江苏省南京市2021届高三数学上学期期初学情调研试题
江苏省南京市2021届高三数学上学期期初学情调研试题
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作答一律无效．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2
－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝
A ．{x |－1＜x ＜3}
B ．{x |－1＜x ＜1}
C ．{x |1＜x ＜2}
D ．{x |2＜x ＜3} 2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝
3，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3
4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2
9
＝1的一条渐近线的距离
为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2
B ．4
C ． 2
D ． 3
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是
A ．(0，π3]
B ．(0，2π3]
C ．[π3，π)
D ．[2π
3，π)
6．设a ＝log 4 9，b ＝2
－1.2
，c ＝(827
)－
1
3，则
A ．a ＞b ＞c
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞c ＞b
D ．c ＞a ＞b
7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2
＋y 2
＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的
切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．x 2
＋y 2
－14x ＋18＝0
B ．x 2＋y 2
＋14x ＋18＝0
C ．x 2
＋y 2
－10x ＋18＝0 D ．x 2
＋y 2
＋10x ＋18＝0
8．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (93
2
)的值是
A ．－3
B ．－2
C ．2
D ．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．
9．5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图，某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出做出预测．
由上图提供的信息可知 A ．运营商的经济产出逐年增加
B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C ．设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
D ．信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
10．将函数f (x )＝sin2x 的图象向左平移π
6
个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则
A ．函数g (x )的图象关于直线x ＝π12对称
B ．函数g (x )的图象关于点(π
6，0)对称
C ．函数g (x )在区间(－5π12，－π6)上单调递增
D ．函数g (x )在区间(0，7π
6)上有2
个零点
11．已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则
A ．a 0的值为2
B ．a 5的值为16
C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5
D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120
12．记函数f (x )与g (x )的定义域的交集为I ．若存在x 0∈I ，使得对任意x ∈I ，不等式
[f (x )－g (x )](x －x 0)≥0恒成立，则称(f (x )，g (x ))构成“M 函数对”．下列所给的两个函数能构成“M 函数对”的有（ ）
A ．f (x )＝ln x ，g (x )＝1x
B ．f (x )＝e x ，g (x )＝e x
C ．f (x )＝x 3，g (x )＝x 2
D ．f (x )＝x ＋1x
，g (x )＝3x
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．如图，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁
球（小球完全浸入水中），水面高度恰好 升高r 3，则R
r ＝ ▲ ．
14．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287－前212），是古希腊伟大的物理学家、数
学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y ＝4与抛物线C ：y ＝14
x 2
交于A ，B 两点，则弦
AB 与抛物线C 所围成的封闭图形的面积为 ▲ ．
15．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *
，则a 4＝ ▲ ；
若a 1＝2，则S 20＝ ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)
16．若不等式(ax 2
＋bx ＋1)e x
≤1对一切x ∈R 恒成立，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，
则a ＋b 的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
r
r 3
的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）
已知向量m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2
x )，x ∈R ．设函数f (x )＝m ·n ＋1． （1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）若α∈[π3，7π12]，且f (α)＝8
5，求cos2α的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列{a n }是公比为2的等比数列，其前n 项和为S n ．
（1）在①S 1＋S 3＝2S 2＋2，②S 3＝7
3，③a 2a 3＝4a 4这三个条件中任选一个，补充到上述题
干中．求数列{a n }的通项公式，并判断此时数列{a n }是否满足条件P ：任意m ，n ∈N *
，a m a n 均为数列{a n }中的项，说明理由； （2）设数列{b n }满足b n ＝n (
a n ＋1a n
)n －1，n ∈N *
，求数列{b n }的前n 项和T n ． 注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（本小题满分12分）
E
D
C
B
A
P
为调查某校学生的课外阅读情况，随机抽取了该校100名学生（男生60人，女生40人），统计了他们的课外阅读达标情况（一个学期中课外阅读是否达到规定时间），结果如下：
（1）是否有99%的把握认为课外阅读达标
与性别有关？
附：χ2
＝n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，
（2）如果
用这100名学
生生中男生和女生课外阅读“达标”的频率分别代替该校男生和女生课外阅读“达标”的概率，且每位学生是否“达标”相互独立．现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量X 表示“3人中课外阅读达标的人数”，试求X 的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD //BC ，AB ＝BC ＝PA ＝1，
