高考数学导数问题常见的分类讨论
在高考中导数问题常见的分类讨论
（一）热点透析
由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..
分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。只有这样在解题时才能做到有的放矢。下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。 （二）知识回顾 1． 函数的单调性
在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值
(1)判断f (x 0)是极值的方法
一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，
①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；
②求方程f ′(x )＝0的根；
③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值
(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，
b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；
②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）疑难解释
1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间
上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．
2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．
3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）
1． 若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝________.
答案 3
解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2
＋2x －a
x ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝
1代入得a ＝3.
2． 函数f (x )＝x 3
＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．
答案 [－3，＋∞)
解析 f ′(x )＝3x 2
＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝3x 2
＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2
在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.
3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：
①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；
③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．
其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③
解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；
②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.
4． 设函数g (x )＝x (x 2
－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为
( )
A ．－1
B ．0
C ．－23
9
D.
33
答案 C
解析 g (x )＝x 3
－x ，由g ′(x )＝3x 2
－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－3
3
(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：
x 0
⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，33
3
3 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫33，1 1 g ′(x )
－
0 ＋
g (x )
极小值
所以当x ＝
3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫
3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为
( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接
题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。也就是要讨论导数为零的点是否在定义域内，在定义域内要讨论它给定的区间左、中、右，以确认函数在此区间上的单调性。
例1、已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x
在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，
f (1)＝0.
(1)求a 的取值范围；
(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．
解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2
－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(x )＝[ax 2
＋(a －1)x －a ]e x
，
依题意需对任意x ∈(0,1)，有f ′(x )<0.
当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2
＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a <0， 所以需f ′(1)＝(a －1)e<0，即0 当a ＝1时，对任意x ∈(0,1)有f ′(x )＝(x 2 －1)e x <0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x <0，f (x )符合条件； 当a <0时，因为f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， 所以g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x . (i)当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e. (ii)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x <0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0. (iii)当0 2a >0. ①若1－a 2a ≥1，即0 取得最大值g (1)＝(1－a )e. ②若1－a 2a <1，即13 则当13 当e －1e ＋1 ln 1f x x b x =++，其中0b ≠，求函数()f x 的极值点。 解：由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞，()2' 22211 b x x b f x x x x ++=+=++，()' f x 的分母1x +在定义域 ()1,-+∞上恒为正，方程2220x x b ++=是否有实根，需要对参数b 的取值进行讨论。 当480b ∆=-≤，即12b ≥ 时，方程2 220x x b ++=无实根或只有唯一根12 x =-，所以()2220g x x x b =++≥在()1,-+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，所以函数()f x 在() 1,-+∞上单调递增，从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。 当480b ∆=->，即12 b < 时，方程2 220x x b ++=，即()'0f x =有两个不相等的实根： 12112112,22 b b x x ----+-= =。这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢？又需要对参数b 的取值分情况 作如下讨论： 当0b <时，121121121,122 b b x x ----+-= <-=>-， 所以()()121,,1,x x ∉-+∞∈-+∞。此时，()' f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当0b <时，()f x 有唯一极小值点21122 b x -+-= 。 当1 02 b << 时，121121121,1b b x x ----+-= >-=>-， 所以()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。此时，()' f x 与()f x 随x 的变化情况如下表： 由此表可知：当1 02 b << 时，()f x 有一个极大值点11122b x --=和一个极小值点21122b x -+-=。 综上所述： 当0b <时，()f x 有唯一极小值点112b x -+-= 当1 02 b <<时，()f x 有一个极大值点1122b x ---=和一个极小值点1122b x -+-=； 当1 2 b ≥ 时，()f x 无极值点。 点评：从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。 题型二 需对一元二次方程两根大小为标准分类讨论的问题。由于求单调区间通常要解一元二次不等式，要写出它的解，就必须知道它两根的大小，否则就要对两根大小分类讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例2、设函数（ ），其中．当 时,求函数 的极大值和极小值 解: ， ． 令，解得 或 ． 由于 ，以下分两种情况讨论． （1）若 ，当变化时，的正负如下表： 因此，函数 在 处取得极小值 ，且 ； 函数在处取得极大值，且 ． （2）若，当变化时，的正负如下表： 因此，函数在 处取得极小值 ，且； 函数 在 处取得极大值 ，且． 评析:此题需对方程 两根得 或的大小分类讨论，从而分为当0>a 与0 变式2：已知函数()()22 211 ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。 （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 解：（1）当1a =时，曲线()y f x =在点()() 2,2f 处的切线方程为032256=-+y x ； （2）由于0a ≠，所以()()()()()() 2 2 ' 2222 122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛ ⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++， 由()'0f x =，得121 ,x x a a =- =。这两个实根都在定义域R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。 当0a >时，则12x x <。易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为增函数。故函数()f x 在11x a =- 处取得极小值2 1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 当0a <时，则12x x >。易得()f x 在区间),(a -∞，),1 (+∞- a 内为增函数，在区间)1,(a a -为减函数。故函数 ()f x 在11x a =- 处取得极小值2 1f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。 点评：以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 题型三 对函数c bx ax x f ++=2 )(是否为二次函数进行讨论或需对一元二次方程的判别式进行讨论的问题。 由于许多问题通过求导后转化为二次函数或二次不等式，它们对应的二次方程是否有解，就要对判别式讨论。 