()0,(+∞--∞a
. （2）432
113)42
(g a x x x x =++有且仅有3个极值点
⇒223(1())ax x x x x x a g x +=+'+=+=0有3个根，则0x =或210x ax ++=，2a <-
方程2
10x ax ++=有两个非零实根，所以2
40,a ∆=->
2a ∴<-或2a >
而当2a <-或2a >时可证函数()y g x =有且仅有3个极值点
其它例题：
1、（最值问题与主元变更法的例子）.已知定义在R 上的函数3
2
()2f x ax ax b =-+）
（0>a 在区间[]2,1-上1
的最大值是5，最小值是－11.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.
解：（Ⅰ）
32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-
令'
()f x =0,得[]1240,2,13
x x ==∉-
因此 (2)5,(1)(2)f a f f -=+∴>-，
即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴.52(2
3
+-=x x x f ）
（Ⅱ）∵x x x f 43)(2
-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ，
令x x xt t g 43)(2
-+=，则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，
为此只需⎩⎨⎧≤≤-0)10)1(（g g ，即⎩⎨⎧≤-≤-0
05322x x x x ，
解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].
2、（根分布与线性规划例子） （1）已知函数3
22()3
f x x ax bx c =
+++ (Ⅰ) 若函数()f x 在1=x 时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30x y +=平行,求)(x f 的解析式；
(Ⅱ) 当()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值时, 设点(2,1)M b a -+所在平面区域为
S, 经过原点的直线L 将S 分为面积比为1:3的两部分, 求直线L 的方程. 解：(Ⅰ).由2
()22f x x ax b '=++, 函数()f x 在1=x 时有极值 ,
∴220a b ++= ∵(0)1f =∴1c =
又∵()f x 在(0,1)处的切线与直线30x y +=平行, ∴(0)3f b '==- 故 12
a = ∴32
21()3132
f x x x x =
+-+……………………. 7分 (Ⅱ) 解法一: 由2
()22f x x ax b '=++及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,2)x ∈取得极小值,
∴(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨
=+⎩ ∴12a y b x =-⎧⎨=+⎩∴20
220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ∆=四边形 ∴ 所求一条直线L 的方程为:0x =
另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将S 分为面积比为1:3的两部分, 设直线L 方程为y kx =,它与AC,BC 分别交于F 、G , 则 0k >, 1S =四边形DEGF
由 220y kx y x =⎧⎨++=⎩
得点F 的横坐标为:221F x k =-+
由 460
y kx y x =⎧⎨
++=⎩ 得点G 的横坐标为:6
41G x k =-+
∴OGE OFD S S S ∆∆=-四边形DEGF 61311222214121
k k =⨯⨯
-⨯+⨯=+即 216250k k +-=
解得: 12k =
或 58k =- (舍去) 故这时直线方程为:1
2
y x = 综上,所求直线方程为:0x =或1
2
y x = .…………….………….12分
(Ⅱ) 解法二: 由2
()22f x x ax b '=++及()f x 在(0,1)x ∈取得极大值且在(1,
2)x ∈取得极小值,
∴(0)0(1)0(2)0f f f '>⎧⎪'<⎨⎪'>⎩ 即 0220480b a b a b >⎧⎪
++<⎨⎪++>⎩
令(,)M x y , 则 2
1
x b y a =-⎧⎨=+⎩
∴12a y b x =-⎧⎨=+⎩∴20
220460
x y x y x +>⎧⎪++<⎨⎪++>⎩
故点M 所在平面区域S 为如图△ABC, 易得(2,
0)A -, (2,1)B --, (2,2)C -, (0,1)D -, 3
(0,)2
E -, 2ABC S ∆=
同时DE 为△ABC 的中位线, 1
3
DEC ABED S S ∆=
四边形∴所求一条直线L 的方程为:0x =
另一种情况由于直线BO 方程为:1
2
y x =
, 设直线BO 与AC 交于H , 由 12
220y x
y x ⎧
=⎪⎨⎪++=⎩
得直线L 与AC 交点为:1(1,)2H -- ∵2ABC S ∆=, 111
2222
DEC S ∆=
⨯⨯=, 11222211122H ABO AOH S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=AB
∴ 所求直线方程为:0x = 或1
2
y x =
3、（根的个数问题）已知函数3
2
f(x)ax bx (c 3a 2b)x d (a 0)=++--+>的图象如图所示。
（Ⅰ）求c d 、的值；
（Ⅱ）若函数f(x)的图象在点(2,f (2))处的切线方程为3x y 110+-=，求函数f ( x )的解析式；
（Ⅲ）若0x 5,=方程f(x)8a =有三个不同的根，求实数a 的取值范围。 解：由题知：2
