高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）
七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x
x
<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+
⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数a x x f -=2)(.
（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.
解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3
3
±=x .
)(x g '
(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--.
令0=y ，得1
2
1
22x a
x x +=，∴1
2
1
1121
1222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1，∴021
21
<-x x a ，即12x x <. 又∵
1
122x a x ≠，∴a x a
x x a x x a x x =⋅>+=+=
1
1111212222222
所以a x x >>21.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R
⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23
a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.
解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 ⑵[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++= 以下分两种情况讨论：
①a 若＞32，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
②a 若＜3
2，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
3. 已知函数2
2()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =
+=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。
4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f (x )=ln x －a x
.
(1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
，求a 的值.
解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋
2a x ＝2x a x
+. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f ′(x )＝
2
x a
x +， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32
，∴a ＝－32
(舍去).
②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－a e
＝32，∴a ＝－2
e (舍去).
③若－e 当1 ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32 ?a . 综上可知：a . 5. （最值直接应用）已知函数)1ln(2 1 )(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间； （Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）(1) (),(1,)1 x a ax f x x x --'= ∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. 经检验，1 3a =时，符合题意. （Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1 x f x x '=+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21 1x a =-. 当10< 所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和1(1,)a -+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下： 所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1(1,1)a --和(0,)+∞. ③ 当0 当10< -+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1 (1,1)a --和(0,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10< (1)f a -， 由1 (1)(0)0f f a ->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减， 可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. 6. （2010北京理数18） 已知函数()f x =ln(1+x )-x +2 2 x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间. 解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1 '()121f x x x = -++ 由于(1)ln 2f =，3 '(1)2 f =， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3 ln 2(1)2 y x -=- 即322ln 230x y -+-= （II ）(1) '()1x kx k f x x +-=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得10x =，210k x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是 1(0,)k k -. 当1k =时，2 '()1x f x x =+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得1 1(1,0)k x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1, )k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 7. （2010山东文21，单调性） 已知函数1()ln 1()a f x x ax a R x -=-+ -∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； ⑵当1 2 a ≤时，讨论()f x 的单调性. 解：⑴ln 20x y -+= ⑵因为 11ln )(--+-=x a ax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--=，),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x 8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结 合零点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数()ln ,().x f x x g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－ 1 1 x x +-，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切． 解：（Ⅰ） ()1()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ，()()()2 2 211 121-⋅+= -+='x x x x x x ϕ． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ϕ'>∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+， 和11,0． （Ⅱ）∵ 1 ()f x x '= ，∴001 ()f x x '=， ∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -= -, 即00 1 ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点1 1(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴1 01x e x = ，∴10ln x x =-,∴0ln 10 1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x -=+， 即0000 ln 1 1x y x x x x =+ +， ② 由①②得 00 ln 1ln 1x x x x -= +，∴0001 ln 1x x x +=-． 由（Ⅰ）可知，()x ϕ1 ln -- =x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011 e e e e e ϕ+-=-=<--，2222 2 213( )ln 011e e e e e e ϕ+-=-=>--， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=这个根就是所求的 唯一0x ，故结论成立． 9. （最值应用，转换变量） 设函数221 ()(2)ln (0)ax f x a x a x +=-+ <． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性； (2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围． 解：⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21) ax x x +-=． 当2a <-时，112a -<，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -，1 (,)2+∞． 当2a =-时，11 2a -=，减区间为(0,)+∞． 