例3、（2012年北京高考题）已知函数f （x ）=ax 2+1（a>0）,g(x)=x 3 +bx (1) 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求a 、b 的值； (2) 当a 2 =4b 时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值， 解：（）由()1c ，为公共切点可得： 2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+， ∴23a b =+，又(1)1f a =+，(1)1g b =+， ∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：3 3a b =⎧⎨ =⎩ ． （2）Q 24a b =，∴设3221 ()()()14 h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；Q 0a >，∴26a a -<-， ∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫ -+∞ ⎪⎝⎭ ，上单调递增 ①若12a --≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ③若16a -- ≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭ ． 变式3-1、已知函数1()f x x a = +，2 ()3g x bx x =+. (Ⅰ)若曲线()()()h x f x g x =-在点（1，0）处的切线斜率为0，求a,b 的值； (Ⅱ)当[3,)a ∈+∞，且ab=8时，求函数() ()() g x x f x ϕ= 的单调区间，并讨论函数在区间[-2，-1]上的最小值. 解：(Ⅰ)函数h(x)定义域为{x|x ≠-a}，则2 1 ()()()23()h x f x g x bx x a '''=-=- --+， Q h(x)在点（1，0）处的切线斜率为0， ∴(1)0,(1)0.h h =⎧⎨'=⎩即2 1 30,11230.(1) b a b a ⎧--=⎪+⎪⎨⎪---=+⎪⎩,解得0,2,a b =⎧⎨=-⎩或4,36.a b ⎧ =-⎪ ⎨⎪=-⎩ (Ⅱ)记ϕ(x)= ()() g x f x ，则ϕ(x)=(x+a)(bx 2 +3x)(x ≠-a), Q ab=8，所以8b a = ，∴2 8()()(3)x x a x x a ϕ=++(x ≠-a), ∴2211()(24223)(43)(6)x x ax a x a x a a a ϕ'=++=++,令()0x ϕ'=，得34x a =-，或1 6 x a =-, Q 因为[)3,a ∈+∞，∴所以31 46 a a -<-， ∴故当34x a <-，或16x a >-时，()0x ϕ'>，当31 46 a x a -<<-时，()0x ϕ'<， ∴函数ϕ(x)的单调递增区间为31(,),(,),(,)46a a a a -∞----+∞；单调递减区间为31 (,)46 a a --, Q [3,)a ∈+∞,∴3944a -≤-,1 62 a -≤-， ① 当26 a -≤-，即12a ≥时, Q ϕ(x)在[-2,-1]单调递增, ∴ϕ(x)在该区间的最小值为64 (2)446a a ϕ-=-+-， ② 当216a -<- <-时,即612a <<, Q ϕ(x)在[-2,6a -)单调递减, 在(,1]6 a --单调递增， ∴ϕ(x)在该区间的最小值为()6a ϕ-=2 25108 a -， ③当16 a -≥-时,即36a ≤≤时, Q ϕ(x)在[-2,-1]单调递减, ∴ϕ(x)在该区间的最小值 为8 (1)113a a ϕ-=-+-， 综上所述，当36a ≤≤时，最小值为8113a a -+-；当612a <<时，最小值为2 25108a -； 当12a ≥时，最小值为64 446a a -+-. 变式3-2、已知：函数()x e f x x a =-（其中常数0a <）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及单调区间； （Ⅱ）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()1 2 f x ≤成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{} x x a ≠，()()() ()() 2 2 11 x x x e x a e x a e f x x a x a -+⎡⎤--⋅⎣⎦ '= = --. 由()0f x '>，解得1x a >+.由()0f x '<，解得1x a <+且x a ≠． ∴()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +． （Ⅱ）由题意可知，0a <，且()x e f x x a =-在(],0a 上的最小值小于等于1 2 时，存在实数(],0x a ∈，使得不 等式()1 2 f x ≤ 成立 若10a +<即1a <-时， x (),1a a + a +1 ()1,0a + ()f x ' - 0 + ()f x ↘ 极小值 ↗ ∴()f x 在(],0a 上的最小值为()1 1a f a e ++=．则1 12a e +≤ ，得1 ln 12 a ≤-． 若10a +≥即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为()1 0f a =-． 由11 2 a - ≤得2a ≤-（舍）． 综上所述，1 ln 12 a ≤-． 题型四 “曲线过一点的切线”与“曲线在该点处的切线”两个概念是不同的 例4、求曲线33y x x =-的过点(22)A -，的切线方程． 错解：显然点A 在曲线33y x x =-上，且2()33f x x '=-，(2)9f =-∴． 故所求切线方程为29(2)y x +=--，即9160x y +-=． 错解反思:曲线过点A 的切线与曲线在点A 处的切线不同，前者既包括点A 处的切线，也包括过点A 但切点为另一点的切线．因此，解题时必须理清头绪，弄清题意． 正解：设切点为00()P x y ，，233y x '=-∵， ∴在点P 处的切线方程为2000(33)()y y x x x -=--． 又切线过点A ，3200002(3)(33)(2)x x x x ---=--∴， 整理，得3200340x x -+=，即200(1)(2)0x x +-=．01x =-∴或02x =． ∴当01x =-时，切线方程为2y =-，当02x =时，切线方程为9160x y +-=． 综合题 变式4、已知函数3 2 ()231()f x x ax x =++∈R ． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）求函数()f x 在闭区间[]0,2的最小值. 