苏教版七年级上册数学知识点总结
苏科版七年级上册数学每个单元知识点归纳
苏科版七年级上册数学每个单元知识点归纳（摘选）正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
如：有理数有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
苏教版七年级上册数学[用字母表示数及整式(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习用字母表示数及整式（提高）知识讲解【学习目标】1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系. 【要点梳理】要点一、字母表示数用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a 、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a ．乘法交换律可以用字母表示为：ab ＝ba 要点二、代数式1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，2n ，2)(b a +等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式. 要点诠释：带等号或不等号的式子不是代数式，如33x =，33x >，33x ≠等都不是代数式. 2.列代数式：在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性． 要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值. 要点三、整式 1.单项式（1）单项式的定义：如22xy -，13mn ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如5m就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释：①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：2114x y 写成254x y ． （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释：①多项式的每一项包括它前面的符号．②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：2627x x --是一个三项式．(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释：①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．如:多项式2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4-5x 4-6是六次五项式,按x 的降幂排列为-5x 4+2x 3y 2+21x 2y 4-xy 3-6,在这里只考虑x 的指数,而不考虑其它字母;按y 的升幂排列为-6-5x 4+2x 3y 2-xy 3+21x 2y 4．要点诠释：①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 要点诠释：（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式． 【典型例题】 类型一、字母表示数1．填空：(1)某商场将一种商品A 按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A 的标价为a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．（2）有a 名男生和b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a 名男生和b 名女生一共搬了 块砖（用含a ．b 的代数式表示）．【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 【答案】(1)90%10%1a+；(2)（40a +30b ）【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝-售价进价进价．举一反三：【变式】（2015•自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a 元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ） A ．a ﹣10% B ． a•10% C ． a （1﹣10%） D ． a （1+10%）【答案】C ．类型二、代数式2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费． （1）若某用户10月份用去a 度电，则他应缴多少电费？ （2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？【思路点拨】当a ﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元， 另一部分为0.57×（a-140）元.【答案与解析】 解：（1）当a ≤140时，电费为0.43a 元；当a ＞140时，电费为：0.431400.57(140)(0.5719.6)a a ⨯+⨯-=-元.（2）因为用电量为150度，大于140度，因此把a ＝150代入代数式0.5719.6a -，得 0.5715019.665.9⨯-=（元）. 因此，该缴电费65.9元.【总结升华】根据a 的不同取值，分别对应不同的代数式． 举一反三：【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a 块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b 块，共铺了n 层，共铺石块 块？当a ＝20，b ＝40，n ＝17时，堤坝的这个截面铺石块 块？【答案】12（a ＋b ）n ，510块. 【变式2】代数式12（a ＋b ）n 的意义.【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为a b 、，则()a b n +12表示“这两个数平均数的n 倍.类型三、整式3．（2015•杭州模拟）整式﹣0.3x 2y ，0，，，，﹣2a 2b 3c 中是单项式的个数有（ ） A ．2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个【答案】C ． 【解析】解：整式﹣0.3x 2y ，0，，，，﹣2a 2b 3c 中，单项式有：﹣0.3x 2y ，0，，﹣2a 2b 3c ，共4个．