f (x)3ax 2bx+c-3a-2b '=+
（Ⅰ）由图可知函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 )，且()1f '= 0
得332c 320d a b a b =⎧⎨
++--=⎩⇒⎩⎨
⎧==0
3
c d （Ⅱ）依题意()2f '= – 3 且f ( 2 ) = 5
124323
846435
a b a b a b a b +--=-⎧⎨
+--+=⎩解得a = 1 , b = – 6 所以f ( x ) = x 3 – 6x 2 + 9x + 3
（Ⅲ）依题意f ( x ) = ax 3 + bx 2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a ＞0 )
()x f '= 3ax 2 + 2bx – 3a – 2b 由()5f '= 0⇒b = – 9a ①
若方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当满足f ( 5 )＜8a ＜f ( 1 ) ② 由①②得 – 25a + 3＜8a ＜7a + 3⇒11
1
＜a ＜3 所以当
11
1
＜a ＜3时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。………… 12分 4、（根的个数问题）已知函数32
1()1()3
f x x ax x a R =--+∈
（1）若函数()f x 在12,x x x x ==处取得极值，且122x x -=，求a 的值及()f x 的单调区间； （2）若12a <
，讨论曲线()f x 与215
()(21)(21)26
g x x a x x =-++-≤≤的交点个数．
解：（1）2
()21f'x x ax =-- 12122,1x x a x x ∴+=⋅=-
122x x ∴-===
0a ∴=………………………………………………………………………2分 22()211f x x ax x '=--=-
令()0f x '>得1,1x x <->或
令()0f x '<得11x -<<
∴()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞，单调递减区间为(1,1)-…………5分
（2）由题()()f x g x =得3221151(21)326
x ax x x a x --+=-++ 即32111()20326
x a x ax -+++= 令32111()()2(21)326
x x a x ax x ϕ=-+++-≤≤……………………6分 2()(21)2(2)(1)x x a x a x a x ϕ'∴=-++=--
令()0x ϕ'=得2x a =或1x =……………………………………………7分 12
a < 当2
a ≤-此时，9802
a -->，0a <，有一个交点；…………………………9分 当22a ≥-即11a -<<
时， 22(32)036
a a -+>, ∴当9802a -->即9116
a -<<-时,有一个交点； 当98002a a --≤≤，且即9016a -≤≤时，有两个交点；
当
1
2
a
<<时，
9
80
2
a
--<，有一个交点．………………………13分
综上可知，当
9
16
a<-或
1
2
a
<<时，有一个交点；
当
9
16
a
-≤≤时，有两个交点．…………………………………14分
导数题型总结(12种题型)
导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导
数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1
高中数学导数题型归纳总结
高中数学导数题型归纳总结 高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础。在考试中，导数题型往往是必考的内容。为了帮助同学们更好地复习导数，下面对高中数学导数题型进行归纳总结。 1. 求函数的导数：这是最基本的导数题型，要求根据函数的定义求出其导数。常见的函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 导数的四则运算：利用导数的基本性质，可以进行导数的四则运算。例如，两个函数的和、差、积或商的导数可以通过分别求出函数的导数，然后利用四则运算的性质计算得到。 3. 链式法则：当函数是复合函数时，可以使用链式法则进行求导。链式法则的基本思想是将复合函数分解为内层函数和外层函数，并利用导数的链式法则求出导数。 4. 隐函数求导：当一个函数的表达式中包含未知数的隐式关系时，可以利用隐函数求导的方法求出导数。常见的隐函数求导题型包括求曲线的切线斜率、求极值等。 5. 参数方程求导：当函数由参数表示时，可以通过对参数方程进行
求导，然后用参数方程的导数表达式消去参数，得到函数的导数。 6. 反函数求导：如果函数存在反函数，可以利用反函数求导的方法求出导数。反函数求导的基本思想是将函数的自变量和因变量互换，然后求出反函数的导数。 7. 极限与导数：导数的定义中包含了极限的概念，所以在求导过程中经常需要应用极限的性质。例如，使用极限的性质求出函数导数的极限，或者利用导数的定义证明极限存在等。 除了上述的题型，还有一些常见的应用题型，如最值问题、曲线的凹凸性、切线和法线方程等。这些题型往往需要综合运用导数的概念和性质进行解答。 总之，高中数学导数题型的归纳总结包括基本的导数求法、导数的四则运算、链式法则、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导以及与极限的关系等。通过对这些题型的理解和熟练掌握，可以帮助同学们更好地应对高中数学考试中的导数题目。
(完整版)高考导数题型归纳
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）；
高考数学导数压轴大题7大题型梳理归纳
导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减.
