椭圆型偏微分方程1
数学专业的椭圆偏微分方程
数学专业的椭圆偏微分方程椭圆偏微分方程作为数学中的重要分支之一，广泛应用于科学、工程和经济等领域。
本文将对数学专业的椭圆偏微分方程进行详细的探讨，介绍其基本概念、求解方法以及在实际应用中的一些典型案例。
一、椭圆偏微分方程的基本概念椭圆偏微分方程是指形如：$$Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu = G $$的二阶偏微分方程，其中A、B、C、D、E、F、G都是已知的函数。
椭圆偏微分方程的主要特点是其二阶导数的系数满足某些条件，使得方程的解具有良好的性质。
二、椭圆偏微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是求解椭圆偏微分方程常用的方法之一。
通过假设解具有形如$u(x,y)=X(x)Y(y)$的形式，将变量分离后代入方程，得到两个关于X(x)和Y(y)的常微分方程。
进一步求解这些常微分方程，得到原方程的解。
2. 特征线法对于一类特殊的椭圆偏微分方程，可以通过特征线法求解。
特征线法的关键是通过变换将原方程转化为关于新坐标系的常微分方程，然后通过求解常微分方程得到原方程的解。
3. 数值方法对于一些复杂的椭圆偏微分方程，往往很难得到解析解。
此时，可以借助数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。
这些数值方法通过将偏微分方程转化为差分或代数方程，然后运用数值计算方法得到近似解。
三、椭圆偏微分方程的应用椭圆偏微分方程在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
以下是一些椭圆偏微分方程应用的典型案例：1. 热传导方程热传导方程描述了物体内部的温度分布随时间的变化。
通过求解热传导方程，可以模拟材料的热传导行为，对热传导问题进行分析和优化设计。
2. 电场方程电场方程描述了电荷在空间中的分布情况以及电场随时间的变化。
通过求解电场方程，可以研究电场的分布规律，解决电场问题，如电磁场的辐射问题、导体中的电磁场分布等。
3. 流体力学方程流体力学方程描述了流体在空间中的运动规律。
通过求解椭圆型流体力学方程，可以研究流体的运动行为，如空气动力学、水动力学、血液流动等问题。
椭圆型偏微分方程的解法
椭圆型偏微分方程的解法椭圆型偏微分方程是数学中经典的研究对象之一，它是指满足拉普拉斯方程或泊松方程的微分方程。
在实际应用中，椭圆型偏微分方程广泛存在于物理学、工程学、地球物理学、生命科学等领域，并且在工程设计和物理过程研究中具有重要的意义。
解决椭圆型偏微分方程的方法有多种，包括有限元法、有限差分法、谱方法等。
下面将分别介绍这些方法及其适用范围和优缺点。
有限元法是求解椭圆型偏微分方程的一种常用方法。
它适用于解决几何形状复杂的问题，如非规则物体的流动问题、地形表面运动等。
该方法将问题的解域分成若干个小的单元，然后对每个单元进行数值逼近，采用加权残差法对方程进行离散化处理，最终得到问题的解。
该方法的好处在于可以处理非线性问题，并且具有良好的处理误差和收敛性质，但其缺点是计算量大，在处理大规模问题时易出现计算瓶颈。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，适用于处理较为简单的几何形状，如规则的网格结构。
该方法通过使用中心差分或者差分间断法来近似微分算子，在对区域进行离散化处理之后，使用代数方程组求解工具来求解问题的解。
该方法的好处在于计算量较小，易于理解和实现，并且在解决一些经典问题时表现较为优秀。
但是，有限差分法也存在着较为明显的限制，例如难以处理非线性问题，处理复杂的几何形状时计算误差较大等。
谱方法是一种高精度的数值计算方法，适用于解决各种类型的偏微分方程。
该方法通过对问题的解进行快速傅里叶变换或者切比雪夫变换等运算，来利用谱方法在空间上进行采样，然后将问题转化为代数方程组，通过求解代数方程组来求解问题的解。
谱方法的好处在于其计算精度极高，可用于处理包括复杂几何形状在内的各种问题。
同时，谱方法也具有快速收敛的特点，适用于对数值精度要求较高的问题。
但其缺点在于需要高效的算法实现，并且不适用于噪声多、非光滑或者有光滑界面和不连续性的问题。
总之，每种方法都有其适用的领域和优势。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点来选择最为适合的解法。
椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]
![椭圆型偏微分方程的求解及其应用[文献综述]](https://img.taocdn.com/s3/m/da0ef4a3a5e9856a561260b3.png)