当20a -<<时，112a ->，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2，1 (,)a -+∞． ⑵由⑴知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[1,3]上单调递减， ∴12,[1,3]x x ∈，12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1 (12)[(2)ln 36]3 a a a =+--++， 即12 |()()|f x f x -≤2 4(2)ln 33 a a -+-． ∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立， ∴(ln 3)2ln 3m a +-＞24(2)ln 33a a -+-，即2 43ma a >-， 又0a <，∴ 243m a <-． ∵(3,2)a ∈--，∴132384339a -<-<-，∴m ≤13 3 -． 10. （最值应用） 已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数 19 ()()ln 28 f x g x m x =+++（m R ∈，0x >）． （Ⅰ）求()g x 的表达式； （Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有12 |()()|1H x H x -<． 解：（Ⅰ）设()2g x ax bx c =++，于是 ()()()()2 2 11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121. a c ⎧=⎪ ⎨⎪=-⎩， 又()11g =-，则12b =-．所以()211122 g x x x =--． …………3分 （Ⅱ）() 2 191()ln ln (0). 282f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ， 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分 当m =0时，2 ()02 x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； …………5分 当m <0 时，由()0m f x x x x '=+=⇒=，列表： 所以若0x ∀>， 故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞U ，．…………9分 （Ⅲ）因为对[1]x m ∀∈，，(1)() ()0x x m H x x --'= ≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减． 于是21211 |()()|(1)()ln . 22H x H x H H m m m m -≤-=-- 记13()ln (1e)22h m m m m m =--<≤，则() 2 21133111()022332h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13 ()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， 所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e h m h -+≤=--=<，故命题成立． …………12分 11. 设3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （2）设()2250,4x a g x a e ⎛⎫>=+ ⎪⎝ ⎭ ，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围. 解：（1）∵()()23x f x x ax b e -=++ ∴()()()()' ' 32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x x a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦ 由题意得：()'30f =，即()2 3320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()()2323x f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++ 令()' 0f x =得13x =，21x a =-- ∵3x =是函数()()()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠- 故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-. 当4a <-时，213x a =-->，由()' 0f x >得单增区间为：()3,1a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),3-∞和()1,a --+∞； 当4a >-时，213x a =--<，由()' 0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),1a -∞--和()3,+∞； （2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减， {},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+, ∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a . 易知()2254x g x a e ⎛⎫=+ ⎪⎝ ⎭在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2242525,44a a e ⎡⎤ ⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 由于()2 22516042a a a ⎛⎫⎛ ⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭， 又∵要存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-<成立， ∴必须且只须()202561 4a a a >⎧ ⎪ ⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝ ⎭⎩解得:302a <<. 所以，a 的取值范围为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ . 12. 2()()()x f x x ax b e x R =++∈． （1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值； （2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确定 ()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+．若存在]4,0[,21∈λλ使得 1|)()(|21<-λλf f 成立，求a 的取值范围． 解:（1）∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++ 当2,2a b ==-时，2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+. 令'()0f x =得2(4)0x x x e +=，∵0x e ≠,∴240x x +=，解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >， 当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，4 6 ()f x e 极大＝ ， 当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小． （2）由（1）知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =-- 则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =-- ∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- . 当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈-- 当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知： 当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a --。 （3）由2）知：当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增， ∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)x be a =-+0<，4(4)(213)0f a e =+>， ∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4[(2),(213)]a e a e -++] 又24()(14)x g x a e +=+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++. ∵24(14)a e +－4(213)a e +＝24(21)a a e -+＝24(1)0a e -≥， ∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须 24(14)a e +－4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ⇒-<⇒-< .22 1111a e e ⇒-<<+． 13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+ -()a ∈R . ⑴当12 a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1 4 a = 时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围. 解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数. ⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222 l 11 ()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+-> ①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. ②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121 1,1x x a ==-. 