高考数学导数题型归纳
导数题型归纳（一） 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--<在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 230m m ⇒>-< ∵当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题）
高中数学导数大题题型总结
关于数学中导数题型总结 导数是高中数学的一种重要题型，虽然每年的高考考的不是很多，但它是必考题型，也是分值占比最大的题型。导数部分相对简单，大多数学生在接触它的时候是不太适应的，特别是导数求导速度和导数运算题都非常棘手。很多学生在做这类题目的时候只能靠运气或者是其他因素来解决问题，很多学生往往没想清楚为什么要做这个题，认为是简单的导数计算题又不重要。我想对这部分同学做一个详细的总结汇报，希望对你们有所帮助。 一、求导速度 求导速度也就是求的各个节点的距离等于节点的坐标，而每个节点所对应的计算量也就是这个知识点要完成多少道题目，所以这个知识点就是一个考点：最小行程问题。对于求导速度比较快的问题可以利用等式关系求解解题，特别喜欢求导过程中不需要等待或者没有注意到节点的坐标和距离不需要等待，这样不仅能节省时间也能提高解的准确率。对于求导速度慢的问题，可利用参数化问题的方法进行求导，这样就可以大大缩短你计算出结论的时间。另外还有一些特殊复杂的求导运算也是需要注意的，比如导数的实数解和虚数解的计算方法，一定要清楚。实数解一般利用的都是原函数的解析式来计算，而虚数解一般是利用定理方程或者导数方程的求
导来进行求导，所以对于一些没有解出来的题就不要着急了，可以用一些方法进行求导即可完成解题而不需要考虑到解析的思想和方法，比如一些特殊导数中可以利用一些特殊的符号进行计算。 二、导数形式 1、正态分布：求导问题一般以正态分布形式出现，这类题目一般有三种常见的形式：极坐标、双曲对称性、椭圆对称性。根据上述定义，这三种形式是正态分布和坐标对称性求导方法中的两种简单方法，在求导问题中，常以椭圆对称性求导方法为主，这类求导方法一般可以用到积分求导法则、周期律求导法则等。2.直线方程：导数中直线方程的求导过程是求解直线方程的关键，可以直接通过求导公式来求导，比如下面的求导公式：3、等式与不等式：当满足给定的等式中有一条不等式的时候，可以利用等式求导的性质进行求导，比如下面的等式与不等式都可以直接求导来求解：其实很多同学对这类题不是很熟悉和了解，下面我们简单分析一下各种形式分别有哪些优缺点。 三、函数综合 求函数综合的方法很多，求导速度的快慢也是我们在解题中经常碰到的问题，一般来说，我们只要知道函数解析式可以求出函数的一阶导数就可以了。函数综合在高考中占分比例较大，占分比例的70%左右。函数综合首先需要注意的就是导数的定义和判断函数
(完整版)高中数学高考导数题型分析及解题方法
生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 32 ()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数3 31x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线3 4y x x =-在点 ()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4 )(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --= 4．求下列直线的方程： （1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2 x y =过点P(3,5)的切线； 解：（1） 123|y k 23 1)1,1(1x /2/2 3===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ 所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则2 00x y =①又函数的导数为x y 2/=， 所以过 ) ,(00y x A 点的切线的斜率为 /2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有 3 5 2000--= x y x ②，由①②联立方程组得，??????====25 5 110 000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ; 2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分
高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
高考数学题型总结之导数题型分析及解题 方法 高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法 一、考试内容 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数; 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1. 在区间上的最大值是2 2.已知函数处有极大值，则常数c= 6 ; 3.函数有极小值-1 ,极大值3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1.曲线在点处的切线方程是 2.若曲线在P点处的切线平行于直线，则P点的坐标为(1，0) 3.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4.求下列直线的方程： (1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线; 解：(1) 所以切线方程为 (2)显然点P(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函
