几类初等函数的积分
七大积分总结
七大积分总结一． 定积分1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点：a=x 0<x 1<x 2<……<x i-1<x i <x i+1<……<x n-1<x n =b,把区间[a,b]分成n 个小区间：[x 0,x 1]……[x i-1,x i ]……[x n-1,x n ]，记△x i =x i －x i-1(i=1,2,3,……,n)为第i 个小区间的长度，在每个小区间上[x i-1,x i ]上任取一点ξi (x i-1≤ξi ≤i )，作乘积:f(ξi )△x i (i=1,2,3,……,n),并作合式： i i x f ∆=∑-)(S i n1ξ记λ=max{△x 1, △x 2, △x 3……, △x n },若不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x i-1,x i ]上点ξi 怎样取法，只要当λ→0时，S 的极限I 总存在，这时我们称I 为函数f(x)在区间[a,b]上定积分（简称积分），记做： ∑⎰=→∆==ni i i ba x f I dx x f 10)()(lim ξλ其中f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b]称为积分区间，∑=∆ni iixf 0)(ξ称为积分和。
如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，则称f(x)在[a,b]上可积。
关于定积分的定义，作以下几点说明：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母记法无关，即⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(。
（2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。
（3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ→0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限：例：∑⎰=∞→=ni n n i f dx x f 110n 1)()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。
初等函数基本积分公式
初等函数基本积分公式（《应用统计》必备知识，要求记住）(k,C 是常数)(1)C kx kdx +=⎰ (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ (3)C x dx x +=⎰||ln 1 (4)C e dx e x x +=⎰ (5)C a a dx a xx+=⎰ln (6)C x xdx +=⎰sin cos (7)C x xdx +-=⎰cos sin (8)C x dx x+=⎰tan cos 12 （9）C x dx x +-=⎰cot sin 12 （10）C x x x dx x +-=⎰ln ln (11))1ln(1122x x dx x ++=+⎰ (12) C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122 (13)C x a x a a dx x a +-+=-⎰||ln 21122 (14)C a x x a x dx+±+=±⎰)ln(2222热身练习：1、=-⎰-dx x x 2221 2、620(1)x dx +⎰= 1(2)e x e dx x -⎰=3．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 4．已知a ∈[0，π2]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 5．⎠⎛-a a (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________. 6.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎜⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________. 8．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎜⎛12f (－x )d x 的值等于 9．若等比数列{a n }的首项为23，且a 4＝⎠⎛14 (1＋2x )d x ，则公比等于________． 11.已知f(x)为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于 12.已知f(x)为奇函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于22．(原创题)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( D )A ．⎠⎛ac f (x )d x B ．|⎠⎛ac f (x )d x | C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛bc f (x )d xD ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x 23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是24.如图，阴影部分的面积是25.如图，求由两条曲线2x y -=，24x y -=及直线y = -1所围成图形的面积．29．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．例1（2）。
基本初等函数乘积的不定积分
基本初等函数乘积的不定积分本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！基本初等函数乘积的不定积分【课题论文】湖北省教育科学十二五规划2011年立项课题（项目编号2011B266）一、幂函数与指数函数乘积的不定积分1。
xnaxdx=ax ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分2。
xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分3。
xncosxdx= ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
4。
xnsinxdx=- ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分5。
xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx- xn+11-x2dx。
6。
xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+ xn+11-x2dx。
其中：In+1= xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1, ,五、指数函数与对数函数乘积的不定积分7。
axlogbxdx=1lnbax i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分8。
eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
9。
eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不论文联盟http://定积分10。
axarcsinbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
11。
axarccosbxdx=ax i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分12。
cosbxlnxdx= i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数
1 cos 2 x 1 cos 2 x 2 sin x , cos x 2 2
2
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结束
6 反三角函数 三角函数都是周期函数，对于值域中的任何都有无 穷多个与之对应，故三角函数在其定义域内不存在 反函数.为了定义它们的反函数，必须限制自变量的 取值范围，使得该函数在这个范围内单调.