当12a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<时，1 110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1 (1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增； 1 (1,)x a ∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减. 当0a <时1 10a -<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减； 当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增； 当1 2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1 (1,)a -+∞递减. ⑵当14 a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11 ()(1)2 f x f =-≥， 又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21 ()2 g x -≥，[]21,2x ∈，（※） 又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈ 当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾； 当[]1,2b ∈时，2 min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾； 当2b >时，min 117 ()(2)84,28 g x g b b ==-≤-≥. 综上，实数b 的取值范围是17 [,)8 +∞. 14. 设函数11ln )(--+ -=x a ax x x f ． （Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标； （Ⅱ）当2 10< （Ⅲ）当3 1 =a 时，设函数12 5 2)(2- -=bx x x g ，若对于e x ,01（∈ ∀]，∈∃2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+ 解：函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，211)(x a a x x f ---=' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ，11 )(-='x x f ，∴0 00001ln 11)(x x x x x f --=-= ' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22e e -， （Ⅱ）22 1)(x a ax ax x f -++-= '2 2)1)(1()1)(1(x a a x x a x a ax x -- -- =+---= ∵210<--a a ∴当10< a x ->1时0)(<'x f ，当a a x -<<11时，0)(>'x f 故当210< a -； 单调递减区间为)1,0(，),1(+∞-a a （Ⅲ）当31=a 时，132 3ln )(-+-=x x x x f 由（Ⅱ）可知函数)(x f 在 )10，（上是减函数，在)21，（上为增函数，在]2(e ，上为减函数，且32)1(-=f ，e e e f 32 3)(+-= ∵e e e e e f e f 3)1(3322)1()(2 2--=+-=-，又13+ 2 - 若对于],01e x （∈ ∀，]1,0[2∈∃x 使)(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于 )(x f 在],0(e 上的最小值3 2 -（*） 又12 5 )(1252)(222---=--=b b x bx x x g ，]1,0[∈x ①当0 2 125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾 ②当10≤≤b 时，12 5 )()]([2min --==b b g x g ， 由321252-≤--b 及10≤≤b 得，12 1 ≤≤b ③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数， 3 2 12172127)1()]([min -<-<-= =b g x g ，此时1>b 综上，b 的取值范围是） ，∞+2 1[ 15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值； ⑵若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ （e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围； ⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12 ln x x e ex >-成立． 解：⑴， ⑵由题意知 11()23h e e e =-++，3()2h e e e =++ 而1()()h h e e >，故1 32a e e ≤+- （Ⅲ） 等价证明()()2 0,x x xInx x e e >-∈+∞ 由⑴知 ()12 0,x Inx x e ex > -∈+∞即对一切成立． 16. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =--，且()2p f e qe e =- -，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系； ⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()e g x x = ，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围. 解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=--1 ()()0p q e e ⇒-+= 而1 0e e +≠，所以p 、q 的关系为p q =. （2）由（1）知()2ln 2ln q p f x px x px x x x =--=--， 2' 22 22()p px x p f x p x x x -+=+-=.令2()2h x px x p =-+， 要使()f x 在其定义域(0,)+∞内单调，只需()0()0h x h x ≥≤或恒成立. ①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，' 22()x f x x =-＜0， ∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意； ②当p ＞0时，2()2h x px x p =-+，∴min 1()h x p p =-， 只需1 0p p -≥，即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意. ③当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1 (0,)x p = ∉+∞，只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意. 综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或. （3）∵2()e g x x = 在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ⇒==＜2，不合题意； ②当0＜p ＜1时，由[]11,0x e x x ∈⇒-≥， 又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数， ∴1111 ()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e =--≤--≤--=--＜2，不合题意； ③当1p ≥时，由（2）知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数， 故只需max ()f x ＞min ()g x ，[]1,x e ∈，而max 1()()()2ln f x f e p e e e ==--，min ()2g x =， 即 1()2ln p e e e --＞2，解得p ＞241 e e - ， 综上，p 的取值范围是24()1 e e +∞-，. 17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题） 设函数1()ln (). f x x a x a R x =--∈ ⑴讨论函数()f x 的单调性； ⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 解：⑴()f x 的定义域为(0,).+∞222 11 '()1a x ax f x x x x -+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-V ①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥V 时故()(0,)f x +∞在上单调递增． ②当2a <-V 时, >0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增． ③当2a >V 时,>0,g(x)=0 的两根为12x x == 当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． ⑵由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >． 因为12 1212 1212 ()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212 ()()ln ln 1 1f x f x x x k a x x x x x x --==+---g 12 12 ln ln 2x x k a x x -=--g 若存在a ，使得2.k a =-则12 12 ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-． 亦即2222 1 2ln 0(1)(*)x x x x - -=> 再由⑴知，函数1 ()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 22211 2ln 12ln10.1 x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- 18. （构造函数，好，较难） 已知函数21()ln (1)(0)2 f x x ax a x a R a =-+-∈≠，. ⑴求函数()f x 的单调增区间； ⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①12 02 x x x += ；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由. 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞. 