数的导数为， 所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为(1，1)时，切线斜率为;当切点为(5，25)时，切线斜率为;所以所求的切线有两条，方程分别为 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1.已知函数的切线方程为y=3x+1 (Ⅰ)若函数处有极值，求的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，求函数在[-3，1]上的最大值; (Ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解：(1)由 过的切线方程为： 而过 故 由①②③得a=2，b=-4，c=5 (2) 当 又在[-3，1]上最大值是13。 (3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 依题意在[-2，1]上恒有0，即 ①当; ②当;
导数题型总结
导数题型总结 导数题型总结 导数及其应用题型总结题型一：切线问题 ①求曲线在点（xo，yo）处的切线方程②求过曲线外一点的切线方程 ③求已知斜率的切线方程④切线条数问题例题1：已知函数f（x）=x+x-16，求：（1）曲线y=f（x）在点（2，-6）处的切线方程 （2）过原点的直线L是曲线y=f（x）的切线，求它的方程及切点坐标 （3）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=-(1/4)x+3垂直，求切线方程及切点坐标例题2：已知函数f（x）=ax+2bx+cx在xo处去的极小值-4.使其导数f”(x)>0的x的取值范围为（1,3），求：（1）f(x)的解析式；（2）若过点P （-1，m）的曲线y=f(x)有三条切线，求实数m的取值范围。 题型二：复合函数与导数的运算法则的综合问题例题3：求函数y=xcos （x+x-1）sin（x+x-1）的导数题型三：利用导数研究函数的单调区间①求函数的单调区间（定义域优先法则）②求已知单调性的含参函数的参数的取值范围③证明或判断函数的单调性 例题4：设函数f(x)=x+bx+cx，已知g（x）=f(x)-f”(x)是奇函数，求y=g （x）的单调区间例题5：已知函数f(x)=x3-ax-1， （1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围 （2）是否存在实数a，使f(x)在（-1,1）上单调递减？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由。 例题6：证明函数f(x)=lnx/x2在区间（0,2）上是减函数。题型四：导数与函数图像问题 例1：若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数，则函数y=f(x)在[a,b]上的图象可能是y 题型五：利用导数研究函数的极值和最值 例题7：已知函数f(x)=-x3+ax2+bx在区间（-2,1）上x=-1时取得极小值，x=2/3时取得极 yy3 2323oaoobxoabxbxabxaA．B．C．D．大值。求（1）函数y=f(x)在x=-2时
近三年高考导数题总结
近三年高考导数题主要涵盖了以下几个方面： 1. 导数的计算与求解：这部分题目主要考察了学生对导数计算公式和求解方法的掌握，包括导数的基本运算、复合函数导数、隐函数导数、参数方程导数等。 2. 导数在实际问题中的应用：这部分题目将导数与实际问题相结合，考察了学生运用导数解决实际问题的能力。例如，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。 3. 导数与函数的性质：这部分题目主要考察了学生对函数导数与函数性质之间关系的理解，如导数与函数的单调性、奇偶性、周期性等。 4. 高阶导数与泰勒公式：这部分题目考察了学生对高阶导数和泰勒公式的掌握程度，以及运用泰勒公式进行近似计算的能力。 5. 导数与微分：这部分题目主要考察了学生对导数与微分关系的理解，以及运用微分概念解决实际问题的能力。 以下是对近三年高考导数题的详细总结： 一、导数的计算与求解 1. 基本运算：求导数的基本公式，如常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。 2. 复合函数导数：求复合函数的导数，如f(g(x)) 的导数。 3. 隐函数导数：求隐函数的导数，如y=ax^2+bx+c 的导数。 4. 参数方程导数：求参数方程的导数，如x=t^2，y=t^3 的导数。 二、导数在实际问题中的应用 1. 函数的单调性：利用导数判断函数的单调性，如f(x)=x^3 的单调性。
2. 函数的极值：利用导数求函数的极值点，如f(x)=x^3 在x=0 处的极值。 3. 函数的最值：利用导数求函数的最值，如f(x)=x^3+2x^2-1 的最值。 4. 曲线的切线：求曲线在某点处的切线方程，如y=x^2 在x=1 处的切线方程。 三、导数与函数的性质 1. 导数与函数的单调性：导数正则函数单调递增，导数负则函数单调递减。 2. 导数与函数的奇偶性：导数奇函数关于原点对称，导数偶函数关于y 轴对称。 3. 导数与函数的周期性：导数周期函数的周期性，如f(x)=sin(x) 的周期为2π。 四、高阶导数与泰勒公式 1. 高阶导数的计算：求高阶导数，如f(x)=x^3 的高阶导数。 2. 泰勒公式的应用：利用泰勒公式进行近似计算，如求f(x)=sin(x) 在x=0 处的值。 五、导数与微分 1. 微分的概念：微分与导数的关系，如f'(x) 表示函数f(x) 在x 处的微分。 2. 微分在实际问题中的应用：利用微分概念解决实际问题，如求曲线的长度、曲率等。 通过对近三年高考导数题的总结，我们可以发现高考对导数方面的考察注重基础知识和实际应用能力的结合。学生在备考过程中要加强对导数的基本概念、计算方法和实际应用的理解，提高自己的解题能力。同时，要注意总结归纳各类题型的解题技巧，提高自己的应试水平。