毕业论文文献综述信息与计算科学椭圆型偏微分方程的求解及其应用一、 前言部分微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究。
早在18世纪初，人们已经将弦线振动的问题归结为弦振动方程，并开始探讨了它的解法。
随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性。
有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中的许多特定问题的解答。
随着电子计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也有可能计算出解得足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化（如天气预报）和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用[1]。
许多复杂的自然现象，其运动规律、过程和状态都是通过微分方程这种数学形式来描述的。
当我们研究只有一个自变量的运动过程时出现的微分方程称为常微分方程。
当一个微分方程除了含有几个自变量和未知数外，还含有未知数的偏导数时，称为偏微分方程[2]-[6]。
在偏微分方程中，偏导数自然是不可缺少的。
例如： ()(),,u ua x y f x y x y∂∂+=∂∂ （1.1.1） 拉普拉斯方程22232220u u uu x y z∂∂∂∆=++=∂∂∂（1.1.2） 热传导方程()222,,u u a f x t u t x ∂∂=+∂∂（1.1.3） 波动方程()2222,,u a u f t x y t∂=∆+∂（1.1.4）等都是偏微分方程。
其中，u 为未知数，a 为常数，(),a x y 、f 为已知函数。
偏微分方程的一般形式为()112,,,,,,,,0n n x x F x x x u u u ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= （1.1.5） 其中：F 为已知函数；12,,,n x x x ⋅⋅⋅为自变量；u 是关于这些自变量的未知数。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程是一类非常重要的数学方程，它们是由一系列多元函数满足的偏微分方程的总称。
这类方程的名字来源于它们的解的形式，即椭圆型函数。
椭圆型偏微分方程的一般形式为：$$a_1\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_2\frac{\partial^2u}{\partial x\partialy}+a_3\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+b_1\frac{\partialu}{\partia l x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=f(x,y)$$其中，$u(x,y)$ 为未知函数，$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,c$ 为常数。
如果所有的常数$a_1,a_2,a_3$ 都大于0，则称该方程为椭圆型偏微分方程。
Laplace 方程是最常见的椭圆型偏微分方程之一，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$ Laplace 方程可以用来描述许多物理现象，例如电场、热传导、流体动力学等。
Poisson 方程也是一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$$ Poisson 方程可以用来描述电场、热传导、流体动力学等现象。
Helmholtz 方程是另一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+k^2u=f( x,y)$$其中，$k$ 是一个常数。
Helmholtz 方程可以用来描述许多物理现象，例如电磁场、声学现象等。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
数学中的椭圆型偏微分方程
数学中的椭圆型偏微分方程在数学领域中，椭圆型偏微分方程是一类重要的方程类型。
它在物理学、工程学和计算机科学等各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍椭圆型偏微分方程的定义、性质和求解方法，从而帮助读者更好地理解和应用这一方程类型。
一、椭圆型偏微分方程的定义椭圆型偏微分方程是指具有标准形式的二阶偏微分方程，其中二次项系数的行列式不为零。