由已知得，1 (1)() 1'()1a x x a f x ax a x x -+=-+-=-. ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时， ①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得10x a <<-或1x >; ∴函数()f x 在1 (0,)a -和(1,)+∞上单调递增 ②当1 1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1 x a >- ∴函数()f x 在(0,1)和1 (,)a -+∞上单调递增. 综上所述: ⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1 (,)a -+∞上单调递增. (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”. 设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221 ln (1)2 y x ax a x =-+-. 211221ln ln 1 ()(1)2 x x a x x a x x -= -++--. 曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12 ( )2 x x f +'=12122(1)2x x a a x x += -⋅+-+， 依题意得： 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122 (1)2 x x a a x x +=-⋅+-+. 化简可得 2121ln ln x x x x --122 x x =+， 即21ln x x =21212()x x x x -+212 1 2(1)1x x x x -=+. 设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211 t t t t -==- ++, 4ln 21t t +=+,令4 ()ln 1 g t t t =++,2 14'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4 ln 21 t t +=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线” 19. (2011天津理19，综合应用) 已知0a >，函数()2 ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续) ⑴求()f x 的单调区间； ⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明： ln 3ln 2ln 2 53 a -≤≤． 解：⑴()21122ax f x ax x x -'=-=，0x >．令()0f x '= ，则x = 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： 所以()f x 的单调增区间是⎛ ⎝，单调减区间是⎫+∞⎪⎪⎭ ． ⑵由()()f f αβ=及()f x 的单调性知αβ<<．从而()f x 在区间[],αβ上的最小值为 ()f α． 又由1βα-≥，[],1,3αβ∈，则123αβ≤≤≤≤． 所以()()()()()()21,23,f f f f f f αβ≥≥⎧⎪⎨≥≥⎪⎩即ln 24,ln 24ln 39.a a a a -≥-⎧⎨-≥-⎩ 所以 ln 3ln 2ln 2 53 a -≤≤． 20. （恒成立，直接利用最值） 已知函数2()ln(1), 0f x ax x ax a =++->， ⑴若2 1 = x 是函数)(x f 的一个极值点，求a ； ⑵讨论函数)(x f 的单调区间； ⑶若对于任意的[1,2]a ∈,不等式()f x m ≤在1[,1]2 上恒成立，求m 的取值范围. 解：⑴222(2)()1 ax a x f x ax +-'=+, 因为21=x 是函数)(x f 的一个极值点，所以0)2 1 (='f ，得022=--a a . 又0>a ，所以2=a . ⑵因为)(x f 的定义域是1 (, )a -+∞， 2222 2() 2(2)2() 11 a ax x ax a x a f x ax ax --+-'== ++. ①当a )(x f 在(, 0)a -，2(, )2a a -+∞是增函数；)(x f 在2 (0, )2a a -是减函数. ②当 a . ③当0)(x f 在12(, )2a a a --,(0, )+∞是增函数；)(x f 在2 (, 0)2a a -是减函数. ⑶ 21. （最值与图象特征应用） 设R a ∈，函数e a ax e x f x )(1(2 )(2++=-为自然对数的底数）. ⑴判断)(x f 的单调性； ⑵若]2,1[1 )(2 ∈>x e x f 在上恒成立，求a 的取值范围. 解：⑴∵)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='--),12(2 12 --+-=-a ax ax e x 令.12)(2--+-=a ax ax x g ①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数. ②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别时 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. ③当0--+-a ax ax 得,1111a x a x -+ >--<或 由,0122 <--+-a ax ax 得,1 11 1a x a -+ <<-- ),(),,()(+∞---+-∞∴a a a a a a x f 在上为增函数； ),( )(a a a a a a x f ---+在上为减函数. ⑵由⑴知 ①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数. ②当2221 215)2(,0e e a f a <+= <时 2 1)(e x f > ∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51 (+∞ 22. (单调性) 已知()f x =ln(x +2)－x 2+bx +c ⑴若函数()f x 在点(1，y )处的切线与直线3x +7y +2=0垂直，且f (－1)=0，求函数()f x 在区间[0,3]上的最小值； ⑵若()f x 在区间[0,m ]上单调，求b 的取值范围. 解：⑴b x x x f +-+= '221)(，依题意令(1)f '= 7 3 ，(1)f -＝0，解得b =4，c =5. 因为⑵若()f x 在区间[0，m ]上单调，有两种可能 ①令b x x x f +-+= '221)(≥0得b ≥2x －21 +x ，在[0，m]上恒成立 而y=2x －21+x 在[0，m]上单调递增，最大值为2m －21+m ，∴b ≥2m －21 +m . ②令b x x x f +-+='221)(≤0 得b ≤2x －21 +x ， 而 y=2x －21+x 在[0，m]单增，最小为y=－21，∴b ≤－21 . 故b ≥2m －21+m 或b ≤－2 1 时()f x 在[0，m]上单调. 23. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(= ⑴若)()()(R a x a x f x F ∈+= ，求)(x F 的极大值； ⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围. 解：⑴x a x x a x f x F +=+=ln )()(Θ定义域为),0(+∞∈x 令a e x x F -=='10)(得 由a e x x F -<<>'100)(得 由a e x x F -><'10)(得 即),0()(1a e x F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减 a e x -=∴1时，F (x )取得极大值1 1)1(---=+-= a a a e e a a e F ⑵kx x x G -=2)(ln )(Θ的定义域为(0，+∞)，k x x x G -= '∴ln 2)( 由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k x x x G 在(0，+∞)内恒成立 令k x x x H -= ln 2)(，则2)ln 1(2)(x x x H -=' 由e x x H =='得0)( ∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数 当),(+∞∈e x 时0)(<'x H ，)(x H 为减函数 ∴当x = e 时，H (x )取最大值k e e H -=2 )( 故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴ 又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2 e k ≥∴ 二、交点与根的分布 24. （2008四川22，交点个数与根的分布） 已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ； ⑵求函数()f x 的单调区间； ⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围． 解：⑴2()ln(1)10f x a x x x =++-，'()2101a f x x x = +-+ 3x =是函数 2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． '(3)404 a f = -=，16a = ⑵由⑴2 ()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞ 2162862(1)(3) '()210111 x x x x f x x x x x -+--=+-==+++ 令'()0f x =，得1x =，3x = '()f x ()f x x ()f x 的增区间是(1,1)-，⑶由②知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小． 又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞； 可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知， 当直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--． 25. 已知函数()32 f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在 R 上有三个零点． （1）求b 的值； （2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围； （3）若()()' 2 13ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )相切？