导数研究函数单调性5种题型总结- 高考数学常考题型(新高考专用)
第5讲 导数研究函数单调性5种题型总结 【考点总结】 含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连 续的区间)； （2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒 负，无需单独讨论的部分)； （3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根； （4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)； （5）导数图像定区间； 【题型目录】 题型一：导函数为一次函数型 题型二：导函数为准一次函数型 题型三：导函数为二次可分解因式型 题型四：导函数为二次不可因式分解型 题型五：导函数为准二次函数型 【典型例题】 题型一：导函数为一次函数型 【例1】（2023河南·高三开学考试（文））已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； 【答案】（1）当0a 时，()f x 在()0,∞+上单调递；当0a >时，数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 【分析】（1）对函数求导，讨论0a 和0a >两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）由题知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()22a a x f x x x -'=-= ①当0a ≤时，()0f x '<，此时函数()f x 在()0,∞+上单调递； ②当0a >时，令()0f x '>，得02a x <<；令()0f x '<，得2a x >， 所以函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
【高中数学】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法
【高中数学】高考数学题型总结之导数题型分析及解题方法 高考 数学问题类型总结的衍生问题类型分析与解题方法 一、考试内容 导数的概念、导数的几何意义以及几种常用函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热门话题分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1.间隔中的最大值为2 2.已知函数处有极大值，则常数c=6; 3.函数的最小值为-1，最大值为3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1.曲线在该点的切线方程为 2.若曲线在p点处的切线平行于直线，则p点的坐标为(1，0) 3.如果曲线的一条切线与直线垂直，则方程为 4.求下列直线的方程： （1）曲线在P（-1,1）处的切线；（2）曲线通过点P（3,5）的切线； 解：(1) 所以切线方程是 (2)显然点p(3，5)不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为， 因此，通过点的切线的斜率为，并且切线通过点P（3,5），因此②, 这是从① 和②, 也就是说，当切点为（1,1）时，切线斜率为；当切点为（5,25）时，切线斜率为；有两 条切线，方程是 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值
1.已知函数的切线方程为y=3x+1 (ⅰ)若函数处有极值，求的表达式; （二）在（I）的条件下，求[-3,1]上函数的最大值； (ⅲ)若函数在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围解决方案：（1）通过 过的切线方程为： 然后通过 故 ∵③ 由①②③得a=2，b=-4，c=5 (2) 当 在[-3,1]上，最大值为13。 (3)y=f(x)在[-2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。 根据问题的意思，[-2,1]上总是有0，即 ①当; ② 什么时候 ③当 综上所述，参数B的取值范围为 2.已知三次函数在和时取极值，且. （1）找到函数的表达式； (2)求函数的单调区间和极值; （3）如果间隔上的函数值范围为，则尝试找到应满足的条件解：(1)， 从问题的意义来看，是的，两个
高中数学函数与导数常考题型整理归纳