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常用的三角函数公式：
(1)商的关系
sin x cos x 1 1 1 tan x , cot x ,sec x , csc x , tan x cos x sin x cos x sin x cot x
（2）平方关系
sin 2 x cos2 x 1,sec2 x 1 tan 2 x,csc2 x 1 cot 2 x
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
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6 反三角函数 常用的反三角函数有yarcsin x yarccos x yarctanx 函数值的确定
求arccos x 在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
1) 例如 求 arccos( 2 1 ) 2 因为 cos2 1 所以 arccos( 3 2 2 3
初等函数基本积分公式
初等函数基本积分公式在微积分中，函数的积分是一个重要的概念。
积分是反导数的运算，它是微分的逆运算。
通过对函数进行积分，我们可以求得函数的原函数，也可以计算函数在一定区间上的面积或曲线的长度等一些几何问题。
初等函数指的是在初等代数和初等解析几何中常见的、能够用有限次加、减、乘、除、乘方及复合运算得到的函数。
初等函数的基本积分公式是多种基本型的积分公式的总结，可以用来求初等函数的不定积分。
以下是常见的初等函数的基本积分公式：一、幂函数的积分公式：1. 若c不等于-1，则∫x^c dx = (x^(c+1))/(c+1) + C2. 若c等于-1，则∫x^-1 dx = ln，x， + C二、指数函数的积分公式：1. ∫e^x dx = e^x + C2. ∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C三、对数函数的积分公式：1. ∫ln，x， dx = x ln，x， - x + C2. ∫log_a，x， dx = (x log_a，x， - x)/(ln(a)) + C四、三角函数的积分公式：1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C4. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C5. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C6. ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C五、反三角函数的积分公式：1. ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C2. ∫arccos(x) dx = x arccos(x) - sqrt(1 - x^2) + C3. ∫arctan(x) dx = x arctan(x) - ln，1 + x^2， + C4. ∫arccot(x) dx = x arccot(x) + ln，1 + x^2， + C5. ∫arcsec(x) dx = x arcsec(x) - ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C6. ∫arccsc(x) dx = x arccsc(x) + ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C六、双曲函数的积分公式：1. ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C2. ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C4. ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C5. ∫sech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C6. ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C七、反双曲函数的积分公式：1. ∫arcsinh(x) dx = x arcsinh(x) - sqrt(x^2 + 1) + C2. ∫arccosh(x) dx = x arccosh(x) - sqrt(x^2 - 1) + C3. ∫arctanh(x) dx = x arctanh(x) - ln，1 - x^2，/2 + C4. ∫arccoth(x) dx = x arccoth(x) - ln，x^2 - 1，/2 + C5. ∫arcsech(x) dx = x arcsech(x) - ln，sqrt(1 - x^2) + 1/x，+ C6. ∫arccsch(x) dx = x arccsch(x) - ln，sqrt(1 + x^2) + 1/x，+ C上述是常见的初等函数的基本积分公式，它们可以用来求解各种初等函数的不定积分。
高等数学初等函数
初等函数的分类
幂函数：形如y=x^n的函数， 具有指数幂的形式
指数函数：形如y=a^x的函 数，其中a>0且a≠1
对数函数：形如y=log_a(x) 的函数，其中a>0且a≠1
三角函数：包括正弦函数、 余弦函数、正切函数等，具 有周期性和对称性
函数在计算机 科学中的应用： 实现算法，处
理数据
常见问题的数学模型建立