解：（Ⅰ） 2 ()66f x x ax '=+，因为()f x 在1x =处取得极值，所以(1)0f '=，解得1a =-． （Ⅱ）()6()f x x x a '=+， （1）当0a -=时，2 ()60f x x '=≥，则()f x 在(),-∞+∞上为增函数； （2）当0a -<，即0a >时，由()6(0f x x x a '=+>） 得x a <-或0x >，所以()f x 的单调增区间为(),a -∞-和()0,+∞;由()6()0f x x x a '=+<得0a x -<<，所以()f x 的单调减区间为(),0a -； （3）当0a ->即0a <时，由()6(0f x x x a '=+>）得x a >-或0x <，所以()f x 的单调增区间为(),0-∞和 (),a -+∞；由()6(0f x x x a '=+<） ，得0x a <<-，所以()f x 的 单调减区间为()0,a -. 综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间为(),-∞+∞； 当0a >时，()f x 的单调增区间为(),a -∞-和()0,+∞，()f x 的单调减区间为(),0a -; 当0a <时， ()f x 的单调增区间为(),0-∞和(),a -+∞，()f x 的单调减区间为()0,a -. （Ⅲ）（1）当0a -≤即0a ≥时，由（Ⅱ）可知，()f x 在[]0,2上单调递增，所以()f x 的最小值为(0)1f =； （2）当02a <-<，即20a -<<时，由（Ⅱ）可知，()f x 在[)0,a - 上单调递减，在(],2a -上单调递增，所以()f x 的最小值为3 ()1f a a -=+； （3）当2a -≥即2a ≤-时，由（Ⅱ）可知，()f x 在[]0,2上单调递减，所以()f x 的最小值为(2)1712f a =+. 综上所述，当0a ≥时，()f x 的最小值为(0)1f =； 当20a -<<时，()f x 的最小值为3 ()1f a a -=+； 当2a ≤-时，()f x 的最小值为(2)1712f a =+. 题型五 不等式两边同除一个数或式子，要讨论它的正负的问题。 例5、设函数()(0)kx f x xe k =≠ （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围. 解：（Ⅰ）()()()()' '1,01,00kx f x kx e f f =+==,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）由()()' 10kx f x kx e =+=，得()10x k k =-≠， 若0k >，则当1,x k ⎛ ⎫∈-∞- ⎪⎝ ⎭ 时，()' 0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫ ∈- +∞ ⎪⎝⎭ 时，()'0f x >，函数()f x 单调递增， 若0k <，则当1,x k ⎛ ⎫∈-∞- ⎪⎝ ⎭ 时，()' 0f x >，函数()f x 单调递增， 当1,,x k ⎛⎫ ∈- +∞ ⎪⎝⎭ 时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若0k >，则当且仅当1 1k - ≤-，即1k ≤时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 若0k <，则当且仅当1 1k -≥，即1k ≥-时，函数()f x ()1,1-内单调递增， 综上可知，函数()f x ()1,1-内单调递增时，k 的取值范围是[)(]1,00,1-U . 变式5、已知函数()(1)e x f x ax =+． （I ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当0a >时，求函数()f x 在区间[2,0]-上的最小值． 解：定义域为R ，)1())(1()1()('''++=+++=a ax e e ax e ax x f x x x (Ⅰ)①当0a =时，0)(' >=x e x f ,则()f x 的单调增区间为),(+∞-∞ ②当0a >时，解0)('>x f 得, a a x 1+- >,解0)(' 则()f x 的单调增区间为),1(+∞+- a a ,()f x 的单调减区间为)1 ,(a a +--∞ ③当0x f 得, a a x 1+-<,解0)(' a x 1+->, 则()f x 的单调增区间为)1,(a a +--∞,()f x 的单调减区间为),1 (+∞+-a a (Ⅱ) ①当⎪⎩⎪ ⎨⎧->+->210 a a a 时, 即 当1>a 时, ()f x 在)1,2(a a +--上是减函数,在)0,1(a a +-上是增函数,则 函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为 a a ae a a f 1 )1 (+--=+- ②当⎪⎩⎪ ⎨⎧-≤+->210a a a 时, 即 当10≤ 则函数()f x 在区间[-2,0]上的最小值为2 21)2(e a f -= - 综上: 当1>a 时, ()f x 在区间[-2,0]上最小值为a a ae 1+-- 当10≤ 2 21e a - 反思总结：利用导数求函数最值问题 典例：(14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 提示 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 解 (1)f ′(x )＝1 x －a (x >0)，[1分] ①当a ≤0时，f ′(x )＝1 x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．[3分] ②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1 a ， 当0 x >0； 当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0， 故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎦ ⎥⎤0，1a ， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎭ ⎪⎫1a ，＋∞. [5分] (2)①当1 a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a . [9分] ②当1a ≥2，即0 2 时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分] ③当1<1a <2，即12 2 当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[12分] 综上可知，