【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案． 举一反三：【整式的概念 例1】【变式】下列代数式：322332111;;;;2;-232a x y ab x x y x y y x+--++π①②③④⑤⑥，其中单项式是_______________，多项式是_______________. 【答案】①②③，④⑥4．已知多项式32312246753m x xy xy y x y ---+--．(1)求多项式各项的系数和次数．(2)如果多项式是七次五项式，求m 的值．【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项26xy -的系数是-6，次数是3；第二项3127m xy --的系数是-7，次数是3m+1；第三项343x y 的系数是43，次数是4；第四项2x y-系数是-l ，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．(2)由多项式是七次五项式，可得3127m x y --的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m ＝2．【总结升华】对于单项式3127m xy --的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识． 举一反三：【整式的概念 ------练习题---3】【变式】多项式()34ba x x xb --+-是关于x 的二次三项式，求a 与b 的差的相反数．【答案】()()4042242 2.a ab b a b -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩∴--=--=-解：由题意得5．（2016•延庆县一模）已知：x 2﹣5x=6，请你求出代数式10x ﹣2x 2+5的值．【思路点拨】先把10x ﹣2x 2+5变形为﹣2（x 2﹣5x ）+5，然后把x 2﹣5x=6整体代入进行计算即可．【答案与解析】解：10x ﹣2x 2+5=﹣2（x 2﹣5x ）+5， ∵x 2﹣5x=6，∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．。
苏教版初一上册知识点整理
例1邮政编码由6个阿拉伯数字组成，它的前两位数表示省（自治区、直辖市），第三位数表示邮区代号，第四位数表示市（县）代号，最后两位数代表邮件投递局（所）代号。请你说出你学校所在地的邮政编码，并说出它的含义。
例2据广东省防总最新统计，2005年6月18日以来暴雨洪水灾害造成54人死亡和直接经济损失23.58亿元，大约有20万人的生活受到影响，而且各地水情、雨情、险情、灾情的威胁依然没有解除，可能要持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少千克救灾粮食？
知识点四：利用数轴处理简单实际问题
【典型例题】
例1已知A、B是数轴上的点。
（1）若点A表示-3，从点A出发，沿数轴移动4个单位长度到达B点，则B点表示的数是。
（2）若将点A向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点A表示的数是0，那么点A原来表示的数是。
例2小明家、学校、书店在同一条笔直的东西走向大街。一天下午，小明从学校（记作O点）出发，向西走30m到了家里（记为A点），拿钱后从家向东走80m来到了书店（记作B点）买书，当他从书店出来向家走了65m时（记为C点）遇到了小红。
（3）0既不是正数，也不是负数。
【典型例题】
例1以下各数中，哪些是正数？哪些是负数？
5.8，46%，-，，0.2，-0.001.
例2有理数-7，10.1，-，80，0中，正数有，整数有，非负数有，正分数有。
知识点二：相反意义的量
基本知识：（1）相反意义的量可以用正数和负数来表示。如上升3m与下降2m可以表示成+3m与-2米；
例2长方形旧羊圈长70米，宽30米，想拆旧羊圈扩大面积，但没有多余的篱笆，怎么围可使面积更大？说说你的方法。
1.2活动思考
知识点一：根据图形寻找规律。
苏教版七年级上册数学知识点总结
七年级数学（上）知识点总结第一章数学与我们同行知识点1 数字与生活生活中我们所遇到的很多数字都蕴含着很多的数学问题，数学已成为人们表达与交流的工具。
例如，身份证号码、学生的学籍号、火车的列次等。
知识点2 图形与生活生活中充满了图形，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识。
知识点3 动手操作动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案。
这类题病根是培养学生的创新能力和实践能力。
动手操作包括折叠、裁剪、拼图等各种活动。
知识点4 找规律这类问题主要是通过一些数字或图形信息，寻求其内在的共同之处，也就是具有规律性的问题。
知识点5 统计知识在进行生产、生活和科学研究时，往往需要收集数据，并把数据加以分类、整理，需要求出数据的平均数，或者制成统计表、统计图，用来反应所了解的情况，这样的工作就是统计。
第二章有理数2.1正数与负数正数：大于零的数，正数前面可以放“+”来表示（通常省略不写）。
正数可分为正整数和正分数。
负数：小于零的数，负数前面放上“－”来表示。
负数可分为负整数和负分数。
注意：0既不是正数，也不是负数。
同时，0属于偶数、整数、非正数、非负数、非正整数、非负整数。
我们把正整数、零和负整数统称为整数，正分数、负分数统称分数。
2.2 有理数与无理数整数和分数统称为有理数。
我们把能够写成分数形式mn(m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。
实际上，有限小数和循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
无限不循环小数叫做无理数。
有理数有理数知识点提示： （1）有理数可按不同标准分类，标准不同，分类也不同。
（2）在分类时，要注意0的地位和意义。
（3）有理数的分类方法有很多，不论采取哪种分类方法，在对有理数分类时，都要做到不重不漏。
（4）习惯上，把正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；把负整数、0统称为非正整数，正有理数、0统称为非负有理数，负有理数、0统称为非正有理数。
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1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2．分式的性质
⑴基本性质： = （m≠0） ⑵符号法则：
⑶繁分式：①定义;②化简方法（两种）
3．整式运算法则（去括号、添括号法则）
