模拟物理-09 第七章 椭圆型偏微分方程
五点差分法解椭圆型偏微分方程
用差分法解椭圆型偏微分方程-(Uxx+Uyy)=(pi*pi-1)e^xsin(pi*y) 0<x<2; 0<y<1U(0,y)=sin(pi*y),U(2,y)=e^2sin(pi*y); 0=<y<=1U(x,0)=0, U(x,1)=0; 0=<x<=2先自己去瞧一下关于五点差分法的理论书籍Matlab程序:unction [p e u x y k]=wudianchafenfa(h,m,n,kmax,ep)% g-s迭代法解五点差分法问题%kmax为最大迭代次数%m,n为x,y方向的网格数,例如(2-0)/0、01=200;%e为误差,p为精确解syms temp;u=zeros(n+1,m+1);x=0+(0:m)*h;y=0+(0:n)*h;for(i=1:n+1)u(i,1)=sin(pi*y(i));u(i,m+1)=exp(1)*exp(1)*sin(pi*y(i));endfor(i=1:n)for(j=1:m)f(i,j)=(pi*pi-1)*exp(x(j))*sin(pi*y(i));endendt=zeros(n-1,m-1);for(k=1:kmax)for(i=2:n)for(j=2:m)temp=h*h*f(i,j)/4+(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i+1,j)+u(i-1,j))/4; t(i,j)=(temp-u(i,j))*(temp-u(i,j));u(i,j)=temp;endendt(i,j)=sqrt(t(i,j));if(k>kmax)break;endif(max(max(t))<ep)break;endendfor(i=1:n+1)for(j=1:m+1)p(i,j)=exp(x(j))*sin(pi*y(i));e(i,j)=abs(u(i,j)-exp(x(j))*sin(pi*y(i)));endEnd在命令窗口中输入:[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、1,20,10,10000,1e-6) k=147 surf(x,y,u) ;xlabel(‘x’);ylabel(‘y’);zlabel(‘u’);Title(‘五点差分法解椭圆型偏微分方程例1’)就可以得到下图ｓｕｒｆ(ｘ,ｙ,ｐ)ｓｕｒｆ(ｘ,ｙ,ｅ)[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、05,40,20,10000,1e-6)[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、025,80,40,10000,1e-6)为什么分得越小,误差会变大呢？我们试试运行:[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、025,80,40,10000,1e-8)K=2164surf(x,y,e)误差变小了吧还可以试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、025,80,40,10000,1e-10) K=3355误差又大了一点再试试[p e u x y k]=wudianchafenfa(0、025,80,40,10000,1e-11) k=3952误差趋于稳定总结:最终的误差曲面与网格数有关,也与设定的迭代前后两次差值(ep,瞧程序)有关;固定网格数,随着设定的迭代前后两次差值变小,误差由大比变小,中间有一个最小值,随着又增大一点,最后趋于稳定。
偏微分方程与数学物理中的基本概念
电磁感应和电磁波
03、
应用广泛的电磁学理论
光学和电磁场的关系
电磁辐射和传播
04、
总结
偏微分方程在数学物理领域扮演着重要角色，薛 定谔方程、热传导方程、纳维-斯托克斯方程和 麦克斯韦方程组分别在量子力学、热力学、流体 力学和电磁学中有着广泛的应用，深化了我们对 自然界规律的认识。
● 06
● 03
第3章 偏微分方程的数值解 法
有限差分法
有限差分法是常用的 偏微分方程数值解法， 通过将偏导数用差分 近似替代，将偏微分 方程转化为代数问题 来求解。这种方法在 数学物理中有广泛的 应用，尤其适用于一 些简单的方程模型。
有限元法
复杂边界条 件
适用于复杂的偏 微分方程模型
数值计算
通过数值方法求 解偏微分方程的
边界条件和初值 条件
边界条件和初值条件 是偏微分方程求解过 程中不可或缺的条件。 边界条件规定了解在 边界上的行为，初值 条件则决定了解在初 始时刻的状态。这两 个条件相互配合，可 以帮助我们准确求解 偏微分方程，揭示物 理系统的演化规律。
齐次与非齐次偏微分方程
齐次偏微分 方程
所有项都包含未 知函数及其偏导
感谢家人对我学习科研道路的理解和支持
02、 同学支持
感谢同学们在学习中的互帮互助
