导数的综合大题及分类
导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.
题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．
（1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．
(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．
(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．
已知函数f (x )＝x －1
x
，g (x )＝a ln x (a ∈R )．
(1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤0，12，求h (x 1)－h (x 2)
的最小值．
[审题程序]
第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围；
第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值．
[规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1
x
－a ln x ，
其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1
x 2，
令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4.
①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；
②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－4
2
，x 2＝
a ＋a 2－4
2
，
∴F (x )的单调递增区间为
⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，
F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a －a 2－42，
a ＋a 2－42. 综上，当－2≤a ≤2时，F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当a >2时，F (x )的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42和⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋a 2－4
2，＋∞，
F (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫
a －a 2－42，
a ＋a 2－42. (2)对h (x )＝x －1
x
＋a ln x ，x ∈(0，＋∞)
求导得，h ′(x )＝1＋1
x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1
x 2
，
设h ′(x )＝0的两根分别为x 1，x 2，则有x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ， ∴x 2＝1
x 1，从而有a ＝－x 1－1
x 1
.
令H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x
＝x －1x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ln x －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x
－x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ·ln 1x
＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x －1x ln x ＋x －1x ，
H ′(x )＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x 2－1ln x ＝
－x ＋x x
x
2
.
当
x ∈⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤0，12时，H ′(x )<0， ∴H (x )在⎝
⎛⎦
⎥⎥⎤0，12上单调递减，
又
H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫1x 1＝h (x 1)－h (x 2)， ∴[h (x 1)－h (x 2)]min ＝H ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
12＝5ln2－3. [解题反思] 本例(1)中求F (x )的单调区间，需先求出F (x )的定义域，同时在解不等式
F ′(x )>0时需根据方程x 2－ax ＋1＝0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“Δ”的取值
作为分类讨论的依据．在(2)中求出h (x 1)－h (x 2)的最小值，需先求出其解析式．由题可知x 1，x 2是h ′(x )＝0的两根，可得到x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，从而将h (x 1)－h (x 2)只用一个变量x 1导出．从而得到
H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
1x 1，这样将所求问题转化为研究新函数H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 在⎝
⎛⎭⎪⎪⎫0，12上的最值问题，体现转为与化归数学思想．
[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下：
[题型专练]
1．设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当0 ∵f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)，x∈(－1，＋∞)， ∴f′(x)＝2(1＋x)－ 2 1＋x ＝ 2x x＋ x＋1 . 由f′(x)>0，得x>0；由f′(x)<0，得－1 ∴函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．(2)由题意可知g(x)＝(2－a)x－2ln(1＋x)(x>－1)， 则g′(x)＝2－a－ 2 1＋x ＝ －a x－a 1＋x . ∵0 令g ′(x )＝0，得x ＝a 2－a ， ∴函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，a 2－a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 2－a ，＋∞上为增函数． ①当0 2－a <3，即0 2 时，在区间[0,3]上， g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，a 2－a 上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a ，3上为增函数， ∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a 2－a ＝a －2ln 22－a . ②当a 2－a ≥3，即3 2≤a <2时，g (x )在区间[0,3]上为减函数， ∴g (x )min ＝g (3)＝6－3a －2ln4. 综上所述，当0 当3 2 ≤a <2时，g (x )min ＝6－3a －2ln4. 北京卷（19）（本小题13分） 已知函数f （x ）=e x cos x −x . （Ⅰ）求曲线y = f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f （x ）在区间[0，π 2 ]上的最大值和最小值. （19）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-. 当π(0,)2 x ∈时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π[0,]2 上单调递减. 