第3部分(权协因数传播律真误差算中误差)

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第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
三、常用定权的方法 常用定权的 权的方法
2.同精度观测值的算术平均值的权
L 设有 L1，L2， ，Ln
它们分别是
N 1，N 2， ，N n次同精度观测值的平均值， L
2 i
若每次观测的方差均为 σ 2 ， 则 Li 的方差为： σ = 取： 则算术平均值 Li
线性化：
∂F1 ∂X 1 ∂F2 F = ∂X 1 LL ∂F r ∂X 1
dX 2 ∂F2 L ∂X 2 LL LL ∂Fr L ∂X 2 ∂F1 ∂X n ∂F2 ∂X n LL ∂Fr ∂X n
个元素也不再有权的意 义了。但是，相关观测 值向量的权阵 PXX 在平差 计算中，也能同样起到 同独立观测值向量的权 阵一样的作用。
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
二、协因数传播律 设有观测值向量 X 和 Y 的线性函数
Y = FX + F0 Z = KX + K 0
X i i = 1,2, L , ，其方差为σ i （ n）
2
PXX 称为 X 的权阵。
当Q XX 是对角阵时，权阵
2 PXX 的主对角线元素就是 ，权为 p i ，单位权方差为 σ 0 。 0 P1 0 L X i 的权； 0
D XX
n ,n
σ 12 0 L 2 0 σ2 L 0 = L L L L 2 0 0 σn 0
σ σ = 0 L 0
0
σ 22 σ 02
L 0
0 L 0 L L σ n2 0 σ 02 L
=
1 p 1 0 L L
0 1 L 0 p2 L L L 1 L L pn 0 L
T
称 Q XX 为X的协因数阵， X
QYY 为Y的协因数阵，
Q XY为X关于Y的互协因数阵。
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
3.权阵 设有独立观测值
X1 X X = 2 n ,1 M X n
σ 02 2 同类观测值： 权是无量纲，无单位； 由pi = 2 ，知σ i2 = σ 0 pi σi 不同类观测值：权是有单位的。例如：
边角网中：设测角中误差单位为“秒”；测边中误差单位为“mm” 若 σ 0 单位取秒，则角度的权无单位，边长的权的单位为： 若 σ 0 2012-4-25 单位取mm，则边长的权无单位，角度的权的单位：
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
2.协因数阵 设有观测值向量X和Y， 它们的方差阵分别为 D XX 和 DYY ，
n,n
X 关于 Y
令： Q
=
r ,r
n,r
协因数阵 Q XX 中的主对角线元素 就是各个 X i 的权倒数，它的非主 对角线元素是 X i 关于 X j 的相 关权倒数；
σ2
Ni
σ 02 =
的权 p i
σ2
C
2 σ 0 Ni 为： pi = σ 2 = C i
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第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
三、常用定权的方法 常用定权的 权的方法
3.距离观测值的权 设单位长度（例如一公里）的距离观测值的方差为 σ 2，则全长为S公里的距 2 σ S = σ 2S 离观测值的方差为 取长度为C公里的距离观测值方差为单位权方差，即： 则距离观测值的权为：
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第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
观测高差： h1、h2、h3、h4 平差计算之前，精度的绝对数字特征 （方差）往往是不知道的，而精度的相 水准路线长度：S1 = 1.0km S 2 = 2.0km 对的数字特征（权）却可以根据事先给 S 4 = 8.0km 定的条件予以确定，然后根据平差的结 S 3 = 4.0km 2 果估算出表示精度的绝对的数字特征 设每公里观测值高差的方差为 σ 公里 （方差）。 各水准路线的方差为：
σ 02QYY = Fσ 02Q XX F T = σ 02 FQ XX F T σ QZZ
2 0
σ 02QYZ σ 02QZY
= Kσ QXX K = σ KQXX K 2 2 = Fσ 0 Q XX K T = σ 0 FQ XX K T 2 2 = Kσ 0 QX X F T = σ 0 KQX X F T
σ 公里C C pS = 2 = σ 公里 Si Si
i
