用对偶单纯形法求解线性规划问题
管理运筹学多选 简答
管理运筹学多选 简答多选：3.对取值无约束的变量x j 通常令x j =x j ′- x j 〞，其中x j ′≥0，x j 〞≥0，在用单纯形法求得的最优解中，不可能出现的是最后的情形。
4．线性规划问题maxZ=X 1+CX 2其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当c=6 a=-1 b=10和c=4 a=3 b=12时，该问题的最优目标函数值分别达到上界或下界。
9．下列数学模型，只有B 为非线性规划模型(模型中a ．b ．c 为常数；θ为可取某一常数值的参变量，x ，Y 为变量)，因为它所表达的列变量是不够的。
10．下列模型中，不属于线性规划问题的标准形式的是前三个模型，只有最后一个才是标准的。
4.在下图中，根据（a ） 生成的支撑树有三个b 、c 、d ，如下：7．在下图各边中，平行边有e 1 、 e 2、 e 5 、 e 6, e 1等边则是非平行边。
下列知识点可出简答题1. 简答：运筹学的数学模型有哪些优点?答：（1）通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。
（2）节省时间和费用。
（3）模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。
（ 4）数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。
（5）数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。
这些都是使得运筹学能够快速发展的有利条件。
2. 简答：运筹学的系统特征是什么?答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：（1）用系统的观点研究功能关系（2）应用各学科交叉的方法（3）采用计划方法（4）为进一步研究揭露新问题。
新发现的问题，可能要求用修正过去的模型、输入新的数据以及调整以前类似项目的解，获得解决。
6.简答：根据已知条件建立线性规划数学模型某工厂生产A 、B 、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
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管理运筹学多选 简答多选：3.对取值无约束的变量x j 通常令x j =x j ′- x j 〞，其中x j ′≥0，x j 〞≥0，在用单纯形法求得的最优解中，不可能出现的是最后的情形。
4．线性规划问题maxZ=X 1+CX 2其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当c=6 a=-1 b=10和c=4 a=3 b=12时，该问题的最优目标函数值分别达到上界或下界。
9．下列数学模型，只有B 为非线性规划模型(模型中a ．b ．c 为常数；θ为可取某一常数值的参变量，x ，Y 为变量)，因为它所表达的列变量是不够的。
10．下列模型中，不属于线性规划问题的标准形式的是前三个模型，只有最后一个才是标准的。
4.在下图中，根据（a ） 生成的支撑树有三个b 、c 、d ，如下：7．在下图各边中，平行边有e 1 、 e 2、 e 5 、 e 6, e 1等边则是非平行边。
下列知识点可出简答题1. 简答：运筹学的数学模型有哪些优点?答：（1）通过模型可以为所要考虑的问题提供一个参考轮廓，指出不能直接看出的结果。
（2）节省时间和费用。
（3）模型使人们可以根据过去和现在的信息进行预测，可用于教育训练，训练人们看到他们决策的结果，而不必作出实际的决策。
（ 4）数学模型有能力揭示一个问题的抽象概念，从而能更简明地揭示出问题的本质。
（5）数学模型便于利用计算机处理一个模型的主要变量和因素，并易于了解一个变量对其他变量的影响。
这些都是使得运筹学能够快速发展的有利条件。
2. 简答：运筹学的系统特征是什么?答：运筹学的系统特征可以概括为以下四点：（1）用系统的观点研究功能关系（2）应用各学科交叉的方法（3）采用计划方法（4）为进一步研究揭露新问题。
新发现的问题，可能要求用修正过去的模型、输入新的数据以及调整以前类似项目的解，获得解决。
6.简答：根据已知条件建立线性规划数学模型某工厂生产A 、B 、C 三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
用对偶单纯形法求解线性规划问题
用对偶单纯形法求解线性规划问题对偶单纯形法是一种常用于求解线性规划问题的方法。
它通过对原始线性规划问题进行对偶化，将原问题转化为对偶问题，并通过迭代的方式逐步优化，最终得到最优解。
本文将详细介绍对偶单纯形法的基本原理和步骤，并通过一个实例来演示其具体应用。
对偶单纯形法的基本原理是基于线性规划的对偶性理论。
根据对偶性理论，对于原始线性规划问题的最优解，一定存在一个对偶问题，其最优解与原问题的最优解相等。
因此，我们可以通过求解对偶问题来得到原问题的最优解。
对偶问题的形式如下：最大化 W = b'y约束条件为：A'y ≤ c其中，A是原始线性规划问题的约束矩阵，b是原始问题的目标函数系数矩阵，c是原始问题的约束条件矩阵，y是对偶问题的变量向量。
对偶单纯形法的步骤如下：步骤1: 初始化将原始线性规划问题转化为标准型，并初始化基变量和非基变量的初始解。
步骤2: 计算对偶变量值根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值。
步骤3: 计算对偶目标函数值根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值。