所以对任意π(0,]2 x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π[0,]2 上单调递减. 因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22 f =- . 21.（12分） 已知函数3 ()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2 30()2e f x --<<. 21.解： （1）()f x 的定义域为()0， +∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1 1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x 若a =1，则()1 1- g'x =x .当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1 （2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1 22ln ,则'()2h x x x h x x =--=- 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝ ⎭ 时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭ 时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ 单调递减，在1,+2 ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ 单调递增 又() ()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以()h x 在10,2⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭有唯一零点x 0，在1,+2 ⎡⎫ ∞⎪⎢⎣⎭ 有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时， ()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜ 4 f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()() 110,1,'0e f e --∈≠得 ()() 120＞f x f e e --= 所以()2-20＜＜2e f x - 题型二 利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点 题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． 已知函数f (x )＝(x ＋a )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间； (2)当a <1时，试确定函数g (x )＝f (x －a )－x 2的零点个数，并说明理由． [审题程序] 第一步：利用导数求函数的单调区间； 第二步：简化g (x )＝0，构造新函数； 第三步：求新函数的单调性及最值； 第四步：确定结果． [规范解答] (1)因为f (x )＝(x ＋a )e x ，x ∈R ， 所以f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x . 令f ′(x )＝0，得x ＝－a －1. 当x 变化时，f (x )和f ′(x )的变化情况如下： 故f (2)结论：函数g (x )有且仅有一个零点． 理由如下： 由g (x )＝f (x －a )－x 2＝0，得方程x e x －a ＝x 2， 显然x ＝0为此方程的一个实数解， 所以x ＝0是函数g (x )的一个零点． 当x ≠0时，方程可化简为e x －a ＝x . 设函数F (x )＝e x －a －x ，则F ′(x )＝e x －a －1， 令F ′(x )＝0，得x ＝a . 当x 变化时，F (x )和F ′(x )的变化情况如下： 即F (x )所以F (x )的最小值F (x )min ＝F (a )＝1－a . 因为a <1，所以F (x )min ＝F (a )＝1－a >0， 所以对于任意x ∈R ，F (x )>0， 因此方程e x －a ＝x 无实数解． 所以当x ≠0时，函数g (x )不存在零点． 综上，函数g (x )有且仅有一个零点． 典例3 21.（12分） 已知函数3 ()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2 30()2e f x --<<. 21.解： （1）()f x 的定义域为()0， +∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()1 1=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x 若a =1，则()1 1- g'x =x .当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1 （2）由（1）知()2ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=-- 设()1 22ln ,则'()2h x x x h x x =--=- 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝ ⎭ 时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭ 时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ 单调递减，在1,+2 ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ 单调递增 又() ()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，所以()h x 在10,2⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭有唯一零点x 0，在1,+2 ⎡⎫ ∞⎪⎢⎣⎭ 有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时， ()＜0h x ，当()1,+x ∈∞时，()＞0h x . 因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()000000'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==-- 由()00,1x ∈得()01'＜ 4 f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()() 110,1,'0e f e --∈≠得 ()() 120＞f x f e e --= 所以()2-20＜＜2e f x - [解题反思] 在本例(1)中求f(x)的单调区间的关键是准确求出f′(x)，注意到e x>0即可．(2)中由g(x)＝0得x e x－a＝x2，解此方程易将x约去，从而产生丢解情况．研究e x－a＝x的解转化为研究函数F(x)＝e x－a－x的最值，从而确定F(x)零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握． [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下： [题型专练] 2．(2017·浙江金华期中)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋(c－3a－2b)x＋d的图象如图所示． (1)求c ，d 的值； (2)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0，求函数f (x )的解析式； (3)在(2)的条件下，函数y ＝f (x )与y ＝1 3f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． [解] 函数f (x )的导函数为f ′(x )＝3ax 2 ＋2bx ＋c －3a －2b . (1)由图可知函数f (x )的图象过点(0,3)，且f ′(1)＝0， 得⎩⎨ ⎧ d ＝3，3a ＋2b ＋c －3a －2b ＝0， 解得⎩⎨ ⎧ d ＝3，c ＝0. (2)由(1)得，f (x )＝ax 3 ＋bx 2 －(3a ＋2b )x ＋3， 所以f ′(x )＝3ax 2＋2bx －(3a ＋2b )． 