请说明理由. ⑶()g x =2x +ln x ，设过点（2，5）与曲线g (x )的切线的切点坐标为00(,)x y ∴/ 0005()(2)y g x x -=-， 即0000 1 2ln 5(2)(2)x x x x +-=+ - ∴002ln 20x x + -=，令h(x )=2 ln 2x x +-， ∴/h (x)=212x x -=0，∴2x = ∴h(x )在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增 Q 又1()2ln 202h =->，h(2)=ln2-1<0，222 ()0h e e => ∴h(x )与x 轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x )的切线. 26. （交点个数与根的分布） 已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ ⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t ⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。 解：⑴22()8(4)16.f x x x x =-+=--+ 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增， 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+ 综上2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ ⑵函数()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图像与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ= Q 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ> ∴要使()x φ的图像与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 ()70, ()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨ =+-<⎪⎩ 最大值最小值 即7156ln 3.m <<- ∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).- 27. （交点个数与根的分布） 已知函数.2 3)32ln()(2 x x x f -+= ⑴求f (x )在[0,1]上的极值； ⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围； ⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围. 解：⑴2 3) 13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ， 令131 0)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131 x f x f x <'≤<时递减. ]1,0[)(6 1 3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值. ⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]3 1 ,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立， 0)32(2 )32(33)32(3332)(2>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(2 2>++=+⋅+='x x x x x x x h ， ]31 ,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立， 当且仅当.5 1 ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ⑶由 .022 3)32ln(2)(2 =-+-+⇒+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=ϕϕ则， 当]37 ,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增； ]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减， 而)1()3 7 (),0()37(ϕϕϕϕ>>， ]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于 28. (2009宁夏，利用根的分布) 已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ ⑴如3a b ==-，求()f x 的单调区间； ⑵若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明：βα-＜6.解：⑴3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，故 当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时， 从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少. ⑵3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+- 由条件得3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+- 因为'()'()0,f f αβ== 所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)[()].x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故 又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.βα->29. （2009天津文，利用根的分布讨论） 设函数()()()322 113 f x x x m x x =-++-∈R ，其中0m > ⑴当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率 ⑵求函数()f x 的单调区间与极值 ⑶已知函数()f x 有三个互不相同的零点120x x 、、，且12x x <，若对任意的 []()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围. 解：⑴当1)1(,2)(,3 1)(1' 2/23=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1. ⑵12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1 因为m m m ->+>11,0所以， 当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表： + 0 － 0 + ↓ 极小值 ↑ 极大 值 ↓ )(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。 函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31322 3-+m m 函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3 1322 3-+-m m ⑶由题设 ))((31)131()(212 2x x x x x m x x x x f ---=-++-= 所以方程13 12 2-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且 0)1(3412>-+=∆m ，解得2 1 )(21>- 因为12 3 ,32,2 21221>>=+> 1 )1(,12121≥---=<≤x x f x x 则，而0)(1=x f ，不合题意； 若,121x x <<则对任意的],[21x x x ∈有,0,021≤-≥-x x x x 则0))((3 1 )(21≥---==x x x x x x f ，又0)(1=x f ，所以函数)(x f 在],[21x x x ∈的最小值为0， 于是对任意的],[21x x x ∈，)1()(f x f >恒成立的充要条件是03 1)1(2 <-=m f ,解得 3333< <-m ，综上，m 的取值范围是)3 3 ,21( 30. （2007全国II 理22，转换变量后为根的分布） 已知函数3()f x x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程； （2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）2()31x x f '=-．()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为()()()y f t f t x t '-=-， 即23(31)2y t x t =--． （2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 则方程 32230t at a b -++=有三个相异的实数根． 记 32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=-6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表： 导数-----单调性的分类讨论方法总结 函数的单调性是求函数极值，最值（值域），恒成立问题，零点与交点个数问题的基础，所以掌握好单调性是解决函数问题的第一步，它往往出现在压轴题的第一问，为人人必得分。那么求单调性最难的一点就是含参函数的分类讨论，这是难点、重点、考点。这类问题的难点在于学生不知道怎么讨论，或者讨论问题不全面，某种情况没有讨论到，这里总结了含参函数单调性的分类讨论的固定套路，学会之后，不存在不知道怎么讨论或者漏讨论的情况。 以下为讨论单调性固定套路（能解决绝大多数讨论单调性问题）: 第一步：求定义域，函数离开定义域的讨论都是毫无意义的，求定义域要考虑4种情况 （1）偶次根式，根号下整体大于0 （2）分式，分母不等于0 （3）对数函数，真数大于0 （4）()tan ，（）整体不等于ππk +≠ 2 第二步：求函数导数，令0)(,=x f ，解出它的根21,x x 注意：先通分再因式分解，因式分解的好处在于方便于我们解根和判断导数正负 第三步：如果两根，要考虑4种情况；如果一根只需要考虑第一种情况；如果解不出来根，也判断不出导数正负，那我们要求该函数的二阶导数，通过二阶导的正负得一阶导的单调性，从而得到最值。 （1）某一根不存在（主要考虑根不在定义域里），得到参数取值范围 （2）21x x =，得到参数取值范围 （3）21x x >，得到参数取值范围 （4）21x x <得到参数取值范围 第四步：判断21,x x 把定义域分得每个区域导数的正负，导数大于0，单调增，导数小于0，单调减。