高考导数填选典型题型分类(题目)必考核心点
高考导数填选典型题型分类（题目）
题型一：曲线的切线问题
1.（2012高考真题广东理12）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为．
2.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于
A．2 B．3 C．
6 D．9
3..（湖南文7）曲线
在点
处的切线的斜率为（）
A．
B．
C．
D．
4.曲线
过点
处的切线方程为。
5.求已知曲线y=
x3+
的过点（2，4）的切线方程.
题型二：导数与不等式（突出构造形似函数）
1.（辽宁理11）函数
的定义域为
，
，对任意
，
，则
的解集为
A．（
，1） B．（
，+
） C．（
，
） D．（
，+
）
例2.定义在R上的函数
满足f（1）=1，且对任意x∈R都有
，则不等式
的解集为（）
A．（1,2） B．（0，1） C．（1,+∞） D．（-1，1）
例3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，
且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．af(a)>bf(b) B．af(a) af(b)>bf(a) 5.已知函数f(x)对定义域为R内的任意x都有f(x)=f(4-x)，且当x≠2时其 导函数fˊ(x)数满足xfˊ(x)>2fˊ(x)，若2 A. f(2a) ＜f(3) ＜ f (log2a) B.f(2a) ＜ f(log2a) ＜ f(3) C.f(log2a) ＜f(3) ＜ f(2a) D.f(log2a) ＜ f(2a) ＜ f(3) 6.（2014河南郑州高三三测16文）设函数是定义在（负无穷，零）上的可导函数，其导为数fˊ(x)，且满足2f(x)+xfˊ(x)>x2，则不等式（x+2014）2f （x+2014）-4f（-2）>0的解集为 Ａ． ；Ｂ． ；Ｃ． ；Ｄ． ． 题型三：利用导数探讨函数的性质 例1.(安徽文10) 函数 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n可能是（） （A）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例2.如图所示的曲线是函数 的大致图像，则等于 等于（ C ） A. B. C. D. 例3..如图，有一个是函数（ 且 ）的导数 的图像，则等于 等于（ B ） A. B. C. D. 或 例4..已知函数f(x) 的图像如图所示，则函数f(x) 的解析式可能是（B ） A. ; B. ; C. ; D. （13年高考湖北卷理12）已知 为常数,函数 有两个极值点 ,则 A． B． C． D． 题型四：与函数极值与最值的相关问题 1.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于 A．2 B．3 C． 6 D．9 . 2.（广东理，7）设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a的取值范围是 . 3.（湖南理8）设直线 与函数 的图像分别交于点 ，则当 达到最小时 的值为（） A．1 B． C． D． 4.（2012年全国新课标）12. 设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 A. B. C. D. 5.例：若f（x）=x3-ax2+bx+3 （a,b∈R）若附f（x）在[0,1]上单调递减，求a2+b2的最小值 答案： 题型五：与其他知识点的综合 一．导数与圆锥曲线 11.过点M(2，-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B,若线段AB的中点纵坐标为6,则p的值是______. 答案： 或 二 . 导数与数列 1设函数 的在点（1,1）处的切线与x轴的交点为 则 的值为（ ） A. ; B. ; C. ; D.1. 答案：C 2.陕西卷理)设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为 ,令 ，则 的值为 . DAA答案答案：-2 3.利用导数求和： （1） ； （2） 。 答案：（1） ； （2） 4.已知定义在 上的函数 满足 ，且 ， ，若有穷数列 （ ）的前 项和等于 ，则 等于 ( ) A．4 B．5 C． 6 D． 7 【答案】B 三．导数与立体几何结合 已知：正四棱锥S-ABCD的侧棱SA= ，求当这个正四棱锥,体积最大时的高h的值 答案：h=2 题型六：求参数的范围 （2008·广东理，7）设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则a 的取值范围是 . 答案 a＜-3 2.若函数 的定义域为R,则m的取值范围为（） A. m>0 ; B. m> - 1 ; C. m>1 ; D. m∈R . 答案：B 题型七：函数的导数与函数的零点 例1.定义在R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)的单调增区间为(-1,1)，若方程3a(f(x))2+2bf(x)+c=0 恰有6个不同实数的根，则实数a的取值范围.（） A. B. C. 1 D. -1 答案： 2013安徽理（10）若函数 有极值点 ， ，且 ，则关于 的方程 的不同实根个数是 （A）3 （B）4（ C） 5 （D）6 【答案】 A 14新课标I.11.已知函数 = ，若 存在唯一的零点 ，且 ＞0，则 的取值范围为 .（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1） 【答案】：B 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 专题3.5 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)＝0 x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【题型1 根据函数图象判断极值】 【方法点拨】 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点. 【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（） A．3个驻点B．4个极值点 C．1个极小值点D．1个极大值点 【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质． 【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点． 故选：C． 【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（） A．﹣1是f（x）的极小值点 B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零 C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减 生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 专题03导数及其应用选择填空题 考纲解读 三年高考分析 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 （1）能根据导数定义求函数y =C (C 为常数),y =x ,y =x 2,y = 1 x 的导数. (2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b )的复合函数)的导数. ?