由函数f (x )在x ＝2处的切线方程为3x ＋y －11＝0， 得⎩⎨⎧ f ＝5， f ＝－3， 所以⎩⎨ ⎧ 8a ＋4b －6a －4b ＋3＝5，12a ＋4b －3a －2b ＝－3， 解得⎩⎨ ⎧ a ＝1， b ＝－6， 所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3. (3)由(2)知f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋3，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9. 函数y ＝f (x )与y ＝1 3f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点， 等价于x 3－6x 2＋9x ＋3＝(x 2－4x ＋3)＋5x ＋m 有三个不等实根， 等价于g (x )＝x 3－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个交点． 因为g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝27 －m ，g (4)＝－16－m ， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝6827 －m >0， g ＝－16－m <0时，g (x )图象与x 轴有三个交点，解得－16 ⎛ ⎭⎪⎫－16，6827. 21.（12分） 已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 21.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，(十字相乘法) （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-. 当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增. （2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点. （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1 (ln )1ln f a a a -=-+.（观察特殊值1） ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于1 1ln 0a a -+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，1 1ln 0a a -+<，即(ln )0f a -<. 又4 22(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln(1)n a >-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1). 题型三 利用导数证明不等式 题型概览：证明f (x ) (2017·陕西西安三模)已知函数f (x )＝e x x . (1)求曲线y ＝f (x )在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2，e 22处的切线方程； (2)证明：f (x )>2(x －ln x )． [审题程序] 第一步：求f ′(x )，写出在点P 处的切线方程； 第二步：直接构造g (x )＝f (x )－2(x －ln x )，利用导数证明g (x )min >0. [规范解答] (1)因为f (x )＝e x x ，所以f ′(x )＝e x ·x －e x x 2 ＝e x x － x 2 ，f ′(2)＝e 2 4，又切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，e 22，所 以切线方程为y －e 22＝e 2 4 (x －2)，即e 2x －4y ＝0. (2)证明：设函数g (x )＝f (x )－2(x －ln x )＝e x x －2x ＋2ln x ，x ∈(0，＋∞)， 则g ′(x )＝ e x x － x 2 －2＋2x ＝ x －2x x －x 2 ，x ∈(0，＋∞)． 设h(x)＝e x－2x，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝e x－2，令h′(x)＝0，则x＝ln2. 当x∈(0，ln2)时，h′(x)<0；当x∈(ln2，＋∞)时，h′(x)>0. 所以h(x)min＝h(ln2)＝2－2ln2>0，故h(x)＝e x－2x>0. 令g′(x)＝x－2x x－ x2 ＝0，则x＝1. 当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0. 所以g(x)min＝g(1)＝e－2>0，故g(x)＝f(x)－2(x－ln x)>0，从而有f(x)>2(x－ln x)． [解题反思] 本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数g(x)．求g(x)的最值来完成．在求g(x)的最值过程中，需要探讨g′(x)的正负，而此时g′(x)的式子中有一项e x－2x的符号不易确定，这时可以单独拿出e x－2x这一项，再重新构造新函数h(x)＝e x－2x(x>0)，考虑h(x)的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在(2)中定义域也是易忽视的一个方向．[答题模板] 解决这类问题的答题模板如下： [题型专练] 3．(2017·福建漳州质检)已知函数f (x )＝a e x －b ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫ 1e －1x ＋1. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>0. [解] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a e x －b x ，由题意得f (1)＝1e ，f ′(1)＝1 e －1， 所以⎩⎪⎨⎪ ⎧ a e ＝1 e ， a e － b ＝1 e －1， 解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝1e 2 ， b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝1 e 2·e x －ln x . 因为f ′(x )＝e x －2 －1 x 在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(1)<0，f ′(2)>0， 所以f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(1,2)． 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取极小值，也是最小值． 由f ′(x 0)＝0，得e x 0－2 ＝1 x 0 ，则x 0－2＝－ln x 0. 故f (x )≥f (x 0)＝e x 0－2 －ln x 0＝1x 0＋x 0－2>2 1 x 0 ·x 0－2＝0，所以f (x )>0. 4、【2017高考三卷】21．（12分）已知函数()f x =x ﹣1﹣a ln x ． （1）若()0f x ≥ ，求a 的值； （2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21 111++1+)2 22 n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞. ①若0a ≤，因为11=-+2＜022 f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，所以不满足题意； ②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x -=-= 知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a =1时，()0f x ≥. 