步骤4: 检验最优性判断当前解是否为最优解。
如果是，则终止算法；否则，进入下一步。
步骤5: 选择入基变量和出基变量根据当前解，选择一个入基变量和一个出基变量。
步骤6: 更新解通过列生成法或其他方法，更新当前解。
步骤7: 更新对偶变量和对偶目标函数值根据更新后的解，更新对偶变量和对偶目标函数值。
步骤8: 转至Step 4重复步骤4至步骤7，直到找到最优解。
下面以一个具体的线性规划问题为例来演示对偶单纯形法的应用。
假设有以下线性规划问题：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 ≤ 10x1 + 3x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 0首先，将原始问题转化为标准型：最大化 Z = 3x1 + 5x2约束条件为：2x1 + x2 + s1 = 10x1 + 3x2 + s2 = 15x1, x2, s1, s2 ≥ 0初始化基变量和非基变量的初始解为：x1 = 0, x2 = 0, s1 = 10, s2 = 15根据对偶问题的约束条件，计算对偶变量的初始值：y1 = 0, y2 = 0根据对偶问题的目标函数，计算初始的对偶目标函数值：W = 0检验最优性，发现当前解不是最优解，需要进入下一步。
线性规划的对偶与对偶单纯形法
x1 x 2 x3 3 s.t . x1 4 x 2 7 x3 9 x 0, x 0, x 0 2 3 1
min Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 a12 a21 a22 s.t . a m1 a m 2 x1 , x2 , , xn
将最优解 y1 , y 2的值代入约束条件，得第3个约束为严格 不等式，由互补松弛性得 x3 0, 又由于 y1 , y 2的值均大于 零，因此原问题的两个约束条件应取等式，故有
3 x1 x2 x3 1 x1 2 x2 3 x3 2
求解后得到 x1 4/7, x2 5 / 7, 故原问题的最优解为 x ( x1 , x2 , x3 )T (4 / 7, 5 / 7, 0) T f min 23 / 7
max z b1 y1 b2 y2 bm y m
a11 y1 a21 y 2 am1 y m ( , )c1 a12 y1 a22 y 2 am 2 y m ( , )c2 a y a y a y (, )c 2n 2 mn m n 1n 1 y j 0(符号不限 , 或 0)i 1 ~ m
1616231381514141521232172152723215245211524min682680038100016100106000min682680038100016100106000261383161610031800012000380001500x2060160000523000051000021000005600x2013540至此右端项的所有分量都已非负当前的迭代点已是一个对偶可行的饿基本可行解因而也是最优解即最优解为相应的目标函数值为100540单纯形法是在基本可行解中寻找满足最优性条件简约价值系数非负的最优解对偶单纯形法则是在所有满足最优性条件简约价值系数非负的最优解中寻找满足可行的最优解单纯形法与对偶单纯形法对偶的经济解释1原始问题是利润最大化的生产计划问题称为m种资源的影子价格shadowprice原始和对偶问题都取得最优解时最大利润maxzmin3资源影子价格的性质影子价格越大说明这种资源越是相对紧缺影子价格越小说明这种资源相对不紧缺如果最优生产计划下某种资源有剩余这种资源的影子价格一定等于0种资源的边际利润4产品的机会成本机会成本表示减少一件产品所节省的资源可以增加的利润增加单位资源可以增加的利润减少一件产品可以节省的资源在利润最大化的生产计划中1边际利润大于0的资源没有剩余2有剩余的资源边际利润等于03安排生产的产品机会成本等于利润4机会成本大于利润的产品不安排生产
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
第二章 线性规划习题(附答案)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z
1
0
2
0
1/5
3/5
-1/5
27
x1
3
1
-1/3
0
1/3
-1/3
2
5
x3
4
0
1
1
-1/5
2/5
-4/5
3
由于增加决策变量 后求得的最优单纯形表为：
z
x1
x2
x3
x4
x5
x6
RHS
z
1
1/10
89/30
0
7/30
17/30
0
55/2
x6
3
1/2
-1/6
0
1/6
-1/6
习题
2-1判断下列说法是否正确：
（1）任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；
（2）对偶问题的对偶问题一定是原问题；
（3）根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；
（4）若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；
（8）已知yi为线性规划的对偶问题的最优解，若yi>0，说明在最优生产计划中第i种资源已经完全耗尽；若yi=0，说明在最优生产计划中的第i种资源一定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
解：(1)令 ，增加松弛变量 ，剩余变量 ，则该问题的标准形式如下所示：
(2)令 ， ， ，增加松弛变量 ，则该问题的标准形式如下所示：
则可知，最优解变为 ，最优值变为27。
（3）先将原问题最优解变量值代入，因有
对偶单纯形法
y1, y2 0
Min w 2 y1 3y2
解:
先将原问题化为下列形式
s.t.
