高考数学含参数导数问题的分类讨论

专题一含参数导数问题的分类讨论

导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．

模块1 整理方法提升能力

在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：

分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；

分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；

分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．

以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．

例1

【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()1

2121f x a a x a x

+--- ()()221211

a a x a x x

---+=

．

令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．

（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()1

0f x x

>，于是()f x 在()0,+∞

上递增．

（2）当1a ≠时，()g x 是二次函数，类型确定后，我们首先考虑讨论点1——()0f x '=是否有实根的问题．由于()g x 不能因式分解，所以我们考虑其判别式()()4131a a ∆=--，判别式的正负影响到()0g x =的根的情况，由此可初步分为以下三种情况：①当0∆<，即

113a <<时，()0g x =没有实根；②当0∆=，即1

a =时，()0g x =有两个相等的实根；③当0∆>，即1

a <<或1a >时，()0g x =有两个不等的实根．

对于第①种情况，()0g x =没有实根且永远在x 轴上方，于是()0f x '>，所以()f x 在

()0,+∞上递增．

对于第②种情况，

()0g x =有两个相等的实根3

x =，于是()0f x '≥，所以()f x 在()0,+∞上递增．

对于第③种情况，()0g x =有两个不等的实根，112x a

-和

212x a

=．由于不知道两根是否落在定义域()0,+∞内，因此要考虑讨论点2，

而利用韦达定理进行判断是一个快捷的方法．

因为121x x a +=

，()12121x x a a =-，所以当1

a <<时，有120x x +>且120x x >，此时

两个根都在定义域内切120x x <<（因为1x 与2x 的大小关系已经确定，所以不需要考虑讨论点3）

．由()0f x '>可得10x x <<或2x x >，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增；由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()12,x x 上递减．

当1a >时，有120x x +>且120x x <，此时210x x <<，由()0f x '>可得10x x <<，所以

()f x 在()10,x 上递增；由()0f x '<可得1x x >，所以()f x 在()1,x +∞上递减．

综上所述，当103a <<

时，()f x 在()10,x 和()2,x +∞上递增，在()12,x x 上递减；当113

a ≤≤时，()f x 在()0,+∞上递增；当1a >时，()f x 在()10,x 上递增，在()1,x +∞上递减．其中

2x a

=21

2x a =．

【点评】只要按照3个分类讨论点进行思考，就能很好地处理含参数导数问题的单调性．此外，涉及两根与0的大小比较的时候，利用韦达定理往往比较简单．

例2

【解析】（1）定义域为()0,+∞，()11

kx f x k x x

-+'=-=

．法1：①当0k =时，()1

0f x x

>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

②当0k ≠时，令()0f x '=可得1

x k

=．（i ）当

<，即0k <时，()0f x '>在[]1,2上恒成立，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

（ii ）当1

01k

≤，即1k ≥时，()0f x '≤在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为减函数，所以()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

（iii ）当

12k ≥，即1

k <≤时，()0f x '≥在[]1,2上恒成立，所以()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

（iv ）当112k <

<，即112k <<时，由()0f x '>可得11x k <<，由()0f x '<可得1

2x k

<<，所以()f x 在11,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,2k ⎛⎫

⎪⎝⎭上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或

()2ln 2f k =-．当0ln2k <-，即

ln 22

k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当0ln2k ≥-，即ln21k ≤≤时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．法2：①当0k ≤时，()0f x '>，函数()f x 在[]1,2为增函数，所以()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．

②当0k >时，由()0f x '>可得10x k <<

，由()0f x '<可得1x k >，所以()f x 在10,k ⎛⎫

⎪⎝⎭

上递增，在1,k ⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

上递减．于是()f x 在[]1,2上的最小值为()10f =或()2ln 2f k =-．

（i ）当0ln2k <-，即0ln2k <<时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦．（ii ）当0ln2k ≥-，即ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．

综上所述，当ln2k <时，()()min 10f x f ⎡⎤==⎣⎦；当ln2k ≥时，()()min 2ln 2f x f k ⎡⎤==-⎣⎦．（2）解答详见专题三例1．