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 是一个以2为根的二次函数，开口向下，顶点坐标为(1.e)，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所 以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞). 2)由题意可知，f′(x)＝ex(－2x＋a)(x＋2)，所以f(x)在(－∞，－2)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－2，－1)上单调递增. 又因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以a＞0，且f(－1)＜f(1)，即e(2a－1)＜2，解得a＜ln3/2.综上，实数a的取值范围为(0，ln3/2). 导数在不等式中的应用是高考经常考查的热点，主要考察转化思想和函数思想。常见的命题角度包括证明简单的不等式、求参数范围使得不等式恒成立、不等式能否成立等问题。 以函数f(x)=e^(2x)-a ln x为例，(1)讨论f(x)的导函数f'(x) 的零点个数；(2)证明当a>1时，f(x)≥2a+a ln a。 首先，f(x)的定义域为(0.+∞)，f'(x)=2e^(2x)-a/x(x>0)。当 a≤1时，f'(x)始终大于0，没有零点；当a>1时，由于e^(2x)在(0.+∞)上单调递增，-a/x在(0.+∞)上单调递减，所以f'(x)在
(0.+∞)上单调递增。又因为f'(a)>0，所以当b满足a1时，f(x)≥2a+a ln a。 对于变式训练部分，已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R)，(1)当 a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；(2)求f(x)的单调 区间；(3)设g(x)=x^2-2x+2，若对任意x1∈(0.+∞)，均存在 x2∈[1.+∞)使得f(x1)0)，所以f'(1)=3，切点为(1.2)，切线方程为y-2=3(x-1)，即3x-y-1=0. 2)f'(x)=a+1/x(x>0)，当a-1时，f'(x)始终大于0，f(x)单调 递增。
导数各类题型方法总结(绝对经典)
第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1。。已知x f x f x x f x ∆-∆+=→∆) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A 。 41- B 。 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ) A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想"，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步:画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种：分离变量求最值——--—用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（〉0，=0，<0） 第二种:变更主元（即关于某字母的一次函数)—-——-（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上,()0 g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值。
导数的概念及其意义、导数的运算(精讲)2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用） 第14讲 导数的概念及其意义、导数的运算（精讲） 题型目录一览 一、导数的概念和几何性质 1.概念 函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0 x x y =' ． 注：增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有 多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数； 2.几何意义 函数()y f x =在0x x =处的导数0()f x '的几何意义即为函数()y f x =在点00()P x y ，处的切线的斜率． 二、导数的运算 1.求导的基本公式
2.导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （2）函数积的求导法则：[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+； （3）函数商的求导法则：()0g x ≠，则2()()()()() []()() f x f x g x f x g x g x g x ''-= ． 3.复合函数求导数 复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间关系为 x u x y y u '''=： 【常用结论】 1.在点的切线方程 切线方程000()()()y f x f x x x '-=-的计算：函数()y f x =在点00(())A x f x ，处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，抓住关键000() ()y f x k f x =⎧⎨ '= ⎩ ． 2.过点的切线方程 设切点为00()P x y ，，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-， 又因为切线方程过点()A m n ，， 所以000()()n y f x m x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线） 题型一 导数的定义 策略方法 对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.