常见基本初等函数的导数公式： (C )'=0(C 为常数)；(x n )'=nx n -1,n ∈N ； (sin x )'=cos x ；(cos x )'=-sin x ； (e x )'=e x ；(a x )'=a x ln a (a >0,且a ≠1)； (ln x )'=1x ；(log a x )'=1 x log a e (a >0,且a ≠1) ?常用的导数运算法则： 法则1：[u (x )±v (x )]'=u '(x )±v '(x ). 法则2：[u (x )v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x ). 法则3：2 ()'()()()'() [ ]'(()0)()() u x u x v x u x v x v x v x v x -=≠ 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函 数一般不超过三次). (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. (2)了解微积分基本定理的含义. 导数的运算法则和导数的具体应用 是考查的重点，解题时常用到导函数的求解、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、 直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，较大难度. 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、 分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大. 高考数学必考题型归纳 一、高考数学必考题型之函数与导数 考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 函数与导数单调性 ⑴若导数大于零，则单调递增;若导数小于零，则单调递减;导数等于零为函数驻点， 不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。 ⑵若已知函数为递增函数，则导数大于等于零;若已知函数为递减函数，则导数小于 等于零。 二、高考数学必考题型之几何 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行“线面 平行”。 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行“面面平行”。 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直“线面 垂直”。 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直“面面垂直”。 三、高考数学必考题型之不等式 ①对称性; ②传递性; ③加法单调性，即同向不等式可加性; ④乘法单调性; ⑤同向正值不等式可乘性; ⑥正值不等式可乘方; ⑦正值不等式可开方; ⑧倒数法则。 四、高考数学必考题型之数列 1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。 2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。 3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题。 1函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法; 3面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……; 4选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法; 5求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法; 6恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏; 7圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法;使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式; 8求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简注意去掉不符合条件的特殊点; 专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类 【命题规律】 1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． 2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【核心考点目录】 核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 核心考点二：函数嵌套问题 核心考点三：函数整数解问题 核心考点四：唯一零点求值问题 核心考点五：等高线问题 核心考点六：分段函数零点问题 核心考点七：函数对称问题 核心考点八：零点嵌套问题 核心考点九：函数零点问题之三变量问题 核心考点十：倍值函数 核心考点十一：函数不动点问题 核心考点十二：函数的旋转问题 核心考点十三：构造函数解不等式 核心考点十四：导数中的距离问题 核心考点十五：导数的同构思想 核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 核心考点十七：三次函数问题 核心考点十八：切线问题 核心考点十九：任意存在性问题 核心考点二十：双参数最值问题 核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．1 2 - C ．1 2 D ．1 2．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ） A ．ππ22 -， B ．3ππ22- ， C ．ππ222 -+， D ．3ππ222 - +， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点 C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心 D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){} 2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至 少有3个零点，则实数a 的取值范围为______. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1, 11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪ =⎨+->⎪⎩则 12f f ⎛⎫ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()2 1,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【方法技巧与总结】 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式． 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆) 0()0(lim = x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0 )100()2)(1(lim Λ =lim 0 →∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100 +…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 11212210 ++++++ΛΛ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim 0 = . 