所以最小值只能在()1f 或()2f 处取到，此时只需要比较两者的大小就可以了．由于法2是根据式子和题目的特点进行分类的，所以能减少分类的情况．

例3

【解析】（1）函数()()2ln 1f x x b x =++的定义域为()1,-+∞，

()222211b x x b f x x x x ++'=+=

++．令()222g x x x b =++，则48b ∆=-．当1

b >时，0∆<，所以()g x 在()1,-+∞上恒大于0，所以()0f x '>，于是当1

b >时，函数()f x 在定义域

()1,-+∞上递增．

（2）首先考虑()0g x =是否有实根．

①当0∆<，即1

2b >

时，由（1）知函数()f x 无极值点． ②当0∆=，即1

b =时，()0g x =有唯一的实根，()0g x ≥，于是()0f x '≥在()1,-+∞上

恒成立，所以函数()f x 在()1,-+∞上递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．

③当0∆>，即1

b <

时，()0g x =有两个不同的根1x =，2x =，

其中12x x <．这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？这需要对参数b 的取值进一步分类讨论．

当0b <时，11x <-，21x =>-，由()0f x '>可得2x x >，由

()0f x '<可得21x x -<<，所以()f x 在()21,x -上递减，在()2,x +∞上递增，所以当0b <时，

()f x 在()1,-+∞上有唯一极小值点212

x -+=

．

当1

b <<时，11x =>-，21x =>-，由()0f x '>可得

11x x -<<或2x x >，由()0f x '<可得12x x x <<，所以()f x 在()11,x -上递增，在()12,x x 上

递减，在()2,x +∞上递增，所以当1

b <<

时，()f x 在()1,-+∞上有一个极大值点

1x 和一个极小值点2x =．

综上所述，当0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212

x -=；当

b <<时，()f x 有一个极大值点1x =

和一个极小值点2x =；当1

b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点．

12x x <，所以只需要考虑讨论点2，判断这两个根是否都在定义域()1,-+∞内就可以了，显然

模块2 练习巩固整合提升

练习1：设函数()1

ln 1

x f x a x x -=+

+，其中a 为常数．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性．【解析】（1）当0a =时，()11x f x x -=

+，()0,x ∈+∞．此时()()

21f x x '=+，于是()1

12f '=，()10f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为210x y --=．

（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()

222

212

11ax a x a a f x x x x x +++'=+=++． ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,+∞上递增．

②当0a <时，令()()221g x ax a x a =+++，则()()2

2414421a a a ∆=+-=+．（i ）当

a ≤-时，0∆≤，所以()0g x ≤，于是()0f x '≤，所以函数()f x 在()0,+∞上递减．

（ii ）当1

a -

<<时，0∆>

，此时()0g

x =有两个不同的根，()11a x a -++=

，()21a x a

-+=

，12x x <．下判断1x 、2x 是否在定义域()0,+∞内．

法1：（待定符号法）

()()10101a a a a

-+⇔+⇔+⇔W

()2

21210a a a ++⇔W W ，由于0a >，所以10x >．

法2：（韦达定理）由()

21010a x x a

x x ⎧++=->⎪⎨⎪=>⎩可得120x x <<．

法3：（图象法）()g x 是开口方向向下的抛物线，对称轴为1

0a a

+->，()00g a =<，由图象可知1x 、2x 都在定义域()0,+∞内．

当10x x <<或2x x >时，有()0g x <，()0f x '<，所以函数()f x 递减；当12x x x <<时，有()0g x >，()0f x '>，所以函数()f x 递增．

综上所述，当0a ≥时，函数()f x 在()0,+∞上递增；当1

a ≤-

时，函数()f x 在()0,+∞上递减；当1

02a -<<时，函数()f x 在(

)10,a a ⎛-++ ⎪⎝⎭，(

)1a a ⎛⎫-+-+∞

⎪ ⎪⎝⎭上递减，在(

)(

)11a a a a ⎛-++-+ ⎪⎝⎭

上递增．

练习2：设函数()()2ln f x x a x =++．

（1）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e

．【解析】（1）由()10f '-=解得3

2a =，此时()2123123322

x x f x x x x ++'=+=

++，由()0f x '>解得3

12x -<<-或12x >-

，由()0f x '<解得112x -<<-，所以()f x 在区间3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭

，1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在区间11,2⎛

⎫-- ⎪⎝

⎭上递减．

（2）()f x 的定义域为(),a -+∞，()2221

x ax f x x a

++'=+，记()2221g x x ax =++，其判

别式为248a ∆=-．

①若0∆≤

，即a ≤时，()0f x '≥在(),a -+∞上恒成立，所以()f x 无极值．

②若0∆>

，即a >

a <()0g x =

有两个不同的实根1x =

2x =12x x <，由韦达定理可得121212x x a

x x +=-⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()()()121212x a x a a x a x a ⎧+++=⎪⎨+⋅+=⎪⎩

