数学专业多项式二次型例题

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二次型复习

1 0 2 1 0 2 当 2 时， E A 0 0 0 0 0 0 ， 2 0 4 0 0 0
所以 2 (0,1, 0)T , 3 (2, 0,1)T 。
1 5 由此得正交矩阵为： Q 0 2 5 0 1 0 2 5 0 ，正交变换为： X QY ， 1 5
次型矩阵 A 的秩。
7、化二次型为标准型的方法：
(1) 正交变换法：对任一个 n 元二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，一定存在一个正交变换
X QY ，使得
2 2 X T AX Y T Q T AQY 1 y12 2 y2 n yn
B C T AC ，则称矩阵 A、B 是合同的，记作 A ~ B 。
9、矩阵合同的有关结果
(1) 二个实对称矩阵合同的充要条件是对应的二次型有相同的正负惯性指数。 (2) 二个实对称矩阵合同的充分条件是这二个矩阵相似。 (3) 一个实对称矩阵与一对角矩阵合同，即二次型一定可以化成标准型。注意合同与相似的区别! 在实对称矩阵下相似比合同要求高。
2、二次型的矩阵表示
a11 a12 a a22 记 A 21 an1 an 2 a1n a2 n T (aij a ji ) ， X x1 , x2 ,, xn ，则二次型可以表示为： ann
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX ，称 A 为二次型的矩阵。
1 2 1 2 0
0 0 。 1
y2 0 (3) 由 f ( x1 , x2 , x3 ) 0 得：。 y3 0
x1 x2 0 而 Y Q X ，由此得。 x3 0

第4章二次型练习题

1 2 （标准形 f 2 y12 y 2 ；规范形 f = z12 + z22 2
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ，（1）用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换的矩阵 C ；（2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。（规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ，求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ；（2）写出二次型的规范性；（3）写出二次型的负惯性指数及符号差。（

线性代数第六章二次型例题

2
2
2
0 3. 设 A= 1 0 0
1 0 0 0 0 0 已知 A 一个特征值为 3，（1）求 y,（2）求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ， 0 �� 1 0 1 2
��
使（AP） AP=Λ。
2 1 3 �� 4. 设 A= −1 1 0 求可逆矩阵 P 及对角阵 Λ，使（AP） AP=Λ。 −1 0 − 1
线性代数第六章二次型例题
1. 用配方法将以下二次型化为标准型，并写出所用可逆线性变换（1）（2）（3）（4）（5） f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +2��2 2 +2��1 ��2 -2��1 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +2��2 2 +4��3 2 + 2��1 ��2 +4��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=2��1 2 +5��2 2 +4��3 2 + 4��1 ��2 -4��1 ��3 -8��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 ��2 -4��2 ��3 f(��1 , ��2 , ��3 )=��1 2 +4��2 2 +4��3 2 − 4��1 ��2 + 4��1 ��3 -4��2 ��3

二次型习题 (2020级)(1)

二次型习题一、填空1已知设二次型32312123222132144442),,(x x x x x x ax x x x x x f +++++=的秩为2，则a= .2.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .3.实数域上一切元二次型可以分成类,属于同一类的二次型彼此等价.二、选择1. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111111111111A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000000000000004B . 则A 与B . A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似2. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++3.实二次型的秩为4，符号差是2-，其典范型为 .A 24232221y y y y +++ B 24232221y y y y -++ C 24232221y y y y --+ D 24232221y y y y --- 4.实数域上秩为3的一切元二次型按其典范形式共可分为（）个等价类. A 3 B 4 C 6 D 2)1(+n n5.二次型323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++=的规范形为( )A 232221y y y ++B 232221y y y -+C 232221y y y --D 2221y y - 6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100012021A ,则下列矩阵中与A 合同的是（）. A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001 D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1000100017. 设实二次型),,(321x x x f 在正交变换PY X =下的标准型为2322212y y y -+，其中),,(321e e e P =，若),,(231e e e Q -=,则),,(321x x x f 在正交变换QY X =下的标准型为( ) R n R nA 2322212y y y +-B 2322212y y y -+C 2322212y y y --D 2322212y y y ++8. 二次型32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+=的标准形是（）A 23222123y y y --B 23222123y y y ---C 22222y y +-D 2222212y y y ++三、解答、证明1.二次型3231212322213212822),,(x x x x x x ax x x x x x f +-++-=在正交变换QYX =下的标准型为222211y y λλ+求正交矩阵Q 及a . 2. 设二次型)0(222),,(31232221321>+-+=m x mx x x kx x x x f ，其中二次型的矩阵A的迹为1，12det -=A .(1) 求m k ,.（2）用正交变换化二次型为标准型，并求所作的正交变换.3. 分别用配方法、合同变换法、正交变换法化下列二次型为标准型,并写出所用的非退化线性替换.最后写出其规范型.(1)32312123213212423),,(x x x x x x x x x x x f ++++= (2) 323121321),,(x x x x x x x x x f ++=（3）323121232232184422),,(x x x x x x x x x x x f +-++= （4）32212322213212442),,(x x x x x x x x x x f ---+= 4.用正交线性替换将二次型f (x 1，x 2，x 3)=x 12+4x 22+x 32–4x 1x 2–8x 1x 3–4x 2x 3化为标准形．。