一般而言，椭圆型偏微分方程可以表示为：∑[i,j=1 to n] {aij(x) ∂²u/∂xi ∂xj} + ∑[i=1 to n] bi(x) ∂u/∂xi + cu = f其中，a_ij、b_i、c、f是相关系数或函数；u是未知函数，表示问题的解；x_1，x_2，…，x_n是自变量。
二、椭圆型偏微分方程的性质1. 正定性：椭圆型偏微分方程的二次项系数矩阵是正定矩阵。
这意味着椭圆型方程的解在定义域上满足一定的正定性条件。
2. 内部渐进性：椭圆型方程的解在区域的内部是光滑且渐进的。
3. 边界条件：椭圆型方程需要通过边界条件来获得唯一解。
常见的边界条件包括：泊松方程中的迪里切特边界条件和诺依曼边界条件。
三、椭圆型偏微分方程的求解方法1. 分离变量法：分离变量法是椭圆型偏微分方程求解的一种常见方法。
通过假设解可以表示为各个自变量分量的乘积形式，然后将未知函数与其各个自变量的分量进行分离，最终得到一个由各自变量分量的常微分方程组成的代数方程。
2. 特征线法：特征线法适用于一类特殊的椭圆型偏微分方程。
通过求解特征方程，我们可以找到解的参数化表示，从而将原方程化为一个更简单的常微分方程。
3. 有限差分法：有限差分法是一种通过在空间和时间上离散化方程来数值求解椭圆型偏微分方程的方法。
通过将偏微分方程转化为差分方程，可以用迭代方法求解离散问题。
四、椭圆型偏微分方程的应用1. 热传导方程：热传导方程可以描述物体内部温度分布随时间变化的情况。
通过求解热传导方程，我们可以研究热量在不同材料中的传导行为。
模拟物理-09 第七章 椭圆型偏微分方程
双曲型方程
• 双曲型方程含有符号相反的二阶微商。例如描述 一根绷紧的弦的波动方程。
• 本章讨论适用于椭圆型方程的一些数值方法。
• 第七章讨论抛物型方程。 • 双曲型方程常常可以用相似的方法处理。
• 在本章我们将讨论适用于椭圆型方程的一
些数值方法。
• 为了讨论具体起见，我们将考虑关于二维 空间(x,y)内的场ϕ的椭圆型方程边值问题
• 在(i, N − 1)点上离散化的方程，可以改写为
• 偏微分方程的上述离散化近似等价于关于区域的 内点上的未知量ϕ值的一个线性方程组。 • 用矩阵记号，它可以写为
• ϕ是用所有内点排列成的列向量。 M是出现在方
程组中的矩阵，S包含了离散化方程右边的两项。
例子
• 对于一个单位正方形，每条边分成4等份。格点编 号是0,1,2,3,4 • 内点是：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) • 把内点代入方程：
椭圆型偏微分方程
偏微分方程
• 任何一种物理现象，若其物理量随空间变化或者 同时随着空间和时间变化，那么对这种现象的描 述中一定包含有偏微分方程。
• 这些现象时多种多样的，比如扩散、电磁场的分
布、电磁波、流体力学和量子力学（Schrödinger
波）。
• 除了最简单的情形之外，这些方程是不能用解析 方法求解的，必须用数值方法才能得到定量的结 果。 • 在典型的数值处理方法中，我们选取自变量（即 空间和时间）的许多离散的点，计算其上的因变 量（例如电位，温度等）。通过适当的离散化， 偏微分方程就转化为一大组差分方程。
• 把已知量（边界）移动到等号右边
• 写成矩阵
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究
椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究1. 引言在数学和科学领域，偏微分方程是一个重要的研究课题。
而在偏微分方程中，椭圆型偏微分方程又是一个重要的分支。
它在描述流体力学、热传导以及弹性力学等领域中起着重要作用。
由于椭圆型偏微分方程的特殊性质，传统的数值求解方法可能面临困难。
弱有限元方法成为了研究人员关注的焦点之一。
2. 椭圆型偏微分方程概述椭圆型偏微分方程在数学上具有一定的性质，其形式通常为：[ (u) + f = 0 ]其中，[ ] 是定义在区域[ ] 上的正定函数，[ u ] 是待求解的函数，[ f ] 是已知函数。
椭圆型偏微分方程的特点是在解域上具有强耐磨性和吸引性。
对于这种类型的方程，传统的有限元方法可能会受到局部奇异性和数值振荡的影响。
3. 弱有限元方法的基本思想弱有限元方法是针对椭圆型偏微分方程而提出的一种数值解法。
其基本思想是在方程解域上引入一个试探函数空间[V_h]，将原方程右乘试探函数[v]并在方程解域上进行积分。
通过将试探函数空间离散化，得到离散格式的方程，最终通过代数方法求解得到数值解。
4. 椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究进展近年来，针对椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究取得了一些进展。