4．幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;
⑤ 技巧：
5．乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。
3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）
4．两点间的距离（三个距离：点-点;点-线;线-线）
5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）6．互为余角、互为补角及表示方法
7．角的平分线及其表示8．对顶角及性质
9．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）
⑵追及问题（同时出发）：
若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则
⑶水中航行： ;
1.配料问题：溶质=溶液×浓度2.溶液=溶质+溶剂3．增长率问题：
4．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
5．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。
苏教版七年级数学上册基本知识点
苏教版七年级数学学问点一、有理数1、正数：比0大的数是正数；2、负数：比0小的数是负数；3、0既不是正数也不是负数。
4、有理数包括整数和分数；整数包括正整数、0和负整数；分数包括正分数和负分数。
5、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，它包括三个方面：1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，缺一不行。
2）数轴是一条直线，可以向两边无限延长。
3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定都是依据须要“规定〞的。
6、数轴的画法1）画：画一条程度直线。
2）取：在直线上选取一点为原点，并在原点的下面标上“0〞。
3）定：确定正方向，画上箭头〔向右为正〕。
4）选：依据须要选取适当的长度作为单位长度。
依据须要从原点右向左选取各点。
7、数轴上的点及有理数的关系1）任何一个有理数都可以数轴的一个点来表示。
2）正数可以用原点右边的点表示，负数可以用原点左边的点表示，0用原点表示。
3）数轴上的点右边的点总比左边的点表示的数大(右边为数轴正方向)。
8、最小的正整数是“1〞；最大的负正数是“－1〞；没有最大的正整数，也没有最小的负整数。
9、肯定值的概念1）肯定值的几何意义：一个数a的肯定值就是数轴上表示a的点及原点的间隔，数a的肯定值记作“│a│〞。
2）肯定值的代数意义：一个正数的肯定值是它本身；一个负数的肯定值是它的相反数；0的肯定值是0.也就是说：假如a>0那么│a│=a;假如a< 0那么│a│＝－a;假如a＝0那么│a│＝03) 肯定值的非负性:任何一个有理数的肯定值都不行能是一个负数,即非负数。
│a│≥04〕要求一个数〔或一个代数式〕的肯定值，首先应推断这个数〔或这个代数式的值〕是正数、0，还是负数。
再依据肯定值的意义确定去掉肯定值符号后的形式。
如：是正数，就等于它的本身；是负数，就等于它的相反数。
是0，就等于0。
5〕0是肯定值最小的有理数；肯定值等于同一正数的有理数有两个，它们互为相反数。
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苏教版七年级数学上册知识点总结第一章有理数1.1 正数和负数⒈正数和负数的概念负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。
（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃3.0表示的意义⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。
（3）0表示一个确切的量。
如：0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则0米就表示海平面。
1.2 有理数1.有理数的概念⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）⑵正分数和负分数统称为分数⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。
②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
3，整数也能化成分数，也是有理数注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。
2.有理数的分类⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分正整数正整数整数0 正有理数负整数正分数有理数有理数0（0不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）②负整数、0统称为非正整数③正有理数、0统称为非负有理数④负有理数、0统称为非正有理数3.数轴⒈数轴的概念规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
苏教版七年级上册数学[角(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念及表示1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. （2）性质：对顶角相等．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．类型二、角度制的换算2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)130300.560'⎛⎫'''=⨯=⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈°所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41°【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.类型三、角的比较与运算3.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：如图，(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．4. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB＋∠BON=12∠AOB＋12∠BOC=12(∠AOB＋∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角、补角、对顶角5.