故a =1 （2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x -- 令1=1+ 2n x 得1 1 1+＜2 2 n n ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 22111 11 111++1+++1+＜+++=1-＜1222 22 22n n n ln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故21111+1+1+＜222n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ，所以m 的最小值为3. 21．（12分） 已知函数()f x =ln x +ax 2 +(2a +1)x ． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当a ﹤0时，证明3 ()24f x a ≤- -． 【答案】（1）当0≥a 时，)(x f 在),0(+∞单调递增；当0 单调递增，在),21 (+∞-a 单调递减；（2）详见解析 题型四 利用导数研究恒成立问题 题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围． 已知函数f (x )＝12ln x －mx ，g (x )＝x －a x (a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间； (2)若m ＝1 2e 2，对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立，求实数a 的取值范围． [审题程序] 第一步：利用导数判断f (x )的单调性，对m 分类讨论； 第二步：对不等式进行等价转化，将g (x 1)≥f (x 2)转化为g (x )min ≥f (x )max ； 第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值)； 第四步：确定结果． [规范解答] (1)f (x )＝12ln x －mx ，x >0，所以f ′(x )＝1 2x －m ， 当m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当m >0时，由f ′(0)＝0得x ＝1 2m ；由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ f x ， x >0得0 2m ；由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ f x ， x >0得x >1 2m . 综上所述，当m ≤0时，f ′(x )的单调递增区间为(0，＋∞)； 当m >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ 0，12m ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12m ，＋∞. (2)若m ＝12e 2，则f (x )＝12ln x －1 2e 2x . 对∀x 1，x 2∈[2,2e 2]都有g (x 1)≥f (x 2)成立， 等价于对∀x ∈[2,2e 2]都有g (x )min ≥f (x )max ， 由(1)知在[2,2e 2 ]上f (x )的最大值为f (e 2 )＝1 2 ， g ′(x )＝1＋a x 2>0(a >0)，x ∈[2,2e 2]，函数g (x )在[2,2e 2 ]上是增函数，g (x )min ＝g (2)＝2－a 2，由2－a 2≥12 ， 得a ≤3，又a >0，所以a ∈(0,3]，所以实数a 的取值范围为(0,3]． [解题反思] 本例(1)的解答中要注意f (x )的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数f (x )、 g (x )的最值问题．本题中，∀x 1，x 2有g (x 1)≥f (x 2)⇔g (x )min ≥f (x )max .若改为：∃x 1，∀x 2都有g (x 1)≥f (x 2)， 则有g (x )max ≥f (x )max .若改为：∀x 1，∃x 2都有g (x 1)≥g (x 2)，则有g (x )min ≥f (x )min 要仔细体会，转化准确． [答题模板] 解决这类问题的答题模板如下： [题型专练] 4．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，ln x >1e x －2 e x 恒成立． [解] (1)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 则a ≤2ln x ＋x ＋3 x ， 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3 x (x >0)， 则h ′(x )＝ x ＋ x － x 2 ， ①当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减， ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4. 即实数a 的取值范围是(－∞，4]． (2)证明：问题等价于证明x ln x >x e x －2 e (x ∈(0，＋∞))． 又f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1e ＝－1e . 设m (x )＝x e x －2 e (x ∈(0，＋∞))， 则m ′(x )＝1－x e x ， 易知m (x )max ＝m (1)＝－1 e ， 从而对一切x ∈(0，＋∞)，ln x >1e x －2 e x 恒成立． ②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4. 即实数a 的取值范围是(－∞，4]． 导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一 利用导数研究函数的单调性、极值与最值 题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论． （1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值． 已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?? ?? 0，12，求 h (x 1)－h (x 2)的最小 值． [审题程序] 第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值范围； 第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2， 令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4. ①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )的单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4 2 ， 导数题型总结 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5.①知零点个数求参数范围②含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题 7.导函数零点不可求问题 8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略 12.绝对值与导数结合问题 导数专题一导数几何意义 一.知识点睛 导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线 ①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导 数求得函数y ＝f(x)在点x=x 0处的导数f ′(x 0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． ②点（x 0，y 0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x 1，y 1)； (2)根据切点写出切线方程y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1) (3)利用点（x 0，y 0）在切线上求出（x 1，y 1）； (4)把（x 1，y 1）代入切线方程求得切线。 