线性代数第六章二次型试题及答案-二次型f

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规二次型形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只 1，-1，0，称为二次型的规型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …12 …n 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。

二次多项式难题集锦

二次多项式难题集锦本文档旨在提供一系列关于二次多项式的难题，以帮助读者更好地理解和应用二次多项式的概念和解法。

本文档包含了以下几个难题及其解析。

难题一已知二次多项式 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的图像经过点 $A(2, 5)$ 和点 $B(1, 1)$，求 $f(x)$ 的表达式以及系数 $a$、$b$、$c$ 的值。

解析：根据已知条件，我们可以列出以下方程组：$$\begin{align*}4a + 2b + c &= 5 \\a +b +c &= 1\end{align*}$$解方程组，求得 $a = 1$，$b = -2$，$c = 2$。

因此，$f(x) = x^2 - 2x + 2$。

难题二已知二次多项式 $f(x)$ 的图像经过点 $A(2, 1)$，其对称轴为直线 $x = 1$，求 $f(x)$ 的表达式。

解析：由于对称轴为 $x = 1$，则 $A(2, 1)$ 关于对称轴对称的点为 $A'(0, 1)$。

因此，点 $A'$ 也在 $f(x)$ 的图像上。

根据对称性质，可以推知 $A'$ 的横坐标比 $A$ 的横坐标小了$1$，即 $2 - 1 = 1 - 0$。

由此我们可以得到以下方程：$$f(1 - 1) = f(0) = 1$$因此，我们可以确定 $f(x)$ 的表达式为 $f(x) = (x - 1)^2 + 1$。

难题三已知二次多项式 $f(x) = 2x^2 - 5x + k$ 在 $x = 2$ 处取得极小值为 $-1$，求常数 $k$ 的值。

解析：根据题目所给信息，我们可以得到以下方程：$$f(2) = 2(2)^2 - 5(2) + k = -1$$解方程，求得 $k = 7$。

因此，$f(x) = 2x^2 - 5x + 7$。

总结本文档介绍了关于二次多项式的难题集锦，涵盖了求表达式、系数和常数的求解方法。

六章节二次型习题章节

f 的标准形 g( y1, y2,, yn ) d1 y12 d2 y22 d2 yn2
di 0, i 1,2,, n
A是正定矩阵
存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A＝ CTC
实对称矩阵A合同于E
实对称矩阵A的n个特征值全大于零。
实对称矩阵A的n个顺序主子式全大于零。
（1）A的主对角元aii 0 (i 1,2,, n)
它们的差： p - q = p - ( r-p ) = 2 p - r 称为 f (x1, x2 ,, xn ) 的符号差。
注：由于实对称矩阵与实二次型之间的一一对应，可以类似地定义实对称矩阵的正惯性指数、负惯性指数与符号差。
二、实二次型的规范形
设 f (x1, x2 ,, xn ) 是一个实系数二次型，经过适当的非退化线性变换（包括改变变量排列次序），
说明
1. 二次型经可逆变换x Cy后,其秩不变, 但 f
的矩阵由A变为B C T AC; 2. 要使二次型f经可逆变换 x Cy变成标准形,
就是要使
yT CT ACy k1 y12 k2 y22 kn yn2
k1
y1
( y1, y2 ,, yn)
k2
y2
,
kn yn
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形

线性代数第六章二次型试题及答案

第六章二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n +…+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXX f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。

实二次型如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。

规范二次型形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。

二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n… … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T =，从而BY Y f T =。

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多项式例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ∂<∂。

证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。

由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ∂<∂，于是由1)()()()(1=+x g x v x p x u 有)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。

再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ∂<∂，代入上式，得)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。

