高考数学大题导数第一问分类专题练习
高考数学导数第一问分类专题练习
一 、单调性
1．设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;
2．已知函数()f x 满足121()'(1)(0)2x f x f e f x x -=-+
（Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间；
3.已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )．
(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；
4．已知函数()f x =2x x e e x ---
（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
5.设函数2()mx f x e x mx =+-。
（1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；
6．(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时，
7．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x .
（1）讨论()f x 的单调性；
8、已知函数()nx a x x x f 11
+-=
（1）讨论的单调性；
二、导数几何意义
1．已知函数ln ()1a x b f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值；
2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0，
2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2
（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值
3.设函数1
(0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；
4．已知函数f （x ）=31,()ln 4
x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；
三、函数零点
1．已知函数2)1(2)(-+-=
x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围；
四、复合函数导数
1、设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记
的最大值为A .
（Ⅰ）求f ＇（x ）；
五、恒成立
1．已知函数()nx x ax ax x f 12--=，且()0≥x f 。
（1）求a ；
2.已知函数()1ln f x x a x =--．
（1）若()0f x ≥，求a 的值；
3、已知函数．
（1）若，证明：当时，；
4、已知函数． （1）若，证明：当时，；当时，；
练习
1.已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为22ln 23++-=x y ．
（I ）求b a ,的值；
2.已知函数()mx x x f -=ln （m 为常数）．
（I ） 讨论函数()x f 的单调区间
3.设函数()()0112≠++=
a x
ax x g ．讨论函数()x g 的单调性；
4.已知函数()2ln ax x x f -=，．
（I ）求函数()x f 的极值；
5.设函数()()x x x a x f -++=21ln ，()()()R a x a x g ∈-=1．
若函数()x f 的图象在1=x 处的切线与函数()x g 的图象垂直，求实数a 的值
6.已知函数1
)(2++=x b ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立
7.已知函数()()x e ae x f x -+=2（a 为实数，e 为自然对数的底数），曲线()x f y =在0=x 处
的切线与直线()0103=+--y x e 平行.
（I ）求实数a 的值，并判断函数()x f 在区间[)+∞,0内的零点个数；
8.已知函数()x ax x f ln -=，()ax e x F x +=，其中0>x ，0 （I ）若()x f 和()x F 在区间()3ln ,0内具有相同的单调性，求实数a 的取值范围； 9.已知函数()mx x x x f ++-=232 1. （I ）若2=m ，求函数()x f 的极大值； 10.已知函数()ln 1()f x x kx k R =-+∈． （I ）讨论函数()f x 的零点个数； 11.已知函数f （x ）=ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣lnx ． （I ）当a ＞0时，求函数f （x ）的单调递增区间； （II ）当a ＜0时，求函数f （x ）在上的最小值； 12.设函数()()x b x x f ln +=，()()121ln 2≠--+=a x x a x a x g ，已知曲线()x f y =在点 ()()1,1f 处的切线与直线02=+y x 垂直． （I ） 求b 的值； 13.已知函数()f x =e x ax --(x ∈R ). (Ⅰ) 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； (Ⅱ) 若0x ≥时,()()ln 11f x x -++≥,求实数a 的取值范围； 14.设函数2()ln ()f x x m x x =+-，m R ∈． （I ）当1m =-时，求函数()f x 的最值； （II ）若函数()f x 有极值点，求m 的取值范围． 15.已知a R ∈，函数()2x f x e ax =+，()g x 是()f x 的导函数． （I ）当0a >时，求证：存在唯一的01,02x a ⎛⎫ ∈- ⎪⎝⎭，使得()00g x =； 16.已知函数R a x x a x x f ∈+--=,1 )1(ln )(． （I ）若2=x 是函数)(x f 的极值点，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （II ）若函数)(x f 在),0(+∞上为单调增函数，求a 的取值范围． 17.已知函数()2ln 2ln a x f x x a k x a =+--． （I ）若0k =，证明()0f x >； 18.已知函数()22ln f x x x ax =+-. （I ）当5a =时，求()f x 的单调区间； （II ）设()()1122,,,A x y B x y 是曲线()y f x =图象上的两个相异的点，若直线AB 的斜率1k >恒成立，求实数a 的取值范围； 19.已知函数321()32,()2ln 3()6 f x x x g x kx x k =-+=-+>-． （I ）若过点(,3)(0)P a a ->恰有两条直线与曲线()y f x =相切，求a 的值； 20.设函数()()()12ln 0f x k x x k =--＞． （1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数k 的值； 高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用 高考压轴题：导数题型及解题方法 一、切线问题 题型1：求曲线y=f(x)在x=x处的切线方程。 方法：f'(x)为在x=x处的切线的斜率。 题型2：过点(a,b)的直线与曲线y=f(x)的相切问题。 方法：设曲线y=f(x)的切点(x,f(x))，由(x-a)f'(x)=f(x)-b求出x，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的切线往往不止一条。 例题：已知函数f(x)=x-3x。 1）求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；（答案：9x-y- 16=0） 2）若过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求 实数m的取值范围。 提示：设曲线y=f(x)上的切点(x,f(x))，建立x,f(x)的等式 关系。