奥赛专题4 三角 平面向量 复数

专题四 三角 平面向量 复数一 能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力 二 问题探讨问题1设向量(cos ,sin )a αα= ,(cos ,sin )b ββ=,求证:sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+.问题2设()f x a b =⋅,其中向量(2cos ,1)a x =,(co s ,2)b x x =,x R ∈(I)若()1f x =-且[,]33x ππ∈-,求x ; (II)若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()2c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象,求实数,m n 的值.问题3(1)当4x π≤,函数2()cos sin f x x x =+的最大值是 ,最小值是 .(2)函数32cos sin cos y x x x =+-的最大值是 .(3)当函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++取得最小值时,x 的集合是 . (4)函数sin (0)co s 1x y x x π=<<+的值域是 .问题4已知A B C ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,且4,5a b c =+=,tan tan A B +=tan tan )A B -,求角A.三 习题探讨 选择题1在复平面内,复数122ω=-+对应的向量为O A ,复数2ω对应的向量为O B, 那么向量A B对应的复数是A,1 B,1- D,2已知α是第二象限角,其终边上一点P(x ),且co s 4x α=,则sin α=44C,4D,4-3函数2sin (3)4y x π=-图象的两条相邻对称轴之间的距离是A,3π B,23π C,π D,43π4已知向量(2,0)O B = ,向量(2,2)O C = ,向量,)C A αα=,则向量O A 与向量O B的夹角的取值范围是A,[0,]4π B,5[,]412ππ C,5[,]122ππ D,5[,]1212ππ5已知(,2)a λ=,(3,5)b =-,且a 与b 的夹角为钝角,则λ的取值范围是 A,103λ>B,103λ≥C,103λ<D,103λ≤6若x 是三角形的最小内角,则函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域是A,[1,)-+∞ B,[- C, D,1]2填空题7已知sin sin 1αβ⋅=,则cos()αβ+= .8复数13z i =+,21z i =-,则12z z z =⋅在复平面内的对应点位于第 象限. 9若tan 2α=,则224sin 3sin cos 5cos αααα--= .10与向量1)a =-和b =的夹角相等,的向量c = . 11在复数集C 内,方程22(5)60x i x --+=的解为 . 解答题 12若[,]1212ππθ∈-,求函数co s()sin 24y πθθ=++的最小值,并求相应的θ的值.13设函数11()22x x f x ---=-,x R ∈,若当02πθ≤≤时,2(co s 2sin )f m θθ++(22)0f m --<恒成立,求实数m 的取值范围14设5arg 4z π=,且22z R z-∈,复数ω满足1ω=,求z ω-的最大值与最小值勤.15已知向量33(co s ,sin )22a x x = ,(co s ,sin )22x x b =- ,且[0,]2x π∈(I)求a b ⋅ 及a b + ; (II)求函数()4f x a b a b =⋅-+ 的最小值.16设平面向量1)a =- ,1(,22b = .若存在实数(0)m m ≠和角((,))22ππθθ∈-,使向量2(tan 3)c a b =+- ,tan d m a b θ=-+,且c d ⊥ .(I)求函数()m f θ=的关系式; (II)令tan t θ=,求函数()m g t =的极值.参考答案:问题1证明:由cos cos sin sin a b αβαβ⋅=+,且co s()co s()a b a b αβαβ⋅=⋅-=-得cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ ① 在①中以2πα-代换α得co s[()]2παβ-+=co s()co s sin ()sin 22ππαβαβ-+-.即sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+.温馨提示:向量是一种很好用的工具.运用好它,可简捷地解决一些三角,平几,立几,解几等问题.问题2解:(I)可得2()2co s 212sin (2)6f x x x x π=+=++由12sin (2)6x π++=1得sin (2)62x π+=-又33x ππ-≤≤,得52266x πππ-≤+≤,有26x π+=3π-,解得4x π=-.(II)函数2sin 2y x =的图象按向量(,)c m n =平移后得到函数2sin 2()y n x m -=-, 即()y f x =的图象.也就是1y -=2sin 2()12x π+的图象.而2m π<,有12m π=-,1n =.问题3解:(1)22151sin sin (sin )24y x x x =-+=--+而4x π≤,有sin 22x -≤≤,当1sin 2x =,即6x π=时,m ax 54y =;当sin 2x =-,即4x π=-时,m in 322y =-.(2)32cos (1cos )cos y x x x =+--,令cos t x =,则11t -≤≤,有321y t t t =--+,得'2321y t t =--令'0y =,有11t =,213t =-①当113t -≤<-时,'0y >,y 为增函数;②当113t -<<时,'0y <,y 为减函数.32111()()()1333y =-----+极大=3227,而y =x=111110--+=,于是y 的最大值是3227.(3) 22co s 1sin 2sin 2co s 22(2)24y x x x x x π=++=++=++当2242x k πππ+=-,即38x k ππ=-时,m in 2y =-(4)可得cos 2sin y x y x +=,有sin cos 2x y x y -=)2x y ψ+=,有sin ()1x ψ+=≤,得33y -≤≤又0y >,于是有y的值域是3.问题4解:由已知得tan tan 1tan tan A B A B+=-⋅即tan()A B +=又000180A B <+<得0120A B +=,060C =.