解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim =2x f x f x ∆-∆+→∆2) 2()22(lim + []x f x f x ∆--∆-+→∆-) 2()(2lim 0 =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1 1 2 1 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ΛΛ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ΛΛ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆) ()(000 lim ，也可以是 00 ) ()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 导数经典题型归类（共12类） 导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f （x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)； (2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）； (4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。 2. 求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程： ①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距 离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1. （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2. （2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 3. （2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为 B.（1-ln2） +ln2 D.(1+ln2) 7. 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于8. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. B. C. D. 1 9. 已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10. 已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值； （2） 若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围. 11. 已知函数f（x）=4x-x4，x∈R. (1) 求f（x）的单调区间 (2) 设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证： 专题14导数概念及运算--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1 x ，y ＝x 的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 二、教学建议 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测2022年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，试题难度属中低档. 三、自主梳理 知识点1．导数的概念 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即. 2．函数f (x )的导函数 称函数为f (x )的导函数． 知识点2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 1. 基本初等函数的导数公式 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆00000()()()lim lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆0 ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-=∆ 2．导数的运算法则 （1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； （2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； （3）(g (x )≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识点3．函数在处的导数几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 四、高频考点+重点题型 例1-1（常见函数及它们的和差积商的求导） (2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e 4，则a ＝________. 例1-2（复合函数求导） 设函数 f(x)＝ln 1＋2x .，则f ′(x)= 例1-3（ 理解f ′(x 0)与f (x )区别与联系 ） （2021·四川攀枝花市·高三一模（文））已知函数()()3 2 12f x x f x '=-+，则()2f =（ ） A ．2- B ． 10 3 C ．6 D ．14 2 ()'()()'()() '()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢ ⎥⎣⎦ ()y f x =0 x x = 专题2：利用导数求切线知识点，例题及基础测试题(原卷版） 函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线()y f x =在点()() 00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=- （2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。 题型1：在点的切线 例1：已知()ln f x x x =，求函数()y f x =的图象在e x =处的切线方程． 题型2：过点的切线 例2：已知函数，过点作曲线的切线，求切线方程． 一、单选题 1．过原点作曲线ln y x =的切线，则切线的斜率为（ ） A ．e B ．1e C ．1 D ．21e 2．函数()25x f x e x =-+的图像在点()()0,0f 处的切线方程是（ ） A ．60x y +-= B ．60x y --= C ．60x y ++= D ．60x y -+= 3．若曲线2y ax =在x a =处的切线与直线210x y --=平行，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．1-或1 D ．12 -或1 4．已知函数2()(1)sin f x a x a x =--是奇函数，则曲线()y f x =在点(0，0)处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．1 D ．﹣1 高考数学导数大题技巧(精选5篇) 高考数学导数大题技巧【篇1】 1.高考数学数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想; 2.