判断导数正负有以下三种方法： （1）数轴穿根法：主要用于导数中只有单一的高次函数或单一的对数指数函数，用得最多 （2）函数图像法：主要适用于导数中有高次函数和对数指数函数的混合相乘的式子 （3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负 第五步：综述：把讨论情况单调性相同的合并在一起。综述是很多人容易忽略的一步，没有这一步，是要扣分的 高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破 140瓶颈!!! 高等数学轻松解决高考压轴题，助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈！！！ 内容概要 以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益！ 想要突破140瓶颈的千万别错过！！！ 1—2：核心总结 本文的核心就是1—2，建议大家把以上公式记录到自己的笔记本上好好理解，并在自己平时的作业尝试应用。 3—9：重中之重——拉格朗日中值定理深层次剖析 以上就是对高考有着极大帮助的几个基础高等数学定理，资优生掌握以后必定能再更上一层楼，对其突破140的瓶颈大有裨益。但是由于篇幅有限，不能一一对其深入剖析，在此向大家致歉。不过本文对以上定理中最最重要的，也是高考压轴题中最最常用的拉格朗日中值定理进行了深层次剖析。拉格朗日中值定理，是对高考数学压轴题帮助最大的高等数学定理，望学有余力的同学务必将其掌握！ 10—15：拉格朗日中值定理在高考题里的应用 或许有同学不相信拉格朗日中值定理对高考的帮助是如此之大，以下将会以高考真题为例子向你阐明。 我想很大一部分同学或许不知道该如何应用，下文将对于高考真题应用拉格朗日中值定理解题并与参考答案的解法作比较，体现高观点解题的好处。 重中之重—————拉格朗日中值定理 资优生掌握了拉格朗日中值定理以后可帮助其突破140的瓶颈，一举成为数学大神！！！ 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多 导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . )(x g ' (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得1 2 1 22x a x x +=，∴1 2 1 1121 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵ 1 122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =⋅>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23 a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 ⑵[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++= 以下分两种情况讨论： ①a 若＞32，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： ②a 若＜3 2，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： 3. 已知函数2 2()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b = +=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。 4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f (x )=ln x －a x . (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3 2 ，求a 的值. 解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋ 2a x ＝2x a x +. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. 导数与不等式恒成立方法归纳总结 思路一：作差解恒成立 构造差函数()()()h x f x g x =-．根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式． 首先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应含参不等式，从而求出参数的取值范围，也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 证明()()f x g x <，(),x a b ∈时，可以构造函数()()()F x f x g x =-，如果 ()0F x '<，则()F x 在(),a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知，当(),x a b ∈时，有()0F x <，即证明()()f x g x <． 例、已知函数()()211 2ln 2 f x a x a ax x =--+，()'f x 为其导函数. (1) 设()()1 g x f x x =+ ，求函数()g x 的单调区间； (2) 若0a >，设()()11,A x f x ，()() 22,B x f x 为函数()f x 图象上不同的两点，且满足()()121f x f x +=，设线段AB 中点的横坐标为0,x 证明：01ax >. 解：（1）略 （2）1201212 12x x ax x x a a +>? >?>- ()2 22121'0a f x a a x x x ?? =+-=-≥ ??? ，故()f x 在定义域()0,+∞上单调递增. 只需证： ()122f x f x a ??>- ???，即证()2221f x f x a ?? ->- ??? 注意到()()1211 1,,2 f x f x f a ??+== ? ?? 不妨设1210x x a <<<. ()()()22221112ln 22ln 2F x f x f x a x a ax a x a ax a a x x a ???? =-+-=----+-- ? ?????- 导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减. 高考数学函数压轴题方法归纳总结 一、利用导数证明不等式 1．已知()()2 1x f x ax e x =-+． （1）当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数，并说明理由； （2）若0x =是()f x 的极值点，证明()()2 ln 11f x ax x x ≥-+++． 【思路引导】（1）由题意1a =时，得()()2 1x f x x e x =-+，利用导数得到函数的单调性，进而可判定函 数的零点个数；（2）求得函数的导数()()12x f x e ax a x -'=++，由0x =是()f x 的极值点，得1a =， 得到函数的解析式，令1x t -=，转化为证明1ln 2t te t t +≥++，设()()ln 20x h x ex e x x x =⋅--->， 根据导数得到()h x 的单调性和最小值，证得()0h x ≥，即可作出证明． 2．已知函数()()2 2x f x e ax x a R =--∈． （1）当0a =时，求()f x 的最小值； （2）当12e a < -时，证明：不等式()12 e f x >-在()0,+∞上恒成立． 【思路引导】（1）()2x f x e x =-， ()2x f x e '=-，由单调区间及极值可求得最小值。（2） 由导函数()22x f x e ax =--'，及12e a < -， ()12222102e f e a e ⎛⎫ =-->---= ⎪⎝⎭ ， ()010f '=-<，由根的存在性定理可知存在()00,1x ∈使得()00f x '=，只需证()f x 最小值 ()()002 0000022x x f x e ax x e x ax =--=-+>12 e -，由隐零点0 0220x e ax --=回代，即证 ()12t t g t e t ⎛⎫ =-- ⎪⎝⎭ 12e >-。 3．已知函数()ln f x x =，()()1g x a x =- （1）当2a =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调递减区间； （2）若1x >时，关于x 的不等式()()f x g x <恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若数列 {} n a 满足11n n a a +=+， 33a =，记 {} n a 的前n 项和为n S ，求证： ()ln 1234...n n S ⨯⨯⨯⨯⨯<． 导数压轴题分类（2）---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题，总结极值点偏移问题的解决方法。 1．设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ （1）试讨论函数()f x 的单调性; （2）()f x m =有两解12,x x （12x x <）,求证：122x x a +>. 解析：（1）由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以 ① 若0a >时，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； ② 若0a =时，当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③ 若0a <时，当(0,)2 a x ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)2 a x ∈- +∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； （2）要证122x x a +>，只需证12 2 x x a +>， (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证：12 x x ( )()02 f f a +''>=，即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++（*） 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得： 高考数学22题题型归纳 一、题型介绍 高考数学中的22题通常是作为压轴题目出现，主要考查学生的思维能力、解题能力以及对于知识的综合运用能力。该题型通常分为几 个小题，需要逐步解决，因此对于学生来说，该题型的得分难度较 大。 二、解题方法 1. 熟练掌握基础知识：对于该题型来说，基础知识的重要性不言而喻。只有熟练掌握了相关的数学概念、公式、定理，才能应对复杂 的问题。 2. 