将问题转化为关于x,m的方程有三个不同实数根问题。答案：m的范围是(-3,-2)） 练1：已知曲线y=x-3x。 1）求过点(1,-3)与曲线y=x-3x相切的直线方程。（答案：3x+y=0或15x-4y-27=0） 2）证明：过点(-2,5)与曲线y=x-3x相切的直线有三条。 题型3：求两个曲线y=f(x)、y=g(x)的公切线。 方法：设曲线y=f(x)、y=g(x)的切点分别为(x1,f(x1))、 (x2,g(x2))，建立x1,x2的等式关系，(x2-x1)f'(x1)=g(x2)-f(x1)，(x2-x1)f'(x2)=g(x2)-f(x1)；求出x1,x2，进而求出切线方程。 解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例题：求曲线y=x与曲线y=2elnx的公切线方程。（答案：2ex-y-e=0） 练1：求曲线y=x与曲线y=-(x-1)的公切线方程。（答案：2x-y-1=0或y=0） 2.设函数f(x)=p(x-2)-2lnx，g(x)=x，直线l与函数f(x),g(x) 的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于(1,0)，求实数p的值。（答案：p=1或3） 二、单调性问题 题型1：求函数的单调区间。 高考数学专题：导数大题专练含答案 一、解答题 1．已知函数()ln e x f x x =，()2 ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数． (1)求函数()f x 的最小值； (2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)求证：2022 2023 20232023e 20222022⎛⎫ ⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ． 2．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 3．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 4．设函数()1e ln 1x a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性； (2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x g x x x x x x =-++-， )2 e ,x -∈+∞⎡⎣． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值． 6．已知函数()()32131.3 f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln x f x x = ， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线； (2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围． 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 高考数学导数第一问分类专题练习 一 、单调性 1．设函数f(x)=21x e x ax ---.（Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间; 2．已知函数()f x 满足121()'(1)(0)2x f x f e f x x -=-+ （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调区间； 3.已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； 4．已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； 5.设函数2()mx f x e x mx =+-。 （1）证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增； 6．(I)讨论函数 的单调性，并证明当 >0时， 7．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； 8、已知函数()nx a x x x f 11 +-= （1）讨论的单调性； 二、导数几何意义 1．已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值； 2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P(0， 2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2 （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值 3.设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； 4．已知函数f （x ）=31,()ln 4 x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； 三、函数零点 1．已知函数2)1(2)(-+-= x a e x x f x ）（有两个零点. (I)求a 的取值范围； 四、复合函数导数 1、设函数f （x ）=a cos2x +（a -1）（cos x +1），其中a ＞0，记 的最大值为A . （Ⅰ）求f ＇（x ）； 高考数学专题：导数大题专练附答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值； (2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数 b 的取值范围． 3．已知函数1()2ln f x x x x =+-． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 4．已知a R ∈，函数()2 2e 2 x ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1 201x x ， （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．设函数()()2 ()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈. (1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2 cos x x y x -= ； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-． 7．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； 高考数学理科导数大题目专项训练及答案 1.已知函数f(x)在区间[e,0)上定义，其中e为自然对数的底，a为实数。 Ⅰ）求函数f(x)的解析式； Ⅱ）是否存在实数a<0，使得当x在[e,0)范围内时，f(x)的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由； Ⅲ）设g(x)=1/(x+e)，求f(x)和g(x)在[e,0)上的导数，并求它们的导数之差。 2.若存在实常数k和b，使得函数f(x)=ax+lnx（x∈(0,e]）和g(x)=ln|x|（x∈[e,0)）在其定义域上的任意实数x上满足以下条件： 1）当a=-1时，|f(x)|>g(x)+1； 2）2f(x)≥kx+b且g(x)≤kx+b。 则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”。已知 h(x)=x^2，(x)=2lnx（其中e为自然对数的底数）。 1)求F(x)=h(x)−(x)的极值； 2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由。 3.设关于x的方程x-mx-1=0有两个实根α、β，且α<β。定义函数f(x)=(x-α)/(x-β)。 I）求f(α)的值； II）判断f(x)在区间(α,β)上的单调性，并加以证明； III）若λ,μ为正实数，①试比较f(α),f((λα+μβ)/(λ+μ)),f(β)的大小；②证明|f((λα+μβ)/(λ+μ))-f()|<|α-β|/(λ+μ)。 