高考数学立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ;与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题; 3.高考数学导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上; 4.高考数学概率 概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径; 5.高考数学换元法 遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成; 6.高考数学二项分布 注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等; 7.高考数学绝对值问题 绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义; 8.高考数学平移 与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成; 高考数学导数大题技巧【篇2】 1、函数与导数 主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。 3、数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 4、不等式 专题16 导数中构造函数问题 【方法点拨】 1.双主元不等式恒成立、存在性问题：变量分离，构造函数，最终将问题转化为函数 最值问题. 2.关于“12x x 、”的齐次分式型--------换元法 减元构造：多变量不等式 ，一般处理策略为消元或是把一个看作变量其他看作常量；当都不能处理的时候，通过变形，再换元产生一个新变量，从而构造新变量的函数. 【典型题示例】 例1 (2021·江苏扬州中学高三数学开学考试·8)已知函数()sin f x x a x =-，对任意的1x ， ()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式 ()() 1212 f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．12 a < B ．12 a ≤ C ．12 a > D ．12 a ≥ 【答案】B 【解析】因为12x x ≠，不妨设12x x >，则 ()() 1212 f x f x a x x ->-可化为 ()()1212)(f x f x a x x ->-，即()()1122f x ax f x ax ->- 设()()F x f x ax =- 则 ()() 1212 f x f x a x x ->-恒成立，即()()1122f x ax f x ax ->-对任意的1x ，() 2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立，即12()()F x F x >对任意的1x ，()2,x ∈-∞+∞且12x x >时恒成立 所以()()F x f x ax =-在R 上单增 故()()sin 1cos 0F x x a x ax a x a ''=--=--≥在R 上恒成立 所以11cos a x ≤ +，故min 111cos 2 a x ⎛⎫ ≤= ⎪ +⎝⎭ 所以实数a 的取值范围是1 2 a ≤ ， 选B ． 高中数学导数训练练习题（含答案） 一、单选题 1．若对任意的12,(,)x x m ∞∈+，且1221 1221 ln ln , 2x x x x x x x x -<<-，则m 的最小值是（ ） A ．2e B ．1e C ． 21e D ．e 4 2．若存在两条过点(1,1)-的直线与曲线2a y x x =-相切，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(,4)(1,)∞∞--⋃+ B ．(,1)(4,)-∞-+∞ C ．(,0)(3,)-∞⋃+∞ D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+ 3．若关于x 的不等式ln ln e e sin(ln )e e sin ax x ax x x ax --+->+-在区间(0,)+∞上恒成立，则实 数a 的取值范围为（ ） A ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝ ⎭ D ．2,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝ ⎭ 4．已知直线0ax by c -+=与曲线11cos222y x =-+在点π1,42P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处的切线互相垂直，则 a b 的值为（ ） A ．B C ．-1 D ．1 5．函数()ln 1f x x ax =-+有两个零点1212()x x x x <,，下列说法错误的是（ ） A ．01a << B ．121x x a > C ．2111x x a -> - D ．122x x a +< 6．函数()2cos f x x x =+在区间[0,]2 π 上取得最大值时，x 的值为（ ） A ．0 B ．6 π C ． 3 π D ． 2 π 7．已知函数()()1 ln 1e f x x x ax a =-++有两个零点1x 、2x ，若122e x x +>，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0,+∞ B ． 1,0 C ．{}0a a = D ．()()1,00,-⋃+∞ 8．下列结论中正确的个数为（ ） ①sin x x <，0x >；②ln x x <；③e 1x x >+． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9．若函数()y f x =的导函数在区间,a b 上是减函数，则函数()y f x =在区间,a b 上的图象可能是（ ）． 导数及其应用（选择题、填空题） 1. 【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f (x) x 4 2x 3 的图像在点 (1，f (1)) 处的切线方程为（ ） y 2x 1 y 2x 3 y 2x 1 A. C. B. D. y 2x 1 【答案】B 【解析】 【分析】 y f x f x f 1 f 1 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 和 求得函数 的导数 ，计算出 f x x 【详解】 4 2x 3 ， f x 4x 3 6x ， f 1 1 f 1 2 2 ， ， y 1 2 x 1 ，即 y 2x 1 . 因此，所求切线的方程为 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 1 2. 【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】若直线 l 与曲线 y= x 和 x 2+y 2= 都相切，则 l 的方程为（ ） 5 1 2 1 C. y= x+1 2 1 D. y= x+ 2 1 2 A. y=2x+1 B. y=2x+ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线 y x 上的切点为 x , x ，则 x 0 0 ， 0 0 1 1 y k 函数 y x 的导数为 ，则直线l 的斜率 ， 2 x 2 x 0 1 y x x x 设直线l 的方程为 ，即 x 2 x y x 0 ， 0 0 0 2 x 0 x 0 1 1 由于直线l 与圆 x 2 y 2 相切，则 ， 1 4x 0 5 5 1 5 两边平方并整理得 5x 2 4x 1 0 ，解得 ， x 1 x （舍）， 0 1 1 2 则直线l 的方程为 x 2y 1 0，即 y x . 