线性回归模型：用于预测两个或 多个变量之间的关系
三角函数模型：用于解决周期性 问题
添加标题
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指数模型：描述增长或衰减过程
分段函数模型：处理离散数据或 分段连续数据
利用初等函数解决实际问题的方法
建立数学模型：将实际问题转化为数学问题，利用初等函数表达实际问题中的变量关系。 求解方程：通过求解方程来找到实际问题的解决方案。 函数图像分析：利用函数图像来直观地理解实际问题，通过观察图像的变化趋势来解决问题。 数值计算：利用初等函数的性质和计算方法，对实际问题进行数值计算，得到近似解或精确解。
反三角函数：包括反正弦函 数、反余弦函数、反正切函 数等，是三角函数的反函数
初等函数的运算方
03
法
函数的四则运算
定义：函数加法、减法、 乘法、除法的运算规则
性质：函数四则运算的性 质和定理
运算顺序：先乘除后加减 的顺序
应用：函数四则运算在数 学和其他领域中的应用
复合函数和反函数
复合函数的定义和性质
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
计算方法：比较法、导数法、 不等式法
初等函数的围线积分
田源
初等函数的围线积分
初等函数的围线积分
用留数定理计算围线积分的基本步骤 首先确定围线内部的所有奇点 求出这些奇点的留数 将上面所求出的留数全部加起来 用 2π i 乘之（正向围线）或用 −2π i 乘之（负向围线），结果就是所求的积分 特殊情形 设 a 是围线 C 内部的一点，则： [柯西定理] 如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0 I f (z ) [柯西积分公式] 若函数 f (z ) 在围线 C 内无奇点，则 dz = 2π if (a) C z −a 柯西积分公式的证明. 如果 f (a
用留数定理计算围线积分的基本步骤 首先确定围线内部的所有奇点 求出这些奇点的留数 将上面所求出的留数全部加起来 用 2π i 乘之（正向围线）或用 −2π i 乘之（负向围线），结果就是所求的积分 特殊情形 设 a 是围线 C 内部的一点，则： [柯西定理] 如果围线内无奇点或只有可去奇点，那么围线积分为 0 I f (z ) [柯西积分公式] 若函数 f (z ) 在围线 C 内无奇点，则 dz = 2π if (a) C z −a 柯西积分公式的证明. 如果 f (a) = 0 ，则 z = a 不是函数 f (z ) 的奇点，由柯西定理，积分为 0 z −a
C
Example (柯西定理 的例子) I e z cos zdz =?
|z −3i |=1
田源
初等函数的围线积分
初等函数的围线积分
用留数定理计算围线积分的基本步骤 首先确定围线内部的所有奇点 求出这些奇点的留数 将上面所求出的留数全部加起来 用 2π i 乘之（正向围线）或用 −2π i 乘之（负向围线），结果就是所求的积分 柯西定理 如果函数 f (z ) 在围线 C 内无奇点或只有可去奇点，则 I f (z ) = 0
基本初等函数乘积的不定积分
基本初等函数乘积的不定积分不定积分对于正在学习高等数学或者数学分析的大一学生来说确实是一个难点。
主要原因是不定积分不像导数有一套完整的计算规则，只能利用不定积分的性质求解，求解过程中容易出错。
尤其是一些复杂的不定积分，计算方法往往很有技巧，有时在中间过程中，需要使用积分表，避免求导错误。
利用闭校的空余时间，结合所做的习题，笔者选取了一些常用的积分公式，并以华东师范大学出版的《数学分析》教材后的积分表为模板进行分类，从其他一些数学分析教材中整理出一些解题过程中可能需要记忆的不定积分公式。
由于作者水平有限，难免有错误。
请批评指正。
(一)与基本初等函数有关的不定积分(1)\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\ne-1 )(2) \int\frac{1}{x}dx=ln\left| x \right|+C(3) \int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+C特别地 \int e^{x}dx=e^{x}+C(4) \int lnxdx=xlnx-x+C(5) \int sinxdx=-cosx+C ; \int cosdx=sinx+C(6) \int sec^{2}xdx=tanx+C ; \int csc^{2}xdx=-cotx+C(7) \int secxtanxdx=secx+C ; \int cscxcotxdx=-cscx+C(8) \int tanxdx=-ln\left| cosx \right|+C ; \int cotxdx=ln\left| sinx \right|+C(9) \int secxdx=ln\left| secx+tanx \right|+C ; \int cscxdx=ln\left| cscx-cotx \right|+C(10) \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=arcsinx+C(11) \int \frac{1}{1+x^{2}}dx=arctanx+C(12) \int arcsinxdx=xarcsinx+\sqrt{1-x^{2}}+C ; \int arccosxdx=xarccosx-\sqrt{1-x^{2}}+C(13) \int arctanxdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^{2})+C（二）与三角函数有关的不定积分(14) \int