2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f ′(x 0) ②切点在曲线上③切点在切线上 三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式 四．跟踪练习 1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是 2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1 C.2 D.3 3.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2 + x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=2 1e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为 A.1-ln2 B. 2（1-ln2） C.1+ln2 D.2(1+ln2) 7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3 和y=ax 2 + 4 15 x-9都相切，则a 等于 8.抛物线y=x 2 上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. 2 B.8 27 C. 2 2 D. 1 导数大题20种主要题型总结及解题方法导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在某一点处的变化率。掌握导数的计算和应用方法对于解决各种实际问题具有重要意义。下面将对导数的20种主要题型进行总结并给出解题方法。 1.求函数在某点的导数。 对于给定的函数，要求在某一点处的导数，可以使用导数的定义或者基本求导法则。导数的定义是取极限，计算函数在这一点的变化率。基本求导法则包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导法则。 2.求函数的导数表达式。 已知函数表达式，要求其导数表达式。可以使用基本求导法则，并注意链式法则和乘积法则的应用。 3.求高阶导数。 如果已知函数的导数表达式，要求其高阶导数表达式。可以反复应用求导法则，每次对函数求导一次得到导数表达式。 4.求导数的导函数。 导数的导函数是指对导数再进行求导的过程。要求导函数时，可以反复应用求导法则，迭代求取导数的导数。 5.利用导数计算函数极值。 当函数的导数为0或不存在时，可能是函数的极值点。可以利用导数求函数的极值。 6.利用导数判定函数的增减性。 根据函数的导数正负性可以判定函数的增减性。如果导数大于0，则函数在该区间上递增；如果导数小于0，则函数在该区间上递减。 7.利用导数求函数的最大最小值。 当函数在某一区间内递增时，在区间的左端点处取得最小值；当函数在某一区间内递减时，在区间的右端点处取得最小值。要求函数全局最大最小值时，可以使用导数判定。当导数从正数变为负数时，可能是函数取得最大值的点。 8.利用导数求函数的拐点。 如果函数的导数在某一点发生变号，该点可能是函数的拐点。可以使用导数的二阶导数判定。 9.利用导数求函数的弧长。 曲线的弧长可以通过积分求取，而曲线的弧长元素是由导数表示的。通过导数求取弧长元素，并积累求和得到曲线的弧长。 10.利用导数求函数的曲率。 曲率表示曲线弯曲程度的大小，可以通过导数求取。曲率的求取公式是曲线的二阶导数与一阶导数的比值。 11.利用导数求函数的速度和加速度。 在物理学中，速度和加速度是描述物体运动的重要概念。速度是位移随时间的导数，而加速度是速度随时间的导数。可以通过求导的方法求取速度和加速度。 12.利用导数求函数的斜率。 函数在某一点的斜率可以通过导数求取。斜率表示函数在该点的变化率。 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 导数压轴大题7个题型梳理归纳 题型一：含参分类讨论 类型一：主导函数为一次型 例1：已知函数()ln f x ax a x =--，且()0f x ≥.求a 的值 解：()1 ax f x x -'= .当0a ≤时，()0f x '<，即()f x 在()0,+∞上单调递减，所以当01x ∀>时，()()010f x f <=，与()0f x ≥恒成立矛盾. 当0a >时，因为10x a << 时()0f x '<，当1 x a >时()0f x '>，所以()min 1f x f a ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ，又因为()1ln10f a a =--=，所以11a =，解得1a = 类型二：主导函数为二次型 例2: 已知函数()()32 0f x x kx x k =-+<.讨论()f x 在[],k k -上的单调性. 解：()f x 的定义域为R ，()()2 3210f x x kx k '=-+<，其开口向上，对称轴 3k x = ，且过()0,1，故03 k k k <<<-，明显不能分解因式，得2412k ∆=-. （1）当24120k ∆=-≤时，即0k ≤<时，()0f x '≥，所以()f x 在[],k k - 上单调递增； （2）当24120k ∆=->时，即k <令()2 3210f x x kx '=-+=，解得： 12x x == ，因为()()210,010f k k f ''=+>=>，所以两根均在[],0k 上. 因此，结合()f x '图像可得：()f x 在,,33k k k k ⎡⎡⎤ +-⎢⎢ ⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 上单 调递增，在⎢⎥⎣⎦ 上单调递减. 导数大题20种题型讲解 1.多项式函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ax^n的导数。 解答步骤：使用幂函数的导数公式，对函数f(x)进行求导，得到f'(x)=nax^(n-1)。 2.常数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=c的导数。 解答步骤：常数函数的导数始终为零，即f'(x)=0。 3.指数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=e^x的导数。 解答步骤：指数函数e^x的导数仍然是e^x，即f'(x)=e^x。 4.对数函数求导： 题目描述：求函数f(x)=ln(x)的导数。 解答步骤：对数函数ln(x)的导数为1/x，即f'(x)=1/x。 5.三角函数求导： 题目描述：求函数f(x)=sin(x)的导数。 解答步骤：三角函数sin(x)的导数为cos(x)，即f'(x)=cos(x)。 6.反三角函数求导： 题目描述：求函数f(x)=arcsin(x)的导数。 解答步骤：反三角函数的导数可以通过导数公式计算，即f'(x)=1/sqrt(1-x^2)。 7.复合函数求导： 题目描述：求函数f(x)=(2x+1)^3的导数。 解答步骤：使用链式法则，将复合函数拆解成内外两个函数，并分别求导。对于本题，先对内函数u=2x+1求导，然后乘以外函数v=u^3的导数。 8.分段函数求导： 题目描述：求函数f(x)={x^2,x<0;x,x≥0}的导数。 解答步骤：由于该函数在x=0处存在不连续点，需要分别对x<0和x≥0的部分进行求导。对于x<0的部分，求导结果为2x；对于x≥0的部分，求导结果为1。 9.隐函数求导： 题目描述：求函数方程x^2+y^2=25的导数dy/dx。 解答步骤：对方程两边同时求导，并利用隐函数求导法则，最后解出dy/dx的表达式。 10.参数方程求导： 题目描述：已知参数方程x=t^2，y=2t+1，求曲线的切线斜率。 解答步骤：对参数方程中的x和y分别求导，然后计算dy/dx的值，即可得到切线斜率。 11.高阶导数求导： 题目描述：求函数f(x)=x^3的二阶导数。 1 2020年高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 含参数的分类讨论 例1 已知函数3()12f x ax x =-，导函数为()f x '， （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若(1)6,()f f x '=-求函数在[—1，3]上的最大值和最小值。 