北京高考导数大题分类
导数大题分类
一、含参数单一区间的求解步骤：
① 确立定义域（易错点）
②求导函数 f '
(x)
③对 f '
( x) 进行整理，能十字交错的十字交错分解，若含分式项，则进行通分整理
.
④ f '
( x) 中 x 的最高次系数能否为 0，为 0 时求出单一区间 .
例 1： f ( x)
a x 3 a 1 x 2 x ，则 f '
( x) (ax 1)( x 1) 要第一议论 a 0 状况
3 2
⑤
f '
( )
最高次系数不为 0，议论参数取某范围的值时， 若 f '
(x)
0 ，则 f ( x) 在定义域内单一递加；
x
若 f '
(x)
0 ，则 f ( x) 在定义域内单一递减 .
例
2：
f (x)
a x 2 ln x ，则 f '
( x) =
ax
2
1
, ( x
0) ，明显 a
0时 f '
( x) 0 ，此时 f (x) 的
2
x
单一区间为 (0,
) .
⑥
f '
( )
最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现
f '
(x)
0 或许 f '
( x) 0 的状况
x
求出 f '
( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根能否都在定义域内 . 假如只有一根在定义域
内，那么单一区间只有两段 .
若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则经过比较两根大小分三种状况议论单一区间，
即 x 1
x 2 , x 1
x 2 , x 1 x 2 .
例 3: 若 f ( x)
a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f '
( x) ( ax 1)( x 1) ， (x
0)
解方程 f
'
(x)
2
1
x
0 得 x 1
1, x 2
a
a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 .
a 0 时 , 比较两根要分三种状况： a 1,0 a 1, a 1
用所得的根将定义域分红几个不一样的子区间，议论
f
'
( x) 在每个子区间内的正负，求得
f (x)
的单一区间。
（ 1）求函数的单一区间
1.已知函数
f ( x) ln( x1)x k x2(k0)
2
（Ⅰ）当 k 2 时，求曲线y f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程.（Ⅱ）求 f ( x) 得单一区间.
2.已知函数 f ( x) ax 24ln x ， a R .
（Ⅰ）当a 1
时，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；2
（Ⅱ）议论的单一性.
3.已知函数 .
（Ⅰ）当时，求函数值域；
（Ⅱ）当时，求函数的单一区间.
4．已知函数 f (x)
e x 1
，此中 a R .
4x
ax24
（Ⅰ）若 a0 ，求函数 f (x)的极值；
（Ⅱ）当 a 1 时，试确立函数 f ( x) 的单一区间.
（二）求函数在给定的区间的最值问题
5．已知函数f ( x)ax 2 1 (a 0) ， g( x) x3bx .
（Ⅰ）若曲线 f (x) 与 g(x) 在它们的交点 (1, c) 处拥有公切线，求（Ⅱ）当 a 24b 时，求函数 f (x)g( x) 的单一区间，并求其在6．已知函数f ( x) 1 ax2ln x ，a R ．
2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单一区间；a,b 的值.
( , 1) 上的最大值.
（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 [1,e]的最小值为，求 a 的值．
1
7. 已知函数f x
ln x ax 2bx
（此中 a, b 为常数且 a 0）在x1处获得极值.
( )
（Ⅰ）当 a 1 时，求函数 f ( x) 的单一区间；
（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[0,e]上的最大值为 1，求a的值 .
8．已知函数，此中 .
（Ⅰ）假如的极值点，求的值；
（Ⅱ）求的单一区间；
（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.
9. 已知f ( x) 1 ax2x ln(1 x) ，此中a0 ．
2
( Ⅰ ) 若函数f (x)在点(3, f (3)) 处切线斜率为0 ，求a的值；
( Ⅱ ) 求f ( x)的单一区间；
( Ⅲ ) 若f ( x)在0,上的最大值是0 ，求a的取值范围．10. 设函数f (x)e x ax ， x R ．
（Ⅰ）当 a 2 时，求曲线 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： f ( x)0 ；
（Ⅲ）当 a 1 时，求函数 f ( x) 在 [0, a] 上的最大值．
二、恒建立问题的几种问法：
1．关于x a, b ， f ( x) k 恒建立，等价于函数 f ( x) 在 a, b 2．关于x a, b ， f ( x) a 恒建立，等价于函数 f ( x) 在 a, b 上的最小值 f (x)min k .诉讼上的最大值 f (x)max k .
