别存在零点，又函数f 【x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f 【x )的两个零点分别位于区间【a ，b )，【b ，c )内，故选A.【2)法一函数f 【x )的零点所在的区间可转化为函数g 【x )＝ln x ，h 【x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f 【x )的零点所在的区间为【1，2).法二易知f 【x )＝ln x ＋x －2在【0，＋∞)上为增函数，且f 【1)＝1－2＝－1<0，f 【2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间【1，2)内函数存在零点. 答案【1)A 【2)B规律方法确定函数f 【x )的零点所在区间的常用方法【1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f 【x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f 【a )·f 【b )<0.若有，则函数y ＝f 【x )在区间【a ，b )内必有零点.【2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】已知函数f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析 ∵f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在【0，＋∞)上是增函数，又f 【1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f 【2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f 【3)＝ln 3－12>0.故f 【x )的零点x 0∈【2，3). 答案 C考点二函数零点个数的判断【例2】【1)函数f 【x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.【2)函数f 【x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________. A.1B.2C.3D.4解析【1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2【正根舍).所以在【－∞，0]上有一个零点.当x >0时，f ′【x )＝2＋1x >0恒成立，所以f 【x )在【0，＋∞)上是增函数. 又因为f 【2)＝－2＋ln 2<0，f 【3)＝ln 3>0，所以f 【x )在【0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f 【x )的零点个数为2.【2)令f 【x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g 【x )＝|log 0.5x |，h 【x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g 【x )，h 【x )的图象【如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f 【x )有2个零点. 答案【1)2 【2)B规律方法函数零点个数的判断方法：【1)直接求零点，令f 【x )＝0，有几个解就有几个零点；【2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f 【a )·f 【b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；【3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练2】【2015·湖北卷)f 【x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f 【x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案 2考点三函数零点的应用【例3】【2017·昆明调研)已知定义在R 上的偶函数f 【x )满足f 【x －4)＝f 【x )，且在区间[0，2]上f 【x )＝x ，若关于x 的方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.解由f 【x －4)＝f 【x )知，函数的周期T ＝4. 又f 【x )为偶函数，∴f 【x )＝f 【－x )＝f 【4－x )，因此函数y ＝f 【x )的图象关于x ＝2对称. 又f 【2)＝f 【6)＝f 【10)＝2.要使方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根.由函数的图象【如图)，必须有⎩⎨⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎨⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值范围是【6，10).规律方法已知函数有零点【方根有根)求参数值常用的方法：【1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；【2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；【3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【训练3】【1)【2017·东阳一中检测)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0【a ∈R )，若函数f 【x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是【 ) A.【－∞，－1) B.【－∞，0) C.【－1，0)D.[－1，0)【2)【2016·山东卷)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析【1)当x >0时，f 【x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f 【x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x 【x ≤0)，则－1≤a <0.【2)在同一坐标系中，作y ＝f 【x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝【x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案【1)D 【2)【3，＋∞)考点四构建函数模型解决实际问题【易错警示)【例4】【1)【2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是【参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)【 ) A.2018年 B.2019年 C.2020年D.2021年【2)【2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C 【单位：万元)与隔热层厚度x 【单位：cm)满足关系：C 【x )＝k 3x ＋5【0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f 【x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k 的值及f 【x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f 【x )达到最小？并求最小值.【1)解析设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130【1＋12%)n .依题意130【1＋12%)n >200，得1.12n >2013.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B【2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C 【x )＝403x ＋5【0≤x ≤10)， ∴f 【x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5【0≤x ≤10). ②由①得f 【x )＝2【3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70，当且仅当2t ＝800t 即t ＝20时“＝”成立，此时由3x ＋5＝20得x ＝5.∴函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5，因此f 【x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f 【x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法【1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.③构建f 【x )＝x ＋ax 【a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 【2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原. 易错警示求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】【1)【2017·成都调研)某食品的保鲜时间y 【单位：小时)与储藏温度x 【单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b 【e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v 【单位：千米/时)是车流密度x 【单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.①当0≤x ≤200时，求函数v 【x )的表达式；②当车流密度x 为多大时，车流量【单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f 【x )＝x ·v 【x )可以达到最大，并求出最大值【精确到1辆/时). 【1)解析由已知条件，得192＝e b 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·【e 11k )2∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192 e 33k＝192【e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24【2)解 ①由题意，得当0≤x ≤20时，v 【x )＝60；当20≤x ≤200时，设v 【x )＝ax ＋b 【a ≠0)，所以⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故当0≤x ≤200时，函数v 【x )的表达式为 v 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.②依题意并由【1)可得f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f 【x )为增函数，所以f 【x )在区间[0，20]上的最大值为f 【20)＝60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f 【x )＝13x 【200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f 【x )在区间【20，200]上取得最大值10 0003. 综上可知，当x ＝100时，f 【x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.[思想方法]1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题. 2.判断函数零点个数的常用方法【1)通过解方程来判断.【2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.【3)将函数y ＝f 【x )－g 【x )的零点个数转化为函数y ＝f 【x )与y ＝g 【x )图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：【1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；【2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；【3)解模：求解数学模型，得出数学结论；【4)还原：将数学问题还原为实际问题. [易错防范]1.函数的零点不是点，是方程f 【x )＝0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2017·赣中南五校联考)函数f 【x )＝3x －x 2的零点所在区间是【 )A.【0，1)B.【1，2)C.【－2，－1)D.【－1，0)解析由于f 【－1)＝－23<0，f 【0)＝30－0＝1>0，∴f 【－1)·f 【0)<0.则f 【x )在【－1，0)内有零点.答案 D2.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f 【x )的零点为【 ) A.12，0 B.－2，0 C.12 D.0解析当x ≤1时，由f 【x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f 【x )＝1＋log 2x＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f 【x )的零点只有0.答案 D3.【2017·杭州调研)函数f 【x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则实数a的取值范围是【 )A.【1，3)B.【1，2)C.【0，3)D.【0，2)解析因为函数f 【x )＝2x －2x －a 在区间【1，2)上单调递增，又函数f 【x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则有f 【1)·f 【2)<0，所以【－a )【4－1－a )<0，即a 【a －3)<0，所以0<a <3.答案 C4.【2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为【 )A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f 【t )＝a e nt 满足f 【5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f 【t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f 【k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.答案 A5.【2017·湖北七校联考)已知f 【x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f【2x 2＋1)＋f 【λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是【 )A.14B.18C.－78D.－38解析令y ＝f 【2x 2＋1)＋f 【λ－x )＝0，则f 【2x 2＋1)＝－f 【λ－x )＝f 【x －λ)，因为f 【x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8【1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C二、填空题6.【2016·浙江卷)设函数f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，则f 【a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2＝【x －b )【x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－【2a ＋b )x 2＋【a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.答案－2 17.【2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa 【保留3位有效数字).解析将x ＝0时，y ＝1.01×105 Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y＝c e kx ，得⎩⎨⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e 1 000k ＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e －1.153×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104 Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104 Pa.答案 1.01×105 －1.153×10－4 9.42×1048.【2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案－12三、解答题9.已知二次函数f 【x )＝x 2＋【2a －1)x ＋1－2a ，【1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；【2)若y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解【1)“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”是真命题.依题意，f 【x )＝1有实根，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝【2a －1)2＋8a ＝【2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f 【x )＝1必有实根.【2)依题意，要使y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10.【2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v 【单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10【其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.【1)求出a 、b 的值；【2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解【1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.【2)由【1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组【建议用时：25分钟)11.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是【 )A.[0，1)B.【－∞，1)C.【－∞，1]∪【2，＋∞)D.【－∞，0]∪【1，＋∞) 解析函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 的零点就是方程f 【x )＋x ＝m 的根，画出h 【x )＝f 【x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象【图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g 【x )＝f【x )＋x －m 有零点.答案 D12.【2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t 【单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c 【a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为【 )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析根据图表，把【t ，p )的三组数据【3，0.7)，【4，0.8)，【5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案 B13.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝1x ＋2－m |x |，若f 【x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f 【x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析函数f 【x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m ＝|x |【x ＋2)的实数根，令g 【x )＝|x |【x ＋2)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g 【x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m <1，即m >1时，有3个交点.答案 1 【1，＋∞)14.设函数f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x 【x >0). 【1)作出函数f 【x )的图象；【2)当0<a <b ，且f 【a )＝f 【b )时，求1a ＋1b 的值；【3)若方程f 【x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.解【1)如图所示.【2)∵f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f 【x )在【0，1]上是减函数，而在【1，＋∞)上是增函数.由0<a 0时，根据定义证明f 【x )在【－∞，－2)单调递增；【2)求集合M k ＝{b |函数f 【x )有三个不同的零点}.【1)证明当x ∈【－∞，－2)时，f 【x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈【－∞，－2)，设x 2>x 1.f 【x 1)－f 【x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝【x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0， ∴f 【x 1)－f 【x 2)<0，即f 【x 1)<f 【x 2).∴f 【x )在【－∞，－2)单调递增.【2)解函数f 【x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎨⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎨⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b ＋1)，v 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b －1). ①当k >0时，u 【x )，v 【x )开口均向上.由v 【－2)＝－1<0知v 【x )在【－∞，－2)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，u 【x )在【－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k . ②当k <0时，u 【x )，v 【x )开口均向下.由u 【－2)＝1>0知u 【x )在【－2，＋∞)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，v【x )在【－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k . 综合①②可得M k ＝{b |b <2k －2|k |}.。

