椭圆型偏微分方程实验报告

实验报告

实验项目名称椭圆型偏微分方程

实验室数学实验室

所属课程名称微分方程数值方法

实验类型算法设计

实验日期2014年6月6日

班级

学号

姓名

成绩

实验概述：

【实验目的及要求】

实验目的是通过分析Possion问题并用交替迭代法来求解其次边值问题，进一步了解交替迭代法的算法特点——即在矩形区域上的差分格式可以大大降低计算量。实验要求是利用Peaceman-Rachford迭代格式编写出相应的代

码解决Possion问题。

【实验原理】

对于简单的椭圆型偏微分方程 Poission 方程:

采用正方形网格剖分正方形区域Ω ,对 x 和 y 方向采用中心差分并记则对Poission方程离散后差分格式可写成;

改写为

由此得Peaceman-Rachford 迭代格式为

其分量形式为

将以上两步写成矩阵形式，第一步迭代为：

第二步迭代为：

这里的 gij 和 gij 分别为

迭代参数可取为：

实际上每个迭代步相当于解N −1个系数矩阵为三对角阵的N −1阶线性代数方程组，可用追赶法求解。

【实验环境】（使用的软硬件）

软件：

MATLAB 2012a

硬件：

电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记本电脑

操作系统：Windows 8 专业版

处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz

实验内容：

【实验方案设计】

利用Peaceman-Rachford迭代格式求解

求解域Ω : 0 ≤ x, y ≤ 1,其精确解为u = sin πx sin πy。

首先利用上述原理进行分析，从而利用Matlab软件编写出相应程序。

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）

我们首先编写一个m文件，包含交替方向迭代法程序如下:

function u=alter(a0,b0,f,h)

%输入-a0为x,y方向起始端点;

%-b0为x,y方向终点;

%-f为方程右端函数;

%-h为网格步长;

%输出-u为解矩阵。

p=200;

N=fix((b0-a0)/h);

u=zeros(N+1);

v=zeros(N+1);

g=zeros(N+1);

x=a0:h:b0;

y=x;

tau=h*h/(2*sin(pi*h));

a=-tau*ones(1,N-2);

c=a;

d=(h*h+2*tau)*ones(1,N-1);

for k=1:p

err=0;

for i=2:N

for j=2:N

g(i,j)=(h*h-2*tau)*u(i,j)+tau*(u(i,j+1)+u(i,j-1)+h*h*f(x(i),y(j))); end

v(2:N,i)=trisys(a,d,c,g(2:N,i))';

end

for i=2:N

for j=2:N

g(i,j)=(h*h-2*tau)*v(i,j)+tau*(v(i+1,j)+v(i-1,j)+h*h*f(x(i),y(j))); t=abs(u(i,j)-v(i,j));

if (err

err=t;

end

end

u(i,2:N)=trisys(a,d,c,g(i,2:N));

end

if (err<1e-4)

err

k

break;

end

k=k+1;

end

取步长h = 0.2,迭代残差为10-4。

然后在Command Window里编写如下程序：

f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y');

a0=0;b0=1;h=0.2;

u=alter(a0,b0,f,h);

x1=a0:h:b0;

y1=a0:h:b0;

surf(x1,y1,u)

运行结果如下所示：

err =6.4665e-05

k =9

将步长缩小为h = 0.1,迭代残差为10-4。

然后在Command Window里编写如下程序：

f=inline('2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)','x','y'); a0=0;b0=1;h=0.1;

u=alter(a0,b0,f,h);

x1=a0:h:b0;

y1=a0:h:b0;

surf(x1,y1,u)

运行结果如下所示：

err =7.3408e-05

k =19

【结论】（结果）

本次实验通过采用了不同的步长对同一迭代方法——PR迭代格式进行比较，发现通过缩小步长,使得计算结果大大改善。

【小结】

交替方向迭代法的出现源于求解抛物型方程的交替方向隐格式，它的最大有点是容易实现，几乎不许要在计算机程序上耗费很多精力，只是它仅仅适用于矩形区域或它们的并集。该方法计算量较小，速度较快，适合利用计算机编程来解决问题。

指导教师评语及成绩：