3. 关于x1 , x2a,b ， f( x1 ) g( x2 ) ，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最小值 f ( x) min，大于等于 g( x)
在区间 a,b上的最大值g( x)max，即 f ( x) min g( x) max.
4.关于x1 , x2a,b ， f (x1 ) g (x2 ) ，等价于 f (x) 在区间 a, b 上的最大值 f (x) max，小于等于 g( x)
在区间 a,b上的最小值g( x)min，即 f (x) max g( x) min.
5. 关于x a, b ， f ( x)g( x) ，等价于结构函数h( x) f ( x)g( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最小值
h( x) min0 .
6. 关于x a, b ， f ( x)g( x) ，等价于结构函数h( x) f ( x)g( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最大值
h( x) max0 .
7.f (x) 在区间 a, b 上单一递加，等价于f
'
( x)min0, x a, b.
8.
f (x) 在区间 a, b 上单一递减，等价于
f '
(x) max 0, x
a,b .
x
1. 已知函数 f ( x) ( x k) 2 e k .
（Ⅰ）求 f ( x) 的单一区间 .
（Ⅱ）若关于随意的
x (0,
) ，都有 f (x)
1 ，求 k 的取值范围 .
x
e
在点 (1,0) 处的切线 .
2. 设 l 为曲线 C: y
ln x
（Ⅰ）求 l 的方程 .
（Ⅱ）证明：除切点外，曲线
C 在直线 l 下方 .
3. 已知函数 f ( x)
x cos x
sin x ， x 0,
2
（Ⅰ）求证： f (x) 0
（Ⅱ）若 a
sin x
b 在 0,
上恒建立，求 a 的最大值和 b 的最小值 .
x
2
5. 已知 a 0 ，函数 f ( x)
ax 2a ， g( x) a ln x x a .
x
2
1
（Ⅰ）求函数
f (x) 的单一区间；
（Ⅱ）求证：关于随意的
x 1, x 2 (0,e) ，都有 f (x 1) g (x 2 ) .
6. 已知函数 f ( x)
e 2 x 1
ax
1 ， a R ．
（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ey 1 0 垂直，求 a 的值；
（Ⅱ）求函数
f ( x) 的单一区间；
（Ⅲ）设 a
2e 3 ，当 x [0, 1] 时，都有 f ( x) 1 建立，务实数 a 的取值范围．
7. 已知函数 f ( x)
( x a) ln x, a R
（Ⅰ）当 a
0 时求 f (x) 的极小值 .
（Ⅱ） 若函数 f ( x) 在区间 (0,
) 上为增函数，求 a 得取值范围
8.已知 f ( x)xln x, g( x)x2ax 3 .
（ I ）求函数 f ( x) 在 [ t,t 2]( t0) 上的最小值；
（ II ）对全部x(0, ),2 f ( x) g( x) 恒建立，务实数 a 的取值范围.
9. 已知函数 f ( x) x2ax ln x,a R.
（ I ）若函数 f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于y 轴，务实数 a 的值；
(II)在（ I ）的条件下，求函数 f ( x) 的单一区间；
(III)若 x 1时 , f ( x) 0 恒建立，务实数 a 的取值范围.
10.已知函数，此中 a R．
⑴ 当时，求 f( x) 的单一区间；
⑵ 当＞ 0 时，证明：存在实数
m ＞ 0 ，使得关于随意的实数
x
，都有｜
f
() ｜建立．
a x≤m
三、存在性问题的几种问法：
1.x0a, b ,使得
2.x0a, b ,使得f (x) k 建立，等价函数 f (x) 在 a, b
f (x) k 建立，等价函数 f (x) 在 a, b
上的最大值 f ( x) max k .
上的最小值 f (x) min k .
3.x1 , x2a,b ，使得 f ( x1 )g( x2 ) 建立，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最大值 f ( x) max，大于等于
g(x) 在区间 a,b 上的最小值g( x)min，即 f (x) max g( x) min.
4.x1 , x2a,b ，使得 f ( x1 )g( x2 ) ，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最小值 f ( x) min，小于等于 g( x)
在区间 a,b 上的最大值 g( x) max，即 f ( x)min g( x) max.
5.x a, b ，使得 f ( x)g( x) ，等价于结构函数h( x) f ( x)g( x) ， h( x) 在区间 a, b 上的最大值
h( x) max0 .