(浙江版)2018年高考数学复习：专题2.8 函数与方程(讲)

第08节函数与方程【考纲解读】【知识清单】 1.函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数y ＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x 叫做函数y ＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点.对点练习【2017甘肃天水一中模拟】已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】令有两个交点，故选C.2.零点存在性定理如果函数y ＝f(x)满足：①在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y ＝f(x)在(a ，b)上存在零点，即存在c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根.对点练习【2017，()0x >的根存在的大致区间是（）A ．()01，B ．()12， C. ()2e ， D ．()34，【答案】B【考点深度剖析】函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.对于函数与方程，常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数．复习中要注意应用数形结合思想，根据具体函数的图象，讨论方程解的情况．【重点难点突破】考点1 方程根所在区间和根的个数问题【1-1 ） (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数5log y x =和作出这两个函数的图象，但当2x π>时，5log 1x >，而即原方程有三个解．。

2018年高考数学（理）二轮检测（浙江）第一部分专题二函数专题能力训练5含答案

2018年⾼考数学（理）⼆轮检测（浙江）第⼀部分专题⼆函数专题能⼒训练5含答案专题能⼒训练5导数及其应⽤(时间:60分钟满分:100分)⼀、选择题(本⼤题共8⼩题,每⼩题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0B.C.a≥D.04.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江⾦丽衢⼗⼆校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极⼤值点,2个极⼩值点B.2个极⼤值点,1个极⼩值点C.3个极⼤值点,⽆极⼩值点D.3个极⼩值点,⽆极⼤值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向旋转⾓θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每⼀个旋转⾓,曲线C都仍然是⼀个函数的图象,则α的最⼤值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为⾃然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成⽴,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)⼆、填空题(本⼤题共6⼩题,每⼩题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极⼤值和极⼩值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的⼀个极值点,则实数a= .11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成⽴的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是⾃然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于?t∈R,f(t)≤kt恒成⽴,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满⾜f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯⼀公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本⼤题共2⼩题,共30分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)15.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线⽅程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最⼩值(⽤a表⽰).16.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成⽴,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能⼒训练5导数及其应⽤1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,⼜切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增⼤,-x2+2x增⼤,ln(-x2+2x)增⼤,当x∈(1,2)时,x增⼤,-x2+2x减⼩,ln(-x2+2x)减⼩,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成⽴.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成⽴,所以F(x)在R上单调递增.⽽F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所⽰,从⽽可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极⼩值点,x2为极⼤值点,即F(x)有1个极⼤值点,2个极⼩值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜⾓⼩于等于90°时,其图象都仍然是⼀个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且07.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,⼜∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成⽴.。

(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习第一部分专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式讲义

