《正弦函数、余弦函数的性质(第一课时)》示范教学方案

《5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第一课时）》
教学设计
经历利用函数图象研究函数性质的过程，掌握正弦函数、余弦函数的性质．
教学重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性．
教学难点：周期函数定义的理解．
PPT课件．
资源引用：【知识点解析】周期函数的概念
【知识点解析】最小正周期的概念
【知识点解析】正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
（一）整体感知
引导语：根据研究函数的思路可知，通过定义得到函数的图象之后，接下来应该利用函数的图象研究其性质了．所谓性质，就是研究对象在变化过程中保持不变的特征．从前面的研究中，我们已经看到，三角函数具有“周而复始”的变化规律，这就是三角函数最重要的性质：周期性．
（二）新知探究
1．周期性
问题1：什么叫周期函数？什么叫周期？什么叫最小正周期？如果一个函数是周期函数，那么它满足的代数关系是什么？图象特征是什么？
预设的师生活动：阅读教科书5.4.2节“1．周期性”中的内容．
★资源名称：【知识点解析】周期函数的概念
★使用说明：本资源展现“周期函数的概念”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
★资源名称：【知识点解析】周期函数的认识
★使用说明：本资源展现“周期函数的认识”，加深对周期函数的理解说明，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示讲解．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
预设答案：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数．非零常数T 叫做这个函数f (x )的周期；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期；周期函数的代数关系是f (x +T )=f (x )；周期函数的图象每隔一个周期就会重复出现．
设计意图：了解一般周期函数及相关概念，为下面的研究作铺垫．
追问：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？
预设答案：明确了一个函数的周期，那么我们研究它的图象与性质时，就可以缩小研究范围，只要清楚一个周期内的图象与性质，整体定义内的情况就都清楚了，提高了研究的效率．
设计意图：为前面研究三角函数的图象的方法提供一定的理论支持，又为后面的研究做好铺垫．
问题2：观察单位圆上点的纵坐标这种“周而复始”的变化规律，猜想正弦函数的周期是多少？用代数方法如何解释你的猜想？
预设的师生活动：学生回答，教师启发学生说全．
预设答案：2k π，其中k ∈Z 且k ≠0，或±2π，±4π，……．利用诱导公式一，即sin(2k π+x )=sin x 可以解释猜想的正确性．
追问1：我们知道，sin （3π2-+3π）=sin （3π2-），sin （3π+3π）=sin 3π，sin （3π4+3π）=sin 3π4，…，那么3
π是正弦函数y =sin x 的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2k π（k ∈Z ）是正弦函数的周期？
预设的师生活动：学生自己思考并回答．
预设答案：不是．比如sin （6π+3π）≠sin 6
π．根据诱导公式可知，当x 取正弦函数定义域内的每一个自变量的值时，自变量的值每增加2k π（k ∈Z ）个单位，函数值都用重复出现．
追问2：在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？
预设的师生活动：教师启发学生观察正弦函数图象获得猜想．
预设答案：2π．对于任意的t ∈（0，2π)，都可以找到一个x 0，使得sin(x 0+t )≠sin x 0．因此正弦函数的最小正周期是2π．
★资源名称：【知识点解析】最小正周期的概念
★使用说明：本资源展现“最小正周期的概念”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
教师指出，在后续的学习中，如果不加特别说明，所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期．
追问3：在此基础上，你能说出余弦函数的周期吗？
预设的师生活动：学生观察余弦函数图象并回答结论．
预设答案：2π．
设计意图：直观理解正弦函数的周期性，了解最小正周期．
2．奇偶性
问题3：
（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？
（2）知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
预设的师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题．
预设答案：（1）由诱导公式sin(－x)=－sin x，cos(－x)=cos x，可知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（2）知道一个函数的奇偶性，同样也可以缩小我们研究函数的范围，因为奇、偶函数的图象分别关于原点、y轴对称，所以只需要搞清楚函数在y轴右侧的图象与性质，那么，整个定义域内的图象与性质就都知道了，可以提高我们研究函数的效率．设计意图：引导学生阅读教科书，重视教科书，在直观感知的基础上系统、规范地认知函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性，为后续的研究做好铺垫．
★资源名称： 【知识点解析】正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
★使用说明：本资源展现“正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性”，辅助教师教学，加深学生对于知识的理解和掌握．适合教师课堂小结进行展示．
注：此图片为“知识卡片”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
例1 求下列函数的周期：
（1）y ＝3sin x ，x ∈R ；（2）y ＝cos 2x ，x ∈R ；（3）y ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2
1x ，x ∈R ． 追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？解答完成之后思考，这些函数的周期与解析式中哪些量有关？
预设的师生活动：对于这些问题，学生能够求出周期，但是不清楚如何规范地表达，这是本例的难点所在．教师要基于学生课堂上的生成，给出分析求解的思路和程序，并加以示范，帮助学生理解．
预设答案：
解：（1）∀x ∈R ，有3sin(x +2π)=3sin x ，由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．
（2）令z ＝2x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y =cos z 的周期为2π，即cos(z +2π)＝cos z ， 于是cos(2x +2π)＝cos 2x ，所以cos 2(x +π)＝cos 2x ，x ∈R ．
由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．
（3）令z ＝
6π21-x ，由x ∈R 得z ∈R ，且y =2sin z 的周期为2π，即2sin(z +2π)＝2sin z ， 于是2sin(6π21-x +2π)＝2sin(6π21-x )，所以2sin[21(x +4π)－6
π]＝2sin(6π21-x )，x ∈R ． 由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π．
对于周期问题，求解的步骤如下：
第一步，先用换元法转换：比如对于“（2）y ＝cos 2x ，x ∈R ”，令2x ＝t ，所以y ＝f (x )
＝cos 2x ＝cos t ；
第二步，利用已知的三角函数的周期找关系：由cos （2π+t ）＝cos t ，代入可得：cos （2π+2x ）＝cos 2x ；
第三步，根据定义变形：变形可得：cos 2（π+x ）＝cos 2x ，于是就有f (x +π)＝f (x )； 第四步，确定结论：根据定义可知其周期为π．
周期与自变量的系数有关．仿照上述分析过程可得函数y ＝A sin(ωx +φ)的周期为：T ＝ω2π．一般地，如果函数y ＝f (x )的周期是T ，那么函数y ＝f (ωx )的周期是ω
T ． 设计意图：通过例题深化对周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具体步骤，进而帮助学生理解函数y ＝A sin (ωx +φ)的周期，为后续学习做准备．
（三）布置作业
教科书习题5.4第2，3，15，18题．
（四）目标检测设计
教科书练习第2（1）（3），3题；
预设答案：2．（1）3
8π；（3）π；3．（1）（3）（4）为奇函数，（2）为偶函数． 设计意图：考查学生求对函数周期性、奇偶性的方法的掌握．。