6.x a,b ，使得 f ( x)g( x) ，等价于结构函数h(x) f ( x)g( x) ， h( x) 在区间 a,b 上的最小值
h(x) min0 .
7. f (x) 在区间 a, b
8. f (x) 在区间 a, b 上存在单一递加区间，等价于 f
'
(x)的最大值 f
'
(x)max0 .上存在单一递减区间，等价于 f
'
(x)的最小值 f
'
(x)min0 .
1.已知曲线 .
（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；
（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围.
2. 已知函数f ( x)a( x1) 2ln x (a R ) ．
x
（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单一区间；
（Ⅲ）设函数g( x)a ．若起码存在一个x
0 [1,e] ，使得 f ( x0 )g (x0 ) 建立，务实数 a 的取值范围．x
3. 已知函数f ( x)1
a ln x ( a 0, a R ) x
（Ⅰ）若 a 1 ，求函数f (x)
的极值和单一区间；
（Ⅱ）若在区间 [1,e] 上起码存在一点x0，使得 f (x0 )0 建立，务实数a的取值范围.
4. 已知函数f ( x)x a e x．
（Ⅰ）当 a e2时，求 f ( x) 在区间 [1,3]上的最小值；
（Ⅱ）求证：存在实数x0 [ 3,3] ，有 f (x0 ) a .
四、切线问题
1. 已知函数 f ( x)x a ln x, a R ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单一区间；
（Ⅱ）当 x 1,2 时，都有 f (x)0 建立，求 a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P(13)，可作多少条直线与曲线y f ( x) 相切并说明原因．
2.已知函数 f ( x) x3 x．
（I ）求曲线y f (x) 在点 M (t， f (t)) 处的切线方程；
（II ）设a0 ，假如过点(a，b)可作曲线 y f ( x) 的三条切线，证明： a b f (a) ．五、特别问题
1. 已知函数
1ln x
.
f ( x)
x2
（Ⅰ）求函数 f ( x) 的零点及单一区间；
（Ⅱ）求证：曲线 y ln x
存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标y01. x
六、结构函数模型
1.设函数，．
（Ⅰ）当 a 1 时，求 f ( x)的单一区间；
（Ⅱ）当时，恒建立，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：当时，．
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用 高考压轴题：导数题型及解题方法 一、切线问题 题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。 方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。 题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。 方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。 例题：已知函数f(x)=x-3x。
1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y- 16=0） 2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求 实数m的取值范围。 提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式 关系。将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。答案：m的范围是(-3,-2)） 练1：已知曲线y=x-3x。 1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0） 2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。 题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。
方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、 (x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。 解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。（答案：2ex-y-e=0） 练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。（答案：2x-y-1=0或y=0） 2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x) 的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。（答案：p=1或3） 二、单调性问题 题型1：求函数的单调区间。
2010-2019年北京高考真题导数汇编
2010-2019年北京高考导数汇编 2019 整体法（h(x)=f(x)-g(x)≥0，左侧当成一个成体，求最小值≥0） +讨论参数(求h(x)的导数会出现未知参数进行讨论) 2018 （18）（本小题13分） 设函数2()[(41)43]e x f x ax a x a =-+++． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 直接讨论f(x)的性质 +讨论参数 2017 19．（13分）已知函数f （x ）=e x cosx ﹣x ． （1）求曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （2）求函数f （x ）在区间[0， ]上的最大值和最小值． 简单二次求导问题 2016 （18）（本小题13分） 设函数f(x)=x a x e - +bx ，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e -1)x+4， （I ）求a,b 的值； (I I) 求f(x)的单调区间。 简单二次求导问题
18．（本小题13分） 已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ??>+ ?? ?； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ??>+ ??? 对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值． 第三问结合第二问去讨论参数问题 2014 (18)（本小题13分）已知函数()cos sin f x x x x =-，[0,]2 x ∈π （Ⅰ）求证：()0f x ≤；（Ⅱ）若sin x a b x < <在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值． 构造新函数（sinx -ax>0,sinx -bx<0,再用整体法求a,b 的值） 2013 （18）（本小题共13分） 设L 为曲线ln :x C y x = 在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求L 的方程； （Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线L 的下方． 位置问题用作差法（求证L -y>0）