专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式第一讲集合与常用逻辑用语考点一集合的概念及运算一、基础知识要记牢1．集合中元素的特性集合元素具有确定性、互异性和无序性．解题时要特别注意集合元素互异性的应用．2．运算性质及重要结论如(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A等．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)(2)(2018届高三·金丽衢联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为( )A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1}D．{x|－1≤x≤3}[解析] (1)根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．(2)由题意得，阴影部分所表示的集合为(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.[答案] (1)A (2)D解答集合间的运算关系问题的思路(1)正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义．(2)根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(3)确定(应用)集合间的包含关系或运算结果，常用到以下技巧：①若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；②若已知的集合是点集，用数形结合法求解；③若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解.三、预测押题不能少1．(1)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．(2)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}．因为x ∈A ∩B ，所以x 可取0,1；因为y ∈A ∪B ，所以y 可取－1,0,1,2,3. 则(x ，y )的可能取值如下表所示：故考点二四种命题及其关系一、基础知识要记牢与“四种命题”相关联的结论(1)若一个命题有大前提，其他三种命题需保留大前提；(2)一个命题的否命题与命题的否定不是同一个命题：前者既否定条件，又否定结论，后者只否定命题的结论；(3)互为逆否关系的命题真假相同，所以四种命题的真假个数一定为偶数．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R.其中的真命题为( )A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4 (2)(2017·金华一中模拟)下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题[解析] (1)设复数z＝a＋b i(a，b∈R)，对于p1，∵1z＝1a＋b i＝a－b ia2＋b2∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命题；对于p2，∵z2＝(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命题；对于p3，设z1＝x＋y i(x，y∈R)，z2＝c＋d i(c，d∈R)，则z1z2＝(x＋y i)(c＋d i)＝cx－dy ＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠z2，∴p3不是真命题；对于p4，∵z＝a＋b i∈R，∴b＝0，∴z＝a－b i＝a∈R，∴p4是真命题．(2)对于A，其逆命题是：若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y；对于B，其否命题是：若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>1；对于C，其否命题是：若x≠1，则x2＋x－2≠0，由于x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以原命题的否命题是假命题；对于D，若x2>0，则x>0或x<0，不一定有x>1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题．故选A.[答案] (1)B (2)A1在判定四个命题之间的关系时，首先要分清命题的“大前提、条件、结论”，再进行比较.2判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.3根据“互为逆否关系的命题同真同假”这一性质，当一个命题的真假不易判定时，可转化为判断其等价命题的真假.三、预测押题不能少2．(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：选C 命题的逆否命题是将条件和结论对换后分别否定，因此“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数．(2)有下列四个命题：①若“xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：选D ①的逆命题：“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；③的逆否命题：“若x 2－2x ＋m ＝0没有实数解，则m >1”是真命题；命题④是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{4,5}，显然A ⊆B 是错误的．故选D.考点三充要条件一、基础知识要记牢对于p 和q 两个命题，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p 和q 互为充要条件．推出符号“⇒”具有传递性，等价符号“⇔”具有双向传递性．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －1x ＋1<0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5，所以“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充分必要条件．(2)A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)．[答案] (1)C (2)(－2,2)判定充分、必要条件时的关注点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .2要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行，那么可以尝试通过举出恰当的反例来说明.三、预测押题不能少3．(1)“10a>10b”是“lg a >lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由10a>10b得a >b ，由lg a >lg b 得a >b >0，所以“10a>10b”是“lg a >lg b ”的必要不充分条件．(2)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A p 表示以点(1,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，如图所示．q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界)．由图可知，p 是q 的必要不充分条件．故选A.[知能专练(一)]一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·浙江延安中学模拟)命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：选D “若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b＝0，故其否定为a≠0或b≠0.故选D.3．(2017·宁波模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B ln(x＋1)<0⇔0<x＋1<1⇔－1<x<0，而(－1,0)是(－∞，0)的真子集，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件．4．(2017·吉林模拟)已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]解析：选A 设P＝{x|x>1或x<－3}，Q＝{x|x>a}，因为q是p的充分不必要条件，所以Q P，因此a≥1.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．6．(2018届高三·安徽“江南十校”联考)已知集合A＝{x|x2－x≤0}，函数f(x)＝2－x(x ∈A)的值域为B，则(∁R A)∩B等于( )A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤1} D．{x|x>1}解析：选A 由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}，∴B＝{y|1≤y≤2}，∁R A＝{x|x<0或x>1}，∴(∁R A)∩B＝{x|1<x≤2}．7．设集合S n＝{1,2,3，…，n}，n∈N*，若X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0)．若X的容量为奇(偶)数，则称X为S n的奇(偶)子集．若n＝4，则S n的所有奇子集的容量之和为( ) A．7 B．8C．9 D．10解析：选A 若n＝4，则S n的所有奇子集为{1}，{3}，{1,3}，故所有奇子集的容量之和为7.8．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )A．3 B．2C．1 D．0解析：选B 因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y ＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.9．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.10．下列关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的结论中成立的是( )A．都为真命题 B．都为假命题C．否命题为真命题 D．逆否命题为真命题解析：选D 对于原命题：“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以有a>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.二、填空题11．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,3,5}，T＝{2,3,6}，则S∩(∁U T)＝________，集合S共有________个子集．解析：由题意可得∁U T＝{1,4,5}，则S∩(∁U T)＝{1,5}．集合S的子集有∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，共8个．答案：{1,5} 812．(2017·南通模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件．其中正确命题的序号为________．解析：“a>b”是“3a>3b”的充要条件，①错误；“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分也不必要条件，②错误；“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R)为奇函数”的充要条件，③正确．故正确命题的序号为③.答案：③13．已知R 是实数集，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1，N ＝{y |y ＝x －1＋1}，则N ∩(∁R M )＝________，M ∪(∁R N )＝________.解析：M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2x <1＝{x |x <0或x >2}，N ＝{y |y ＝x －1＋1}＝{y |y ≥1}，∁R M ＝{x |0≤x ≤2}，∁R N ＝{y |y <1}，∴N ∩(∁R M )＝{x |1≤x ≤2}，M ∪(∁R N )＝{x |x <1或x >2}．答案：{x |1≤x ≤2} {x |x <1或x >2}14．若“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件，则实数p 的取值范围是________．解析：由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1. 由4x ＋p <0得x <－p4.故－p 4≤－1时，“x <－p4”⇒“x <－1”⇒“x 2－x －2>0”．∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．答案：[4，＋∞)15．(2017·诸暨质检)已知A ＝{x |－2≤x ≤0}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∪B ＝________，(∁R A )∩B ＝________.解析：∵A ＝{x |－2≤x ≤0}，∴∁R A ＝{x |x <－2或x >0}，又B ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁R A )∩B ＝{x |0<x ≤2}．答案：{x |－2≤x ≤2} {x |0<x ≤2}16．(2017·四川南山模拟)已知不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则m 的取值范围是________．解析：由题意知，13<x <12是不等式|x －m |<1成立的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 13<x <12是{x ||x －m |<1}的真子集．而{x ||x －m |<1}＝{x |－1＋m <x <1＋m }，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ≤13，1＋m ≥12(两个不等式不能同时取等号)，解得－12≤m ≤43，所以m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝______，A ∪B ＝________，∁R A ＝________.解析：∵A ＝{x |－1<x <4}，B ＝{x |1<x <5}，∴A ∩B ＝{x |1<x <4}，A ∪B ＝{x |－1<x <5}，∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．答案：{x |1<x <4} {x |－1<x <5} {x ≤－1或x ≥4} [选做题]1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}，若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个解析：选A A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝ax ＋b ，x ∈Z}，B ＝{(x ，y )|x＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z}＝{(x ，y )|y ＝3x 2＋12，x ∈Z}，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋b ，y ＝3x 2＋12，故3x 2－ax ＋12－b ＝0，①因为A ∩B ≠∅，故Δ＝a 2－12(12－b )＝a 2＋12b －144≥0，即a 2＋12b ≥144，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12b ≥144，a 2＋b 2≤108，解得a ＝±62，b ＝6，代入①中可知x ＝±2，这与x ∈Z 矛盾，故“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数为0，故选A.2．对于非空数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }，下列说法： ①A ＋B ＝B ＋A ；②(A ＋B )＋C ＝A ＋(B ＋C )； ③若A ＋A ＝B ＋B ，则A ＝B ； ④若A ＋C ＝B ＋C ，则A ＝B . 其中正确的是( ) A ．① B ．①② C ．②③D ．①④解析：选B 对于①，A ＋B ＝{x ＋y |x ∈A ，y ∈B }＝{y ＋x |x ∈A ，y ∈B }＝B ＋A ，①正确；对于②，(A ＋B )＋C ＝{(x ＋y )＋z |x ∈A ，y ∈B ，z ∈C }＝A ＋(B ＋C )，②正确；对于③，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}时，A ＋A ＝{偶数}＝B ＋B ，显然A ≠B ，③错误，对于④，当A ＝{奇数}，B ＝{偶数}，C ＝{整数}时，A ＋C ＝{整数}＝B ＋C ，显然A ≠B ，④错误．综上所述，正确的为①②，故选B.3．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a ＞0，a ≠1)有意义；q ：关于实数t 的不等式t2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.若命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，－2t 2＋7t －5＞0，解得1＜t ＜52.∵命题p 是命题q 的充分不必要条件，∴1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0解集的真子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0两根为1，a ＋2，故只需a ＋2>52，解得a >12.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞第二讲函数的概念与性质考点一函数及其表示一、基础知识要记牢(1)函数初、高中定义形式不同，本质一样，核心是对应； (2)当两个函数的三要素完全相同时表示同一个函数；(3)分段函数是一个函数而不是几个函数，离开定义域讨论分段函数是毫无意义的．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2015·浙江高考)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|(2)(2017·嘉兴模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.(3)(2016·江苏高考)函数y ＝ 3－2x －x 2的定义域是________．[解析] (1)取x ＝0，π2，可得f (0)＝0,1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2,0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝ x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝ x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．(2)当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1>0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．当a >0时，f (a )＝－a 2<0，由f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝ 2.