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案与解析】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：这个角的度数是40°．【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A． B．C．D．【答案】C．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．类型五、方位角及钟表上有关角问题6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如下图，设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°．【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．。
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七年级数学（上）知识点总结第一章数学与我们同行知识点1 数字与生活生活中我们所遇到的很多数字都蕴含着很多的数学问题，数学已成为人们表达与交流的工具。
例如，身份证号码、学生的学籍号、火车的列次等。
知识点2 图形与生活生活中充满了图形，多姿多彩的图形不仅美化了我们的生活，还包含着丰富的信息和数学知识。
知识点3 动手操作动手操作主要是让学生在实际操作的基础上设计相关的图形及制作相关图案。
这类题病根是培养学生的创新能力和实践能力。
动手操作包括折叠、裁剪、拼图等各种活动。
知识点4 找规律这类问题主要是通过一些数字或图形信息，寻求其内在的共同之处，也就是具有规律性的问题。
知识点5 统计知识在进行生产、生活和科学研究时，往往需要收集数据，并把数据加以分类、整理，需要求出数据的平均数，或者制成统计表、统计图，用来反应所了解的情况，这样的工作就是统计。
第二章有理数2.1正数与负数正数：大于零的数，正数前面可以放“+”来表示（通常省略不写）。
正数可分为正整数和正分数。
负数：小于零的数，负数前面放上“－”来表示。
负数可分为负整数和负分数。
注意：0既不是正数，也不是负数。
同时，0属于偶数、整数、非正数、非负数、非正整数、非负整数。
我们把正整数、零和负整数统称为整数，正分数、负分数统称分数。
2.2 有理数与无理数整数和分数统称为有理数。
我们把能够写成分数形式(m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数。
实际上，有限小数和循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
无限不循环小数叫做无理数。
有理数有理数知识点提示： （1）有理数可按不同标准分类，标准不同，分类也不同。
（2）在分类时，要注意0的地位和意义。
（3）有理数的分类方法有很多，不论采取哪种分类方法，在对有理数分类时，都要做到不重不漏。
（4）习惯上，把正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）；把负整数、0统称为非正整数，正有理数、0统称为非负有理数，负有理数、0统称为非正有理数。
无理数知识点提示（1）只有满足“无限”和“不循环”这两个条件，才是无理数。
（2）圆周率π是无理……（3）无理数与有理数的和差一定是无理数。
（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数一定是无理数。
（5）无理数分为正无理数和负无理数。
注意： （1）容易出错的原因是不按标准分类，即分类标准混乱；（2）易将0忽略，0既不是正数，也不是负数；（3）如有分数线，但它不是分数，是无理数。
2.3数 轴 单位长度：像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。
数轴定义包含三层含义：①数轴是一条可以向端无限延伸的直线；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度；③注意“规定”二字，是说原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小都是根据实际需要来确定。
画数轴时，通常按以下步骤进行；①画一水平直线；②在这条直线上任取点，作为原点；③确定正方向（一般规定向右为正），整 数 分 数 零 负整数 自然数正分数 负分数从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…，从原点向左，依次标上-1，-2，-3，…,同一条数轴上的长度作为单位长度必须统一，不能出现同样的长度表示不同的数量的情况。
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都可以表示一个有理数或无理数。
2.4绝对值与相反数数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。
表示方法a。
符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数。
（0的相反数是0）表示一个数的相反数可以在这个数的前面添加一个“－”号。
数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，其中表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，其中表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边。
总结：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。
正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是它本身。
2.5有理数的加法与减法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
()()根据有理数的加法运算律，在进行有理数的加法运算时，可以交换加数的位置，也可以把其中的几个数先相加。
根据有理数的减法法则，有理数的加减混合去处可以统一为加法运算。
如2+5-8=2+5+(-8)=7+(-8)12.6有理数的乘法与除法像8与、－4与－……..乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数。