04、
总结与展望
通过学习偏微分方程与数学物理基本概念，相信 大家对现代科学技术的发展有了更深刻的认识。 希望大家在未来的学习和研究中能够运用所学知 识，探索新的领域，为科学事业的发展贡献力量。
感谢观看
THANKS
第6章 偏微分方程的数值模 拟与实验验证
数值模拟在偏微分方程中的应 用
数值模拟是验证偏微分方程解的有效方法。通过 计算机模拟实验验证理论预测，可以更直观地了 解偏微分方程解的特性，为理论研究提供重要支 持。
椭圆型偏微分方程的解法
椭圆型偏微分方程的解法椭圆型偏微分方程是数学中经典的研究对象之一，它是指满足拉普拉斯方程或泊松方程的微分方程。
在实际应用中，椭圆型偏微分方程广泛存在于物理学、工程学、地球物理学、生命科学等领域，并且在工程设计和物理过程研究中具有重要的意义。
解决椭圆型偏微分方程的方法有多种，包括有限元法、有限差分法、谱方法等。
下面将分别介绍这些方法及其适用范围和优缺点。
有限元法是求解椭圆型偏微分方程的一种常用方法。
它适用于解决几何形状复杂的问题，如非规则物体的流动问题、地形表面运动等。
该方法将问题的解域分成若干个小的单元，然后对每个单元进行数值逼近，采用加权残差法对方程进行离散化处理，最终得到问题的解。
该方法的好处在于可以处理非线性问题，并且具有良好的处理误差和收敛性质，但其缺点是计算量大，在处理大规模问题时易出现计算瓶颈。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，适用于处理较为简单的几何形状，如规则的网格结构。
该方法通过使用中心差分或者差分间断法来近似微分算子，在对区域进行离散化处理之后，使用代数方程组求解工具来求解问题的解。
该方法的好处在于计算量较小，易于理解和实现，并且在解决一些经典问题时表现较为优秀。
但是，有限差分法也存在着较为明显的限制，例如难以处理非线性问题，处理复杂的几何形状时计算误差较大等。
谱方法是一种高精度的数值计算方法，适用于解决各种类型的偏微分方程。
该方法通过对问题的解进行快速傅里叶变换或者切比雪夫变换等运算，来利用谱方法在空间上进行采样，然后将问题转化为代数方程组，通过求解代数方程组来求解问题的解。
谱方法的好处在于其计算精度极高，可用于处理包括复杂几何形状在内的各种问题。
同时，谱方法也具有快速收敛的特点，适用于对数值精度要求较高的问题。
但其缺点在于需要高效的算法实现，并且不适用于噪声多、非光滑或者有光滑界面和不连续性的问题。
总之，每种方法都有其适用的领域和优势。
在实际应用中，我们需要根据问题的特点来选择最为适合的解法。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程是一类非常重要的数学方程，它们是由一系列多元函数满足的偏微分方程的总称。
这类方程的名字来源于它们的解的形式，即椭圆型函数。
椭圆型偏微分方程的一般形式为：$$a_1\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_2\frac{\partial^2u}{\partial x\partialy}+a_3\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+b_1\frac{\partialu}{\partia l x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=f(x,y)$$其中，$u(x,y)$ 为未知函数，$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,c$ 为常数。
如果所有的常数$a_1,a_2,a_3$ 都大于0，则称该方程为椭圆型偏微分方程。
Laplace 方程是最常见的椭圆型偏微分方程之一，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$ Laplace 方程可以用来描述许多物理现象，例如电场、热传导、流体动力学等。
Poisson 方程也是一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=f(x,y)$$ Poisson 方程可以用来描述电场、热传导、流体动力学等现象。
Helmholtz 方程是另一种常见的椭圆型偏微分方程，它的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}+k^2u=f( x,y)$$其中，$k$ 是一个常数。
Helmholtz 方程可以用来描述许多物理现象，例如电磁场、声学现象等。
椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是数学中重要的一类偏微分方程，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将对椭圆型偏微分方程的定义、性质及求解方法进行探讨。