研究人员提出了多种基于弱有限元方法的数值求解算法，包括稳定的混合有限元方法、最小二乘有限元方法等。
这些方法在处理椭圆型偏微分方程的数值求解过程中取得了一定的效果。
5. 个人观点和理解从我的观点来看，椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个具有挑战性和重要性的课题。
这种方法在处理椭圆型偏微分方程时可以有效克服传统方法的局限性，为实际问题的数值求解提供了新的思路和方法。
然而，弱有限元方法也面临着稳定性、收敛性等问题，这些都需要进一步深入研究和改进。
6. 总结椭圆型偏微分方程的弱有限元方法研究是一个复杂而重要的课题。
通过对该方法的深入研究和应用，可以更好地解决椭圆型偏微分方程在实际问题中的数值求解困难。
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函数 且无穷次可微.
其次, 考虑二维Laplace方程 2u uxx uyy 0 在极坐标变换
x x0 rcos y y0 rsin
下它可化为
1 u 1 2u (r ) 2 2 0 2u r r r r
1
(1.8)
(1.14)
其中是平面上有界区域 的边界. 性质 6.3 (平均值定理) 设 u( x y z)是区域 内的调和函数,
P0 ( x0 y0 z0 ) 是 内的任一点以, P0 为心 R 为半径作球 K R只要球 K R
连同其边界 包含在 内,则有公式
R
u ( P0 )
uM
, 于是在 SR 上成立不等式
1 4 R 2
SR
udS
1 4 R 2
SR
MdS M
但由平均值公式(1.15),有
1 udS u ( P0 ) M 2 S 4 R R
这就发生了矛盾. 所以在球面 SR 上,必须有 u M
1 1 1 ( ) ( ) R R 2 n r r r R
所以有
u( P 0) 1 4 R 2
R
udS
我们把调和函数的这一性质称为平均值定理, 公式(1.15)
15
称为平均值公式, 即调和函数在球心处的值等于它在球面上的
i 1
n
u
v dS n
(1.3)
4
若将(1.3)中的u和 v互相对换,又得
ห้องสมุดไป่ตู้
vnud
v u
i 1
n
xi xi
d
u v n dS
(1.4)
我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式. 若将(1.3)与(1.4)相减,则得
5
nu ux1x1 ux2 x2
则称 u在区域 内是调和函数.
uxn xn 0
(1.6)
如果nu 0( 0) , 则称u在区域 内是下调和(上调和)函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P( x x x ) 趋于无穷远时, 函数u 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数
因为u及 在上连续，所以 关于 一致有界, 且当 0时,有
u n
u n
u u ( P 0)
,
u n
0 ‚ K
11
于是由上式即得
u ( P0 ) 1 4 1 1 1 u u ( ) dS r n n r 4 1 r 3 ud
上达到, 那么它必在 内的某一点 P0 ( x0 y0 z0 )达到, 记 u(P0 ) M
当然 M 也是u在上的最大值.
16
以 P 为心 R 为半径作球 K R 使K R完全包含于内, 记 K R 的球面为
0
S R,可以证明,在S R上有
u M
事实上,若函数 u 在SR上某一点的值小于 M , 则由连续性知, 在球面 SR 上必可找到此 点的一个充分小的邻域, 在此邻域内有
(u n v v n u )d
v u u v dS n n
(1.5)
我们把(1.5)称为第二Green公式. 1.2. 调和函数与基本解 n R 的有 u ( x x x ) 定义 6.1 对于函数 1 2 n ,如果它在 n 维空间 界区域内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程：
(1.10)
1 ( 在区域 ‚ K 内是调和函数, 所以有 3 ) 0 另外边界 r 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心P0
的方向, 所以在 上有
10
1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n r r r r
从而得到在 上的积分为
1 1 u u ( ) dS r n n r 1 1 u 2 udS dS n u 4 u 4 ( ) n
n
(1.1)
其中 cos(n xi ) 表示曲面 的外单位法向n与 x轴的方向余弦 , dS i 是 上的面积元素.