4.若函数f(x)=(x^2+ax+b)ex在x=1处取得极值。 I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间； II）是否存在实数m，使得对任意a∈(0,1)及x1,x2∈[0,2]总有|f(x1)-f(x2)|<(m+2)a+m^2)e^-1+1恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由。 5.若函数f(x)=lnx，g(x)=x-2/x。 1）求函数ϕ(x)=g(x)+kf(x)（k为实数）的单调区间； 2019年高考真题导数专题 一.解答题(共12小题) 1.已知函数f (x) =ae2x+ (a - 2) e x - x. (1)讨论f (x)的单调性； (2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围. 2.已知函数f (x) =ax2 - ax - xlnx, 且f (x)三0. (1)求a； (2)证明：f (x)存在唯一的极大值点x0, 且e-2 高考数学专题：导数大题专练(含答案) 一、解答题 1．已知函数()1e -=x x f x . (1)求()f x 极值点； (2)若()()4g x f x =-，证明：2x >时，()()f x g x >成立. 2．已知()()e 1x f x mx m =+<-. (1)当2m =-时，求曲线()y f x =上的斜率为1-的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-恒成立，求实数m 的范围. 3．直线:l y kx t =+交抛物线24x y =于A ，B 两点，过A ，B 作抛物线的两条切线，相交于点C ，点C 在直线3y =-上． (1)求证：直线l 恒过定点T ，并求出点T 坐标； (2)以T 为圆心的圆交抛物线于PQMN 四点，求四边形PQMN 面积的取值范围． 4．已知函数21 ()ln (1)()22 =+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ． (1)求实数a 的取值范围； (2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 5．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点； (2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论． 6．设函数()1e ln 1x a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性； (2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 7．已知函数()ln x f x x = ， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线； (2)若2 e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围． 8．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 f x 是()f x 的导函数，()f x ''是f x 的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处 切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++ ，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f 单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间 ； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的 切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x 专练16 高考大题专练(一) 导数的应用 命题范围：导数的应用、导数的几何意义． 1．[2022·云南省昆明市检测]已知函数f (x )＝1－ax 2 e x ，a ≠0 (1)讨论f (x )的单调性； (2)当x ＞0，a ＞0时，e x f (x )≥bx ，证明：ab ≤2e 3 27 . 2．[2022·全国甲卷(理)，21]已知函数f (x )＝e x x －ln x ＋x －a . (1)若f (x )≥0，求a 的取值范围； (2)证明：若f (x )有两个零点x 1，x 2，则x 1x 2<1. 3.[2022·河南省郑州市质检]已知函数f(x)＝ln (x＋1)－x＋1. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)设函数g(x)＝a e x－x＋ln a，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围． 4．[2022·全国乙卷(理)，21]已知函数f(x)＝ln (1＋x)＋ax e－x (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f(x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 5．[2022·江西省二模]已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2 2－(a ＋1)x ＋a ＋1 2(a ∈R )有一个大于1 的零点x 0. (1)求实数a 的取值范围； (2)证明：对任意的x ∈(1，x 0]，都有a ln x －x ＋1＞0恒成立． 专练16 高考大题专练(一) 导数的应用 1．解析：(1)f(x)的定义域为R ，f ′(x )＝－2ax e x －ax 2e x （e x ）2＝ax （x －2） e x . ①a ＞0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②a ＜0时，当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． (2)由e x f (x )≥bx ，得e x －ax 2 －bx ≥0，因为x ＞0，所以e x x －ax 2 －bx ≥0， 令g (x )＝e x x －ax －b (x ＞0)，则g ′(x )＝（x －1）e x x 2 －a ， 设h (x )＝（x －1）e x x 2－a (x ＞0)，则h ′(x )＝（x 2－2x ＋2）e x x 3 ＞0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 又因为h (1)＝－a ＜0，h (1＋a )＝a e 1＋a （1＋a ）2－a ＞a ·（1＋a ）2（1＋a ） 2－a ＝a －a ＝0， (由(1)知当a ＝1时，f (x )≥f (2)＝1－4e 2＞0，所以当x ＞0时，1－x 2 e x ＞0，即e x ＞x 2 .) 所以，存在x 0∈(1，1＋a )，使得h (x 0)＝0， 即a ＝（x 0－1）e x 0 x 2 . 所以，当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞0， g (x )单调递增， 所以g (x )≥g (x 0)＝e x 0x 0－ax 0－b ≥0，所以b ≤e x 0x 0－（x 0－1）e x 0x 0＝（2－x 0）e x 0 x 0 . 所以ab ≤（x 0－1）（2－x 0）e2x 0x 30 ＝（－x 2 0 ＋3x 0－2）e2x 0x 3 . 