【答案】略 【解析】（I ）22()3123(4)f x ax ax '=-=-，（下面要解不等式23(4)0ax ->，到了分类讨论的时机，分类标准是零） 当0,()0,()(,)a f x f x '≤<-∞+∞时在单调递减； 当0,,(),()a x f x f x '>时当变化时的变化如下表： 此时，()(,)f x -∞+∞在单调递增， 在(单调递减； （II ）由(1)3126, 2.f a a '=-=-=得 由（I ）知，()(f x -在单调递减,在单调递增。 【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底 【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。 题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数3 21()53 f x x x ax = ++-， 若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围 2 【答案】 【解析】2'()2f x x x a =++,依题意在),1[+∞上恒有0y '≥成立， 方法1： 函数2'()2f x x x a =++，对称轴为1x =-，故在),1[+∞上'()f x 单调递增，故只需0)1('≥f 即可，得 3-≥a ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 方法2： 由022≥++='a x x y ，得x x a 2--2≥，只需2max --2a x x ≥（），易得2max --23x x =-（），因此 3-≥a ， ，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 【易错点】本题容易忽视0)1('≥f 中的等号 【思维点拨】已知函数()f x 在区间(,)a b 可导： 1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在 (,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零； 说明： 1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件 2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则或者()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>； 3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点 1．已知函数()3 2 31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ） A. (),2-∞- B. ()2,2- C. ()2,+∞ D. ()()2,00,2-? 【答案】D 【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得： ()()2 '3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得 1220,x x a == ， 完整版)导数的综合大题及其分类. 导数在高考中是一个经常出现的热点，考题难度比较大，多数情况下作为压轴题出现。命题的主要热点包括利用导数研究函数的单调性、极值、最值，不等式，方程的根以及恒成立问题等。这些题目体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值与最值 这类题目的难点在于分类讨论，包括函数单调性和极值、最值综合问题。 1.单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为 分界点，将函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号。如果不能确定导数等于零的点的相对位置，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论。 2.极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础， 根据函数的单调性确定函数的极值点。 3.最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标 准进行的。在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值。 例题： 已知函数f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)。 x 1.当a≥－2时，求F(x)＝f(x)－g(x)的单调区间； 2.设h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有两个极值点为x1，x2，其中h(x1)＝h(x2)，求a的值。 审题程序] 1.在定义域内，依据F′(x)＝0的情况对F′(x)的符号进行讨论； 2.整合讨论结果，确定单调区间； 3.建立x1、x2及a间的关系及取值范围； 4.通过代换转化为关于x1（或x2）的函数，求出最小值。 规范解答] 1.由题意得F(x)＝x－x/(x2－ax＋1)－alnx，其定义域为(0，＋∞)。则F′(x)＝(x2－ax＋1)－x(2ax－2)/(x2－ax＋1) 2. 导数题型总结 1、分离变量—————用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0，=0,<0) 2、变更主元-—-——已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布 4、判别式法--——-结合图像分析 5、二次函数区间最值求法—--—-(1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)('=x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表; 第三步:由图表可知； 第三种:变更主元（即关于某字母的一次函数）———-—（已知谁的范围就把谁作为主元)。 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =- - （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； (2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数"，求b a -的最大值. 解：由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间［0,3］上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330 g m g m <-<⎧⎧⇒⇒>⎨⎨<--<⎩⎩ 解法二:分离变量法： 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2． 由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==6 23)1(2)0(a a f b f ，得 ⎩⎨⎧=-=23 b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242 >-=∆a a ． 导数经典题型归类（共12类） 导数题型目录 1.导数的几何意义 2.导数四则运算构造新函数 3.利用导数研究函数单调性 4.利用导数研究函数极值和最值 5. 知零点个数求参数范围 含参数讨论零点个数 6.函数极值点偏移问题7.导函数零点不可求问题8.双变量的处理策略 9.不等式恒成立求参数范围 10.不等式证明策略 11.双量词的处理策略12.绝对值与导数结合问题导数专题一导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f （x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。 二.