高考导数问题常见题型总结
高考有关导数问题解题方法总结 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为) ,(00y x A ，则 2 00x y =①又函数的导数为x y 2/ =， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分 别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即， 或
北京高考导数大题分类
导数大题分类 一、含参数单一区间的求解步骤： ① 确立定义域（易错点） ②求导函数 f ' (x) ③对 f ' ( x) 进行整理，能十字交错的十字交错分解，若含分式项，则进行通分整理 . ④ f ' ( x) 中 x 的最高次系数能否为 0，为 0 时求出单一区间 . 例 1： f ( x) a x 3 a 1 x 2 x ，则 f ' ( x) (ax 1)( x 1) 要第一议论 a 0 状况 3 2 ⑤ f ' ( ) 最高次系数不为 0，议论参数取某范围的值时， 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单一递加； x 若 f ' (x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单一递减 . 例 2： f (x) a x 2 ln x ，则 f ' ( x) = ax 2 1 , ( x 0) ，明显 a 0时 f ' ( x) 0 ，此时 f (x) 的 2 x 单一区间为 (0, ) . ⑥ f ' ( ) 最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现 f ' (x) 0 或许 f ' ( x) 0 的状况 x 求出 f ' ( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根能否都在定义域内 . 假如只有一根在定义域 内，那么单一区间只有两段 . 若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则经过比较两根大小分三种状况议论单一区间， 即 x 1 x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 . 例 3: 若 f ( x) a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f ' ( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f ' (x) 2 1 x 0 得 x 1 1, x 2 a a 0时，只有 x 1 1 在定义域内 . a 0 时 , 比较两根要分三种状况： a 1,0 a 1, a 1 用所得的根将定义域分红几个不一样的子区间，议论 f ' ( x) 在每个子区间内的正负，求得 f (x) 的单一区间。
高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31） （一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 （51） （一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数 （三）恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84） 七、导数结合三角函数 （85） 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x x <，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. （切线）设函数a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值； （2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21. 解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3 3 ±=x . )(x g '
(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得1 2 1 22x a x x +=，∴1 2 1 1121 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1，∴021 21 <-x x a ，即12x x <. 又∵ 1 122x a x ≠，∴a x a x x a x x a x x =⋅>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. （2009天津理20，极值比较讨论） 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； ⑵当23 a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当 ⑵[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++= 以下分两种情况讨论： ①a 若＞32，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： ②a 若＜3 2，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： 3. 已知函数2 2()2,()3ln .2 f x x ax g x a x b = +=+ ⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值； ⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。 4. （最值，按区间端点讨论） 已知函数f (x )=ln x －a x . (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性； (2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3 2 ，求a 的值. 解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋ 2a x ＝2x a x +. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数.
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减.
高中数学导数大题题型总结
关于数学中导数题型总结 导数是高中数学的一种重要题型，虽然每年的高考考的不是很多，但它是必考题型，也是分值占比最大的题型。导数部分相对简单，大多数学生在接触它的时候是不太适应的，特别是导数求导速度和导数运算题都非常棘手。很多学生在做这类题目的时候只能靠运气或者是其他因素来解决问题，很多学生往往没想清楚为什么要做这个题，认为是简单的导数计算题又不重要。我想对这部分同学做一个详细的总结汇报，希望对你们有所帮助。 一、求导速度 求导速度也就是求的各个节点的距离等于节点的坐标，而每个节点所对应的计算量也就是这个知识点要完成多少道题目，所以这个知识点就是一个考点：最小行程问题。对于求导速度比较快的问题可以利用等式关系求解解题，特别喜欢求导过程中不需要等待或者没有注意到节点的坐标和距离不需要等待，这样不仅能节省时间也能提高解的准确率。对于求导速度慢的问题，可利用参数化问题的方法进行求导，这样就可以大大缩短你计算出结论的时间。另外还有一些特殊复杂的求导运算也是需要注意的，比如导数的实数解和虚数解的计算方法，一定要清楚。实数解一般利用的都是原函数的解析式来计算，而虚数解一般是利用定理方程或者导数方程的求