例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ⇔--11，(2) d n m x x x d n m =⇔-=--),(1)1,1(．证明 (1) 充分性由n d 设dq n =，∈q Z ，则)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ，所以11--nd x x ．必要性设r dq n +=，0≤d r <，则)1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ，由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--rd x x ，进而由0≤d r <得0=r ，所以n d ．(2) 必要性由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ．若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．综上得d n m =),(．充分性证法一由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ．若n m 或m n ，则结论显然成立．否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ，于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．证法二由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ．若0))((=∂x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设)())(()(21k x x x x h ααα---= ，其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明11)1()()1(+++++-n k k x x f x x证明由于n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=- )1(21+-=-x x x所以1)1()()1(++++-n k x x f x11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x xn k k x x )1(211+=++，故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。

例4 设)()(x f x g m m ，m ≥2，证明)()(x f x g ．证明(用标准分解式) 若0)(=x f ，则结论成立．若0)(≠x f ，则0)(≠x g ．设)()()()(211x p x p x ap x f s k k s k k =，)()()()(211x p x p x bp x g s k l s l l =，其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素的首一不可约多项式，i i l k ,),,2,1(s i =是自然数，则)()()()(211x p x p x ap x f s k mk s mk mk m =，)()()()(211x p x p x bp x g s k ml s ml ml m =，由)()(x f x g m m 得i mk ≤i ml ，故i k ≤i l ，s i ,,2,1 =，所以)()(x f x g ．例5 设)(x f 是数域P 上的不可约多项式，且1))((>∂x f ，若)(x f 的某个根α的倒数也是)(x f 的根，证明)(x f 每个根的倒数都是)(x f 的根．证明设∑==n i i i x a x f 0)(，则由)(x f 不可约知00≠a ．令∑=-=n i in i x a x g 0)(，由α1是)(x f 的根有010=∑=n i i i a α，即00=∑=-n i i n i a α，故α也是)(x g 的根，从而)(),(x g x f 不互素，再由)(x f 不可约有)()(x g x f ．设β是)(x f 的任意一个根，则0≠β，则由)()(x g x f 知β也是)(x g 的根，于是由上面的证明知β1是)(x f 的根．例6设)1()(11>+++=-n a x a x x f n n n 是整系数多项式，n b b b ,,,21 是互不相同的整数且),,2,1(1)(n i b f i =-=，证明)(x f 在有理数域上不可约．证明若)(x f 在有理数域上可约，则)(x f 可表成两个较低次的整系数多项式的乘积)()()(x h x g x f =，于是由1)(-=i b f 有1)()(-=i i b h b g ．而)(i b g 和)(i b h 都是整数，故有-=)(i b g )(i b h ),,2,1(n i =，从而由n b b b ,,,21 互不相同及)(),(x h x g 的次数都小于n 有)()(x h x g -=，从而)()(2x g x f -=，这与)(x f 是首一多项式相矛盾，故)(x f 在有理数域上不可约．例7 设)(x f 是次数大于零的整系数多项式，且有整数a 使3)2()1()(=+=+=a f a f a f ，证明对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．证明由3)2()1()(=+=+=a f a f a f 知2,1,++a a a 都是多项式3)(-x f 的根，又多项式2,1,-----a x a x a x 两两互素，故有)()2)(1)((3)(x q a x a x a x x f -----=-，而)2)(1)((-----a x a x a x 是本原多项式，3)(-x f 是整系数多项式，所以)(x q 是整系数多项式．若有整数c ，使5)(=c f ，则由上式有=-=3)(2c f )()2)(1)((c q a c a c a c -----，由于)(c q 是整数，故2有三个连续的整数因子2,1,-----a c a c a c ，这不可能，所以对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．二次型例1 设AX X X f '=)(是n 元二次型，若f 是半正定二次型，则))(()(2AY Y AX X AY X ''≤'。

若f 是正定二次型，则))(()(12Y A Y AX X Y X -''≤'。

证明若f 是半正定的，则有矩阵C 使C C A '=，于是222),()()(CY CX CY C X AY X =''='))(()((),)(,(AY Y AX X CY C Y CX C X CY CY CX CX ''=''''=≤。

若f 是正定的，则有可逆矩阵D 使D D A '=，于是21212))(,())(()(Y D DX Y D D X Y X --'='''='))(())(,))((,(111Y A Y AX X Y D Y D DX DX ---''=''≤。

例2 A 设是n 级正定矩阵，B 是m n ⨯实矩阵，证明)()(B R AB B R ='。

证明由A 设是正定矩阵知有n 级实可逆矩阵C 使C C A '=，于是由CB 是实矩阵以及C 可逆得)()())()(()()(B R CB R CB CB R CB C B R AB B R =='=''='。