模糊数学---华中农业大学共97页文档
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模糊数学
1 0.8
50 60
90
类似，Y = 年轻，Y : X → [0,1]规定为：
1 x ≤ 25 2 −1 Y ( x) = x − 25 25 < x ≤ 100 1 + 5
随着x增加，Y (x)减小 Y (25) = 1, Y (30) = 0.5 Y (60) = 0.02
hgt ( A)
X
第二节 模糊集运算的推广
A, B ∈ P( X ) A, B ∈ F ( X )
χ A∩ B ( x) = min( χ A ( x), χ B ( x))
( A ∩ B )( x) = min( A( x), B ( x))
χ A∩ B ( x) = χ A ( x) χ B ( x) χ 事实上， A∩ B ( x) = 1 ⇔ x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A且x ∈ B
∀x ∈ X , ( A ∩ ( A ∪ B ))( x) = min( A( x), ( A ∪ B )( x)) = min( A( x), max( A( x), B( x))) = A(x)
再证： A ∪ B )c = Ac ∩ B c ( ∀x ∈ X , ( A ∪ B)c ( x) = 1 − ( A ∪ B )( x) = 1 − A( x) ∨ B( x) = (1 − A( x)) ∧ (1 − B( x)) = Ac ( x) ∧ B c ( x) = ( Ac ∩ B c )( x) 故( A ∪ B)c = Ac ∩ B c
T 规定： 规定： ≤ T ' ⇔ ∀x, y ∈ [0,1], T ( x, y ) ≤ T ' ( x, y ).
则 T0 ≤ TL ≤ Tπ ≤ Tmin
模糊数学课件new-2013
转置矩阵，其中 aijT a ji 。
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn, 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
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1 0.5 0.2 0
定义：设 R (rij )nn是n阶模糊方阵， I 是n阶 单位方阵，若 R满足 （1）自反性： I R； （2）对称性： RT R； 则称 R为模糊相似矩阵。
定理：设 R是n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数k(k n)，使得Rk 为模糊等价矩 阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有Rl Rk .
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
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几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b}
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
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（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成 xij，即
xij
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输入数据：
输出结果（部分）：
A=[1 0.4 0.8 0.5 0.5; 0.4 1 0.4 0.4 0.4; 0.8 0.4 1 0.5 0.5; 0.5 0.4 0.5 1 0.6; 0.5 0.4 0.5 0.6 1]
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn, 对任意的 [0,1],称
A (aij( ) )mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij( )
1, 0,
aij aij
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1 0.5 0.2 0
定义：设 R (rij )nn是n阶模糊方阵， I 是n阶 单位方阵，若 R满足 （1）自反性： I R； （2）对称性： RT R； 则称 R为模糊相似矩阵。
定理：设 R是n阶模糊相似矩阵，则存在一 个最小的自然数k(k n)，使得Rk 为模糊等价矩 阵，且对一切大于k 的自然数l ，恒有Rl Rk .
并： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取大； 交： ( A B)(x) A( x) B( x),x U 表示取小。 余： Ac ( x) 1 A( x),x U
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几个常用的算子： （1）Zadeh算子 (,)
a b max{a,b},a b min{a,b}
在实际问题中，不同的数据一般有不同 的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较， 需要将数据规格化，常用的方法有：
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（1）标准差标准化
对于第i 个变量进行标准化，就是将 xij换成 xij，即
xij
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输入数据：
输出结果（部分）：
A=[1 0.4 0.8 0.5 0.5; 0.4 1 0.4 0.4 0.4; 0.8 0.4 1 0.5 0.5; 0.5 0.4 0.5 1 0.6; 0.5 0.4 0.5 0.6 1]
模糊数学第七章
模糊矩阵方程有解的判断方法法-定理4
将修改系数矩阵中第j列上逐元素与 x j xj 划掉大于 者，得到 比较，
x1
x2 xn X
b1 b2 行简化系数矩阵 bm
得到结论：模糊矩阵方程A。X=B有解的充要条件是简 化系数矩阵的所有行至少有一个非空白元素。
模糊矩阵方程法-例
P169 例1
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
设模糊关系方程X。R=B，其中
X=(x1,x2,…,xn),R=(rij)n×m,B=(b1,b2,…,bm) 对k(k=1,2,…,n),令
xk {b j | rkj b j }
j 1
m
则方程X。R=B有解的充要条件是
一、模糊矩阵方程
称满足模糊关系方程X。R=B的X为模糊关系方程的解.