建立知识框架：在解题前，应该先建立一个清晰的知识框架，了解哪些知识点可能会在题目中出现，哪些方法可以用来解题。 3. 找准解题切入点：解题时，要找准切入点，一般是从题目中的条件出发，逐步推导出结论。 4. 善于总结经验：解题后，要善于总结经验，对于经常出现的题型，要总结出自己的解题方法，对于不同的题目要采用不同的方法。 三、例题解析 在这里，我们将通过几个例题来具体解析高考数学22题的解题方法。请注意，这些例题只是为了说明问题，实际解题时应该根据实际 情况灵活应对。 【例题】：已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f(x)在区间[2, 4]上的最大值和最小值。 解题思路：首先需要求出函数的导数，然后通过导数判断函数的单调性，最后求出极值和最值。在这个题目中，我们需要用到导数的知识，这是解决这类问题的关键。 解：由题可知，函数f(x)在区间[2, 4]上连续且可导。 f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 3，当x=2或x=3时，f'(x)=0。 又因为f(x)在区间[2, 4]上单调递增，所以f(x)的最小值为 f(2)=1，最大值为f(4)=6。 四、备考建议 1. 注重基础知识的掌握和应用：基础知识是解决所有数学问题的关键，对于高考数学22题来说更是如此。因此，在备考过程中，一定要注重基础知识的掌握和应用。 2. 加强解题能力的训练：解题能力是解决数学问题的核心能力，需要通过大量的练习来提高。建议在备考过程中，多做一些相关题目，加强自己的解题能力。 3. 掌握常见题型的解题方法：对于高考数学22题来说，还有一些常见题型的解题方法也需要掌握。例如，利用函数性质解题、利用不等式性质解题等。 4. 注意细节和规范：在考试中，细节决定成败。在解决高考数学22题时，一定要注重细节和规范，例如公式书写、答题格式等。 总的来说，高考数学22题难度较大，需要学生有扎实的数学基础和较强的解题能力。通过掌握基础知识、加强解题训练、掌握常见题型的解题方法以及注意细节和规范，相信同学们一定能够取得优异的成绩。 导数中分类讨论的三种常见类型 高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释. 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较 实例1：求函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对 函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数 ()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()32 1132 a f x x x ax a -= +--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论： 当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下： 所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为 (),-∞+∞，没有单调递减区间. 当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下： 专题16函数与导数常见经典压轴小题全归类 【命题规律】 1、导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小． 2、应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【核心考点目录】 核心考点一：函数零点问题之分段分析法模型 核心考点二：函数嵌套问题 核心考点三：函数整数解问题 核心考点四：唯一零点求值问题 核心考点五：等高线问题 核心考点六：分段函数零点问题 核心考点七：函数对称问题 核心考点八：零点嵌套问题 核心考点九：函数零点问题之三变量问题 核心考点十：倍值函数 核心考点十一：函数不动点问题 核心考点十二：函数的旋转问题 核心考点十三：构造函数解不等式 核心考点十四：导数中的距离问题 核心考点十五：导数的同构思想 核心考点十六：不等式恒成立之分离参数、分离函数、放缩法 核心考点十七：三次函数问题 核心考点十八：切线问题 核心考点十九：任意存在性问题 核心考点二十：双参数最值问题 核心考点二十一：切线斜率与割线斜率 核心考点二十二：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离） 核心考点二十三：两边夹问题和零点相同问题 核心考点二十四：函数的伸缩变换问题 【真题回归】 1．（2022·全国·统考高考真题）当1x =时，函数()ln b f x a x x =+取得最大值2-，则(2)f '=（ ） A ．1- B ．1 2 - C ．1 2 D ．1 2．（2022·全国·统考高考真题）函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ） A ．ππ22 -， B ．3ππ22- ， C ．ππ222 -+， D ．3ππ222 - +， 3．（多选题）（2022·全国·统考高考真题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有两个极值点 B ．()f x 有三个零点 C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心 D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线 4．（2022·天津·统考高考真题）设a ∈R ，对任意实数x ，记(){} 2min 2,35f x x x ax a =--+-．若()f x 至 少有3个零点，则实数a 的取值范围为______. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ≠）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________． 6．（2022·全国·统考高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________． 7．（2022·浙江·统考高考真题）已知函数()22,1, 11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪ =⎨+->⎪⎩则 12f f ⎛⎫ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 8．（2022·全国·统考高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________． 9．（2022·北京·统考高考真题）设函数()()2 1,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩ 若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________． 【方法技巧与总结】 1、求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现()()f f a 的形式时，应从内到外依次求值；当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2、含有抽象函数的分段函数，在处理时首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）． 3、含分段函数的不等式在处理上通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图象的特点解不等式． 专题17 函数与导数压轴解答题常考套路归类 【命题规律】 函数与导数是高中数学的重要考查内容，同时也是高等数学的基础，其试题的难度呈逐年上升趋势，通过对近十年的高考数学试题，分析并归纳出五大考点： （1）含参函数的单调性、极值与最值； （2）函数的零点问题； （3）不等式恒成立与存在性问题； （4）函数不等式的证明． （5）导数中含三角函数形式的问题 其中，对于函数不等式证明中极值点偏移、隐零点问题、含三角函数形式的问题探究和不等式的放缩应用这四类问题是目前高考函数与导数压轴题的热点． 【核心考点目录】 核心考点一：含参数函数单调性讨论 核心考点二：导数与数列不等式的综合问题 核心考点三：双变量问题 核心考点四：证明不等式 核心考点五：极最值问题 核心考点六：零点问题 核心考点七：不等式恒成立问题 核心考点八：极值点偏移问题与拐点偏移问题 核心考点九：利用导数解决一类整数问题 核心考点十：导数中的同构问题 核心考点十一：洛必达法则 核心考点十二：导数与三角函数结合问题 【真题回归】 1．（2022·天津·统考高考真题）已知a b ∈R ，，函数()()sin ,x f x e a x g x =-=(1)求函数()y f x =在()()0,0f 处的切线方程； (2)若()y f x =和()y g x =有公共点， （i ）当0a =时，求b 的取值范围； （ii ）求证：22e a b +>． 2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+． 3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e ()ln (0)2f x x x x =+>． (1)求()f x 的单调区间； (2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()() 112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明： （ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫ <-< - ⎪⎝⎭； （ⅰ）若1230e,a x x x <<<<，则22 132e 112e e 6e 6e a a x x a --+<+<-． （注：e 2.71828=是自然对数的底数） 4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 21ln(1)n n + >++． 5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1 ()(1)ln f x ax a x x =--+． (1)当0a =时，求()f x 的最大值； 高考压轴题：导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1求曲线y = f(x)在x=x0处的切线方程。 方法：f (x o)为在x 处的切线的斜率。 题型2 过点(a,b)的直线与曲线y = f(x)的相切问题。 方法：设曲线y = f(x)的切点(x o, f (x o))，由(X。- a)f(X。)= f(x。)-b求出x o，进而解决相关问题。注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 3 例已知函数f ( x) =x - 3x. (1)求曲线y=f (x)在点x=2处的切线方程；(答案：9x_y-16 =0 ) (2)若过点A A(1,m)(m = -2)可作曲线y = f(x)的三条切线，求实数m的取值范围、(提示：设曲线y=f(x)上的切点(x o，f(x。))