3
Green公式的推导：
设函数 u( x1 x2
xn ) 和v( x1 x2
P i u v i 1 2 xi
n
xn )在内有连续的二阶
n
3
u d r
(1.9)
其中 r
是边界曲面 的外单位法向, dS是曲面 上的面积单元,d 是体积单元.
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 n
证
以P0为中心 为半径作球 K 使 K 表示该球的球面,
‚ K 上,函数
二维Laplace方程的基本解 ln r 定理 6.1 设函数 u( x y z )在有界区域 内二阶连续可微, 在
上连续且有连续的一阶偏导数,
则当点 P ( x y z ) 时, 有
0 0 0 0
9
u ( P0 )
1 4
1 1 1 u u ( ) dS n r 4 r n
其中u 和 可写成
u n
u 分别是函数u 和 n 在 球面上的平均值.于是(1.10)
‚ K
1 u 1 1 u ( ) u ( ) . 3 ud u dS 4 r n r r n n
0 0 0 0
13
u ( P0 )
1 4
1 1 u u dS r n n ( r )
(1.13)
证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到
u ( P0 ) 1 2 1 1 u ln u (ln ) dl n r r n
(1.7)
为自变量的 由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 r 常微分方程
1 2 u (r ) 0 2 r r r
7
其通解可写为
u
c1 c2 r
这里c1 , c 2 是任意常数. 从而推得
所以函数u
1 r
是一个球对称特解,
1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
1 4 R 2
R
udS
(1.15)
14
证 将公式(1.13)应用于球面 R 上,得到
u ( P0 ) 1 4 1 1 u u dS R r n n ( r )
这里 r R ,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零, 又因为 在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是
3 u 0 ( x y z ) u . n
有解的必要条件是函数 满足
dS 0.
性质 6.2 设 u( x y z)是有界区域 内的调和函数,且在闭区域
上有连续的一阶偏导数,则在
内的任一点P ( x y z ) 处有
于是在区域
u
和v
1 r 都满足第二Green公式的条件,
代入公式(1.5)得
1 因为 r
‚
1 1 1 1 u u ( ) u d 3 3 u ( ) dS , K r r . n r r n
平均值. 注1 对区域 内的下调和(上调和)函数u, 我们有
u ( P0 ) 1 4 R 2 1 udS u ( P ) 0 R 4 R 2 udS R
(1.17)
性质 6.4 (强极值原理) 假设不恒为常数的函数 u ( x y z ), 在有界区域 内调和且在 上连续, 则它在 上的最大 值和最小值只能在 的边界 上达到. 证 用反证法. 假设调和函数 u( x y z )在 上的最大值不在
在任一不包含点 P0 ( x0 y0 z0 )的区域内是调和的, 它在点 P0 处有奇性. 称函数 1 1 r ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 为三维Laplace方程(1.6)的基本解
8
注 基本解在 ( x y z) ( x y z ) 时关于( x y z) 或( x0 y0 z0 ) 都是调和
1 2 n
A ,使当点P 与坐标原点的距离r A 时, 总有
u ( P)
按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.
调和方程的基本解
我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.
6
首先我们考虑三维的情形. 用( x y z)表示三维空间中的点( x1 x2 x3 )改写三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为
ln
(1.11)
其中dl表示 上的线元素,d 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质
性质 6.1 设 u( x y z )是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则
12
u n dS 0.
(1.12)
证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 v 1 ,取 u为所给的调和 函数, 就可得到(1.12).由此性质可得出, Laplace方程的第二边 值问题
偏导数. 在公式(1.1)中令
得到