sin^{2}xdx=\frac{1}{2}(x-sinxcosx)+C ; \int cos^{2}xdx=\frac{1}{2}(x+sinxcosx)+C(15) \int xsinxdx=sinx-xcosx+C ; \intxcosxdx=cosx+xsinx+C(16) \int \frac{1}{1\pm sinx}dx=tanx\mp secx+C(17) \int \frac{1}{1\pm cosx}dx=-cotx\pm cscx+C(18) \int tan^{2}xdx=-x+tanx+C ; \int cot^{2}xdx=-x-cotx+C（三）与指数函数，对数函数有关的不定积分(19) \int xe^{x}dx=(x-1)e^{x}+C(20) \int \frac{1}{1+e^{x}}dx=x-ln(1+e^{x})+C(21) \int xlnxdx=\frac{x^{2}}{4}(2lnx-1)+C（四）含有 \sqrt{x^2 \pm a^2} , \sqrt{a^2 - x^2} ,以及x^2 \pm a^2 的不定积分(22) \int \frac{1}{x^2 +a^2}dx=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C , \int\frac{1}{x^2 - a^2}dx=\frac{1}{2a}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(23) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx=ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|+C(24) \int \frac{x}{x^{2}\pm a^{2}}dx =\frac{1}{2}ln\left| x^2\pm a^2 \right|+C(25) \int \frac{x^2}{x^2+a^2}dx = x-arctan\frac{x}{a}+C(26) \int \frac{x^2}{x^2-a^2}dx= x+\frac{a}{2}ln\left| \frac{x-a}{x+a} \right|+C(27) \int \sqrt{x^2\pma^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm a^2ln\left| x +\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|) +C(28) \int \frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx= ln\left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C(29) \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C(30) \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=arcsin\frac{x}{a}+C(31) \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 \pma^2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2 \pm a^2} \mpa^2ln\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \right|)+C(32) \int \frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{2}(-x\sqrt{a^2-x^2}+a^2arcsin\frac{x}{a})+C（五）与a+bx有关的不定积分(33) \int \frac{x}{a+bx}dx=\frac{1}{b^2}(bx-aln\left| a+bx \right|)+C(34) \int \frac{1}{a+bx}dx=\frac{1}{b}ln\left| a+bx \right|+C通过日常的训练，笔者总结出了上面的积分表，在以后的学习中我会不定期的更新完善这篇文章。
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Mkx Nk x2 px q
Mx N x2 px q .
这样，求有理函数的积分便可以归结为4种最简真分 式的积分.
例3. 将 解: 分母可化为
分解为最简真分式
（**）
（**）
四种典型部分分式的积分:
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(x
A a)n
dx
1 x(x 1)2
x (x 1) x(x 1)2
(
x
1 1)2
x(
1 x
1)
(
x
1 1)2
x (x 1) x(x 1)
(x
1 1)2
x
1 1
1 x
(2) 解法1：
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
两端去分母后得
解:原式
(x2 2x 2) (2x 2) (x2 2x 2)2
dx
dx (x 1)2 1
d(x2 2x 2) (x2 2x 2)2
arctan(x
1)
x2
1 2
x
2
C
例8. 求
dx x4 1
按常规方法解: 此解法较繁!可以考虑其他求解方法.