(3)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．[答案] (1)D (2) 2 (3)[－3,1]1.理解函数概念的要点函数概念本质是对应，以具体函数模型为基础，在新背景、综合背景下理解. 2.求函数定义域的类型和相应方法 1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可；2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义., 3.求函数值时应注意的问题分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用好其周期性.三、预测押题不能少1．(1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9D ．c >9解析：选C 由题意，不妨设g (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，m ∈(0,3]，则g (x )的三个零点分别为x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝－1，因此有(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c －m ，则c －m ＝6，因此c ＝m ＋6∈(6,9]．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案：－2 考点二函数的图象一、基础知识要记牢函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．正确作图是解题的基本保障，识图、用图是解题的手段和目标．二、经典例题领悟好[例2] (1)(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )(2)函数f (x )的图象是如图所示的折线段OAB ，其中A (1,2)，B (3,0)，函数g (x )＝xf (x )，那么函数g (x )值域为( )A ．[0,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32D ．[0,4][解析] (1)∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝±π2时，y ＝sin x 2＝1，而π2＜π2，且y ＝sin π24＜1，故D 项正确． (2)由题图可知直线OA 的方程是y ＝2x ；而k AB ＝0－23－1＝－1，所以直线AB 的方程为y ＝－(x －3)＝－x ＋3.由题意，知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，－x ＋3，1<x ≤3，所以g (x )＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，－x 2＋3x ，1<x ≤3.当0≤x ≤1时，g (x )＝2x 2∈[0,2]；当1<x ≤3时，g (x )＝－x 2＋3x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，显然，当x ＝32时，取得最大值94；当x ＝3时，取得最小值0.综上所述，g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，94.[答案] (1)D (2)B由解析式确定函数图象的判断技巧(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)由函数的周期性，判断图象的循环往复. 三、预测押题不能少2．(1)函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的大致图象是( )解析：选A 由二次函数的图象可知b <－1,0<a <1，所以g (x )＝a x＋b 为减函数，其图象由指数函数y ＝a x的图象向下平移|b |个单位长度得到，故选A.(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象如图所示，易知函数f (x )在R 上为单调递减函数，所以不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立等价于x ＋a <2a －x ，即x <a 2在[a ，a ＋1]上恒成立，所以只需a ＋1<a2，即a <－2. 答案：(－∞，－2) 考点三函数的性质一、基础知识要记牢(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A ．－2B ．－1C ．0D ．2(3)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)[解析] (1)因为f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－[ 3x －⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．(2)由题意知当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x ＜0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D. (3)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )， ∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)． [答案] (1)A (2)D (3)D函数性质综合应用问题的3种类型和解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.三、预测押题不能少3．(1)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.(2)下列函数中既是奇函数又在其定义域上是减函数的是( ) A ．y ＝lg 1＋x1－xB ．y ＝e －x－e xC ．y ＝sin x －|cos x |D ．y ＝x 3－3x解析：选B 选项A 错误，因为函数f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝－lg 1＋x1－x ＝－f (x )，所以是奇函数且定义域为(－1,1)，因为g (x )＝1＋x 1－x ＝21－x －1是增函数，所以y ＝lg 1＋x1－x 是增函数；选项B 正确，f (－x )＝e x－e －x＝－(e －x－e x )＝－f (x )，所以是奇函数，因为y ＝e －x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是减函数，y ＝－e x是减函数，所以y ＝e －x －e x是减函数；选项C 错误，f (－x )＝－sin x －|cos x |≠－f (x )，所以f (x )＝sin x －|cos x |不是奇函数；选项D 错误，函数y ＝x 3－3x 是奇函数但不是单调函数．故选B.(3)若f (x )是定义在f (x )是定义在R 上的周期为4的函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x ，0≤x ≤1，cos πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝________.解析：因为f (x )的周期为4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋53＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝cos 5π3＝cos π3＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫293＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝14.答案：14[知能专练(二)]一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g 2x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1，作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)．答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4，解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )， ∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0，又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p 2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p 6≥0或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2ax×－2bx ＝2－2ab ，x ＝ a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即 a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝a x－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2，当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2. 由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54，又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用考点一基本初等函数的图象与性质一、基础知识要记牢指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况，当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．二、经典例题领悟好[例1] (1)(2017·杭州模拟)将函数f(x)＝ax＋b，g(x)＝log a(1＋bx)的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能正确的是( )(2)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A．c＞b＞a B．b＞c＞aC．a＞c＞b D．a＞b＞c[解析] (1)因为g(0)＝0，故排除D；选项A中，由直线可以看出b<0，由1＋bx>0知，函数在y轴右侧的图象是有限的，排除A；选项C中，由直线可以看出b>0，由1＋bx>0知，函数在y轴左侧的图象是有限的，排除C，故选B.(2)a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72，∵log32>log52>log72，∴a>b>c.[答案] (1)B (2)D1基本初等函数的图象是其性质的直观载体，要结合图象理解性质；图象变换要以基本函数图象为基础，结合性质等判断、应用.2比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较.三、预测押题不能少1．(1)函数y＝x－x 13的图象大致为( )解析：选A 函数y ＝x －x 13为奇函数．当x >0时，由x －x 13>0，即x 3>x ，可得x 2>1，故x >1，结合选项，选A.(2)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b解析：选A 因为a ＝243，b ＝425＝245，由函数y ＝2x在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝243＝423，c ＝2513＝523，由函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.考点二二次函数一、基础知识要记牢二次函数的相关结论若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )的图象与x 轴交点的横坐标是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根．(2)若x 1，x 2为f (x )＝0的实根，则f (x )在x 轴上截得的线段长应为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时，恒有f (x )>0；当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.二、经典例题领悟好[例2] (1)(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关(2)若二次函数f (x )满足f (3)＝f (－1)＝－5，且f (x )的最大值是3，则函数f (x )的解析式为________．(3)若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是减函数，则a 的取值范围是________．[解析] (1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24＋b ，①当0≤－a2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b,1＋a ＋b }，∴M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0,1]上单调递增，∴M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关； ③当－a2>1时，f (x )在[0,1]上单调递减，∴M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关．(2)法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝－5，a －b ＋c ＝－5，4ac －b 24a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1.法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，因为f (3)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝3＋－12＝1，则m ＝1.又f (x )的最大值是3，则a <0，n ＝3，即f (x )＝a (x －1)2＋3，由f (3)＝－5得4a ＋3＝－5，则a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2(x －1)2＋3＝－2x 2＋4x ＋1. 法三：设f (x )＋5＝a (x －3)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－2ax －3a －5＝a (x －1)2－4a －5，又f (x )的最大值是3，则a <0，且－4a －5＝3，所以a ＝－2，所以二次函数的解析式为f (x )＝－2x 2＋4x ＋1. (3)f (x )＝cos 2x ＋a sin x ＝1－2sin 2x ＋a sin x ，令t ＝sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，原函数化为y ＝－2t 2＋at ＋1，由题意及复合函数单调性的判定可知y ＝－2t 2＋at ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是减函数，结合二次函数图象可知，a 4≤12，所以a ≤2.答案：(1)B (2)f (x )＝－2x 2＋4x ＋1 (3)(－∞，2]解决有关二次函数两类综合问题的思想方法(1)含有参数的二次函数与不等式的综合问题注意分类讨论思想、函数与方程思想的运用． (2)二次函数的最值问题，通常采用配方法，将二次函数化为y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)的形式，得其图象顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，分三种情况：①顶点固定，区间固定； ②顶点含参数，区间固定； ③顶点固定，区间变动. 三、预测押题不能少2．(1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则a 的最小值是( )A ．0B ．2C ．－52D ．－3解析：选C 设f (x )＝x 2＋ax ＋1，其图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a 2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0⇒a ≥－52，∴－52≤a ≤－1.当－a 2≤0，即a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是增函数，应有f (0)＝1≥0，恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24－a22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a 的取值范围是a ≥－52，所以a 的最小值是－52，故选C.(2)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析：设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x ，则|PA |2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2，令t ＝x ＋1x，则t ≥2(x >0，当且仅当x ＝1时取“＝”)，则|PA |2＝t 2－2at ＋2a 2－2.①当a ≤2时，(|PA |2)min ＝22－2a ×2＋2a 2－2＝2a 2－4a ＋2，由题意知，2a 2－4a ＋2＝8，解得a ＝－1或a ＝3(舍)．②当a >2时，(|PA |2)min ＝a 2－2a ×a ＋2a 2－2＝a 2－2. 由题意知，a 2－2＝8，解得a ＝10或a ＝－10(舍)，综上知，a ＝－1，10. 答案：－1，10 考点三函数的零点一、基础知识要记牢确定函数零点的常用方法(1)解方程判定法，方程易解时用此法； (2)利用零点存在的判定定理；(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解．二、经典例题领悟好[例3] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1(2)(2018届高三·温州六校联考)函数f (x )＝3－x＋x 2－4的零点个数是________． [解析] (1)法一：由f (x )＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e2－x －1＋e－(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e1－x＋ex －1)＝x 2－2x ＋a (ex －1＋e－x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x ＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e1－1＋e－1＋1)＝0，解得a ＝12.法二：由f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x .ex －1＋e－x ＋1≥2ex －1·e－x ＋1＝2，当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”．若a >0，则a (ex －1＋e－x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，即a ＝12.若a ≤0，则f (x )的零点不唯一．综上所述，a ＝12.。