一、椭圆型偏微分方程的定义及性质椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的一类，其主要特点是其二阶导数的符号确定，即二阶导数的符号一致。
一个一般的椭圆型偏微分方程可以表示为：\[Lu = \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}(x)\frac{{\partial^2u}}{{\partialx_i\partial x_j}} + \sum_{i=1}^{n}b_i(x)\frac{{\partial u}}{{\partial x_i}} + c(x)u = f(x)\]其中，\(L\)是椭圆算子，\(\frac{{\partial^2u}}{{\partial x_i\partialx_j}}\)是二阶偏导数，\(a_{ij}(x)\)、\(b_i(x)\)、\(c(x)\)是给定函数，\(f(x)\)是已知的源项函数。
对于椭圆型偏微分方程，有以下一些性质：1. 解的正则性：解的导数有界，满足一定的光滑性条件。
2. 最大值原理：在定义域上的解在边界上取得其最大（或最小）值时，只能在边界上取得。
3. 边值问题的唯一性：给定边界条件，边值问题有唯一解。
二、椭圆型偏微分方程的求解方法椭圆型偏微分方程的求解可以使用多种方法，下面介绍其中的两种常见方法：有限差分法和变分法。
1. 有限差分法有限差分法是将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程，通过对离散方程的求解得到近似解。
该方法将解域进行网格划分，利用差分代替导数，将方程离散化。
通过求解离散方程组，得到近似解。
有限差分法简单易实现，但对于复杂的几何形状或边界条件的问题可能需要较高的计算资源。
2. 变分法变分法通过泛函的极值问题来求解椭圆型偏微分方程。
将方程转化为泛函的极值问题后，通过极值问题的变分推导和变分运算得到数学模型的解。
三维变系数椭圆型方程数值求解的交替方向法
三维变系数椭圆型方程数值求解的交替方向法椭圆型偏微分方程是一类重要的气象、地球物理、生命科学以及工程学科中常见的数学模型，其数值求解一直是热门研究领域之一。
在这个领域中，交替方向法是大多数数值求解方法中备受关注的一种。
交替方向法最初是针对二维分别向x方向和y方向交替求解的偏微分方程进行优化的一种方法，后来发展成了针对三维变系数椭圆型方程的数值求解方法。
该算法的主要思想是将三维空间分解为多个二维平面，然后在这些平面上分别交替进行求解。
这样就能够缩小问题的规模，并且可以减少计算的时间和复杂度。
具体来说，交替方向法通常需要按照以下步骤进行：1.将三维空间分解为不同的二维平面，然后在每个二维平面上分别构建一个带有变系数的偏微分方程模型；2.按照x、y、z三个轴的顺序交替求解每个二维平面上的偏微分方程模型，每次求解后都需要更新相应的变量；3.不断迭代交替求解过程，直到算法收敛并给出最终的解；4.对求解得到的结果进行评估，并针对不同情况进行优化。
交替方向法的优点在于它能够有效地减小问题的规模，并且能够在不牺牲精度的情况下加速求解过程。
此外，该算法还可以灵活应用于多种不同的偏微分方程模型中，使得这种方法在实际应用中有着重要的价值。
当然，交替方向法在实际应用中仍存在一些挑战和限制。
例如，当偏微分方程模型非常复杂或者存在大量非线性项时，该算法的求解效果可能不尽如人意。
此外，该算法在处理大规模数据时也存在一定的局限性，因为需要计算的平面数量会增加，从而增加了计算量。
总的来说，交替方向法是一种比较优秀的三维变系数椭圆型方程数值求解方法，可以为实际问题的求解提供很大帮助。
在未来，随着计算机算力和计算技术的发展，预计该算法将会在更多领域扮演重要的角色。
椭圆型方程的差分方法
通过实验验证理论分析的正确性。
参数调整
根据误差分析结果调整差分方法的参数。
稳定性分析的实例和结果
结果1
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度。
A 实例1
一维椭圆型方程的差分方法稳定性 分析。
B
C
D
结果2
通过误差分析和数值实验，验证了差分方 法的数值稳定性和精度，并比较了一维和 二维情况下的误差传播特性。
差分方法在椭圆型方程求解中的优势和局限性
优势
差分方法是求解偏微分方程的一种有效 数值方法，特别适用于大规模计算和并 行计算。它能够模拟偏微分方程的解， 并且具有较高的计算效率和精度。
VS
局限性
差分方法在处理边界条件和复杂几何形状 时可能遇到困难，有时需要引入额外的近 似和假设。此外，差分方法对于某些特殊 类型的偏微分方程可能不适用，或者需要 特殊的处理技巧。
04
差分方法的稳定性分析
稳定性分析的基本概念
数值稳定性
差分方法求解偏微分方程时，数值解对初值 和参数的敏感性。
误差传播
差分方法求解过程中误差的累积和扩散现象。
