高考全国卷数学科概率与统计大题试题评析(课堂PPT)

本题考查学生基于统计知识的理解，提升解决现实问题的能力．利用函数 的思想进行解题，想法精妙而解答扼要．结合统计中数学期望与方差的公式， 可求得相应的数值，解决问题；利用二次函数的最值衬托统计的随机现象和解 决问题的过程，体会其中的函数思想．在生活情境中，识别随机现象，懂得随 机现象与随机变量之间的关联，发现并提出统计问题，在交流的过程中，用统 计的大小来描述日常生活中的随机现象．该题主要考查学生的数据分析（水平 1-2）、逻辑推理（水平1）、数学运算（水平1）核心素养．
x2DY2，源自此，当x600 24
75
时， f (x) 3 为最小值．
5
试题评析：本题是以概率与统计中用样本估计总体的知识为基础，考查离散型 随机变量的分布列和期望；是以统计知识为衬托考查二次函数最值的应用，立 意新颖，构思精巧，属于中等题，考查平实．利用数学期望及方差公式，求出 相应的数据，再通过求二次函数的最值方法，解出相应的投资数值，解决问 题．虽然涉及分段函数，但主要考查随机变量的分布列、期望与方差的计算以 及其实际意义的应用，考查学生的函数与方程思想、转化与化归思想，考查学 生的运算能力、逻辑推理能力、抽取应用数据处理能力．本题主要是从收集的 众多数据中利用一定的方式查找相关数据，再运用数据解决给定的实际问题， 是一道水平1-2的数据分析核心素养考查试题．
(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的取值．事
件 A 中包含 9 个基本事件，事件 A 发生的概率为 P( A) 9 3 ．对于问题（Ⅱ）， 12 4
试验的全部结果所构成的区域为(a,b) | 0 a 3,0 b 2，构成事件 A 的区域为
(a,b) | 0 a 3,0 b 2, a b ，所以所求的概率为 P(A)
3 2
1 22 2
2
．
3 2
3
2
试题评析：本题以方程的根为载体，以概率学中古典概型与几何概型的知识为基 础，立意新颖，构思精巧，考查平实．考查古典概型及几何概型的应用，考查一 元二次方程根的简单应用，属于基础题．利用古典概型的概率问题，关键是正确 找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算 公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来， 要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意 去分排列与组合；注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的， 后者是无限的，两者都是等可能性；在几何概型中注意区域是线段，平面图形， 立体图形随机数产生的原理方法，解决问题．主要考查学生的函数与方程思想、 有限与无限思想、转化与化归思想，考查学生的运算能力、抽象能力、抽取运用 数据处理能力．本题主要是直接运用数据解决给定的实际问题，因此此题是一个 水平1的概率学问题． 本题考查学生基于方程的理解，提升解决现实问题的能力．利用一元二次方程的 根的条件、古典概型及几何概型的思想进行解题，想法精妙而解答扼要．利用方 程的实根条件衬托古典概型及几何概型的随机现象和解决问题的过程，体会其中 的随机思想．在交流的过程中，用统计的大小来描述日常生活中的随机现象．该 题主要考查学生的数据分析（水平1）、数学抽象（水平1）、数学运算（水平1） 核心素养．
对于（Ⅱ）中，根据题意可得， f (x) 表示投资 A 项目所得利润的方差与投
资B
项目所得利润的方差的和，含
x
的的解析式
f
(x)
D
x 100
Y1
D
100 100
x
Y2
4 1002
x2
3(100
x)2
4 1002
(4x2
600x
31002 )
x 100
2
DY1
100 100
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题 3-2-3（16 课标Ⅰ•文 19）某公司计划购买 1 台机器，该种机器使用三年 后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为 备件，每个 200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元．现 需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如下面柱状图：
高考全国卷2008-2017数学科概 率与统计大题试题评析
1
试题解析：设事件 A 为“方程 x2 2ax b2 0 有实根”．当 a 0 ， b 0 时， 方程 x2 2ax b2 0 有实根的充要条件为 a b .对于问题（Ⅰ），基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，
3
题 3-2-2（08 课标•理 19）A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2 ，根据市场分析， X1 和 X2 的分布列分别为
（Ⅰ）在 A ，B 两个项目上各投资 100 万元，Y1 和Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所 获得的利润，求方差 DY1 ， DY2 ； （Ⅱ）将 x(0 ≤ x ≤100) 万元投资 A 项目，100 x 万元投资 B 项目， f (x) 表示投 资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和．求 f (x) 的最小值， 并指出 x 为何值时， f (x) 取到最小值．（注： D(aX b) a2DX ）
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试题解析：对于（Ⅰ）中，由题意可知，由于 Y1 和Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润，而 A 和 B 两个投资项目的利润率分别为 X1 和 X2 ，因此可得Y1 和 Y2 的 分 布 列 ， 再 根 据 分 布 列 可 分 别 得 EY1 5 0.8 10 0.2 6 ， DY1 (5 6)2 0.8 (10 6)2 0.2 4 ， EY2 2 0.2 8 0.5 12 0.3 8 ， DY2 (2 8)2 0.2 (8 8)2 0.5 (12 8)2 0.3 12 ．
记 x 表示 1 台机器三年内共需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零