2018年高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第2章第6讲对数与对数函数含解析

第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N【a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质【1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b【a>0，且a≠1).【2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a【MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M【n∈R)；④log a m M n＝nm log a M【m，n∈R，且m≠0).【3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b【a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数及其性质【1)概念：函数y＝log a x【a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是【0，＋∞).【2)对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x 【a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.诊断自测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)log 2x 2＝2log 2x .【 )【2)函数y ＝log 2【x ＋1)是对数函数【 ) 【3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln 【1＋x )－ln 【1－x )的定义域相同.【 ) 【4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a 0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是【 ) A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1解析由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D3.【必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则【 )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.【2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________.解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案 94 25.【2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案－12 3 36.若log a 34<1【a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________.解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪【1，＋∞)考点一对数的运算【例1】【1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于【 ) A.10B.10C.20D.100【2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析【1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.【2)原式＝【lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案【1)A 【2)－20规律方法【1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.【2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.【3)a b ＝N ⇔b ＝log a N 【a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】【1)【2017·北京东城区综合练习)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f 【2＋log 23)的值为【 ) A.24B.16C.12D.8【2)【2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析【1)因为3<2＋log 23<4，所以f 【2＋log 23)＝f 【3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.【2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案【1)A 【2)－1考点二对数函数的图象及应用【例2】【1)【2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |【a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是【 )【2)【2017·金华调研)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f 【x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析【1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在【0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.【2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f 【x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案【1)B 【2)a >1规律方法【1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点【与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 【2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】【1)函数y ＝2log 4【1－x )的图象大致是【 )【2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是【 ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.【1，2)D.【2，2)解析【1)函数y ＝2log 4【1－x )的定义域为【－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4【1－x )在定义域内单调递减，排除D.【2)由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1【如图所示). 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案【1)C 【2)B考点三对数函数的性质及应用【多维探究) 命题角度一比较对数值的大小【例3－1】【2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则【 ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c c b解析由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确.log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二解对数不等式【例3－2】若log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是【 ) A.【0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.【0，1)∪【1，＋∞)解析由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度三对数型函数的性质【例3－3】已知函数f 【x )＝log a 【3－ax ).【1)当x ∈[0，2]时，函数f 【x )恒有意义，求实数a 的取值范围；【2)是否存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解【1)∵a >0且a ≠1，设t 【x )＝3－ax ，则t 【x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t 【x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f 【x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈【0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 【2)t 【x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t 【x )为减函数.∵f 【x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t 【x )最小值为3－2a ，f 【x )最大值为f 【1)＝log a 【3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法【1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.【2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.【3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】【1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则【 ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b【2)已知函数f 【x )＝log a 【8－ax )【a >0，且a ≠1)，若f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析【1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1，又c ＝log 23>log 22＝1，所以，c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .【2)当a >1时，f 【x )＝log a 【8－ax )在[1，2]上是减函数，由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f 【x )min ＝log a 【8－2a )>1，解之得1<a <83.若0<a <1时，f 【x )在[1，2]上是增函数，由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f 【x )min ＝log a 【8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案【1)D 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：【1)数形结合；【2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为【0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|【α∈N*，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：【1)务必先研究函数的定义域；【2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的【)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在【0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2.【2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是【)A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【 )解析由题意y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象过【3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝【－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3【－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是【 )A.5B.3C.－1D.72解析由题意可知f 【1)＝log 21＝0， f 【f 【1))＝f 【0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.【2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则【 ) A.【a －1)【b －1)<0 B.【a －1)【a －b )>0 C.【b －1)【b －a )<0D.【b －1)【b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0a >1或00.答案 D二、填空题6.设f 【x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f 【x )<0的x 的取值范围是________. 解析由f 【x )是奇函数可得a ＝－1，∴f 【x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为【－1，1). 由f 【x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 答案【－1，0)7.【2017·绍兴调研)已知5lg x ＝25，则x ＝________；已知函数f 【x )＝lg x ，若f【ab )＝1，则f 【a 2)＋f 【b 2)＝________.解析因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f 【ab )＝1，所以lg 【ab )＝1，即ab ＝10，所以f 【a 2)＋f 【b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg 【a 2b 2)＝2lg 【ab )＝2.答案 100 28.【2015·福建卷)若函数f 【x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2【a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析当x ≤2时，f 【x )≥4；又函数f 【x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为【1，2].答案【1，2]三、解答题9.设f 【x )＝log a 【1＋x )＋log a 【3－x )【a >0，a ≠1)，且f 【1)＝2.【1)求a 的值及f 【x )的定义域；【2)求f 【x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解【1)∵f 【1)＝2，∴log a 4＝2【a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f 【x )的定义域为【－1，3).【2)f 【x )＝log 2【1＋x )＋log 2【3－x )＝log 2【1＋x )【3－x )＝log 2[－【x －1)2＋4]，∴当x ∈【－1，1]时，f 【x )是增函数；当x ∈【1，3)时，f 【x )是减函数，故函数f 【x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f 【1)＝log 24＝2. 10.【2016·衡阳月考)已知函数f 【x )是定义在R 上的偶函数，且f 【0)＝0，当x >0时，f 【x )＝log 12x . 【1)求函数f 【x )的解析式；【2)解不等式f 【x 2－1)>－2.解【1)当x <0时，－x >0，则f 【－x )＝log 12【－x ).因为函数f 【x )是偶函数，所以f 【－x )＝f 【x )＝log 12【－x )，所以函数f 【x )的解析式为f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.【2)因为f 【4)＝log 124＝－2，f 【x )是偶函数，所以不等式f 【x 2－1)>－2转化为f 【|x 2－1|)>f 【4).又因为函数f 【x )在【0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为【－5，5).能力提升题组【建议用时：25分钟)11.【2017·长沙质检)设f 【x )＝ln x ，0<a pD.p ＝r >q解析 ∵0<a ab ，又∵f 【x )＝ln x 在【0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f 【ab )，即q >p . 又r ＝12【f 【a )＋f 【b ))＝12【ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f 【x )＝ln x 1－x，若f 【a )＋f 【b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a 【1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 13.【2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴【b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f 【x )＝12log a 【ax )·log a 【a 2x )【a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解由题意知f 【x )＝12【log a x ＋1)【log a x ＋2)＝12【log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f 【x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈【0，1).∵f 【x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f 【x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13，此时f 【x )取得最小值时，x ＝【2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f 【x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]，符合题意，∴a ＝12.15.已知函数f 【x )＝lg 1＋x 1＋ax【a ≠1)是奇函数. 【1)求a 的值；【2)若g 【x )＝f 【x )＋21＋2x，x ∈【－1，1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解【1)因为f 【x )为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f 【－x )＋f 【x )＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1，由条件知a ≠1，所以a ＝－1.【2)因为f 【x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 令h 【x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。