提示：（1）由于0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；（2）有理数ɑ（ɑ≠0）倒数是;（3）求一个真分数的倒数，直接写成以这个整数为分线，分子为1的分数即可，如－6的倒数是－ ;（4）求一个真分数的倒数，只要把这个分数的分子与分母颠倒位置即可；求一个带分数的的倒数，要先化成假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，要先把小数化成分数，带分数化成分数，再就倒数；（5）互为倒数的两个数的符号相同，也就是说正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
2.7有理数的乘方一般的，在数学上我们把n 个相同的因数a 相乘的积记做,即n 个aa ×a×…求相同因数的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。
其中，a 叫做底数，n 叫做指数。
读作a 的n 次方。
特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方。
一般地，一个大于10的数可以写成a ×10n 的形式，其中1≤a<10，n 是正整数，这种记数法称为科学计数法。
如1800 000＝1.8×1062.8有理数的混合运算有理数的运算技巧：例1、计算（－5）4解：（－5）4＝（－5）⨯（－5）⨯（－5）⨯（－5）＝625例2、计算－54解：－54＝－（5⨯5⨯5⨯5）＝－625注意不能混淆－54与（－5）4，－54表示54的相反数而（－5）4表示（－5）⨯（－5）⨯（－5）⨯（－5）1、巧妙组合法（巧妙利用加法结合律，灵活“组合”，简化计算）例：计算：1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．-2011.分析：本题可以看成１、-3、-5、+7、+9、-11、-13、+15、+17、．．．、-2011的和，根据加法结合律从前向后四个数一个整体，分别相加，每个数之和均为0.解：1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．-2011＝（1-3-5+7）+（9-11-13+15）+1-3-5+7+9-11-13+15+17-．．．+（2001-2003-2005+2007）+2009-2011＝-22、运用乘法分配率例：计算：（-）3×（-）3-2××（-1）3+（）2×（-）3．分析：根据加、减号将式子分成三部分，由于每一部分中都有（-）3,故考虑逆用乘法分配率.解：原式＝（-）3×[（-）3-2×+（）2]＝-×(×)×0=03、拆分法例：观察下列计算：=1-，=-，=-，＝-，．．．．从计算结果中找规律，利用规律计算++++．．．+＝．解析：原式＝（1-）+（-）+（-）+．．．+（-）＝1-+-+-+．．．+-＝1-＝．答案：第三章代数式从具体到抽象，我们用字母表示数；从特殊到一般，我们用代数式揭示数量之间的关系。
3.1用字母表示数在数学中，经常用字母表示数。
利用字母表示数，能把数和数量关系一般化的、简明的表示出来。
提示：（1）字母与字母相乘，字母与数字相乘时，“×”通常省略不写。
（2）数字与字母相乘时，一般把数字放在字母前边。
（3）同一个问题中，相同的字母只表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示。
（4）用字母表示数时，某些特定的字母表示特定的数，如用π表示圆周率。
3.2代数式用“+”“－”“ ×”“÷”和“乘方”“开方”等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子都是代数式（“＝”“<”“>”“≠”等符号不是运算符号，因此含有这些符号的式子不是代数式）。
单独一个数或一个字母也是代数式。
像102b,2a 2,4d c b a +++,t l 180+,这样的式子都是代数式。
代数式可以简明地描述许多实际问题中的数量关系。
在代数式中，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用“*”表示或省略不写， 并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。
代数式0.55a 、0.35b 、2a 、等都是数与字母的积，象这样的代数式叫做单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
《中学教材全解》摘录：单项式中数与字母或字母与字母之间都是乘积关系，例如：可以看成是x ，所以是单项式；而就不是单项式。
分母中含有字母的式子既不是单项式，也不是多项式。
单项式中的数字因数叫做单项式的系数单项式的次数。
几个单项式的和叫做多项式。
多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式里含几项，就把这个多项式叫做几项式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫常数项。
单项式和多项式统称整式。
《中学教材全解》摘录：代数式、整式、单项式、多项式之间的关系是：代数式包含整式，整式就是单项式与多项式的统称。
3.3代数式的值一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。
用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。
例如：11是代数式5当6时的值。
扩展（可以无视）：代数式分为有理式和无理式（类似于实数分为有理数和无理数），有理式又分为整式和分式，有群中家长提过这样的问题，分母中含有字母是不是整式？如,应该是分式，不是整式。
全解中解释，分母含字母，不是单项式。
再如根号中a 是什么式呢， a 应该是无理式。
《中学教材全解》摘录：求代数式的值时，第一步只代入不计算，要注意书写格式。
在用数代替字母时，遇到分数、负数的乘方要添上括号。
3.4合并同类项多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。
根据乘法分配律，把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
《中学教材全解》摘录：⑴合并同类项必备的条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也分别相同，二者缺一不可，这是判断同类项的依据。
⑵同类项与系数无关，与字母排列顺序也无关。
3.5去括号例：（1）() （2）()分析：第(1)题括号前面是“+”，去括号时，括号里面各项的符号都不改变；第(2)题括号前面是“－”号，去括号时，括号里面的各项的符号都改变。
点拨：去括号法则可以简单地记为“正不变，负全变”，其中正、负是指括号前面的符号。
3.6整式的加减进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。
思考：1、代数式是数学符号组成的语言，是刻画现实世界中数量关系的重要工具。