2 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. y a e x x ln x 在点（1，ae ）处的切线方程为 y=2x+b ，则 3. 【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线 A ． a e ，b 1 C ． a e 1，b 1 【答案】D B ．a=e ，b=1 D ． a e 1 ，b 1 y a e x l n x 1, 【解析】∵ k y | ae 1 2 ∴切线的斜率 ，a e ， 1 x 1 将 (1,1) 代入 y 2x b ，得 故选 D ． 2 b 1,b 1 . 【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有 a ，b 的等式，从而求解，属 于常考题型. f (x ) x 3 (a 1)x a x .若 f (x) 为奇函数，则曲线 y f (x) 在 2 4. 【2018 年高考全国Ⅰ卷理数】设函数 (0, 0) 点 处的切线方程为 y 2x y x y x A ． B ． D ． y 2x C ． 【答案】D 【解析】因为函数 耐ᓖ㤮是奇函数，所以 t h ，解得 h ，所以 耐ᓖ㤮 ᓖ ᓖ， ̵耐ᓖ㤮 ᓖ h ， 所以 耐 㤮 h ᓖ 耐 㤮 ， 所以曲线 耐ᓖ㤮在点耐 ᓖ 㤮处的切线方程为 t 耐 㤮 ̵耐 㤮ᓖ，化简可得 ᓖ. 故选 D. 【名师点睛】该题考查的是有关曲线 耐ᓖ㤮在某个点耐ᓖ ᓖ 耐ᓖ 㤮㤮处的切线方程的问题，在求解的过程中， 首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项， 从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ̵耐ᓖ㤮，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式 专题3.3 导数与函数的单调性-重难点题型精讲 1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y ＝f (x )在区间( a ，b ) 上可导 f ′(x )>0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )<0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0 f (x )在(a ，b )内是常数函数 2一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 【题型1 不含参函数的单调性】 【方法点拨】 确定不含参函数的单调性、单调区间的步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)求f ′(x )； (3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间； (4)由此可得出函数f (x )的单调性； 【例1】（2022•扬州开学）下列函数中，在（1，+∞）上为增函数的是（ ） A ．y ＝x 3﹣3x B ．y ＝lnx ﹣x C ．y ＝x +4 x D ．y ＝x 2﹣3x +1 【解题思路】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，即可得答案． 【解答过程】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，y ＝x 3﹣3x ，其导数y ′＝3x 2﹣3，在区间（1，+∞）上，y ′＞0，函数为增函数，符合题意， 对于B ，y ＝lnx ﹣x ，其导数y ′=1 x −1=1−x x ，在区间（1，+∞）上，y ′＜0，函数为减函数，不符合题意， 对于C ，y ＝x +4x ，其导数y ′＝1− 4 x 2 ，在区间（1，2）上，y ′＜0，函数为减函数，不符合题意， 对于D ，y ＝x 2﹣3x +1是二次函数，在区间（1，32 ）上为减函数，不符合题意， 故选：A ． 【变式1-1】（2022春•湖北期末）函数f （x ）=−12 x 2﹣lnx 的递减区间为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（0，1） C ．（1，+∞） D ．（0，+∞） 【解题思路】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求． 【解答过程】解：f ′（x ）＝﹣x −1x ＜0，x ＞0， 故函数的单调递减区间为（0，+∞）． 故选：D ． 【变式1-2】（2022春•长寿区期末）函数f(x)=x −6 x −5lnx 的单调递减区间为（ ） A ．（0，2） B ．（2，3） C ．（1，3） D ．（3，+∞） 【解题思路】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可． 2012年高考文科数学解析分类汇编：导数 一、选择题 1 ．（2012年高考（重庆文））设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2 x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是 2 ．（2012年高考（浙江文））设a>0,b>0,e 是自然对数的底数 （ ） A ．若e a +2a=e b +3b,则a>b B ．若e a +2a=e b +3b,则ab D ．若e a -2a=e b -3b,则a+> B ．12120,0x x y y +>+< C ．12120,0x x y y +<+> D ．12120,0x x y y +<+< 5 ．（2012年高考（辽宁文））函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （ ） A ．(-1,1] B ．(0,1] C ．[1,+∞) D ．(0,+∞) 6 ．（2012年高考（湖北文））如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作 两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ） A ． 112π - B ． 1π C ．2 1π - D ． 2π 第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结 【考点总结】 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连 续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒 负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【题型目录】 题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型 【典型例题】 题型一：导函数为一次函数型 【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 【分析】（1）对函数求导，讨论0a 和0a >两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）由题知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a a x f x x x -'=-= ①当0a ≤时，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递； ②当0a >时，令()0f x '>，得02a x <<；令()0f x '<，得2a x >， 所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(完整版)高考导数题型归纳
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