若方程有解，则称模糊关系方程相容. 若模糊关系方程的某个解X’，对于其他任何一个解X，
均有X 包含于X’，则称X’为模糊关系方程的最大解。
二、模糊矩阵方程一般解法-定理1
（ ） 首先考虑一元一次方程 x a b, 1 a, b [0,1]已知，x [0,1] 未知。 显然，当a b时，方程无解，即 ; x 当a b时，x b是方程的解； 当a b时，x [b,1], 即闭区间 b,1]上任一实数都是方程的 [ 解得集合，即解集。
X R B, 其中X ( x1 , x2 ,..., xn ), 且X为最大解
定理3表明，若模糊矩阵方程有解，则一定有最大解。
三、模糊矩阵方程的表格法-定理3
定理3给出了求最大解的方法，将这种方法用表
格的形式表现出来，如下。 设模糊矩阵方程为A°X=B，其中
模糊数学 第二章
P p1 , p2 ,, pm
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统 具体方法与步骤如下： 设系统有n个样本组成样本集：
X x1 , x2 ,, xn
A 样本 x j 有m个目标就模糊概念“优越性” 对样本进行识别。 ~
设目标对 的相对隶属度矩阵为： A
~
r11 r12 r1n r21 r22 r2 n R rij rm1 rm 2 rmn
~
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
1 r11 1 r12 1 r1n 1 r21 1 r22 1 r2 n W ij 1 rm1 1 rm 2 1 rmn
(2-41)
（“和”中均不包括对角线0.5） 归一化即可得到目标集P的权向量，其中：
以互补性准则为基础的非结构性 决策单元系统
i
2 it
t 1
m
m(m 1)
i 1,2,, m, i t
§2.5 确定目标权重的相对隶属度理论与方法
这是确定目标权重的另一方法。“重要”与“不重要”是一对 相对概念，具有中间过渡性。因此确定目标权重，可以确定目标隶 属于”重要性”这一模糊概念的相对程度，简称目标相对重属度。 在论域P中，理想重要目标I=（1，1…，1）。理想不重要目标 O=（0，0，…，0），作为重要与不重要的相对比较标准。 设P为论域，即m个目标组成的目标集：
i d k i d l , 记标度i ekl 1, i elk 0 i d k i dl , i ekl i elk 0.5 d d i ekl 0, i elk 1 i k i l
模糊数学 (4)
B∈F (U )
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。
模糊数学05
§5.1 关系
z 定义 设U，V是两个非空集合，U ×V 的任 何一个子集 R 称为从 U 到 V 的二元关
系，简称关系。
z 若(u , v )∈R，则称 u 与 v 有关系，记为
z
R (u , v ) = 1；
z 若(u , v )∉R，则称 u 与 v 没有关系，记为
z
R (u , v ) = 0.
设R=(rij)m×n,S=(bij)m×n都是关系矩阵， 相等：R = S ⇔ rij = sij； 包含：R≤S ⇔ rij≤sij； 并：R∪S = (rij∨sij)m×n； 交：R∩S = (rij∧sij)m×n； 余：Rc = (1- rij)m×n.
关系的合成
设 R 是 U 到 V 的关系, S 是 V 到 W 的关系, 则 R 与 S 的合成 RоS 是 U 到 V 上的一个关系.
E
=
⎜⎛1 ⎜M
...
1⎟⎞ M⎟
还原律：(Ac)c = A；
⎜⎝1 ... 1⎟⎠
对偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.