2018年高考数学浙江专用总复习教师用书：第2章第1讲函数及其表示含解析精品

第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(2017·舟山一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.[1，2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析由题意，得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案－26.(2017·丽水调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ）（x <1），设函数f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ）（x <1），∴f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 232＝5；当a ≥1时，由f (a )＝－2a 2＋1＝－1，得a ＝1(a ＝－1舍去)；当a <1时，由f (a )＝log 2(1－a )＝－1，得1－a ＝12，即a ＝12. 答案 5 1或12考点一求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]， ∴g (x )有意义，应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 解析(1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案 (1)C (2)[－1，0] 考点二求函数的解析式【例2】 (1)已知f⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. (3)在f (x )＝2f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ，得f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13. 答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1，由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1). (3)当x ∈(－1，1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ，得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1). 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三分段函数(多维探究) 命题角度一求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( ) A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解之得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞，8]. 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________. 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2017·绍兴质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).答案 D2.(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则则f[g(1)]的值为()A.1B.2C.3D.4解析由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 答案 A3.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2，得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4.(2017·湖州一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝() A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 答案 C5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x解析函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D. 答案 D7.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( )A.12 B.14 C.－25D.18解析由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C8.(2017·铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝x －1x B.f (x )＝e x －1 C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立.对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A ，B ，D 均不正确.选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ，y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x20＋8>0，有y 20≥x 20成立. 答案 C二、填空题9.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 解析要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 答案 [－3，1]10.(2017·湖州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥9，f （f （x ＋4）），x <9，则f (10)＝________；f (7)＝________.解析 f (10)＝10－3＝7；f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12))＝f (12－3)＝f (9)＝9－3＝6. 答案 7 611.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________.解析根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2x12.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），x 2＋x （x ≤0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为________.解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），x 2＋x （x ≤0），f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.当x >0时，由log 2x ＝2得x ＝4，当x ≤0时，由x 2＋x ＝2得x ＝－2(x ＝＋1舍去).答案 0 －2或413.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是________.解析依题意可知⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2＋2（－a ）＋a 2－2a ≤0或⎩⎨⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2，2]. 答案 [－2，2]能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x . 答案 D15.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1，＋∞)解析由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1， ∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23. 答案 C16.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]. 答案 (0，1]17.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－318.(2017·台州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≤0，x －1，x >0，g (x )＝2x －1，则f (g (2))＝________，f [g (x )]的值域为________.解析 g (2)＝22－1＝3，∴f (g (2))＝f (3)＝2，g (x )的值域为(－1，＋∞)，∴若－1<g (x )≤0；f [g (x )]＝[g (x )]2－1∈[－1，0)；若g (x )>0；f [g (x )]＝g (x )－1∈(－1，＋∞)，∴f [g (x )]的值域是[－1，＋∞). 答案 2 [－1，＋∞)。