数值解的精度
差分方法得到的数值解与真实解之间的误差 大小。
稳定性分析的方法和步骤
建立数学模型
将偏微分方程转化为差分方程。
误差分析
计算差分方程的截断误差和全局误差。
差分方法的数学基础
离散化
将连续的函数或过程转换为离散的形式，以便于用数 值方法进行计分方程转化为差分 方程。
稳定性
差分方法的稳定性是指当时间步长趋于无穷小时，差 分方法的解收敛于微分方程的解。
差分方法的实现步骤
建立差分方程
根据微分方程和初边值条件，建立离散化的差 分方程。
椭圆型微分方程
数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称椭圆型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。
概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设
计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。
对于创新性实验，还应注明其创新点、特色。
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。
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双曲型方程
• 双曲型方程含有符号相反的二阶微商。例如描述 一根绷紧的弦的波动方程。
• 本章讨论适用于椭圆型方程的一些数值方法。
• 第七章讨论抛物型方程。 • 双曲型方程常常可以用相似的方法处理。
• 在本章我们将讨论适用于椭圆型方程的一
些数值方法。
• 为了讨论具体起见，我们将考虑关于二维 空间(x,y)内的场ϕ的椭圆型方程边值问题
• 在(i, N − 1)点上离散化的方程，可以改写为
• 偏微分方程的上述离散化近似等价于关于区域的 内点上的未知量ϕ值的一个线性方程组。 • 用矩阵记号，它可以写为
• ϕ是用所有内点排列成的列向量。 M是出现在方
程组中的矩阵，S包含了离散化方程右边的两项。
例子
• 对于一个单位正方形，每条边分成4等份。格点编 号是0,1,2,3,4 • 内点是：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) • 把内点代入方程：
椭圆型偏微分方程
偏微分方程
• 任何一种物理现象，若其物理量随空间变化或者 同时随着空间和时间变化，那么对这种现象的描 述中一定包含有偏微分方程。
• 这些现象时多种多样的，比如扩散、电磁场的分
布、电磁波、流体力学和量子力学（Schrödinger
波）。
• 除了最简单的情形之外，这些方程是不能用解析 方法求解的，必须用数值方法才能得到定量的结 果。 • 在典型的数值处理方法中，我们选取自变量（即 空间和时间）的许多离散的点，计算其上的因变 量（例如电位，温度等）。通过适当的离散化， 偏微分方程就转化为一大组差分方程。
• 把已知量（边界）移动到等号右边
• 写成矩阵
• 对于任何一种实际情况，方程的数量是巨大的。 • 比如当N=50则方程个数约为2500。 • 因此用直接求M的逆矩阵的方法来求解线性方程组是 不实际的。 • 由于微分方程的离散化近似只包含相邻的点，矩阵的 大部分元素为零，矩阵是稀疏的。 • 求解这种方程，存在几种效率很高的迭代方法。
• 虽然这不是椭圆型方程的最普遍的形式，但是 它已经代表了物理中许多的情况下的方程形式。 • 例如，在一个静电学问题中， ϕ是位势，S与 电荷密度有关； • 在一个定态热扩散问题中， ϕ是温度，S则是 局部的热量产生或损失的速率。 • 这里的考虑可以直接推广到其他情形，比如三 维空间的情形，或者扩散常数或介电常数随空 间变化的情形。
• 下面的程序实现了松弛算法。其中使用的初始猜
测解是ϕi = 0.
program main implicit none integer, parameter :: N=20 real :: phi(0:N),S(0:N),x,phip real :: omega=1.0 real :: h=1.0/N integer :: i,it
! 输出 open(20,file=’data.txt’)
do i=0,N
x=i*h
write(20,*)x,phi(i),x*(1-x**3)
enddo close(20) endprogram
0.5 0.4 0.3
0.2 0.1 0.0 0.0
松弛方法 解析解
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
• “超松弛”对应于ω > 1，而“低松弛”则意味着
ω < 1。ω的取值范围是0到2。
• 作为这个松弛方法的一个例子，我们考虑下述边 值问题： • 方程为
• 边条件为ϕ(0) = ϕ(1) = 0。 • 它的精确解是������ ������ = ������(1 − ������ 3 ).