模糊关系与普通关系
模糊关系向普通关系的转化（相应地，模糊矩阵
向布尔矩阵的转化），由λ截集来实现。
定义 设R ∈ F(U×V), ∀ λ ∈[0, 1], R的λ截集 Rλ 是U与V之间的一个普通关系, 称为λ截关系, 它
A 0.3
=
⎜1
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
1 0 1
0 1 1
1⎟ 11 ⎟⎟⎟⎠
模糊关系的合成
z 定义 设U，V，W是三个论域，Q∈F(U×V), R∈ F(V×W), Q与R的合成QоR∈F(U×W), 隶 属函数规定为
模糊数学第二章
(A∩B)∩C=A∩(B∩C); （4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A; （5）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);
模糊集合运算性质
（6）0-1律：A∪Φ＝A, A∩Φ＝Φ;
U∪A=U,U∩A=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc. 互余律不成立！！ 注意 Ac∪A≠ U, A∩Ac ≠ Φ
第二章 模糊子集
本章内容
模糊子集的定义 模糊子集的运算
分解定理扩张定理
模糊性度量
隶属函数的确定
精确数学vs模糊数学
精确数学：基础——经典集合论；一个对象和一个
集合的关系只有两种可能：属于、不属于；
模糊数学：基础——模糊集合论；一个对象和一个
模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度 （隶属度）。
且 (b; a, b) 1 ；当 x b 时单调递增；当 x b 时单调递减。
模糊集合的表示法1－zadeh表示法
论域U是有限集｛x1, x2, …, xn｝,U的任一模糊子集 A，其隶属函数为μi =μA(xi) 模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi 注意 ―∑i=1n μi / xi‖不是分式求和，只是一 符 号而已。
1. 模糊子集的定义
设给定论域U，U到[0, 1]的任一映射μA ：U [0, 1]
都确定U的一个模糊子集A
μA叫做A的隶属函数，
μA(u) （ u∈U ）表示 u隶属于模糊子集A的程度，
称之为u对A的隶属度
模糊集合的例子
设论域U＝[0, 100]表示人的年龄，“年轻Y‖与“年老
模糊数学(讲义)
模糊数学及其应用引言任何新生事物的产生和发展，都要经过一个由弱到强,逐步成长壮大的过程，一种新理论、一种新学科的问世，往往一开始会受到许多人的怀疑甚至否定。
模糊数学自1965年L.A.Zadeh教授开创以来所走过的道路，充分证实了这一点，然而，实践是检验真理的标准，模糊数学在理论和实际应用两方面同时取得的巨大成果，不仅消除了人们的疑虑，而且使模糊数学在科学领域中，占有了自己的一席之地。
经典数学是适应力学、天文、物理、化学这类学科的需要而发展起来的，不可能不带有这些学科固有的局限性。
这些学科考察的对象，都是无生命的机械系统，大都是界限分明的清晰事物，允许人们作出非此即彼的判断，进行精确的测量，因而适于用精确方法描述和处理。
而那些难以用经典数学实现定量化的学科，特别是有关生命现象、社会现象的学科，研究的对象大多是没有明确界限的模糊事物，不允许作出非此即彼的断言，不能进行精确的测量。
清晰事物的有关参量可以精确测定，能够建立起精确的数学模型。
模糊事物无法获得必要的精确数据，不能按精确方法建立数学模型。
实践证明，对于不同质的矛盾，只有用不同质的方法才能解决。
传统方法用于力学系统高度有效，但用于对人类行为起重要作用的系统，就显得太精确了，以致于很难达到甚至无法达到。
精确方法的逻辑基础是传统的二值逻辑，即要求符合非此即彼的排中律，这对于处理清晰事物是适用的。
但用于处理模糊性事物时，就会产生逻辑悖论。
如判断企业经济效益的好坏时，用“年利税在100万元以上者为经济效益好的企业”表达，否则，便是经济效益不好的企业。
根据常识，显而易见：“比经济效益好的企业年利税少1元的企业，仍是经济效益好的企业”，而不应被划为经济效益不好的企业。
这样，从上面的两个结论出发，反复运用经典的二值逻辑，我们最后就会得到，“年利税为0者仍为经济效益好的企业”的悖论。
类似的悖论有许多，历史上最著名的有“罗素悖论”。
它们都是在用二值逻辑来处理模糊性事物时产生的。
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了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