；建立x o, f (x o)的等式关系。将问题转化为关于 X o,m的方 程有三个不同实数根问题。(答案：m的范围是- 3,-2 ) 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为f (x)兰O或f (x)兰O在给定区间上恒成立问题， 方法3:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集。 注意："函数f (x)在(m,n)上是减函数”与"函数f (x)的单调减区间是(a,b)”的区别是前者是后者的子集。例已知函数f(x) = x2 ・al nx+2在1,= 上是单调函数，求实数a的取值范围. x (答案I.O^：) 题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1:正难则反，研究在某区间的不单调 方法2:研究导函数是零点问题，再检验。 方法3:直接研究不单调，分情况讨论。f 1 \ 例设函数f (x)二x3 ax2• x T , a R在区间i -，1 j内不单调，求实数a的取值范围。12丿 (答案：a^〔• 2,-... 3 )) 题型3 求两个曲线y = f (x)、y = g(x)的公切线。 方法：设曲线y = f(x)、y = g(x)的切点分别为(x1 , f (x1) )。( x2, f (x2))； 建立X j ,X2 的等式关系，(X2 - xj f (xj =y2 - ％,(X2 - xj f(X2) = y2 - ;求出X j ,x?，进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 2 *~ 例求曲线y二x与曲线y二2eln x的公切线方程。(答案2 ex - y - e = O) 三.极值、最值问题。 题型1求函数极值、最值。 基本思路：定义域T疑似极值点T单调区间T极值T最值。 1 例已知函数f (x) = e X x- (k 1)e x x2kx 1，求在i 1,2的极小值。 2 (利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类) 二.单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：(1)在求极值点的过程中，未知数的系数与 O 的关系不定而引起的分类；(2)在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类(涉及到二次方程问题时，△与 O的 关系不定)；(3)在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4)在求极值点的过程中，极值点与 区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。 1 2 例已知函数f(x)二alnx x「(a 1)x 2 (1)求函数f(x)的单调区间。(利用极值点的大小关系分类) (2)若*2,e ,求函数f (x)的单调区间。(利用极值点与区间的关系分类) 题型2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 A A A 例函数f (x) = — X4• -(1 - P)x3 - - px2- P(1 - p)x T。O是函数f (x)的极值点。求实数p值。(答案：1) 4 3 2 2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大全 第一篇：2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大全2018高中数学重点难点总结及压轴题考点得分归纳总结大 全 众所周知，高考中造成失分的祸首总是基础知识掌握不牢，相当一部分学生数学公式记不熟，记不准，记不全，解题时选择公式不恰当。其实最大的问题，是考生对主要知识点把握不到位！特别是压轴难点！下面是对重点难点总结了几点！ 同学们要注意一下，然后又特别要注意对薄弱环节的复习，知识是一环扣一环的，某一环节薄弱会影响整个知识链条，就像木桶盛水的多少取决于最短的木板，而高考失分最多的是由薄弱环节造成的。 当然，重点难点是2018年高考生现冲刺阶段所要考虑的！ 怎么样学好数学一直是让多人头疼的事情，学数学天赋固然非常重要，但是勤能补拙，也有些方式可以弥补这些缺憾！ 用图形的方式帮助记忆。高中数学知识的思维导图。许多晦涩难懂的知识点，比如函数的定义域，值域，单调性等等的性质，看起来都非常难以记忆。我从来都和学生说，做这种题目就是“看图说话”。例如基本初等函数，指数函数，对数函数，幂函数...这些函数的性质根本不需要去背诵，只要知道了图形语言，符号语言，文字语言如何进行切换，比如奇偶性，奇函数，定义f（-x）=-f（x）这就是符号语言，关于原点中心对称这就是文字语言，图形上辨析中心对称这就是图形语言。知道了这些相互转化，这些概念和性质还不是信手拈来，例子太多了。再比如例题几何的所有的判定定理，性质定理，12条，3个角，统统都归纳成了一张图，睡前记忆一次，这种带着知识的睡眠模式，有助于知识的记忆。相信用了图形记忆大法，很多知识点的记忆问题，就可以迎刃而解！另外还可以利用图形帮助解决问题一些同学十分讨厌动手作图，做题的时候，也很难有直观的感觉。 下面为同学们分享高中数学知识点。对同学们学习数学很有帮助。希望同学们可以背诵，对于提升数学很有帮助。 导数压轴题7大题型归类总结，逆袭140+ 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 涉及本单元的题目一般以选择题、填空题的形式考查导数的几何意义，定积分，定积分的几何意义，利用图象判断函数的极值点，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等. 1.利用导数研究函数的单调性 (1)首先确定所研究函数的定义域，然后对函数进行求导，最后在定义域内根据f′(x)＞0 ，则函数单调递增，f′(x)＜0，则函数单调递减的原则确定函数的单调性. (2)利用导数确定函数的单调区间后，可以确定函数的图象的变化趋势. 2.利用导数研究函数的极值、最值 (1)对函数在定义域内进行求导，令f′(x)=0，解得满足条件的x i(i=1,2…)，判断x=x i处左、右导函数的正负情况，若“左正右负”，则该点处存在极值且为极大值；若“左负右正”，则该点处存在极值且为极小值；若左、右符号相同，则该点处不存在极值. (2)利用导数判断函数y=f(x)的最值通常是在给定闭区间[a,b]内进行考查，利用导数先求出给定区间内存在的所有极值点x i(i=1,2…)，并计算端点处的函数值，最后进行比较，取最大的为最大值；最小的为最小值，即max{f(a),f(b),f(x i)}，min{f(a),f(b),f(x i)}. (3)注意函数单调性与极值、最值之间的联系.导数值为零的点的左、右两端的单调性对其极值情况的影响，单调性对函数最值的影响，都要注意结合函数的图象进行分析研究. (4)注意极值与最值之间的联系与区别，极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定. 2.定积分及其应用 (1)简单定积分的计算，能够把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差，利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差，然后分别用求导公式求出F(x)，使得 F′(x)=f(x)，利用牛顿-莱布尼兹公式求出各个定积分的值，最后求得结果. (2)微积分基本定理的应用：能够根据给出的图象情况，建立简单的积分计算式子，求值计算.理解微积分基本定理的几何意义：曲线与轴围成的曲边多边形的面积，可以通过对该曲线表示的函数解析式在给定区间内求其积分而得到.其一般步骤是：画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；确定被积函数，特别是注意分清被积函数的上、下位置；写出平面图形面积的定积分的表达式；运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积. （2017高考新课标Ⅱ，理11）若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-l)e x-1的极值点，则f(x)的极小值为() A．-1 B．-2e-3 C．5e-3 D．1 【答案】A 【解析】 由题可得f′(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-l)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1， 因为f′(-2)=0，所以a=-1，f(x)=(x2-x-1)e x-1，故f′(x)=(x2+x-2)e x-1， 导数应用之双变量问题 （一）构造齐次式，换元 【例】已知函数()2 ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()2 1212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【解析】（1）1,1a b ==-； （2）()2 ln f x x x x =+-，()()1ln F x m x x =+-，()11F x m x '=+- ， 因为12,x x 分别是函数()F x 的两个零点，所以()()11 221ln 1ln m x x m x x +=⎧⎪⎨ +=⎪⎩ ， 两式相减，得1212ln ln 1x x m x x -+=-， 1212ln ln 1x x F m x x -' =+=- 0F '< ，只需证 12 12ln ln x x x x -< -. 思路一：因为120x x << ，只需证 1122ln ln ln 0 x x x x -> ⇔>. 令()0,1t = ，即证12ln 0t t t -+>. 令()()12ln 01h t t t t t =-+<<，则()()2 2212110t h t t t t -'=--=-<， 所以函数()h t 在()0,1上单调递减，()()10h t h >=，即证1 2ln 0t t t -+>. 由上述分析可知0F ' <. 【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把12,x x 转化为t 的函数，常把12,x x 的关系变形 为齐次式，设12111222 ,ln ,,x x x x t t t x x t e x x -= ==-=等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数法. 思路二：因为120x x << ，只需证12ln ln 0x x -， 设( ))22ln ln 0Q x x x x x =-<<，则导数-----单调性的分类讨论
高等数学轻松解决高考压轴题,助现处于120左右却始终无法突破140这个大瓶颈的资优生一举突破140瓶颈!!!复习
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