导来进行求导，所以对于一些没有解出来的题就不要着急了，可以用一些方法进行求导即可完成解题而不需要考虑到解析的思想和方法，比如一些特殊导数中可以利用一些特殊的符号进行计算。 二、导数形式 1、正态分布：求导问题一般以正态分布形式出现，这类题目一般有三种常见的形式：极坐标、双曲对称性、椭圆对称性。根据上述定义，这三种形式是正态分布和坐标对称性求导方法中的两种简单方法，在求导问题中，常以椭圆对称性求导方法为主，这类求导方法一般可以用到积分求导法则、周期律求导法则等。2.直线方程：导数中直线方程的求导过程是求解直线方程的关键，可以直接通过求导公式来求导，比如下面的求导公式：3、等式与不等式：当满足给定的等式中有一条不等式的时候，可以利用等式求导的性质进行求导，比如下面的等式与不等式都可以直接求导来求解：其实很多同学对这类题不是很熟悉和了解，下面我们简单分析一下各种形式分别有哪些优缺点。 三、函数综合 求函数综合的方法很多，求导速度的快慢也是我们在解题中经常碰到的问题，一般来说，我们只要知道函数解析式可以求出函数的一阶导数就可以了。函数综合在高考中占分比例较大，占分比例的70%左右。函数综合首先需要注意的就是导数的定义和判断函数
2020年全国各地高考题分类汇编【函数导数部分】(北京,上海,江苏,浙江,天津卷)
【2020年江苏高考真题第7题】 已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)=x23，则f(?8)的值是______． 【答案】?4 【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性的定义和运用：求函数值，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 由奇函数的定义可得f(?x)=?f(x)，由已知可得f(8)，进而得到f(?8)． 【解答】 解：y=f(x)是奇函数，可得f(?x)=?f(x)， 当x≥0时，f(x)=x 2 3，可得f(8)=8 2 3=4， 则f(?8)=?f(8)=?4， 故答案为：?4． 【2020年江苏高考真题第15题】 1.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线 MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上).经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离?1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式?1=1 40 a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离?2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式?2= ?1 800 b3+6b.已知点B到OO′的距离为40米． (1)求桥AB的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在 AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价3 2 k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？ 【答案】解：(1)?2=?1 800 b3+6b， 点B到OO′的距离为40米，可令b=40，
可得?2=?1 800 ×403+6×40=160， 即为|O′O|=160，由题意可设?1=160， 由1 40 a2=160，解得a=80， 则|AB|=80+40=120米； (2)可设O′E=x，则CO′=80?x，由{0
完整版)导数的综合大题及其分类
完整版)导数的综合大题及其分类. 导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值 这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。 1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为 分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。 2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础， 根据函数的单调性确定函数的极值点。 3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标
准进行的。在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。 例题： 已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。 x 1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； 2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。 审题程序] 1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论； 2.整合讨论结果，确定单调区间； 3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围； 4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。 规范解答] 1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1) 2.
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及 答案 一、第一题 已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(x)的导数f'(x)。 解答过程： 首先，根据导数的定义，我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。 代入f(x) = x^3 - 2x + 1，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。 展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2h] / h。 再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。 在h→0的极限下，只有常数项-2保留，得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。 所以，f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。 二、第二题 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。 解答过程： 首先，计算f(x)的导数f'(x)。根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) - 5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。 