• 首先我们写出这个方程的差分公式
0到N，使得第(i, j)点的坐标为(xi = ih, yj = jh)。
• 如果我们再定义ϕ ij = ϕ(xi , yi )，并类似地定 义Sij ，那么对每个方向上的二阶微商应用
三点差分近似，就可以把方程(6.1)近似为
• 现在我们必须讨论边界条件在何处进入离散化的方程。 • 如果边界和网格的格点重合，可以直接进入后面的讨 论。 • 如果边界不规则，无法与格点重合，格点只能粗略地
出的值。
• 注意在使用方程的时候，右边要用ϕi ± 1 的
最新的值。
• 多次重复这一扫描过程，就可以把对ϕ 的一 个初始猜测“松弛”到正确的解。
• 对于这个迭代过程，我们可以作一个推广，使得 松弛过程的每一步ϕi换成它的老值和方程给出的 值的一个线性组合
• 其中ω是一个参数，可以调节它来控制松弛速度：
• 方程的求解还需要边界条件。 • 我们将取Dirichlet型边界条件，（稳定场方 程的第一类边界条件）。 • 即在(x, y) 平面内的某一根很大的闭合曲线 上规定了ϕ的值。 • （也许还在其中的某些附加曲线上规定了ϕ 的值）。
• 为了方便，可以把边界闭合曲线取为单位
正方形。
• 别的边值问题，可以用非常相似的办法处 理。
x
• 运行这个程序我们可以看到，尽管对解初始猜测 与真实解相去很远，但是迭代仍然收敛。求得的 解与解析结果有良好的一致。
• 收敛的速度依赖于松弛参数ω。一般选择它大于1。
最佳值可以由经验方式决定。
• 上述松弛方法可以用于到二维（甚至三维）问题。
• 二维的算法是，迭代过程中
• 把这个算法相继应用于中从左 到有扫描，就收敛到所需的解。
描述边界的形状。那么可以使用非均匀的网格，在边
界处增加更多的格点，减小格点与边界的差别。
• 不论怎样，边界条件提供了在格点的一个子集上的ϕij
的值。
• 在远离一条边界的一点上，边界条件不直接进入 方程。 • 考虑和一条边界相邻的一点，例如(i, N − 1)点上的
离散化的方程，可以改写为
• 如果边界条件是第二类边界条件（Neumann边界 条件），比方说∂ ϕ /∂y = g(x)， • 那么边界条件可以近似为下述离散形式
写出方程的矩阵形式，然后用矩阵运算的方法求
解。
• 这里我们要讨论一个非常有效的特殊方法。
• 首先我们把差分方程改写 • 这个方程并不是显式的方程，因为我们并不知道方程 右边的各个ϕ的值。
• 我们的基本想法（Gauss-Seidel迭代）是：先猜测一个
初始解，然后对格子进行系统的扫描（比方说从左到
右），相继地把每一点上的ϕ换成一个由上述方程给
• 大部分物理上重要的偏微分方程是二阶的，可以 分为三种类型：抛物型、椭圆型和双曲型。
抛物型方程
• 抛物型方程对一个变量只有一阶微商，但
是含有对其它变量的二阶微商。
• 其例子是扩散方程和含时间的Schrödinger 方程。它们对时间的微商是一阶的，对空
间的微商是二阶的。
椭圆型方程
• 椭圆型方程包含对每个自变量的二阶微商， 并且当方程中所有的项集中到方程的一边 时，每项的符号都相同。 • 这类方程包括静电场电位的Poisson方程， 拉普拉斯方程，赫姆霍兹方程，和不含时 间的Schrödinger方程。它们都含有两个或更 多个空间变量。
• 这些差分方程在原则上可以用前一章讨论的直接 矩阵方法求解，但是涉及的矩阵非常大。矩阵的 维数与格点的数量相当，常常大于几千。庞大的 矩阵使得这种方法是不实际的。 • 幸好，原始的微分方程的局域性使得生成的差分 方程是稀疏的，即有关的矩阵的大部分元素为零。 对于这样的矩阵，使用各种迭代方法来求逆和使 矩阵对角化可以有很高的效率。这些方法是本章 的主题。
! 初始化
do i=0,N
x=h*i
s(i)=h*h*12*x*x
phi(i)=0 ! 初始猜测值 enddo
! 迭代循环 do it=1,500 do i=1,N-1 phip=(phi(i-1)+phi(i+1)+S(i))/2 phi(i)=(1-omega)*phi(i)+omega*phip enddo enddo
离散化
• 我们的第一步是要把方程改写为一个适合进行数 值处理的形式。 • 为此，我们定义一个网格，覆盖(x, y)平面内我们 感兴趣的区域。 • 为了方便起见，我们取格子间隔h为均匀的，并且 在两个方向上相等，使得单位正方形被(N + 1) × (N + 1)个格点覆盖。
• 这些格点可以用指标(i, j)编号，每个指标从
• 在我们开始讨论迭代方法时，我们先考虑一个类 似的但是更简单的一维边值问题，然后再回到二 维情形上来。
• 同我们讨论的二维问题相似的一维边值问题可以
写为
• 边条件为给定ϕ(0)和ϕ(1)的值。
• 差分方程为
• 针对这个离散方程，我们前面讨论过使用向前积
分或向后积分的方法。
• 我们也可以把所有方程中的变量组成一个列向量，