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ①确定定义域易错点 ②求导函数)('x f ③对)('x f 进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0,为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=232 13)(,则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0,讨论参数取某范围的值时,若0)('≥x f ,则)(x f 在定义域内单调 递增；若0)(' ≤x f ,则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2 )(2+=,则)('x f =)0(,12>+x x ax ,显然0≥a 时0)('>x f ,此时)(x f 的单调区间为),0(+∞. ⑥)('x f 最高次系数不为0,且参数取某范围的值时,不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)(' x f =0的根,一般为两个21,x x ,判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义 域内,那么单调区间只有两段. 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区 间,即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2 )(2≠++-= a x x a x a x f ,则x x ax x f )1)(1()('--=,)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论)('x f 在每个子区间内的正负,求得)(x f 的单调区间; 1、已 题型一利用导数研究函数的单调性 例1 知函数 f(x) = x 3 — ax+1 ⑴当a=3时，求f(x)的单调区间； ⑵若f(x)在(-汽-2 )上单调递增，求实数 a 的取值范围; ⑶讨论f(x)的单调性。 2、已知f(x) ln 字,求f(x)的单调性。 e 3、( 1)对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足f (x ) + x f (x ) 0,则不等式 f(4 1) x 2 f (x 2) - <0的解集为 4 已知函^T v = /W 对任意的满足址+/(工)呵2 0 (毀中f 3是函数 (2) r (v )的导国数)」则T 列不等式成立的是 乩 72/(-1) < -S. C. D. /(0>> 导数 (1) 当a=3时，求f(x)的单调区间； ⑵若f(x)在［1 ,+^ )上是递减的，求实数a的取值范围； (3)讨论f(x)的单调性。 题型二利用导数研究函数的极值 例 2 已知函数f(x) = —x3—2ax2—9x. (1) 当a=-3时，求f(x)的单调区间和极值； ⑵若x=-1为函数f(x)的极值点，求f(2)的值。 ⑶若f(x)在［1 ,+^ )上有两极值点，求实数a的取值范围； 已知 (1)设a = 2，求f(x)的单调区间和极值点； ⑵设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求 a 的取值范围. 题型三利用导数求函数的最值 例3 函数 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + 5,记 f(x)的导数为 f ' (x). (1)若曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为3，且x = 2时y = f(x)有极值，求函数f(x)的解析式; ⑵在(1)的条件下，求函数f(x)在［—4,1］上的最大值和最小值. 数学导数专题练习题（及答案） 一、单选题 1． 设()f x 是可导函数，且()() 121lim 2x f x f x ∆→-∆-=∆，则()1f '=（ ） A ．1 2 B ．1- C ．0 D ．2- 2．关于x 的不等式e ln()x a ax a a >--恒成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．() 2 e ,0 a ∈- B ．2(0,e )a ∈ C ．()0,e a ∈ D ．() 3 0,e a ∈ 3．已知实数,,a b c 满足2a <，ln 2ln 22a a a -=-，2b <，ln 2ln 22b b b -=-，1 2c > ，111ln ln 222 c c c -=-，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 4．已知函数()sin cos f x x x x =+，则()2f π '=（ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ． 2 π 5．函数()3 3f x x x =-在区间(2,)m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．(]1,3- C ．(1,3⎤-⎦ D ．(]1,2- 6．函数()y f x =的图象如图所示，()f x '是函数()f x 的导函数，则下列数值排序正确的是 （ ） A ．()()()()242242f f f f ''<<- B ．()()()()224224f f f f ''<-< C ．()()()()222442f f f f ''<<- D ．()()()()422422f f f f ''-<< 7．下列各式中正确的是（ ） 专题01 导数的概念及其几何意义 A 组 基础巩固 1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ） A ．0x ∆> B ．0x ∆< C ．0x ∆≠ D ．0x ∆= 【答案】 C 【解析】 x ∆可正可负但不能为零。 2． （2021·全国高二课时练习）汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[][][]011223,,,,,t t t t t t 上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为（ ） A ．231v v v =< B ．123v v v <= C ．123v v v << D ．231v v v << 【答案】C 【分析】由平均变化率的几何意义判断． 【详解】由题意得，123,,OA AB BC v k v k v k ===，由题图易知OA AB BC k k k <<， ∴123v v v <<，故选：C. 3．（2021·全国高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ） A ．f ′(x A )＞f ′(x B ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案. 【详解】由导数的几何意义可知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率， 由图象可知f ′(x A )＜f ′(x B )．故选：B 4． （2021·全国高二课时练习）（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示． 给出下列四个结论正确的是（ ） A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； C ．在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D ．在12[,]t t ，23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 【答案】ACD 【分析】 理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】 对于A ，在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A 正确； 对于B ，甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B 错误； 对于C ，根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是 ()() 3232 f t f t t t --，故C 正确； 专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴高考：导数题型归类,分类解题方法举例,如极值点偏移、隐零点运用
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