方法点拨： 1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0 (2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)； (2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）； (4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。 2. 求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程： ①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型：(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距 离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习 1. （2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是 2. （2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x，则a= A. 0 3. （2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 4.（2014江西）若曲线y=e-x 上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是 5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，-5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b= 6.（2012新课标全国）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则▕PQ▏的最小值为 B.（1-ln2） +ln2 D.(1+ln2) 7. 若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9都相切，则a等于8. 抛物线y=x2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A. B. C. D. 1 9. 已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 10. 已知函数f（x）=2x3-3x.（1）求f（x）在区间[-2，1]上的最大值； （2） 若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围. 11. 已知函数f（x）=4x-x4，x∈R. (1) 求f（x）的单调区间 (2) 设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证： 导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤： ①确定定义域易错点 ②求导函数)('x f ③对)('x f 进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理. ④)('x f 中x 的最高次系数是否为0,为0时求出单调区间. 例1：x x a x a x f ++-=232 13)(,则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0,讨论参数取某范围的值时,若0)('≥x f ,则)(x f 在定义域内单调 递增；若0)(' ≤x f ,则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2 )(2+=,则)('x f =)0(,12>+x x ax ,显然0≥a 时0)('>x f ,此时)(x f 的单调区间为),0(+∞. ⑥)('x f 最高次系数不为0,且参数取某范围的值时,不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)(' x f =0的根,一般为两个21,x x ,判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义 域内,那么单调区间只有两段. 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区 间,即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2 )(2≠++-= a x x a x a x f ,则x x ax x f )1)(1()('--=,)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论)('x f 在每个子区间内的正负,求得)(x f 的单调区间; 导数大题20种题型 导数是微积分中非常重要的概念，它用于描述函数在某一点处的变化率。在求解导数的过程中，我们会遇到各种不同的题型。下面是导数大题的20种题型。 1. 基本函数的导数：求解常见函数（如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）在给定点处的导数。 2. 复合函数的导数：根据链式法则，求解复合函数在给定点处的导数。 3. 反函数的导数：利用反函数的性质，求解反函数在给定点处的导数。 4. 参数方程的导数：对参数方程中的x和y分别求导，得到x和y 关于另一个参数的导数。 5. 隐函数的导数：根据隐函数的定义，利用全微分的性质，求解隐函数在给定点处的导数。 6. 对数导数：利用对数函数的导数性质，求解函数的对数导数。 7. 高阶导数：求解函数的二阶、三阶或更高阶导数。 8. 反复函数的导数：对反复函数进行多次求导，得到各阶导数。 9. 参数曲线的切线与法线：利用导数的定义，求解参数曲线在给定点处的切线和法线方程。 10. 极限定义的导数：利用导数的极限定义，求解函数在给定点处的导数。 11. 极值问题：利用导数的性质，求解函数的极大值和极小值点。 12. 函数的单调性：根据导数的正负性，判断函数在给定区间上的单调性。 13. 曲线的凹凸性：根据导数的增减性，判断函数在给定区间上的凹凸性。 14. 弧长问题：利用导数的定义，求解曲线弧长。 15. 曲率问题：利用导数的定义，求解曲线在给定点处的曲率。 16. 泰勒展开：利用导数的性质，对函数进行泰勒展开。 17. 函数的积分：利用导数和积分的关系，求解函数的积分。 18. 参数方程的弧长：利用导数的定义，求解参数方程表示的曲线的弧长。 19. 高阶导数的应用：利用高阶导数的性质，求解函数的拐点、极值点等特殊点。 20. 物理问题的应用：利用导数的物理意义，求解物理问题中的速度、加速度等相关概念。 这些题型覆盖了导数的基本概念及其在不同问题中的应用。通过解答这些题型，我们可以更好地理解导数的性质及其在数学和物理中的重要作用。 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 处有极大值，则常数1．已知函数c＝ 6 ； 2在x?2(x?c)y?f(x)?x 题型二：利用导数几何意义求切线方程 2．求下列直线的方程： P(3,5)的切线；过点（ 1）曲线在P(-1,1)处的切线；（2）曲 322xy1?x?y?x? 线题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 的切线方程为3．已知函数y=3x+1 32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1)) f(x)在x??2f(x)的表达式；处有极值，求（Ⅰ）若函数y?f(x)在[－3，1] （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数上的最大值； y?f(x)在区间[－2，（Ⅲ）若函数1]上单调递增，求实数b的取值范围 ．和时取极值，且．已知三次函数4在 32?bx?xc?axf(x)?f(?2)??41x?1x?? y?f(x)的表达式；(1) 求函数 y?f(x)的单调区间和极值；(2) 求函数 f(x)?x(x?a)(x?b)． 5．设函数5x?y?8?0ff(x(x))x?1处取的图象与直线且在相切， 切点横坐标为２，若1（）a,b的值；极值，求实数f(x)总有两个不同的 极值点． a取何实数，函数b=1（2）当时，试证明：不论题型四：利用 导数研究函数的图象 的图象如右图所示，则f（）的导函数，（．如右图：是6fx x）的图 /f(x) 象只 ） D 可能是（． D）（C）（（A）（B）13的图像为?1x?4y?x( A ) ．