（2）设每一测站观测高差的精度相同，其方差均为σ 站；第i条水准线路的观测高 差为 hi ，测站数为 N i ,则第i条水准线路（观测高差）的方差为： 2 σ i2 = σ 站 N i 2 σ 02 = σ 站C 2 取测站数为C的高差观测值为单位权方差： σ 站C C pi = 2 = 则第i条水准线路（观测高差）的权为： σ 站Ni Ni
∂f1 ∂X 1 ∂f 2 K = ∂X 1 LL ∂f t ∂X 1
∂f1 L ∂X 2 ∂f 2 L ∂X 2 LL LL ∂f t L ∂X 2
2
2．一组观测值的权，其大小是随σ 0 的不同而异，但不论 σ 0 选用何值，权之间 的比例关系始终不变。
2 2
的 σ 0 值。
2
3．为了使权能起到比较精度高低的作用，在同一问题中只能选定一个 σ 则就破坏了权之间的比例关系。 4．事先给出一定的条件，就可以确定出观测值的权的数值。
2 0值，否
5．权是用来比较各观测值相互之间精度高低的，权的意义不在于它们本身数值 的大小，重要的是它们之间所存在的比例关系。 下面通过一个例子来了解这些性质：
σ 02 = C
σ 02 C pS = 2 = σS S
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第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
特别强调： 特别强调：
在测量工作中，一般是先根据事先给定的条件，按上述方法确定观测值权，然后 进行平差，再根据权的定义式的变形公式，来求观测值或其他函数的中误差。 权的变形公式：
σ 02 2 由pi = 2 ，知σ i2 = σ 0 / pi σi
该公式不仅适合于观测值，同时也适合于观测值的函数。
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
一、协因数与协因数阵
1.协因数 设有观测值 Li 和 L j ， 它们的权分别为 pi 和 p j ， 它们的方差分别为 σ i2 和 σ 2j ， 它们之间的协方差为 σ ij 单位权方差为 令： ，
第一章 观测误差及其传播
§1-5 权与定权的常用方法
一、权的定义 1.权的定义式 表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。
2， 设有观测值 Li (i = 1， L，n ) ，它们的方差为 σ i2 ，选定任一常 数 σ 0 ，定义观测值 Li 的权为：
2 σ0 pi = 2 σi
(i = 1，L，n ) 2，
2 1 2 0
PXX
n,n
0 P L 0 2 = 当Q XX 是非对角阵时，权 L L L L 阵 的 主 对 角 线 元 素 不 再 0 X 的权了，权阵的各 0 L Pn 是
i
X的协因数阵为：
Q XX = 1
则有：
σ
2 0
D XX
− PXX =Q XX1 PXX Q XX = I
p4 = 0.125
p2 = 4.00,
p3 = 2.00,
p4 = 1.00
权之间的比例关系： 权之间的比例关系：
σ 02 σ 02 σ 02 1 1 1 p1：p2： ：pn = 2 ： 2 ： ： 2 = 2 ： 2 ： ： 2 L L L σ1 σ 2 σ n σ1 σ 2 σn
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顾及协方差阵与协因数阵的关系 2 D = σ0Q
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第一章 观测误差及其传播
§1-6 协因数与协因数传播律
二、协因数传播律
如果Y和Z的各个分量是X的非线性函数 非线性情况
Y1 F1 ( X 1 , X 2 ,L, X n ) Z1 f1 ( X 1 , X 2 , L, X n ) Y F ( X , X ,L , X ) Z f ( X , X ,L, X ) 2 2 1 2 n n Y = = , Z = 2 = 2 1 2 M LLLLLLL M LLLLLL Yr Fr ( X 1 , X 2 ,L, X n ) Z t f t ( X 1 , X 2 , L, X n )
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称 Qii 为的 Li 协因数或权倒数，
Q jj 为的 L j 协因数或权倒数， Q 为 Li 关于 L j 的协因数或相关权倒数
ij
σ
2 0
。
σ ij 1 σ i2 1 σj Qii = = 2 , Q jj = = 2 , Qij = 2 pi σ 0 pj σ0 σ0
协因数与权成反比，因此，也 可作为衡量精度的相对指标。 当 Qij =0，说明两观测值独立 （不相关）。
的互协方差阵为 D XY
单位权方差为
1
XX n ,n
σ 02
1
2 σ0
Q XY 中的元素就是 X i 关于Yj的相 关权倒数。