m n时, 为假分式; m n 时, 为真分式
有理函数
相除
多项式 + 真分式 分解
若干最简真分式之和
其中最简真分式的形式为
(
x
A a)k
;
MxN (x2 p x q)k
( k N , p2 4q 0)
例1. 将下列真分式分解为最简真分式 :
解: (1) 用拼凑法
§6.3 几类初等函数的积分
6.3.1 有理函数的积分 6.3.2 三角函数有理式的积分 6.3.3 某些含根式的函数的积分
数学与物理学院 221
直接积分法
基本积分法
换元积分法
分部积分法
初等函数
求导 积分
初等函数
6.3.1 有理函数的积分 有理函数:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
(3) 混合法
(1
1 2 x)(1
x2)
A 1 2x
Bx C 1 x2
4
x
1 2
5
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
原式
=
1 5
4 1 2
x
2x 1
1 x2
B 2 5
C1 5
Q(x) b(x a1)m1 (x as )ms
4
dx
x
4
2x2 5x2
5
4
dx
1 2
d(x4 5x2 5) x4 5x2 4
(x2 1) (x2 4) (x2 1)(x2 4)
dx
1 ln x4 5x2 4 1 arctan x arc7. 求
3
d(x 1) (x 1)2 ( 2)2
1 ln x2 2x 3 3 arctan x 1 C
2
2
2
思考: 如何求
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 ,因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例6. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
2 5
d(1 2x) 1 2x
1 5
d(1 x2 1 x2
)
1 5
1
dx x
2
2 ln 1 2x 1 ln (1 x2 ) 1 arctan x C
5
5
5
例5. 求
解: 原式
1 2
(2
x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 2
d(x2 2x 3) x2 2x 3
恒等式
于是有
从而有A=-5,B=6. 故 原式
6 x3
解法2：赋值法
x2
x3 5x 6
x3 (x 2)(x 3)
A x2
B x3
故 原式
在恒等式(1)中代入 特定的x，从而求出 待定系数.
x
2
x3 x3
x
2
5
x 3
x3 x2
x
3
6
6 x3
(x2
R2 x S2 pt x qt
)kt
1
M k1 x Nk1 x2 p1x q1
Rkt x Skt x2 pt x qt
,
注意：
(x
A1 a)m
(x
A2 a)m1
Am xa
A. xa
例2. 将下列真分式分解为最简真分式 :
（1）
（2）
解: （1）首先将分母因式分解：
其中A、B、C 为待定系数. 通分得
原式
比较得 由此得
（2）分母
故有
通分去分母得 令x=0，得 A =1；令x=1，得 C = 1.
将A、C的值代入上式（*），得
令x=2，得 B = -1.
M1x N1 (x2 px q)k
M2x N2 (x2 px q)k1
A2 (x a1)m11
Am1 x a1
(
x
B1 as
)ms
(x
B2 as )ms
1
Bms x as
(
x2
M1x N1 p1x q1
)k1
(x2
M2x N2 p1x q1)k11
R1x S1 (x2 pt x qt )kt
第一步 令
比较系数确定a , b , c , d .得
第二步 化为部分分式 . 即令
比较系数确定A , B , C , D . 第三步 分项积分 .
解:
dx 1 x4 1 2
(x2 1) (x2 1) x4 1
dx
1 2
1
1 x2
A 1 n
(x
a)1n
C
(n 1)
3.
MxN x2 px
q
dx
4.
(
x
M 2
x px
N q)
n
dx
变分子为
M 2
(2x
p)
N
Mp 2
再分项积分
例4. 求
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
1 5
1
4 2
x
1
2x x
2
1
1 x2
(x2 p1x q1)k1 (x2 pt x qt )kt
(
p
2 j
4q j
0,
j
1,
2,
, t)
Q(x) b(x a1)m1 (x as )ms (x2 p1x q1)k1 (x2 pt x qt )kt
P(x) Q(x)
A1 (x a1)m1