又4,5,a b c =+=得5,b c =-由余弦定理2216(5)8(5)60c c c cos =+---.得72c =,32b =.由正弦定理得742sin sin 60A=,有sin 7A =. 又a c b >>,得A 为最大角.又01sin sin 30142B =<=,有030B <,于是090B C +<.所以得7A a rcπ=-.习题:1得2122i ω=--,11()()2222A B O B O A i =-=----+= ,选D.2 O P =又co s 4x x α==,得x =舍去),有co s 4α=-sin 4α==,选A.3它的对称轴为:342x k πππ-=+,即34k x ππ=+,有(1)[]()34343k k πππππ++-+=,选A.4(数形结合)由s )C A αα=,知点A 在以C (2,2)为圆心(如图),过原点O 作圆C 的切线'O A ,'A 为切点,由O C ='A C =知'6A O C π∠=,有'4612A OB πππ∠=-=,过点O 作另一切线''O A ,''A 为切点,则''54612A O B πππ∠=+=,选D.5由310a b λ⋅=-+ ,a b ⋅=设a 与b的夹角为θ,则0090180θ<<,有1cos 0θ-<<,即31010-+-<<,得225603203100λλλ⎧+->⎨-+<⎩,有103λ>,选A.6由03x π<≤,令sin co s (),4t x x x π=+=+而74412x πππ<+≤,得1t <≤又212sin cos t x x =+,得21sin co s 2t x x -=,得2211(1)122t y t t -=+=+-,有2111022y -+<≤=,选D.7显然sin 0α≠且sin 0β≠,有1sin sin αβ=,当0sin 1β<≤时,11sin β≥,有sin 1α≥,于是sin 1α=,得sin 1β=,则cos cos 0αβ==得到c o s ()c o s c o s s i n αβαβαβ+=-=-,当1sin 0β-≤<时,同理可得cos()1αβ+=-.8 12(3)(1)24z z z i i i =⋅=++=+,它对应的点位于第一象限.9由tan 2α=,得sin 2cos αα=,有22sin 4cos αα=,即221cos 4cos αα-=. 则21co s 5α=,原式=222216cos 6cos 5cos 5cos 1αααα--==.10设(,)c x y =,则1)(,)a c x y y ⋅=-⋅=-,(1,(,)b c x y x ⋅=⋅=+.设c 与a ,b 的夹角分别为,αβ,则co s a c a cα⋅==⋅,co s b c b cβ⋅==⋅由αβ=,y -=x +①;由c,得222x y +=.②由①,②得, 11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22122x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩于是11,)22c -=或11(,)22+--11设x a bi =+,,a b R ∈,代入原方程整理得22(2256)(45)0a b a b ab a b i --+-++-=有2222560450a b a b a b a b ⎧--+-=⎨+-=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩或3232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以1x i =+或3322x i =-.12解:co s()sin 2co s()co s(2)442y πππθθθθ=++=+-+22c o s ()c o s ()144ππθθ=-++++ 令co s()4t πθ=+,得2219212()48y t t t =-++=--+由1212ππθ-≤≤,得643πππθ≤+≤,有1co s()242πθ≤+≤,122t ≤≤于是当2t =,即co s()42πθ+=,得12πθ=-时,m in 122y =-.13解:由1()1()22()x x f x f x ------=-=-,知()f x 是奇函数,而'11'11()2ln 22ln 2(1)2ln 22ln 20x x x x f x x ------=---=+>得()f x 在R 上为增函数,则有2cos 2sin 22m m θθ+<+,令sin t θ=有22(21)0t m t m -++>,[0,1]t ∈恒成立.①将①转化为:22(1)(1)m t t ->-+,[0,1]t ∈ (1)当1t =时,m R ∈;(2)当01t ≤<时,22()2[(1)]1m h t t t>=--+-,由函数2()g x x x=+在(0,1]上递减,知当0t =时,m in ()1h t =-,于是得12m >-.综(1),(2)所述,知12m >-.14解:设(,)z a bi a b R =+∈,由5arg 4z π=得0b a =<,得222222(1)2(1)(1)(1)z a i a a iz a i a----++-==+由22z R z-∈,得210a -=,从而1z i =--,设,z ω在复平面上的对应点分别为,W Z ,由条件知W 为复平面单位圆上的点,z ω-的几何意义为单位圆上的点W 到点Z 的距离,所以z ω-的最小值为1O Z O A -=;最大值为1O Z O A +=+.15解(I)33co s co s sin (sin co s 22222x xa b x x x ⋅=+-= ,33(co s co s ,sin sin )2222x xa b x x +=+- ,得2co s a b x +== 2cos 2x =([0,]2x π∈).(II)22()cos 28cos 2cos 8cos 12(cos 2)9f x x x x x x =-=--=-- 当且仅当cos 1x =时,m in ()7f x =-.16解:(I)由c d ⊥ ,11022a b ⋅== ,得2[(tan 3)][tan ]c d a b m a b θθ⋅=+-⋅-+=223(tan 3tan )0m a b θθ-+-= ,即223(tan 3tan )m a b θθ=-,得31(tan 3tan )(422m ππθθθ=--<<.(II)由tan t θ=,得31()(3),4m g t t t t R ==-∈求导得''23()(1)4m g t t ==-,令'()0g t =,得11t =-,21t =当(,1)t ∈-∞-,'()0g t >,()g t 为增函数;当(1,1)t ∈-时,'()0g t <,()g t 为减函数; 当(1,)t ∈+∞时,'()0g t >,()g t 为增函数. 所以当1t =-,即4πθ=-时,()m g t =有极大值12;当1t =,即4πθ=时,()m g t =有极小值12-.。