AD ＝2，∠PAD ＝∠DAB ＝90°，点E 在棱PC 上，设CE ＝λCP ．
（1）求证：CD ⊥AE ；
（2）记二面角C －AE －D 的平面角为θ，
且|cos θ|＝
10
5
，求实数λ的值．
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2
4
＋y 2
＝1．
（1）设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，T 是椭圆C 上的一个动点，求TF 1→·TF 2→
的取值范围；
（2）设A (0，－1)，与坐标轴不垂直．．．的直线l 交椭圆C 于B ，D 两点．若△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝kx －x ln x ，k ∈R ． （1）当k ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
（2）当0＜x ≤1时，f (x )≤k 恒成立，求k 的取值范围； （3）设n ∈N *
，求证：ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤n (n －1)4．
南京市2021届高三年级学情调研 数学参考答案 2020.09
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．B 二、多项选择题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 9．ABD 10．ACD 11．ABC 12．AC 三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．
13．2 14．64
3 15．4；220 16．(－∞，－1]
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：因为 m ＝(2cos x ，－1)，n ＝(3sin x ，2cos 2
x )，
所以f (x )＝m ·n ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1
＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π
6
)． ……………………… 4分
（1）T ＝2π
2＝π． ……………………… 5分
（2）由f (α)＝85，得sin(2α－π6
)＝4
5．
由α∈[π3，7π12]，得π2≤2α－π
6≤π，
所以cos(2α－π
6)＝－1－sin 2
(2α－π6)＝－
1－(45)2＝－3
5
， (7)
分
从而 cos2α＝cos[(2α－π6)＋π6]＝cos(2α－π6)cos π6－sin(2α－π6)sin π
6
＝－35×32－45×12＝－4－33
10
． …………………… 10分
18．（本小题满分12分） 解：（1）选①，
因为S 1＋S 3＝2S 2＋2，
所以S 3－S 2＝S 2－S 1＋2，即a 3＝a 2＋2， 又数列{a n }是公比为2的等比数列，
所以4a 1＝2a 1＋2，解得a 1＝1，
因此a n ＝1×2
n －1
＝2
n －1
． …………………………………… 4分
此时任意m ，n ∈N *
，a m a n ＝2
m －1
·2
n －1
＝2
m ＋n －2
，
由于m ＋n －1∈N *
，所以a m a n 是数列{a n }的第m ＋n －1项，
因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 选②，
因为S 3＝73，即a 1＋a 2＋a 3＝7
3，
又数列{a n }是公比为2的等比数列， 所以a 1＋2a 1＋4a 1＝73，解得a 1＝1
3
，
因此a n ＝13
×2n －1
． ………………………………… 4分
此时a 1a 2＝2
9
＜a 1≤a n ，即a 1a 2不为数列{a n }中的项，
因此数列{a n }不满足条件P ． ………………………………… 7分 选③，
因为a 2a 3＝4a 4，
又数列{a n }是公比为2的等比数列，
所以2a 1×4a 1＝4×8a 1，又a 1≠0，故a 1＝4， 因此a n ＝4×2
n －1
＝2
n ＋1
． …………………………………4分
此时任意m ，n ∈N *
，a m a n ＝2
m ＋1
·2
n ＋1
＝2
m ＋n ＋2
，
由于m ＋n ＋1∈N *
，所以a m a n 是为数列{a n }的第m ＋n ＋1项，
因此数列{a n }满足条件P ． ……………………………………7分 （2）因为数列{a n }是公比为2的等比数列，
所以
a n ＋1a n
＝2，因此b n ＝n ×2n －1
． 所以T n ＝1×20
＋2×21
＋3×22
＋…＋n ×2n －1，
则2T n ＝ 1×21
＋2×22
＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ，
两式相减得－T n ＝1＋21
＋22
＋…＋2n －1－n ×2n ………………………10分
＝1－2
n
1－2－n ×2n
＝(1－n )2n －1，
所以T n ＝(n －1)2n ＋1． ……………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）假设H 0：课外阅读达标与性别无关，根据列联表，求得
χ2
＝100×(36×30－24×10)
2
(36＋24)×(10＋30)×(36＋10)×(24＋30)＝2450207≈11.836＞6.635，
因为当H 0成立时，χ2
≥6.635的概率约为0.01，
所以有99%以上的把握认为课外阅读达标与性别有关． …………………… 4分 （2）记事件A 为：从该校男生中随机抽取1人，课外阅读达标；
事件B 为：从该校女生中随机抽取1人，课外阅读达标．
由题意知：P (A )＝2460＝25，P (B )＝3040＝3
4． ……………………… 6分
随机变量X 的取值可能为0，1，2，3．
P (X ＝0)＝(1－25)2×(1－34)＝
9100， P (X ＝1)＝C 12×25
×(1－25
)×(1－34
)＋34
×(1－25
)2
＝
39100
， P (X ＝2)＝(25)2×(1－34)＋C 12×25×(1－25)×34＝25
， P (X ＝3)＝(2
5
)2×34＝325
．
所以随机变量X 的分布列为：
………………………… 10分 期望E (X )＝0×
9100＋1×39100＋2×25＋3×325
＝1.55． ………………………… 12分
20．（本小题满分12分）
（1）证明：因为∠PAD ＝90°，所以PA ⊥AD ．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PA ?平面PAD ，
所以PA ⊥平面ABCD ． ………………………… 2分 又CD ?平面ABCD ，所以CD ⊥PA ．
在四边形ABCD 中，AD //BC ，∠DAB ＝90°，所以∠ABC ＝90°，
又AB ＝BC ＝1，所以△ABC 是等腰直角三角形，即∠BAC ＝∠CAD ＝45°，AC ＝
2． 在△CAD 中，∠CAD ＝45°，AC ＝
2，AD ＝2，
所以CD ＝ AC 2＋AD 2－2×AC ×AD ×cos ∠CAD ＝ 2，从而AC 2＋CD 2＝4＝AD 2
． 所以CD ⊥AC ． ………………………… 4分 又AC ∩PA ＝A ，AC ，PA ?平面PAC ，所以CD ⊥平面PAC ．
又AE ?平面PAC ，所以CD ⊥AE ． ………………………… 6分 （2）解：因为PA ⊥平面ABCD ，BA ⊥AD ，
故以{→AB ，→AD ，→
AP }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝2， 所以 A (0，0，0)，P (0，0，1)，
C (1，1，0)，
D (0，2，0)，
则→CD ＝(－1，1，0)，→
AD ＝(0，2，0)． 因为点E 在棱PC 上，且CE ＝λCP ， 所以→CE ＝λ→CP ，
设E (x ，y ，z )，则(x －1，y －1，z )＝λ(－1，－1，1)， 故E (1－λ，1－λ，λ)，所以→
AE ＝(1－λ，1－λ，λ)．
由（1）知，CD ⊥平面PAC ，所以平面ACE 的一个法向量为n ＝→
CD ＝(－1，1，0)． 设平面AED 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，
由?