．

（i

）当a <10x a +<，20x a +<，即1x a <-，2x a <-，从而()0f x '=在

(),a -+∞上没有实根，所以()f x 无极值．

（ii

）当a 10x a +>，20x a +>，即1x a >-，2x a >-，从而()0f x '=在

(),a -+∞上有两个不同的根，且()f x 在1x x =，2x x =处取得极值．

综上所述，()f x 存在极值时，a

的取值范围为

)

+∞．()f x 的极值之和为

()()()()()()()2

121122121212ln ln ln 2f x f x x a x x a x x a x a x x x x +=+++++=⎡++⎤++-⎣⎦，而

()()121ln ln 2x a x a ⎡++⎤=⎣⎦，()()22

2121212212x x x x a a +-=--⨯=-，所以()()21211e

ln 1ln 1ln 222

f x f x a +=+->+=．

练习3：已知函数()2e 1x f x ax bx =---，其中a 、b ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．

（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值；（2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围．【解析】（1）()()e 2x g x f x ax b '==--，()e 2x g x a '=-．因为[]0,1x ∈，所以

()12e 2a g x a '-≤≤-．

①若21a ≤，即1

a ≤

时，有()e 20x g x a '=-≥，所以函数()g x 在区间[]0,1上递增，于是()()min 01g x g b ⎡⎤==-⎣⎦．

②若12e a <<，即

a <<时，

当()0ln 2x a <<时，()e 20x g x a '=-<，当()ln 21a x <<时()e 20x g x a '=->，所以函数()g x 在区间()()0,ln 2a 上递减，在区间()ln 2,1a ⎡⎤⎣⎦上递增，于是()()()min ln 222ln 2g x g a a a a b ⎡⎤=⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦．

③若2e a ≥，即e

a ≥

时，有()e 20x g x a '=-≤，所以函数()g x 在区间[]0,1上递减，于是()()min 1e 2g x g a b ⎡⎤==--⎣⎦．

综上所述，()g x 在区间[]0,1上的最小值为()()min

11,21e 22ln 2,22e e 2,2b a g x a a a b a a b a ⎧

-≤⎪⎪

⎪

⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪

⎪

--≥⎪⎩

．

（2）法1：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()f x 在区间()0,1内有零点，则函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间．

由（1）知当12a ≤

或e

a ≥时，函数()g x 即()f x '在区间[]0,1上递增或递减，所以不可能满足“函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间”这一要求．

若

a <<，则()()()min 22ln 232ln 2e 1g x a a a

b a a a ⎡⎤=--=---⎣⎦．令()()32ln 2e 1h x x x x =---（1e 22x <<）

，则()()12ln 2h x x '=-．由()0h x '>可得1e

2x <<，由()0h x '

2x <<，所以()h x 在区间1e 2⎛ ⎝上递增，在区间e e 2⎫⎪⎪⎭

上递减，所以()max e e e e 32ln 2e 1e e 10

h x h ⎡⎤

⎡⎤==---=--<⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，即()min 0g x ⎡⎤<⎣⎦，于是函数()f x 在区间()0,1内至少有三个单调区间⇔()()02e 0

110g a g a ⎧=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，由此解得

e 21a -<<，又因为1e

a <<，所以e 21a -<<．

综上所述，a 的取值范围为()e 2,1-．

法2：由()10f =可得e 10a b ---=，于是e 1b a =--，又()00f =，所以函数()g x 在

区间()0,1上至少有两个零点．()e e 1

0e 2e 1021

x x

g x ax a a x -+=⇔--++=⇔=-，所以()

g x 在区间()0,1上至少有两个零点y a ⇔=与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

U 的图象至少有

两个交点．

()()

()

2e 3e 2e 121x x x k x x -+-'=

-，令()()2e 3e 2e 1x x p x x =-+-，则()()e 21x p x x '=-，由

()0p x '>可得12x >

，由()0p x '<可得12x <，所以()p x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

上递增，()min

12e 2e 202p x p ⎛⎫

⎡⎤==-> ⎪⎣⎦⎝⎭

，所以()0k x '>，于是 ()k x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

上也递增．因为()0e 2k =-，

()11k =，当12x -→时，()k x →+∞，当1

x +

→时，()k x →-∞，

于是y a =与()e e 121x k x x -+=-，110,,122x ⎛⎫⎛⎫

∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

U 的图象有两个交点时，a 的取值范围是

()e 2,1-．

导数中分类讨论的三种常见类型

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释. 几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论. 1.导函数根的大小比较实例1：求函数()32 1132 a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间. 分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数 ()32 1132 a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数 ()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根 1x a =，21x =-，由于a 的围未知，要讨论函数()32 1132 a f x x x ax a -= +--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：