2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训14 函数的图象和性质 Word版含答案

专题限时集训(十四) 函数的图象和性质(对应学生用书第页)[建议、组各用时：分钟][组高考达标]一、选择题．(·金华一中高考月模拟考试)已知函数()＝－)，则＝()的图象大致为( )[()＝＞，排除；＝＝，排除；当＝时，()＝＜，所以()＞()，排除，故选.]．已知函数()＝－的图象如图所示，则函数()＝＋的图象可能是( )图[由图知<<.又由图得－>，－<，即－<－>，所以<<，所以函数()的图象可能是，故选.]．已知偶函数()在区间[，＋∞)上单调递增，则满足(－)＜的的取值范围是( )[偶函数满足()＝()，根据这个结论，有(－)＜⇔(－)＜，进而转化为不等式－＜，解这个不等式即得的取值范围是.]．(·宁波模拟)已知函数()＝(\\(＋，≥，－，<，))并给出以下命题，其中正确的是( )．函数＝( )是奇函数，也是周期函数．函数＝( )是偶函数，不是周期函数．函数＝()))是偶函数，但不是周期函数．函数＝()))是偶函数，也是周期函数[因为(－)＝(\\(＋，≥，－，<))＝()，所以函数()是偶函数．因为＝是奇函数，且是周期函数，所以( )是偶函数，且是周期函数，排除，；因为＝是奇函数，但不是周期函数，所以()))是偶函数，但不是周期函数，故选.]．设函数＝()(∈)为偶函数，且∈，满足＝，当∈[]时，()＝，则当∈[－]时，()＝( )【导学号：】．＋．－．＋＋．－＋[∵∈，满足＝，∴∈，满足＝，即()＝(＋)．若∈[]，则＋∈[]，()＝(＋)＝＋，若∈[－]，则－∈[]．∵函数＝()(∈)为偶函数，∴(－)＝－＋＝()，即()＝－＋，∈[－]；若∈[－，－]，则＋∈[]，则()＝(＋)＝＋＋＝＋，∈[－，－]．综上，()＝(\\(＋，－≤＜－，,－＋，－≤≤，))故选.]二、填空题．(·宁波联考)已知()＝(\\(()，≥，，＜，))则((－))＝，(())＝的解集为．{－，} [(－)＝，((－))＝()＝.∵(())＝，∴()＝－(舍去)，()＝，∴＝，＝－，∴(())＝的解集为{－，}．]．若函数()＝－(∈)满足(＋)＝(－)，且()在[，＋∞)上单调递增，则实数的最小值等于．[∵(＋)＝(－)，∴()的对称轴为＝，∴＝，()＝－，∴()的增区间为[，＋∞)．∵[，＋∞)⊆[，＋∞)，∴≥，∴的最小值为.]．已知函数()＝(\\(＋，＜，－，＞，))若()＝()＝()(，，互不相等)，且＋＋的取值范围为()，则实数的值为．【导学号：】[作出()的图象，如图所示，可令＜＜，则由图知点()，()关于直线＝－对称，所以＋＝－.又＜＋＋＜，所以＜＜.由()＝()＝()(，，互不相等)，结合图象可知点的坐标为()，代入函数解析式，得＝(－)，解得＝.]三、解答题．已知函数()＝－＋＋(＞)在区间[]上有最大值和最小值，设()＝.()求，的值；()若不等式()－·≥在∈[－]上有解，求实数的取值范围．[解]()()＝(－)＋＋－，因为＞，所以()在区间[]上是增函数，分故(\\(＝，＝，))解得(\\(＝，＝.))分()由已知可得()＝＋－，所以()－·≥可化为＋－≥·，即＋－·≥，分令＝，则≤－＋，∈[－]，则∈，分记()＝－＋，因为∈，故()＝，所以的取值范围是(－∞，]分．已知≥，函数()＝{－，－＋－}，其中{，}＝(\\(，≤，，>.)) ()求使得等式()＝－＋－成立的的取值范围．()①求()的最小值()；②求()在区间[]上的最大值()．[解]()由于≥，故当≤时，(－＋－)－－＝＋(－)(－)>；分当>时，(－＋－)－－＝(－)(－)．所以使得等式()＝－＋－成立的的取值范围为[]分()①设函数()＝－，()＝－＋－，则()＝()＝，()＝()＝－＋－，分所以由()的定义知()＝{()，()}，即()＝(\\(，≤≤＋()，,－＋－，>＋().))②当≤≤时，分()＝()，此时()＝{()，()}＝.当≤≤时，()＝()，此时()＝{()，()}＝{－}，分当≥时，－≤；当≤<时，－>，所以()＝(\\(－，≤<，，≥.))分[组名校冲刺]一、选择题．(·金华模拟)已知定义在上的奇函数满足(＋)＝－()，且在区间[]上是增函数，则( )．(－)＜()＜()．()＜()＜(－)．()＜()＜(－)．(－)＜()＜()[∵(＋)＝－()，∴(＋)＝－(＋)，∴(＋)＝()，∴()的周期为，∴(－)＝(－)，()＝()，()＝()＝(－＋)＝－(－)＝()．又∵奇函数()在区间[]上是增函数，∴()在区间[－]上是增函数，∴(－)＜()＜()，故选.]．函数()＝(－ ) 在[－π，π]的图象大致为( )[因为(－)＝[－(－)](－)＝－(－)· ＝－()，所以函数()为奇函数，图象关于原点对称，排除选项；当∈(，π)时，－＞，＞，所以()＞，排除选项；又函数()的导函数′()＝· ＋(－)· ，所以′()＝，排除.故选.]．已知函数()＝，则＝()的图象大致为( )[当＝时，＝－)<，排除；当＝时，不存在，排除；当从负方向无限趋近时，趋向于－∞，排除，选.]．已知函数()＝(\\(－＋，≤，()，＞，))若对任意的∈，不等式()≤－恒成立，则实数的取值范围是( ) 【导学号：】∪[，＋∞)．[，＋∞)[对于函数()＝(\\(－＋，≤，()，＞，))当≤时，()＝－＋＝－＋≤；当＞时，()＝＜，∴要使不等式()≤－恒成立，需－≥恒成立，即≤－或≥，故选.]二、填空题．在平面直角坐标系中，若直线＝与函数＝－－的图象只有一个交点，则的值为．－[函数＝－－的图象如图所示，因为直线＝与函数＝－－的图象只有一个交点，故＝－，解得＝－.]．(·浙江高考)已知∈，函数()＝＋在区间[]上的最大值是，则的取值范围是．[法一：当∈[]时，＋∈[]．①当≥时，()＝－－＋＝－－，函数的最大值－＝，所以＝，舍去；②当≤时，()＝＋－＋＝＋≤，此时符合题意；③当<<时，()＝{－＋，－＋}，则(\\(－＋≥－＋，－＋＝))或(\\(－＋<－＋，－＋＝，))解得＝或<，综上可得，的取值范围是.法二：当∈[]时，令＝＋∈[]．则()＝－＋，结合数轴易知，＝为[]的对称轴，当≤时，靠近左端点，此时－≤－＝－，即()＝－＋＝，符合题意．当>时，靠近右端点，此时－≤－＝－，即()＝－＋＝－>，不符合题意．综上可得，的取值范围是.方法：当∈[]时，＋∈[]．结合数轴可知，()＝{－，－}＋＝(\\(，≤()，－， >()，))令()＝，得∈.]三、解答题．已知奇函数()的定义域为[－]，当∈[－)时，()＝－.()求函数()在[]上的值域；()若∈(]，＝()－()＋的最小值为－，求实数λ的值．[解]()设∈(]，则－∈[－)，所以(－)＝－－＝－.又因为()为奇函数，所以(－)＝－()，所以当∈(]时，()＝－(－)＝，所以()∈(]．又()＝，所以当∈[]时函数()的值域为(]∪{}分()由()知当∈(]时，()∈(]，所以()∈，令＝()，则＜≤，()＝()－()＋＝－λ＋＝＋－分①当≤，即λ≤时，()＞无最小值．②当＜≤即＜λ≤时，()＝＝－＝－.解得λ＝±舍去．③当＞，即λ＞时，()＝()＝－，解得λ＝.综上所述，λ＝分．函数()是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有(＋)＝(－)成立，已知当∈[]时，()＝. ()求∈[－]时，函数()的表达式；()求∈[－＋](∈)时，函数()的表达式；()若函数()的最大值为，在区间[－]上，解关于的不等式()＞.【导学号：】[解]()因为(＋)＝(－)，且()是上的偶函数，所以(＋)＝()，所以()＝(\\(＋，∈[－，]，－，，].))分()当∈[－]时，()＝(－)＝(＋－)，同理，当∈(＋]时，()＝(－)＝(－＋)，所以()＝(\\(＋－，∈[－，]，－＋，，＋].))分()由于函数是以为周期的周期函数，故只需要考查区间[－]，当＞时，由函数()的最大值为，知()＝()＝＝，即＝.当＜＜时，则当＝±时，函数()取最大值为，即(－)＝，舍去．综上所述＝分当∈[－]时，若∈[－]，则(＋)＞，所以－＜≤；若∈(]，则(－)＞，所以＜＜－，分所以此时满足不等式的解集为(－－)．因为函数是以为周期的周期函数，所以在区间[]上，()＞的解集为(，－)，综上所得不等式的解集为(－－)∪(，－)分。