2 y1 y1
y1 y2 y3 4 3y2 y4 6 y2 y5 3
y1, y2 , y3, y4 , y5 0
对偶单纯形法举例(例2-2) 则第一个基为B1=(P3,P4,P5)=I 基变量为y3,y4,y5 第一个对偶可行基对应的单纯形表如下
5
-w 8 -15 0 -1 -4 0
对偶单纯形法举例(例1-4)
T(B2) XB b Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y2 1/3 0 1 1/6 -1/6 0
Y -1/3 -5 0
5
-w 8 -15 0
-2/3 -1/3 1 -1 -4 0
T(B3)
Y2 1/4 -5/4 1 Y3 1/2 15/2 0 -w 17/2 -15/2 0
5
w 0 -2 -3 0 0 0
Y3 -2 -5/3 0 Y2 2 1/3 1 Y5 -1 -2/3 0
1 -1/3 -1/3 0 -1/3 -1/3 0 -1/3 2/3
w 6 -1 0 0 -1 -1
对偶单纯形法举例(例3-1)
例3：用对偶单纯形法解下列线性规划
Min w x1 x2
3x1 x2 x3 1
s.t.
x1 x2 2x1 2x2
x4 2 x5 4
x j 0 j 1,2,3,4,5
解: 取B1=(P3，P4，P5)=I
为对偶可行基
因此其对应的单纯形表如下
对偶单纯形法举例(例3-2)
T(B1)
x1 x2 x3 x4
x5
x3 -1 3 -1 1 0 0
x4 -2 -1 1 0 1
运筹学作业2(清华版第二章部分习题)答案
运筹学作业2（第二章部分习题）答案2．1 题 （P . 77） 写出下列线性规划问题的对偶问题：（1）123123123123123m ax 224..34223343500,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =++⎧⎪++≥⎪⎪++≤⎨⎪++≤⎪≥≥⎪⎩无约束，；解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：123123123123123m ax 235..223424334,0,0w y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪++≤⎪⎪++≤⎨⎪++=⎪≥≤≤⎪⎩（2）1111m in ,1,,,1,,0,1,,;1,,m n ij ij i j n ij ij i j nij ij j j ij z c x c x a i m c x b j nx i m j n====⎧=⎪⎪⎪==⎪⎨⎪⎪==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑ 解：根据原—对偶关系表，可得原问题的对偶规划问题为：11m ax 1,,;1,,m n i i j ji j i j ij i w a u b v u v c i m j n u ==⎧=+⎪⎪⎪+≤⎨⎪==⎪⎪⎩∑∑ j 无约束，v 无约束2．2判断下列说法是否正确，为什么？（1） 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； 答：错。
因为：若线性规划的原问题存在可行解，且其对偶问题有可行解，则原问题和可行问题都将有最优解。
但，现实中肯定有一些问题是无最优解的，故本题说法不对。
例如原问题1212212m ax 31..30,0z x x x x s t x x x =++≥⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩有可行解，但其对偶问题1211212m in 33..10,0w y y y s t y y y y =+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≥⎩无可行解。
（2） 如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解；答：错，如（1）中的例子。
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例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题.
Min z =5x1+3x
2
≥6
s.t. -2 x1 + 3x
2
≥4
3 x1 - 6 x
2
Xj≥0（j=1,2）
解：将问题转化为
Max z = -5 x1 - 3 x
2
+ x3 = -6
s.t. 2 x1 - 3x
2
-3 x1 + 6 x
+ x4≥-4
2
Xj≥0（j=1,2，3,4）
其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17.
在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解.
注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解.
在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法.
3.对偶问题的最优解
由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解.
(1)设原问题(p)为
Min z=CX
s.t. ⎩⎨
⎧≥=0
X b
AX
则标准型(LP)为
Max z=CX
s.t. ⎩
⎨⎧≥=0X b
AX
其对偶线性规划（D ）为
Max z=b T Y s.t. ⎩
⎨
⎧≥=0X b
AX
用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。
对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0
从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有
（σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。
可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。
同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以
B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ）
例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。
Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20
3 x 1 + 2x 2≥50
Xj ≥0（j=1,2）
解： 将问题转化为
Max z =-6x 1-8x 2
s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20
-3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50
Xj ≥0（j=1,2，3,4）
用对偶单纯形法求解如表
表4-18 例4-8单纯形表
在引入松弛变量化为标准型之后，约束等式两侧同乘-1，能够立即得到检验数全部非正的原规划基本解，可以直接建立初始对偶单纯形表进行求解，非常方便。
对于有些线性规划模型，如果在开始求解时不能很快使所有检验数非正，最好还是采用单纯形法求解。
因为，这样可以免去为使检验数全部非正而作的许多工作。
从这个意义上看，可以说，对偶单纯形法是单纯形法的一个补充。
除此之外，在对线性规划进行灵敏度分析中有时也要用到对偶单纯形方法，可以简化计算。
例4-9：求解线性规划问题：
Min f = 2x1 + 3x2 + 4x3
S.t. x1 + 2x2 + x3 ≥3
2x1 - x2 + x3 ≥4
x1 , x2 , x3 ≥0
标准化：Max z = - 2x1 - 3x2 - 4x3
s.t. -x1-2x2-x3+x4= -3
-2x1+x2-3x3+x5= -4
x1,x2,x3,x4,x5 ≥0。