所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -. 当1a =-时， ()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为 (),-∞+∞，没有单调递减区间. 当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -. 综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为 (),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为 ()1,a -. 点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-， 1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况. 2.导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间

【2020年高考必备】导数中分类讨论思想的应用及分类

导数中分类讨论思想的应用及分类导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是：那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数

为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确?不确定，因此二次函数定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'2'0a?1?axa?y?2?y0，再例，可直接判断出当时，'2'0?a?01a2y??ax??y，此时不需要对参数是否，则可直接判断出当时，为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； ②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； ③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； ④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。例1.已知函数2?1x?ax)?(a?1)ln(fxf(x)的单调性。，讨论函数2?aax?12f(x)(0,??)，的定义域为解析：函数'?)f(x x a?0时，当'(x)?0ff(x)在定义域内单调递增。，故函数a??1 时，当'(x)?f0f(x)在定义域内单调递减。，此时 a?10?1?a?时，令当'??x0?f(x)，解得2a1?1aa?当 ''),??x?[]?x?(0,?(x)f0?0f(x)?时，；当时，2a2a1?a?1a)xf(在故????)(0,x]x?[?,单调递减。单调递增，在a22a注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符a非负状态下的单调性，切记，切记。号相同，很容易判断例2.已知函数2?x?a ln(x)?xxff(x)在定义域上的单调性。，讨论2?xx?a2解析：'a?8??1?)(x?0)(xf，

高考数学含参数导数问题的分类讨论

专题一含参数导数问题的分类讨论导数是研究函数的图象和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题几乎是每年高考的必考试题之一．随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题成为了历年高考命题的热点．由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行分类讨论，如何进行分类讨论成为绝大多数考生答题的难点．模块1 整理方法提升能力在众多的含参数导数问题中，根据所给的参数的不同范围去讨论函数的单调性是最常见的题目之一，求函数的极值、最值等问题，最终也需要讨论函数单调性．对于含参数导数问题的单调性的分类讨论，常见的分类讨论点有以下三个：分类讨论点1：求导后，考虑()0f x '=是否有实根，从而引起分类讨论；分类讨论点2：求导后，()0f x '=有实根，但不清楚()0f x '=的实根是否落在定义域内，从而引起分类讨论；分类讨论点3：求导后，()0f x '=有实根，()0f x '=的实根也落在定义域内，但不清楚这些实根的大小关系，从而引起分类讨论．以上三点是讨论含参数导数问题的单调性的三个基本分类点，在求解有关含参数导数问题的单调性时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论．因此，对含参数的导数问题的分类讨论，还是有一定的规律可循的．当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就会复杂一些了，也有些题目可以根据其式子和题目的特点进行灵活处理，减少分类讨论，需要灵活把握．例1 【解析】()f x 的定义域是()0,+∞．()()()1 2121f x a a x a x '= +--- ()()221211 a a x a x x ---+= ．令()()()221211g x a a x a x =---+，则()0f x '=的根的情况等价于()0g x =的根的情况．由于()g x 的函数类型不能确定，所以需要对a 进行分类讨论从而确定函数的类型．（1）当1a =时，()g x 是常数函数，此时()1g x =，()1 0f x x '= >，于是()f x 在()0,+∞

高考数学导数问题常见的分类讨论

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.. 分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。（二）知识回顾 1．函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2．函数的极值 (1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ， b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． (3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值； ②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．（三）疑难解释 1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较． 2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件． 3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！） 1．若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1 在x ＝1处取极值，则a ＝________. 答案 3

高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳

导数压轴大题7个题型梳理归纳题型一：含参分类讨论类型一：主导函数为一次型例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增；（2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减.

(完整版)含参数导数问题分类讨论(学生)

含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 a f x恒成立，只须求出 f X max，则a f X max ；若a f x恒成立，只须求出f X皿山，则a f X min，转化为函数求最值. 例1、已知函数f(x) xlnx. (I)求f(x)的最小值； (n)若对所有x 1都有f (x) ax 1,求实数a的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论. 例2.已知a是实数，函数f(x) x(x a). (I)若f (1) 3,求a的值及曲线y f(x)在点(1, f (1))处的切线方程； (n)求f(x)在区间［0 , 2］上的最大值. 三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式)，涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令厶=0,求分点，从而引起讨论. 例3、已知函数f (x) x2 x alnx , (a R) 讨论f (x)在定义域上的单调性. 四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) ，导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间 .所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论. 2