????m ·→AE ＝0，m ·→AD ＝0，得???(1－λ)x 1＋(1－λ)y 1＋λz 1＝0，y 1＝0，
令z 1＝1－λ，所以平面AED 的一个法向量为m ＝(－λ，0，1－λ)．
………………………… 9分
因此 |cos θ|＝|cos
|m ||n |
|＝|
λ
2·
λ2＋(1－λ)2
|＝
105
， 化简得3λ2－8λ＋4＝0，解得λ＝2
3或2．
因为E 在棱PC 上，所以λ∈[0，1]，所以λ＝2
3
．
所以当|cos θ|＝
105时，实数λ的值为2
3
． ………………………… 12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）因为椭圆C ：x 2
4
＋y 2
＝1，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)． 设T (x 0，y 0)，则 TF 1→·TF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 02＋y 02
－3． 因为点T (x 0，y 0)在椭圆C 上，即x 02
4＋y 02＝1，所以TF 1→·TF 2→＝34
x 02－2，且x 02
∈[0，4]，
所以TF 1→·TF 2→
的取值范围是[－2，1]． ………………………… 4分
（2）因为直线l 与坐标轴不垂直，故设直线l 方程y ＝kx ＋m (m ≠－1，k ≠0)．
设B (x 1，y 1)，Ｄ(x 2，y 2)．
由?????y ＝kx ＋m ，x 24
＋y 2
＝1．得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0， 所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2
－1) 1＋4k 2． ………………………… 6分
因为△ABD 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以AB ⊥AD ，即 AB →·AD →
＝0， 因此 (y 1＋1)( y 2＋1)＋x 1x 2＝0，即(kx 1＋m ＋1)( kx 2＋m ＋1)＋x 1x 2＝0， 从而 (1＋k 2
) x 1x 2＋k (m ＋1)( x 1＋x 2)＋(m ＋1)2
＝0， 即 (1＋k 2
)×4(m 2
－1) 1＋4k 2－k (m ＋1)×8km 1＋4k
2＋(m ＋1)2
＝0，
也即 4(1＋k 2)( m －1)－8k 2m ＋(1＋4k 2
) (m ＋1)＝0，
解得m ＝3
5． ………………………… 9分
又线段BD 的中点M (－4km 1＋4k 2，m
1＋4k
2)，且AM ⊥BD ，
所以m
1＋4k 2＋1 －4km 1＋4k
2
＝－1k ，即3m ＝1＋4k 2
，解得k ＝± 5 5．
又当k ＝±
5 5，m ＝35时，△＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)( 4m 2
－4)＝57625
＞0， 所以满足条件的直线l 的方程为y ＝± 5 5x ＋3
5
. ……………………… 12分 22．（本小题满分12分）
解：（1）当k ＝2时，f (x )＝2x －x ln x ，f ′(x )＝1－ln x ， 由f ′(x )＞0，解得0＜x ＜e ；由f ′(x )＜0，解得x ＞e ，
因此函数f (x )单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．……… 2分 （2）f (x )＝kx －x ln x ，故f ′(x )＝k －1－ln x ． 当k ≥1时，因为0＜x ≤1，所以k －1≥0≥ln x ， 因此f ′(x )≥0恒成立，即f (x )在(0，1]上单调递增，
所以f (x )≤f (1)＝k 恒成立． …………………………… 4分 当k ＜1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝e k －1
∈(0，1)．
当x ∈(0，e k －1
)，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e k －1
，1)，f ′(x )＜0，f (x )
单调递减；
于是f (e
k －1
)＞f (1)＝k ，与f (x )≤k 恒成立相矛盾．
综上，k 的取值范围为[1，＋∞)． …………………………… 7分 （3）由（2）知，当0＜x ≤1时，x －x ln x ≤1．
令x ＝1n 2(n ∈N *)，则 1n 2＋2n
2ln n ≤1，即2ln n ≤n 2
－1，
因此
ln n n ＋1≤n －1
2
． ……………………………………10分 所以ln12＋ln23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝n (n －1)
4
． …………………12分