函数73 y y y y 6 6 6 6 4 4 4 4 2 2 2 2 --x y x x x 2 4 2 4 o o 2 4 o42--23内根的个数为2)在?7?0(02x?6x, ( B ) 8．方程3 2 D、 A、0 B、1 C、题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1232.1b,0??xa?2ax?3a?x??f(x)3 9．设函数)xf(. ）求函数的单调区间、极值（1?a(x)|?1,a?2]|f?x?[a. 时，恒有2）若当，试确定a的取值范围（23）求时都取得极值（在x1＝－1与x＝x310．已知函数f（x）＝＋ax2＋bx＋c x）的单调区间a、b 的值与函数f（的取值范围。）?c2恒成立，求c（?（2）若对x〔－1，2〕，不等式fx 题型六：利用导数研究方程的根31vv3ba22). ,11．已知平面向量=(=(,－1). uuvvvvvvvvyyxxaabb+(t2－3)，⊥=-k+t，，tk1（）若存在不同时为零的实数和，使= k=f(t) ；试求函数关系式. 的解的情况－的方程的结论，讨论关于据(2) (1)tf(t)k=0 题型七：导数与不等式的综合． 精心整理 导数的综合应用题型及解法 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1．已知函数2) ()(2 =-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 题型二：利用导数几何意义求切线方程 (2) 求函数()y f x =的单调区间和极值； 5．设函数()()()f x x x a x b =--． （1）若()f x 的图象与直线580x y --=相切，切点横坐标为２，且()f x 在1x =处取极值，求实数,a b 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a 取何实数，函数()f x 总有两个不同的极值点． 题型四：利用导数研究函数的图象 6．如右图：是f （x ）的导函数， )(/x f 的图象如右图所示，则 f （x ） 的图象只可能是（ D ） （D ） 根（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围. 10．已知函数f （x ）＝x3＋ax2＋bx ＋c 在x ＝－2 3与x ＝1时都取得 极值（1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间 （2）若对x ?〔－1，2〕，不等式f （x ）?c2恒成立，求c 的取值范围。 题型六：利用导数研究方程的根 11．已知平面向量a =(3,－1). b =(21 ,23). （1）若存在不同时为零的实数k 和t ，使x =a +(t2－3)b ，y =-k a +t b ，x ⊥y ， 试求函数关系式38(0120). 12800080y x x x = -+<≤ 已知甲、乙两地相距100千米。 （I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最 导数综合大题 类型一：讨论单调性（含参类型） ◉以“0”临界 1.已知f（x）=lnx+a（1-x），（a∈R）讨论其单调性 2.已知f（x）=ax-x e（a∈R）讨论其单调性 3.已知f（x）=x e-ax-2，求函数f（x）的单调区间 4.已知f（x）=lnx-ax²（a∈R）讨论其单调性 ◉讨论“△”类型 1.已知f（x）=（x-1）²+mlnx（m∈R）讨论其单调性 1mx²-2x+2lnx（m∈R）讨论其单调性 2.已知f（x）= 2 3.已知f（x）=x²-mx+2lnx（m∈R）讨论其单调性 ◉十字相乘类型 1.已知f（x）=x³+ax²-a²x+1（a∈R），求函数f（x）的单调区间 2. 已知f （x ）=），（）（R ∈++m x x 1-m x x 3 1-223，求函数f （x ）的单调区间 3. 已知f （x ）=a ²lnx-x ²+ax （a ∈R ），求函数f （x ）的单调区间 4. 已知f （x ）=lnx 1-a ax -x 2 12 ）（+（a ∈R ） ，求函数f （x ）的单调 区间 5. 已知f （x ）=1-x a -1ax -lnx + （a ∈R ） ，求函数f （x ）的单调区间 6. 已知f （x ）=2 x 1-x a e 2-x ）（）（+（a ∈R ），求函数f （x ）的单调 区间 ◉讨论x 1，x 2大小类型 1. 已知f （x ）=x 1 a ax lnx +++（a ∈R ），求函数f （x ）的单调区间 类型二：求参数取值范围 ◉分参转化成求最值/恒成立处理成最值问题 1. f （x ）=x （x e +1）-a （x e -1）当x ∈（0，+∞）时，f （x ）＞0恒成立，求a 的取值范围。 2.已知函数f （x ）=ax x e -x ²-2x+1（a ∈R ）当x ≥1时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围。 3.已知函数f （x ）=x ²-2x-alnx ，g(x)=ax,若不等式 ） （x g cosx 2sinx ≤+对x ≥0恒成立，求实数a 的取值范围 4.f （x ）=a （x ²-x ）-lnx ，若f （x ）≥0恒成立，求a 的值。 ◉洛必达法则 1.f （x ）=lnx-ax-1，（a ∈R ）若不等式f （x ）＜0对任意x ＞0 恒成立，求实数a 的取值范围。 类型三：零点、根的问题 转化为交点问题 1.f （x ）=（x-1）x e -2 x 2 k ，讨论函数f （x ）的零点个数。 2.已知g （x ）=lnx 2 1 lnx 2a -x 2+在（1，+∞）上没有零点，求m 的取 值范围。 高考数学专题：导数大题专练(含答案) 一、解答题 1．已知函数()ln x f x x = ． (1)求曲线()y f x =在点11,e e f ⎛⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 处的切线方程； (2)设()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，求证：212e x x >． 2．已知函数2()cos sin e f x x x x -=--，[]0,x π∈． (1)求()f x 的最大值； (2)证明：2e sin e e cos 1x x x x x x x -+>+-； (3)若320()2e f x ax -++≥恒成立，求实数a 的取值范围. 3．已知函数e ()(ln )=--+x f x a x x a x （a 为实数）． (1)当1a =-时，求函数()f x 的单调区间； (2)若函数()f x 在（0，1）内存在唯一极值点，求实数a 的取值范围． 4．已知函数1()2ln f x x x x =+-． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 5．已知函数21()ln (R)2 f x x ax x a =--∈ (1)若2a =时，讨论函数()f x 的单调性； (2)设23()()12g x f x x =++，若函数()g x 在1 e e ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ，上有两个零点，求实数a 的取值 范围 6．已知函数()ln f x x x =-，322()436ln 1g x x x x x =---. (1)若()1x f ax ≥+恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若121322 x x <<<，且()()120g x g x +=，试比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由. 7．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上的最大值与最小值. 8．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； (2)当()0f x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣ ⎦ 有解，求实数k 的取值范围；(完整版)导数的综合大题及其分类.
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