展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。 再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。 化简后消去h，得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。 在h→0的极限下，只有常数项3保留，得到导数 f'(x) = 4x + 3。 接下来，计算f(x)的二阶导数f''(x)。二阶导数等于一阶导数的导数。 即 f''(x) = d(f'(x))/dx = d(4x + 3)/dx = 4。 所以，f(x)的导数为 f'(x) = 4x + 3，二阶导数为 f''(x) = 4。 三、第三题 已知函数f(x) = 3sin(x) + 2cos(x)，求f(x)的导数f'(x)。 解答过程： 根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。 代入f(x) = 3sin(x) + 2cos(x)，得到f'(x) = lim(h→0) [3sin(x+h) + 2cos(x+h) - 3sin(x) - 2cos(x)] / h。 使用和差化积公式展开并化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3(sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)) + 2(cos(x)cos(h) - sin(x)sin(h)) - 3sin(x) - 2cos(x)] / h。
高考数学专题：导数大题专练含答案
高考数学专题：导数大题专练含答案 一、解答题 1．已知函数()ln f x ax x =+ (1)讨论()f x 的单调区间； (2)设()2x g x =，若对任意的[]11,100x ∈，存在[]20,1x ∈，使()()12f x g x <成立，求 实数a 的取值范围. 2．已知函数()ln f x x =． (1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1 2h x f x b x =+ -有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 3．已知函数()21si cos n 2 f x x x a x x =-++． (1)当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 在3π0, 4⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上单调递减，求a 的取值范围． 4．已知a R ∈，函数()2 2e 2 x ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1 201x x ， （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．求下列函数的导数： (1)2 cos x x y x -= ； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-． 6．已知函数()32 2f x x ax bx =++-在2x =-时取得极值，且在点()()1,1f --处的切 线的斜率为3- . (1)求()f x 的解析式； (2)若函数()y f x λ=-有三个零点，求实数λ的取值范围. 7．已知函数()32 3f x x ax x =-+. (1)若3x =是()f x 的极值点，求()f x 在[]1,a 上的最大值和最小值；
北京高考数学导数题
北京高考数学导数题 北京高考数学导数题 一、题目背景和意义 北京市高考是全国各地考生争先恐后的焦点，其中数学科目一直备受 关注。在这个充满竞争的考场上，导数是一道常见而又重要的题目。 导数作为微积分的基础概念之一，具有深远的理论意义和实际应用价值。解题数量和质量是考查学生对导数的理解和运用能力的重要指标。 二、题目描述 假定某城市的人口总数P（单位：万人）与时间t（单位：年）的关系 满足函数表达式为P(t)=3t^3+5t^2-t+1。 1. 求在最近的10年（即t的取值范围为[0,10]）内，该城市人口的平均 增长率。 2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。 三、题目分析和解答 1. 求在最近的10年内，该城市人口的平均增长率。
根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在[0,10]范围内 函数P(t)的平均增长率。 首先，计算t=0时刻和t=10时刻的人口总数，分别代入函数表达式得 到P(0)=1和P(10)=3311。 其次，计算[0,10]范围内人口总数的变化量，即P(10)-P(0)=3310。 最后，计算平均增长率，即(3310/10) = 331(单位：人/年)。 因此，在最近的10年内，该城市人口的平均增长率为331人/年。 2. 若该城市人口的增长速度最大值的时刻为t=3年，求此时的人口总数。 根据题意和函数表达式P(t)=3t^3+5t^2-t+1，我们需要求在t=3时刻的人口总数。 首先，代入t=3到函数表达式中得到 P(3) = 102。 因此，在t=3时刻，该城市的人口总数为102万人。 四、题目总结 本题通过考查导数的相关概念和运用，旨在培养考生对数学知识的理 解和应用能力。通过计算平均增长率和最大增长速度对应的人口总数，
2023北京高考数学导数题
2023北京高考数学导数题 2023北京高考数学导数题 第一部分：问题描述 在2023年的北京高考数学卷子中，有一道关于导数的题目引起了广泛 的讨论。这道题目涉及到函数的导数及其在实际问题中的应用。通过 解答这道题目，考生们需要展示出对导数概念的理解以及对实际问题 的抽象能力。 第二部分：题目内容 题目要求考生计算某函数在给定点处的导数，并利用求导的结果来解 决实际问题。具体内容如下： 设函数f(x)表示某物体从初始位置出发沿直线匀速运动，其位移与时间的关系满足f(x) = 2x^2 - 3x + 5。求物体在时刻x=2处的速度。 第三部分：解题思路 对于这道题目，考生首先需要计算出函数f(x)的导数。根据导数的定义，导数表示函数变化的速率，可以通过求函数在某一点的切线斜率来计算。 根据导数的定义，我们可以得到f'(x) = 4x - 3。接下来，考生需要将 x=2代入导数表达式中得到相应的速度值。 第四部分：解答过程
将x=2代入导数表达式，可以得到f'(2) = 4(2) - 3 = 5。因此，物体在时刻x=2处的速度为5。 第五部分：意义解释 在解答过程中，考生需要进一步解释计算出的速度值的意义。由于题目中所给定的函数表示物体的位移与时间的关系，所以导数表示了物体的瞬时速度。在这个特定的情境中，物体在时刻x=2处的瞬时速度为5。 第六部分：实际应用 这道题目通过导数的概念和应用，将抽象的数学概念与实际问题相联系。在现实生活中，导数有着广泛的应用领域，包括物理、经济、工程等。例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来分析收益率和成本函数的变化率。 在解答这道题目的过程中，考生们不仅仅是在计算数字，更重要的是培养了对导数及其应用的理解和运用能力。通过将抽象的数学知识与实际问题相结合，考生不仅能够更好地掌握相关知识，还能够培养出解决实际问题的能力。 总结： 这道2023北京高考数学卷子中关于导数的题目，引发了广泛的讨论。题目要求考生计算某函数在给定点处的导数，并利用求导的结果解决实际问题。通过解答这道题目，考生们不仅可以提高对导数概念的理