2018高考数学浙江专版二轮复习与策略课件专题14 函数的图象和性质精品

[变式训练 2] (1)(2016·浙江五校联考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
fln 且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式
x－2 fln1x＜f(1)的解集为(
)
【导学号：58962059】
A.0，1e
B．(0，e)
C.1e，e
D．(e，＋∞)
回访 2 函数的图象 4．(2015·浙江高考)函数 f(x)＝x－1xcos x(－π≤x≤π 且 x≠0)的图象可能为
()
D [函数 f(x)＝x－1xcos x(－π≤x≤π 且 x≠0)为奇函数，排除选项 A，B；当 x＝π 时，f(x)＝π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项 C，故选 D.]
5．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
D [法一：分 a>1,0<a<1 两种情形讨论．当 a>1 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C；当 0<a<1 时，y＝xa 为增函数，y＝logax 为减函数，排除 A，由于 y＝xa 递增较慢，所以选 D.
核
心
知
识
·
聚
焦
专
题
专题六函数与导数
限
时
集
热
训
点
题
型
·
探
究
建知识网络明内在联系
[高考点拨] 函数与导数专题是历年高考的“常青树”，在高考中常以“两小一大”的形式呈现，其中两小题中的一小题难度偏低，另一小题与一大题常在选择题与解答题的压轴题的位置呈现，命题角度多样，形式多变，能充分体现学以致用的考查目的，深受命题人的喜爱．结合典型考题的研究，本专题将从“函数的图象与性质”“函数与方程”“导数的应用”三大方面着手分析，引领考生高效备考．

(浙江专用)2018年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数1 第8讲函数与方程_函数

第8讲函数与方程、函数的模型及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3.(2017·杭州调研)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C 二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案－2 17.(2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa(保留3位有效数字).解析将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y ＝c e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e 1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e－1.153×10－4x，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.答案 1.01×105－1.153×10－49.42×1048.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案－12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点. 答案 D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟解析根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 答案 B13.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m＝|x |(x ＋2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m<1，即m >1时，有3个交点.答案 1 (1，＋∞)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a 0时，根据定义证明f (x )在(－∞，－2)单调递增； (2)求集合M k ＝{b |函数f (x )有三个不同的零点}. (1)证明当x ∈(－∞，－2)时，f (x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，设x 2>x 1.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增.(2)解函数f (x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b ＋1)，v (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b －1). ①当k >0时，u (x )，v (x )开口均向上.由v (－2)＝－1<0知v (x )在(－∞，－2)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，u (x )在(－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k .②当k <0时，u (x )，v (x )开口均向下.由u (－2)＝1>0知u (x )在(－2，＋∞)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，v (x )在(－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k .综合①②可得M k＝{b|b<2k－2|k|}.。

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知能专练（二）函数的概念与性质一、选择题1．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A f (－1)＝－f (1)＝－2.2．(2017·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1解析：选C 函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2016·全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )解析：选D f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2＜8－2.72＜1，排除B ；x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )＜14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14单调递减，排除C.故选D.4．(2017·天津高考)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c .5．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)解析：选B 由题意可知函数f (x )在(－∞，1]和(1，＋∞)上都为增函数，且f (x )的图象在(－∞，1]上的最高点不高于其在(1，＋∞)上的最低点，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1，4－a 2>0，a ≥4－a 2＋2，解得a ∈[4,8)．6．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 22x ，则“同根函数”是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：选A f 4(x )＝log 22x ＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知选A.7．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m解析：选B 因为f (－x )＝2－f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝2.因为－x ＋x2＝0，f －x ＋f x2＝1，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称．函数y ＝x ＋1x ＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以∑i ＝1mx i ＝0，∑i ＝1my i ＝2×m2＝m ，所以∑i ＝1m(x i ＋y i )＝m .二、填空题8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，a ，x ＝0，g x ，x <0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由函数f (x )是R 上的奇函数可得f (0)＝a ＝0.因为g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4，所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25.答案：0 －259．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－210．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．解析：因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案：－2511．已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集为________．解析：当x ≥0时，f (x )＝x ＋1x ＋1＝1，当x ＜0时，f (x )＝x ＋11－x ＝－1－2x －1，作出f (x )的图象，如图所示．可得f (x )在(－∞，0)上递增，不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)即为⎩⎪⎨⎪⎧3x －4≥0，x 2－2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧3x －4<0，x 2－2x <0，x 2－2x <3x －4，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ≥43，0<x <2或⎩⎪⎨⎪⎧x <43，0<x <2，1<x <4，解得43≤x ＜2或1＜x ＜43，所以1＜x ＜2，即不等式的解集为(1,2)．答案：(1,2)12．(2017·杭州模拟)设集合A ＝{x |x 2－|x ＋a |＋2a ＜0，a ∈R}，B ＝{x |x ＜2}．若A ≠∅且A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知x 2－|x ＋a |＋2a ＜0⇒x 2＜|x ＋a |－2a ，其解集A ≠∅时，可设A ＝{m ＜x ＜n }．首先，若n ＝2时，则|2＋a |－2a ＝4，解得a ＝－2，满足A ⊆B .由函数y ＝|x ＋a |－2a 的图象可知，当a ＜－2时，n ＞2，不满足A ⊇B ，不合题意，即可知a ≥－2；考虑函数y ＝|x ＋a |－2a 的右支与y ＝x 2相切时，则x ＋a －2a ＝x 2，即x 2－x ＋a ＝0，解得a ＝14.又当a ≥14时，A ＝∅，即可知a ＜14.综上可知：－2≤a ＜14.或考虑函数y ＝|x ＋a |和函数y ＝x 2＋2a 进行数形结合．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，14 三、解答题13．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3是偶函数，且过点(2,7)，g (x )＝x ＋4. (1)求f (x )的解析式； (2)求函数F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)的值域；(3)若f (x )≥mx ＋m ＋4对x ∈[2,6]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意，对任意x ∈R ，f (－x )＝f (x )，∴ax 2－bx ＋3＝ax 2＋bx ＋3，得2bx ＝0，又∵x ∈R ，∴b ＝0，得f (x )＝ax 2＋3.把点(2,7)代入得4a ＋3＝7，解得a ＝1，∴f (x )＝x 2＋3. (2)F (x )＝f (2x)＋g (2x ＋1)＝(2x )2＋3＋2x ＋1＋4＝(2x )2＋2×2x＋7.设2x＝t ，则t ∈(0，＋∞)，F (t )＝t 2＋2t ＋7＝(t ＋1)2＋6>7，∴函数F (x )的值域为(7，＋∞)．(3)依题意得当x ∈[2,6]时，x 2＋3≥mx ＋m ＋4恒成立，即x 2－mx －m －1≥0对x ∈[2,6]恒成立．设p (x )＝x 2－mx －m －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<2，p或⎩⎪⎨⎪⎧m 2>6，p或Δ＝m 2＋4m ＋4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <4，m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m >12，m ≤5或m ＝－2，得m ≤1.综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，1]． 14．设a >0，b ∈R ，函数f (x )＝ax－2bx ＋b (0<x ≤1)． (1)求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )＋|2a －b |≥0在区间(0，m ]上恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)当b ≥0时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －2b ＋b ＝a －b ；当b <0时，有ax －2bx ≥2a x－2bx ＝2－2ab ，x ＝a －2b 时等号成立．当－a 2≤b <0，即a－2b≥1时，f (x )在0<x ≤1上递减，此时f (x )min ＝f (1)＝a －b .当b <－a2，即a－2b<1时，此时f (x )min＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a －2b ＝2－2ab ＋b ，综上知f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，b ≥－a2，2－2ab ＋b ，b <－a2.(2)当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax－2bx ＋2a≥a x－4ax ＋2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2，当b >2a 时，f (x )＋|2a －b |＝ax＋2b (1－x )－2a≥a x＋4a (1－x )－2a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4x ＋2.由1x －4x ＋2≥0，解得1－54≤x ≤1＋54，又因为1＋54<1，所以m 的最大值为1＋54.。

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